Matematyka podstawowa VI
Teoria:
sin cos tg
sin ą
ą
cos ą ą
ą
ą
ą
ą
30˚
sin cos
Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi
!" # $ " 1 - jedynka trygonometryczna
& 1
' ''
'
Matematyka podstawowa VI Trygonometria
ą '
ą '
ą '
ą '
ą '
ą '
45˚ 60
1
2 √2
2
√3 2
√2 2
√3 3
1
√3 1
dzy funkcjami trygonometrycznymi jedynka trygonometryczna
60˚
√3 21 2
√3
√3 3
Zadania wprowadzające:
1. Rozwiąż trójkąt prostokątny
a) b=6cm
b) c=4cm
c) a=6cm
c=6√2
2. Drabina o długości 3m jest oparta o mur pod kątem 80˚ do poziomu. Na jaką wysokość sięga drabina?
3. Kąt ostry trapezu równoramiennego ma miarę 60˚. Oblicz jego pole, jeżeli jego podstawy mają długości 12cm i 6cm.
4. Samolot wystartował pod kątem 45˚. Jaką drogę w powietrzu pokonał w momencie, gdy znalazł się na wysokości 200m?
5. Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych jeżeli a)cos ∝ =-.
b)tg ∝ = 2√2
6. Kąt ∝ jest ostry i tg ∝= 2. Oblicz /01∝2 34/∝/01∝5 34/∝
7. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 8cm i 6cm. Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy
a)6
7 b)6
. c).
7 d).
6
8. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 3 i 9. Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy
a)6√-8-8 b)-6 c)√-8-8 d)√-868 9. Liczba sin 60˚ + cos 60˚ jest równa a)1 b)−√6" c)√65-" d)"√626;
10. Kąt ∝ jest ostry i sin ∝ =√6". Wartość wyrażenia $ " ∝ −2 jest równa a)−<. b)−-. c)-
" d)√6
"
11.W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długość 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę ∝. Oblicz cos ∝· sin ∝.
Zadania:
1. W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi
a) √-<-<
b) √77 c) .√-<-<
d) -
-<
2. Kąt jest ostry i = -"7. Wówczas $ jest równy a) 7
-"
b) -67 c) -8
-6
d) -"-6
3. Kąt jest ostry i sin =-6<. Wtedy jest równy a) <;
b) <·-6
-"8
c) <
√-"8
d) <
-6√-"8
4. W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy
a) cos =--=
b) sin =--= c) sin ="√-8-- d) cos ="√-8--
5. Kąt jest ostry i = 1. Wówczas a) < 30˚
b) = 30˚
c) = 45˚
6. Uzasadnij, że jeżeli jest kątem ostrym, to !. + $ " = !" + $ . . 7. Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym
bokiem ma miarę 30˚. Dłuższy bok prostokąta ma długość a) 2√3
b) 4√3 c) 6√3 d) 12
8. W trójkącie równoramiennym ABC dane są |CD| = |ED| = 5 oraz wysokość
|DF| = 2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość a) 6
b) 2√21 c) 2√29 d) 14
9. W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |CE| = 13 oraz
|ED| = 12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy a) -"
-6
b) 7
-6
c) -"7 d) -6
-"
10. Liczba 30˚ − sin 30 jest równa a) √3 − 1
b) −√6; c) √62-
;
d) "√626
;
11. Kąt jest ostry i cos =√"6. Wtedy a) sin =√76
b) sin =√<6 c) sin =<= d) sin =-6
12. Wiadomo, że cos =√"-7 . Zatem wartość wyrażenia " · ( I-J'− $ " ) jest równa
a) .
"7
b) 1 − L"7 c) "-
"7
d) 67
13. W trapezie prostokątnym krótsza podstawa i dłuższe ramię są równe i mają długość 8cm. Kąt między dłuższym ramieniem i dłuższą podstawą ma miarę 60˚. Pole trapezu jest równe
a) 40√3 b) 32 + 8√3 c) 40
d) 48√3
14. W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: = 27˚ i = 63˚. Wtedy 34/ '5/01 O 34/ '
równa się a) 1 + sin 63˚
b) sin 63˚
c) 1 d) 2
15. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
16. W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: = 41˚ i = 49˚. Wtedy 34/ '5/01 O 34/ '
równa się a) 1 + sin 49˚
b) sin 49˚
c) 1 d) 2
17. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość P. Kąt ostry przy tym boku ma miarę . Wykaż, że sin + cos > 1
18. Kąt jest ostry i sin ="7. Wówczas a) cos = sin
b) cos > sin c) cos < sin d) cos = 1 − sin
19. Kąt jest ostry oraz sin = cos 47˚. Wtedy miara kąta jest równa a) 6˚
b) 33˚
c) 47˚
d) 43˚
20. Kąt jest ostry i sin =-.. Oblicz 3 + 2 "
