Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
6. Informacja Fishera, nierówno±¢ Craméra-Rao
w. 6.1 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie N(µ, σ2). Oblicz informacj¦ Fi- shera I(θ) w przypadku:
(a) θ = µ ∈ R, (b) θ = σ > 0,
(c) θ = σ2 > 0.
w. 6.2 Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu dwumianowego B(m, p).
(a) Wyznacz estymator najwi¦kszej wiarogodno±ci parametru p i na jego podstawie zbuduj nieobci¡»ony estymator T (X) parametru p.
(b) Sprawd¹, czy T (X) realizuje dolne ograniczenie w nierówno±ci Craméra-Rao i wysnuj odpowiednie wnioski.
w. 6.3 Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu jednostajnego U(0, θ).
Udowodnij, »e statystyka
T (X) = n + 1 n Xn:n
jest nieobci¡»onym estymatorem parametru θ. Poka», »e estymator ten jest super- efektywny.
w. 6.4 Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N(µ, σ2). Wyznacz parametr a tak, aby estymator
T (X) = a
n
X
i=1
|Xi− µ|
byª estymatorem nieobci¡»onym parametru σ. Oblicz jego efektywno±¢.
w. 6.5 Rozwa»my prób¡ prost¡ X = (X1, . . . , Xn)z rozkªadu Laplace'a La(0, λ) o g¦- sto±ci f(x) = 2λ1 e−|x|/λ, λ > 0. Sprawd¹, czy estymator T (X) = n1 Pn
i=1
|Xi| jest efektywnym estymatorem parametru λ.
1
Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
6'. Informacja Fishera, nierówno±¢ Craméra-Rao Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 6'.1 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie gamma(α, λ). Oblicz informacj¦
Fishera I(θ) w przypadku:
(a) θ = λ > 0, gdy parametr α jest znany, (b) θ = α > 0, gdy parametr λ jest znany.
Zad. 6'.2 Niech X1, . . . , Xnb¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu geometrycznego G(p).
Oblicz informacj¦ Fishera In(p).
Zad. 6'.3 Korzystaj¡c z nierówno±ci Craméra-Rao wyznacz dolne ograniczenie dla wa- riancji nieobci¡»onego estymatora wariancji σ2 w rozkªadzie N(0, σ2).
Zad. 6'.4 Niech X1, . . . , Xnb¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu P oiss(λ). Rozwa»my estymator nieobci¡»ony o minimalnej wariancji (ENMW) funkcji g(λ) = P (X1 = 0) postaci
T (X1, . . . , Xn) =
1 − 1
n
n
P
i=1
Xi
. Czy jest to estymator efektywny?
Zad. 6'.5 Rozwa»my prób¡ prost¡ X = (X1, . . . , Xn) z rozkªadu o g¦sto±ci f(x) =
λ3
2 x2e−λx1(0,∞)(x), λ > 0. Poka», »e ¯X/3 jest nieobci¡»onym i efektywnym esty- matorem 1/λ.
2
