Statystyka matematyczna (4 zas., 2011/2012)
6. Informacja Fishera, nierówno±¢ Craméra-Rao
Zad. 6.1 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie N(µ, σ2). Oblicz informacj¦ Fi- shera I(θ) w przypadku:
(a) θ = µ ∈ R, (b) θ = σ > 0,
(c) θ = σ2 > 0.
Zad. 6.2 Korzystaj¡c z nierówno±ci Craméra-Rao wyznacz dolne ograniczenie dla wa- riancji nieobci¡»onego estymatora wariancji σ2 w rozkªadzie N(0, σ2).
Zad. 6.3 Niech X = (X1, . . . , Xn)b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu dwumianowego B(m, p).
(a) Wyznacz estymator najwi¦kszej wiarogodno±ci parametru p i na jego podstawie zbuduj nieobci¡»ony estymator T (X) parametru p.
(b) Sprawd¹, czy T (X) realizuje dolne ograniczenie w nierówno±ci Craméra-Rao i wysnuj odpowiednie wnioski.
Zad. 6.4 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu P oiss(λ). Rozwa»my estymator nieobci¡»ony o minimalnej wariancji (ENMW) funkcji g(λ) = P (X1 = 0) postaci
T (X1, . . . , Xn) =
1 − 1
n
n
P
i=1
Xi
. Czy jest to estymator efektywny?
Zad. 6.5 Niech X = (X1, . . . , Xn)b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu jednostajnego U(0, θ).
Udowodnij, »e statystyka
T (X) = n + 1 n Xn:n
jest nieobci¡»onym estymatorem parametru θ. Poka», »e estymator ten jest super- efektywny.
Zad. 6.6 Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N(µ, σ2). Wyznacz parametr a tak, aby estymator
T (X) = a
n
X
i=1
|Xi− µ|
byª estymatorem nieobci¡»onym parametru σ. Oblicz jego efektywno±¢.
1
