1. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji f(x) = −3x 5 arctg(x 2 ) + 4x 2 ln 5 x 2. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów:

dr Krzysztof ›yjewski MiBM; S-I

⁰

.in». 11 stycznia 2016

Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium II

1. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji f(x) = −3x ⁵ arctg(x ² ) + 4x ² ln 5 ^x 2. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów:

a) a n = _n ²ⁿ

2

+3 , b) a n = _(2n)! ³

ⁿ

. 3. Oblicz granice poni»szych ci¡gów:

(a) a _n = √

3n ² + 2n − 5 − n √

3 (b) a _n = √

ⁿ

10 ⁿ + 9 ⁿ + 8 ⁿ (c) a _n = ²

³ⁿ⁻²

₄

2n

+3 ⁻⁵

^3n+32n+1

(d) a n = _4n ²ⁿ

2

−3 cos n

²

^{+sin n}

²

(e) a n =

ⁿ

q 2

3

n

+ ³ ₄
n

(f ) a n = ⁿ⁻³ _n
n

(g) a _n = 

n

²

+2 n

²

+1

 n

²

−3

(h) a _n = 7

^−3n+15n2+1

(i) a _n = log

¹

2

n

²

−2 8n

²

. 4. Oblicz granice funkcji (lub wyka» nieistnienie granicy):

(a) lim

x→3

x

³

+4x

x

³

−x

²

−6x (b) lim

x→−4

x

³

+x

²

−12x

x

³

+64 (c) lim

x→−∞

√ 4−x

√ 2−3x (d) lim

x→−∞

5x

³

+3x

²

+2 x √

³

x

⁵

+2x−1

(e) lim

x→0

6x

sin 3x+sin 5x (f ) lim

x→8

√ 9+2x−5

√

3

x−2 (g) lim

x→1 1

1−x

²

(h) lim

x→0 2

^|x|x

(i) lim

x→0

arctan 4x

sin 5x (j) lim

x→0 6

^x

−3

^x

2x (k) lim

x→0

4

^x

−1 arcsin 2x .

5. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w dziedzinie, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj nie- ci¡gªo±ci:

a) f(x) =







x dla x ≤ 0

x

x−1 dla 0 < x < 1

x ² − 2 dla x ≥ 1 b) f(x) =







2 ^x − 1 dla x ≤ 1 1 + log x dla 1 < x < 10

5

x dla x ≥ 10

c)f(x) =  cos ^πx ₂ dla |x| ≤ 1

|x − 1| dla |x| > 1.

6. Dobra¢ parametry tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

 _{sin ax}

3x dla x 6= 0

a dla x = 0 (b) g(x) =

 _x

²

₋₉

x+3 dla x > −3 x ² + bx + 3 dla x ≤ −3.

7. Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = 2 ^x − x ² przyjmuje w przedziale domkni¦tym [1, 3]

warto±¢ w = ₁₀ ¹ .

8. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f(x) = x ³ sin x + e ^x tg x, b) f(x) = √

⁴

3x ³ + 2x + 4, c) f(x) = ln(arctg e ^2x ), d) f(x) = ln _2x+3 ^x

²

, e) f(x) = _{1+2 sin x} ^{x cos x} , f) f(x) = ln ^{1+ √} _x ^1+x

²

,

g) f(x) = (x ² + 4x) ^{2 tg x} , h) f(x) = x ² log _x

²

4x, i) f(x) = ctg ² pln(cos x ² ),

1

dr Krzysztof ›yjewski MiBM; S-I

⁰

.in». 11 stycznia 2016

9. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala oblicz poni»sze granice funkcji:

a) lim

x→0

⁻

arctg x

x

²

, b) lim

x→0

⁺

x ² ln x, c) lim

x→+∞

ln

²

x

x

³

, d) lim

x→0

sin

²

x x(e

^x

−1) , e) lim

x→0 1

x − _e

x

¹ −1
, f) lim

x→0

⁺

x ^{sin x} g) lim

x→

^π₂⁺

(tg x) ^2x−π 10. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ funkcji

a) f(x) = _x ^4x

²

₊₁

²

b) f(x) = xe ^−3x , c) f(x) = x ln ² x.

11. Zbadaj wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ wykresu funkcji oraz wyznacz punkty przegi¦cia:

a) f(x) = _1−x ^x

²

, b) f(x) = ln(1 + x ² ), c) f(x) = x ² e ^−x .

12. Korzystaj¡c z denicji ró»niczki funkcji oblicz przybli»on¡ warto±¢ funkcji f(x) =

√

5

31, 98.

13. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsza warto±¢ funkcji f(x) = x ² ln x na przedziale [1, e].

14. Wyznacz wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko-

±na):

(a) f (x) = ^3x _x

⁴3

⁺¹ (b) g(x) = ^x _x

²2

^−3x −4

15. Wyznacz pochodn¡ funkcji f(x) = ln x ³ w punkcie x ⁰ = 3.

16. Wyznacz równane prostej stycznej i normalnej do wykresu funkcji f(x) = _x ¹ e

^1x

w punkcie x 0 = −1.

2