O pewnych nierównościach
W twierdzeniu 1 i 2 przez I będziemy oznaczali przedział domknięty
<0 , a} skończony lub nieskończony. W tychże twierdzeniach przez e1, s 2, . . . , e n będziemy oznaczali ciąg.mający następujące własności:
1) wyrazy tego ciągu przybierają tylko wartości 1 albo —l,
Tw i e r d z e n i e 1. J eżeli x,L e I dla i = 1 , 2, , n oraz x x > x 2 > ... >
^ xn, a funkcja f(x) spełnia następujące warunki:
1° f(x) jest funkcją niewklęsłą w przedziale I, 2° f {x) jest funkcją niewklęsłą w przedziale 1, to spełniona jest następująca nierówność:
(1) с2х2-\~... + enxn)/n} ^ (cif(^i) +£2/(^2) + * •• ~\~en f (x n)) ln •
D o w ó d przeprowadzimy metodą zaproponowaną przez M. Biernac
kiego [1] odpowiednio uogólnioną. Na razie udowodnimy twierdzenie 1 przy dodatkowym założeniu o funkcji f(x), mianowicie, że / ( 0) — 0 .
Tworzymy funkcję
niech ei — 1 dla г = 1 , 2 , . . . , р , а ep+x — —1*. Z określenia funkcji F oraz z założeń twierdzenia wynika, że
к
2) > 0 dla к = 1 , 2 , ..., n .
3° /(0) < 0
П n
V n
Ustalamy zmienne xp+l, . .. , x n . Ponieważ
1
więc zmniejszając zmienne x x, a?2, . .., x p o tę samą wielkość h > 0 taką, by x p — x p + 1 Ą-ii, nie powiększymy funkcji F , przy czym
I- ix PĄ.\ — 0,
gdzie x p = x p- Л. W wyrażeniu F { x [ , x 2 , x p , x p + l , . . . , x n), gdzie
— Xi — h dla i — ciąg e1, e 8, . . . , e n zawiera jedną plus
jedynkę więcej oraz jedną minus jedynkę mniej, ponieważ
F ( X i , . . . f x p} x P+i, •.., x n) =
= « i / K ) + e*/(«4)+. • • + £ p - i / « - i ) +
+ %+2/(aV+2) + *** + en/(a7n)4- l ’ / ( b ) + l */(0) —
_^gl ^2 ~b~ • » ■ ~H gff-l^p-l 4~ 2^23+2 ~t~ ••• 1 '0 + 1 * oj
JRozumowanie powyższe powtarzamy tak długo, aż funkcja F nie będzie zawierała w ciągu e lf e2, . . . , en żadnej minus jedynki. Korzystając z kla
sycznej nierówności Jensena (por. [2], str. 72, wzór (3.6.1)) dla funkcji niewklęsłych otrzymamy ostatecznie, że F > 0. Udowodniliśmy więc twierdzenie 1 z dodatkowym założeniem /(0) = 0. Stosując to twierdzenie do funkcji f ( x ) — f (0), która spełnia założenia 1° i 2° oraz dodatkowy wa
runek /(0)—/(0) = 0, łatwo wykazać, że dla /(0) < 0 funkcja f ( x ) spełnia nierówność (1).
