Oblicz całkę nieoznaczoną Z 1 (x + 1)x2 dx

Analiza matematyczna 2, WNE

rok akademicki 2018/19, semestr letni, A – rozwiązania Sprawdzian I, 4 kwietnia 2019

1. Oblicz całkę nieoznaczoną

Z 1

(x + 1)x² dx. odpowiedź:...

Z 1

(x + 1)x² dx =

Z  1 x + 1 − 1

x+ 1 x²



dx = ln |x + 1| − ln |x| − 1 x+ C.

2. Obliczyć całkę oznaczoną

e

Z

1

x⁻¹cos(ln(x)) dx. odpowiedź:...

e

Z

1

x⁻¹cos(ln(x)) dx =∈¹₀ cos t dt = sin t|¹₀ = sin 1

3. Obliczyć całkę niewłaściwą

∞

Z

0

x²e^−xdx. odpowiedź:...

Przez części

Z

x²e^−xdx = −e^−x(x²+ 2x + 2) + C, więc

∞

Z

0

x²e^−x dx = lim

b→∞(−e^−x(x²+ 2x + 2))|^b₀ = lim

b→∞

−(b²+ 2b + 2)

e^b + 2 = 0 + 2 = 2.

4. Czy zbiór {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ¬ 1, x > y} jest:

otwarty Tak/Nie: ...

domknięty Tak/Nie: ...

ograniczony Tak/Nie: ...

zwarty Tak/Nie: ...

spójny Tak/Nie: ...

wypukły Tak/Nie: ...

To jest górna lewa połowa koła z wraz z okręgiem, ale bez prostej.

Jest więc ograniczony, wypukły oraz spójny, ale nie otwarty, nie domknięty i nie zwarty.

5. Znajdź granicę lub określ, że ona nie istnieje:

n→∞lim

√n

2n, ^1 + 2 n

n

, ln n 2n

!

,

odpowiedź: ...

Granica to (1, e², 0).

6. Znajdź granicę lub ustal, że ona nie istnieje:

(x,y)→(0,0)lim x²y x⁴+ y²

odpowiedź: ...

Nie istnieje x = 1/n, y = 0 mamy 0, a dla x = 1/n, y = 1/n², mamy 1/2.

7. Sprawdź czy funkcja f : R² → R,

f (x, y) =







(x²+ y²)arctan

 1

x²+ y²



for (x, y) 6= (0, 0)

1 for (x, y) = (0, 0)

jest ciągła. Tak/Nie:...

Dla r =√

x²+ y² mamy

(x,y)→(0,0)lim (x² + y²)arctan

 1

x²+ y²



= lim

r→0

arctan 1/r²

1/r² = lim

r→0

−2_r¹3 · _1/r¹4+1

−2_r¹3

= 0,

więc nie jest ciągła.

8. Niech f : R³ → R będzie funkcją zadaną wzorem f (x, y, z) = e^x+2xy+z2+z.

Jaki wektor jednostkowy v definiuje kierunek największego wzrostu f w punkcie (0, 0, 0) ? odpowiedź: ...

f⁰(x, y, z) = [(1 + 2y)e^x+2xy+z2, 2xe^x+2xy+z2, (2z + 1)e^x+2xy+z2], f⁰(0, 0, 0) = [1, 0, 1],

v = [1, 0, 1]

√2 .

9. Niech f : będzie funkcją opisaną w poprzednim pytaniu. Znajdź wartość pochodnej kierunkowej

∂f

∂v(0, 0, 0)

gdzie v = (1, 2, 3).

odpowiedź: ...

h(1, 0, 1), (1, 2, 3)i = 4.

10. Niech (u, v) to współrzędne w R² oraz niech f : R² → R będzie funkcją określoną we współrzędnych (u, v). Niech g(x, y) = f (x + y, x − y). Znajdź A oraz B takie, że

∂g

∂x(x, y) − ∂g

∂y(x, y) = A∂f

∂u(u, v) + B∂f

∂v(u, v).

Podpowiedź: Oblicz ^∂g_∂x oraz ^∂g_∂y używając wzoru na pochodną złożenia.

odpowiedź: ...

h(x, y) = (x + y, x − y), zatem

h⁰ =

"

1 1

1 −1

#

, zatem

g⁰ =

"

∂f

∂u +∂f

∂v,∂f

∂u − ∂f

∂v

#

. Więc,

∂g

∂x(x, y) −∂g

∂y(x, y) = ∂f

∂u + ∂f

∂v − ∂f

∂u −∂f

∂v

!

= 2∂f

∂v. Więc, A = 0, B = 2.