Wybrane zagadnienia teorii continuów

Wybrane zagadnienia teorii continuów

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dost ˛epna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/ ∼msobol/)

Wymagania

Znajomo´s´c materiału z kursowego wykładu Topologia I.

Zasady oceniania

Ocena z przedmiotu b ˛edzie zale˙zna od sumy punktów z egzaminu ustnego i z zada ´n domowych (z ´cwicze ´n).

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 2 / 15

Wymagania

Znajomo´s´c materiału z kursowego wykładu Topologia I.

Zasady oceniania

Ocena z przedmiotu b ˛edzie zale˙zna od sumy punktów z egzaminu ustnego i z zada ´n domowych (z ´cwicze ´n).

Wymagania

Znajomo´s´c materiału z kursowego wykładu Topologia I.

Zasady oceniania

Ocena z przedmiotu b ˛edzie zale˙zna od sumy punktów z egzaminu ustnego i z zada ´n domowych (z ´cwicze ´n).

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 2 / 15

Wymagania

Znajomo´s´c materiału z kursowego wykładu Topologia I.

Zasady oceniania

Ocena z przedmiotu b ˛edzie zale˙zna od sumy punktów z egzaminu ustnego i z zada ´n domowych (z ´cwicze ´n).

Uwaga:

B ˛edziemy zajmowa´c si ˛e tylko przestrzeniami metrycznymi.

Definicja

Continuum to niepusta przestrze ´n spójna i zwarta.

Definicja

Teoria continuów = dział topologii zajmuj ˛acy si ˛e continuami.

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 3 / 15

Uwaga:

B ˛edziemy zajmowa´c si ˛e tylko przestrzeniami metrycznymi.

Definicja

Continuum to niepusta przestrze ´n spójna i zwarta.

Definicja

Teoria continuów = dział topologii zajmuj ˛acy si ˛e continuami.

Uwaga:

B ˛edziemy zajmowa´c si ˛e tylko przestrzeniami metrycznymi.

Definicja

Continuum to niepusta przestrze ´n spójna i zwarta.

Definicja

Teoria continuów = dział topologii zajmuj ˛acy si ˛e continuami.

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 3 / 15

Uwaga:

B ˛edziemy zajmowa´c si ˛e tylko przestrzeniami metrycznymi.

Definicja

Continuum to niepusta przestrze ´n spójna i zwarta.

Definicja

Teoria continuów = dział topologii zajmuj ˛acy si ˛e continuami.

Przykład

Najprostsze continua - jednowymiarowe czyli krzywe

Przykłady prostych continuów

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 4 / 15

Bardziej skomplikowane przykłady

Sinusoida zagęszczona

Okrąg warszawski

dysk kostka

torus Przykłady 2 i 3 wymiarowe

Dywan Sierpi ´ nskiego

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 6 / 15

Kostka Mengera

Pocz ˛ atki teorii continuów

Próby zdefiniowania krzywej w XIX: krzywa - obraz odcinka [0, 1] przy przekształceniu ci ˛agłym.

1890- Giuseppe Peano konstruuje przekształcenie ci ˛agłe przedziału [0, 1] na kwadrat [0, 1] × [0, 1].

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 8 / 15

Definicja

Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ci ˛agłym odcinka [0, 1].

Definicja

Continuum jest lokalnie spójne, je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a ze zbiorów otwartych spójnych.

Twierdzenie (Hahn-Mazurkiewicz) Powy˙zsze poj ˛ecia s ˛a sobie równowa˙zne.

Twierdzenie (Mazurkiewicz-Moore)

Ka˙zde continuum lokalnie spójne jest łukowo spójne, tzn. ka˙zde jego dwa punkty mo˙zna poł ˛aczy´c continuum homeomorficznym z

odcinkiem (czyli łukiem).

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 10 / 15

Definicja

Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ci ˛agłym odcinka [0, 1].

Definicja

Continuum jest lokalnie spójne, je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a ze zbiorów otwartych spójnych.

Twierdzenie (Hahn-Mazurkiewicz) Powy˙zsze poj ˛ecia s ˛a sobie równowa˙zne.

Twierdzenie (Mazurkiewicz-Moore)

Ka˙zde continuum lokalnie spójne jest łukowo spójne, tzn. ka˙zde jego dwa punkty mo˙zna poł ˛aczy´c continuum homeomorficznym z

odcinkiem (czyli łukiem).

Definicja

Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ci ˛agłym odcinka [0, 1].

Definicja

Continuum jest lokalnie spójne, je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a ze zbiorów otwartych spójnych.

Twierdzenie (Hahn-Mazurkiewicz) Powy˙zsze poj ˛ecia s ˛a sobie równowa˙zne.

Twierdzenie (Mazurkiewicz-Moore)

Ka˙zde continuum lokalnie spójne jest łukowo spójne, tzn. ka˙zde jego dwa punkty mo˙zna poł ˛aczy´c continuum homeomorficznym z

odcinkiem (czyli łukiem).