W twierdzeniu 2 przez J będziemy oznaczali przedział domknięty
<0, b y skończony lub nieskończony. W tymże twierdzeniu funkcję f ( x , y )
dwóch zmiennych określoną w prostokącie Q nazywać będziemy słabo niewklęsłą, jeżeli
/ (H#2+ У2), U V i + У г ) ) < ł(/0»i, 2/i)+/0»2, M
dla takich punktów ( x lx yx), (#2, у2)еФ» że x t ^ x 2 1 y x ~^ y 2 . Można udowod
nić w podobny sposób, jak się dowodzi nierówności Jensena dla funkcji niewklęsłych dwóch zmiennych (por. [2], str. 78-79), że spełniona jest nierówność Jensena dla funkcji słabo niewklęsłych
/ X x + X 2 + . . . + Xn У 1 + У 2 + - - - + Уп
\ n ’ n
< / (#!> 3/i)+/(a?2> ff2)+...+/(a?tt> Уп)
^ w
dla punktów (X i, y i ) e Q , i = 1, 2 , . . . , n , takich że x x > a?8 ^ > x n , У х > У * > ~ - > У п >
Tw i e r d z e n i e 2 . Jeżeli уi eJ dla i — 1, 2, n oraz х г >
> ... ^ xn1 у г > у z ^ ... > yn, a funkcja dwóch zmiennych f(x, у) speł
nia następujące warunki:
1° f { x , y ) jest funkcją słabo niewklęsłą w I x J ,
2° /ж(ж, i/) i fy{x, y) są funkcjami ciągłymi i słabo niewklęsłymi w I x J , 3° fx{x, y) i fy(x, y) są funkcjami niemalejącymi odpowiednio zmien
nych у i x w I x J , 4 ° / ( 0 , 0 ) < 0 ,
to spełniona jest nierówność
(2) j ezx 2-\-- • • + enxn n
ei 2/ i + ег2/2 + * • ■ + w
< ei/(a?i> 2 / i ) + e2/( a ? 2> y8)-f ... + е»/(а?я, У»)
"" w
D o w ó d t w i e r d z e n i a 2 przeprowadzimy również metodą M. Bier
nackiego [1] odpowiednio uogólnioną. Na razie założymy dodatkowo, że / ( 0 , 0) = 0 .
Tworzymy funkcję
F(x±, . . . , x n, y lt . . . , y n) = R e i f f a , y i ) - n f \ - 2 j ei xn
i = 1
1 VI
i = \
niech Ei = 1 dla i = 1, 2, p , a еда+1 = —1. Korzystając z określenia funkcji .F, z warunków 2° i 3° oraz z warunku 1°, dzięki któremu fx( x , y), fy( x , y ) są funkcjami niemalejącymi odpowiednio względem zmiennych у i x, otrzymujemy
dF dxi
1
П dla i = 1 , 2 , . .. , p ,
p
Zi=rl dxidF = i —l iii) ' i = l SiX4
P . и i n
Z f*(Xi ’ yi)~ vi * [ n Z x i ’ n Z A
г = 1 г =1 i=l '
p n
> ^ f'x(xi, y i ) - ^ fLixi, у i)
i=i * <«1
Ustalamy zmienne x p + l , яп , y t , y 2, y n . Ponieważ
0 ,
więc zmniejszając zmienne x t , x 2, ..., xp o tę samą wielkość h, taką by
x p x p +1+ h , nie powiększymy jednocześnie funkcji F . Podobnie postę
pujemy ze zmiennymi у г , y 2, • • • > Ур- W wyniku powyższych kroków otrzymujemy
£pf { x pi yp)-|- £p+ i f {xp+1 , y p+1) ep®p~\~ Sp+x'^p+i — £р ' У р £p+i Ур+i
gdzie x'p = x p — h , y p — y p — h . W wyrażeniu
F ( X i , . .., x p , x pą_i >■•••? i Ух t • ♦ • i Ур > Ур+i ? • • • ? Уп) >
gdzie х 1 = = х { — к oraz = —& dla i = 1 , 2 , ciąg s1 , e 2, . . . , E n
zawiera jedną plus jedynkę więcej i jedną minus jedynkę mniej, ponieważ
F ( xi , . .. , x p , x p + i , ..., Xn , У\, . •.) y p , y p+i5 • • • ? Уп) ~
= &\f{xi, У\)~j-... -f- sp_ i f (хр_ г , y p_ x)~Ь £p+%f {®p+2jУр+ i)“b • • • + W ( # n , 2 / J + l - / ( 0 , 0)4-1-/(0, 0 ) - n f ( L 1/ n , Ą / n ) ,
gdzie
Z/J — £j Xi -f-... + ep_X Xp_ i + &p+2®p+2 ~b • • • 4"sn®n H~ i ' o -f-1 • 0, -^2 — + * • • ~f~ вр- хУр- х + S+2^+2“b- • • + ' 0 + 1 • 0.
Rozumowanie powyższe powtarzamy tak długo, aż funkcja F nie będzie zawierała w ciągu ex, e2, . .. , en liczby —1. Korzystając ostatecznie z nierówności Jensena dla funkcji dwóch zmiennych słabo niewklęsłych otrzymamy, że F > 0.
Udowodniliśmy więc twierdzenie 2 przy dodatkowym założeniu, że /(0, 0) . = 0. Stosując do funkcji f ( x , y ) — /(Q, 0), która oprócz zało
żeń l°-3° spełnia oczywiście wprowadzony dodatkowy warunek, docho
dzimy do wniosku, że funkcja f ( x , y ) spełniająca założenia l°-4° twierdze
nia 2 spełnia nierówność (2).
W szczególności dla f ( x , у) — x y otrzymujemy z twierdzenia 2 uogól
nienie nierówności Czebyszewa
(el# l + £2^2 + * • • £22/2 + - • • епУп)
^ У х ~ Ь Ь ч Ф ч У ъ “ h ••• d - £п ^ п У п ) к
dla x x > x 2 > ... > x n > 0, 2 / i > y 2 > ... > y n > 0 i > 0, gdzie
i = l
jfc = 1, 2 , . . . , n. Ostatni warunek dla ciągu e15 e2, en jest ogólniejszy
od warunku podanego przez M. Biernackiego [1] dla tego ciągu w związku z uogólnieniem nierówności Czebyszewa.
Tw i e r d z e n i e 3. Jeżeli spełnione są warunki 1° h > &2 > ... > 0 ,
к
2° Sk = JT1 ai > 0 dla к = 1 , 2 , ..., n ,
to zachodzą następujące nierówności
1 ^ (1 + 61)ai( l + 62)a2 • • • (1 + bnf n ^ ехр(а1&1-)-а2 &2 + - • •~\~ппЬп).
Dla dowodu prawej nierówności wystarczy wykazać, że
<H\bx — log(l + &i)] + a2 [ & 2 — log(l + &2)] + . . . + a №[>n- l o g ( l + &J] > 0.
Z własności funkcji logarytmicznej wynika, że
&i —log(l + &i) > &2—log(l + &2) > > V —log(H-&«) > 0 . Wobec ostatnich nierówności i warunku 2° twierdzenia 3 otrzymujemy
[ & i - l o g ( 14-&1)] + . . . + a №[bn- l o g ( l + b j ] >
> $ 2[&2- l o g ( l + &2)] + ... f a w[& „,-log(l + 6J ] > ... >
> l o g ( l + & J ] > 0 . T)la dowodu lewej nierówności piszemy
(1 + М в1(1 +г>г)“! ••• ( i + .i « ) “» » > 0 + &„)s” > i .
Prace cytowane
[1] M. B ie r n a c k i, Sur les inegalites rem plies p ar des expressions doni les ter- mes ont des signes alternes, Annales IJniversitatis Mariae Curie-Skłodowska, Sectio A, 7 (1953), str. 89-102.
[2] H a rd y -L it tle w o o d - P ó ły a, Inequalities, Cambridge 1934.
K A TE D R A M ATE M A TYKI • U N IW E R S Y T E T POZNAŃSKI
3; Цесельский (Познань)
О НЕКОТОРЫ Х НЕРАВЕНСТВАХ
РЕЗЮМЕ
Пусть 1 — <0, а>, J — <0, 6> и пусть последовательность {е$| удовлетворяет условиям:
1) е{ — 1 или — 1 при г = 1, 2 , ..., п , к
2) £ Ч ^ 0 при к — 1, 2, ..., п .
i=i
Функция f ( x , y ) называется с л а б о н е в о г н у т о й в прямоугольнике Q , если выполняется неравенство
f {% (х 1 + х г ) ■> ł(y i+ ? /2 )) ^ i ( / ( a:i> y i)+ /(*2 > Уъ)) для всех точек (х\, у х) , ( х 2 ,Уг) 6^> таких что Х х ^ х 2 , У х ^ - У г -
ТЕОРЕМА 1. Е с л и x i e l ( i = 1 , 2 , . . . , »), aq ^ * 2 и. е с л и ф у н к ц и я / (х ) у д о в л е т в о р я е т с л е д у ю щ и м у с л о в и я м :
1) f ( x ) н е в о г н у т а я e l , 2) f ( x ) н е в о г н у т а я в I ,
3) /( 0) < о,
т о г д а и м е е т м е с т о н е р а в е н с т в о (1) (стр. 361).