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 10 / 15

Definicja

Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ci ˛agłym odcinka [0, 1].

Definicja

Continuum jest lokalnie spójne, je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a ze zbiorów otwartych spójnych.

Twierdzenie (Hahn-Mazurkiewicz) Powy˙zsze poj ˛ecia s ˛a sobie równowa˙zne.

Twierdzenie (Mazurkiewicz-Moore)

Ka˙zde continuum lokalnie spójne jest łukowo spójne, tzn. ka˙zde jego dwa punkty mo˙zna poł ˛aczy´c continuum homeomorficznym z

Przykład (przykłady continuów lokalnie spójnych)

odcinek (ma baz ˛e zło˙zon ˛a z przedziałów), grafy spójne (spójne wielo´sciany 1-wymiarowe), dywan Sierpi ´nskiego, kostka Mengera Sinusoida zag ˛eszczona - nie jest lokalnie spójna

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 11 / 15

Własno ´s ´c punktu stałego continuów

Definicja

Przestrze ´n X ma własno´s´c punktu stałego je´sli dla ka˙zdego

przekształcenia ci ˛agłego f : X → X istnieje punkt stały, tzn. taki punkt x ∈ X , ˙ze f (x ) = x .

Twierdzenie (Brouwer)

Kostka Iⁿma własno´s´c punktu stałego.

Twierdzenie

Kostka Hilberta I^∞ma własno´s´c punktu stałego.

Własno ´s ´c punktu stałego continuów

Definicja

Przestrze ´n X ma własno´s´c punktu stałego je´sli dla ka˙zdego

przekształcenia ci ˛agłego f : X → X istnieje punkt stały, tzn. taki punkt x ∈ X , ˙ze f (x ) = x .

Twierdzenie (Brouwer)

Kostka Iⁿma własno´s´c punktu stałego.

Twierdzenie

Kostka Hilberta I^∞ma własno´s´c punktu stałego.

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 12 / 15

Własno ´s ´c punktu stałego continuów

Definicja

Przestrze ´n X ma własno´s´c punktu stałego je´sli dla ka˙zdego

przekształcenia ci ˛agłego f : X → X istnieje punkt stały, tzn. taki punkt x ∈ X , ˙ze f (x ) = x .

Twierdzenie (Brouwer)

Kostka Iⁿma własno´s´c punktu stałego.

Twierdzenie

Kostka Hilberta I^∞ma własno´s´c punktu stałego.

Continua łukowo spójne Continua

peanowskie

dendroidy dendryty

Niezdegenerowane continua nierozkładalne Niezdegenerowane

continua jednorodne

Niezdegenerowane continua dziedzicznie nierozkładalne

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 13 / 15

Hiperprzestrze ´ n C(X ) continuum X

Definicja

Niech X b ˛edzie przestrzeni ˛a metryczn ˛a, wtedy C(X ) oznacza zbiór wszystkich continuów zawartych w X z metryk ˛a Hausdorffa dist.

Definicja

dist(A, B) = max(sup{ρ(x , B) : x ∈ A}, sup{ρ(y , A) : y ∈ B}

Twierdzenie

Je´sli X jest continuum to C(X ) jest równie˙z continuum.

Hiperprzestrze ´ n C(X ) continuum X

Definicja

Niech X b ˛edzie przestrzeni ˛a metryczn ˛a, wtedy C(X ) oznacza zbiór wszystkich continuów zawartych w X z metryk ˛a Hausdorffa dist.

Definicja

dist(A, B) = max(sup{ρ(x , B) : x ∈ A}, sup{ρ(y , A) : y ∈ B}

Twierdzenie

Je´sli X jest continuum to C(X ) jest równie˙z continuum.

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 14 / 15

Hiperprzestrze ´ n C(X ) continuum X

Definicja

Niech X b ˛edzie przestrzeni ˛a metryczn ˛a, wtedy C(X ) oznacza zbiór wszystkich continuów zawartych w X z metryk ˛a Hausdorffa dist.

Definicja

dist(A, B) = max(sup{ρ(x , B) : x ∈ A}, sup{ρ(y , A) : y ∈ B}

Twierdzenie

Je´sli X jest continuum to C(X ) jest równie˙z continuum.

Hiperprzestrze ´ n C(X ) continuum X

Definicja

Niech X b ˛edzie przestrzeni ˛a metryczn ˛a, wtedy C(X ) oznacza zbiór wszystkich continuów zawartych w X z metryk ˛a Hausdorffa dist.

Definicja

dist(A, B) = max(sup{ρ(x , B) : x ∈ A}, sup{ρ(y , A) : y ∈ B}

Twierdzenie

Je´sli X jest continuum to C(X ) jest równie˙z continuum.

Mirosława Re ´nska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 14 / 15

Granice odwrotne

Metoda granic odwrotnych słu˙zy do konstrukcji interesuj ˛acych

przykładów continuów, np. continuum nie zawieraj ˛acego ˙zadnego łuku.

f₁ f₂