Теорема 2. Если xiel, y\ej (i = 1 , 2 , . . . , п), хг ^ ^ ^ ^ ж», уг ^ У г ^
^ ... ^ У» и если функция f{%,y) удовлетворяет следующим условиям:
•1) f ( x , y ) с л а б о н е в о г н у т а я в п р я м о у г о л ь н и к е IxJ,
2) fx(x, у)у ty{%> У) н е п р е р ы в н ы и с л а б о н е в о г н у т ы е в п р я м о у г о л ь н и к е I x J, 3) /ж(ж, у), fy{% , у ) н е в о з р а с т а ю щ и е о т н о с и т е л ь н о п е р е м е н н ы х у , х ,
4) /(0 , 0) < О,
т о г д а и м е е т м е с т о н е р а в е н с т в о (2) (стр. 363).
ТЕОРЕМА 3. Е с л и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и {a i ) и {6$} у д о в л е т в о р я ю т у с л о в и я м
1) bx^b2> . >. ^Ьп>0 ,
к
2) JT1 а» ^ 0 при f e e 1 ,2 ... w,
г=1
т о г д а
1 < (1 + fex)®1 ••• (1 + М®п < ехр(«х(>!+... + а пЬп) .
Теоремы 1 и 2 являются натуральным обобщением неравенства доказанного М. Бернацким [1], которое можно получить из теоримы 2 полагая f { p o , y ) — х у .
Z. Ci e s i e l s k i (Poznań)
ON SOME IN E Q U A L IT IE S S U M M A R Y
Let 1 — < 0 ,a > , J — <0, 6> and let sequence {e*} satisfies the following condi
tions:
1) £% = 1 or — 1 for each i — 1 , 2 , . . . , n , к
2) £ e i ^ 0 for each h — 1, 2 , n .
*-i
The function f( x , у) is said to be weakly nonconcave over a rectangle Q if it sa
tisfies the inaquality
/ (i (®i + »i), 4- (yi + У2)) < 4 (/ (*i. yi) + / (*a - 2/2))
for all of the points {x\ ,y{), (x2 , y 2)eQ such that scx ^ x2 and y \ ^ y2.
Th e o r e m 1. I f Xie I (i — 1 ,2 , n), хг ^ x2 ^ ^ xn and i f the function f(x) satisfies the following conditions:
1) f(x ) is nonconcave over I ,
2) f'(x) is nonconcave over l, 3) / (0) < 0,
then it satisfies the inequality (1), (p. 361).
Th e o r e m 2. I f x i e I , y ^ e j (i — 1 ,2 , . . . , n ) , xi ^ x2 ^ ... ^ xn , 3/1 y% ^ ^ yn and if the function f ( x ,y ) satisfies the following conditions:
1) f ( x >y) i s weakly nonconcave over the rectangle I x J ,
2) fx(x . y) and fy (x , y) are continuous and weakly nonconcave over the rectangle
I x J ,
3) fx{x, y) and fy {x ,y ) are non-increasing, of the variables у and x, respectively, 4 ) / ( 0 , 0 ) < 0 ,
then it satisfies the inequality (2), (p. 363).
Th e o r e m 3. I f the sequences { } and {&*} satisfy the conditions
1) hi > b2> ••• > bn ^z 0, к
2) JT1 a i ^ 0 for к — 1,2. n , i= i
then hold the inequalities:
1 < (l + bi)°i ... (l+ & n)an < exp ( M i + ...+<%&„).
Theorem 1 and 2 are the natural generalization of the inequality given by M. Biernacki (see [1]), which we obtain from theorem 2 for f ( x ,y ) — x y .
