lista 2 : aksjomaty i prawdopodobie ´ nstwo klasyczne

lista 2 : aksjomaty i prawdopodobie ´ nstwo klasyczne

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałami 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Jakubowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. Ile ró ˙znych liczb 10 cyfrowych mo ˙zna uło ˙zy´c z cyfr: 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4?

3. Na loteri ˛e przygotowano 100 losów, z których 15 jest wygrywaj ˛acych. Jakie jest prawdo- podobie ´nstwo, ˙ze kupuj ˛ac 10 losów dokładnie 2 nich b ˛ed ˛a wygrywaj ˛ace?

4. Dane s ˛aP[A∪B] =1/2 iP[A∩B] =1/4, ponadtoP[A\B] =_P[B\A]. Obliczy´cP[A] orazP[B\A].

5. Ile wyników mo ˙zna rozró ˙zni´c, je ˙zeli rzuca si ˛e r1 ko´sci sze´sciennych wraz z r2monetami?

6. Z 52 kart wybrano 13. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo otrzymania:

(a) 5 pików, 4 kierów, 3 trefli, 1 kara;

(b) układu 5-4-3-1;

(c) układu 5-3-3-2;

(d) układu 4-4-4-1.

7. Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart ka ˙zdemu. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo,

˙ze:

(a) ka ˙zdy ma asa;

(b) ka ˙zdy ma jakiego´s pika;

(c) ka ˙zdy ma jak ˛a´s figur ˛e (A, K, D lub W).

8. Na ile sposobów mo ˙zna rozmie´sci´c n kul w k urnach, je ˙zeli: (a) kule s ˛a rozró ˙znialne;

(b) kule s ˛a nierozró ˙znialne.

9. Na ile sposobów mo ˙zna ustawi´c w ci ˛ag n ró ˙znokolorowych (k kolorów) kul, je ˙zeli kul i-tego koloru jest r_i, i=1, 2, . . . , k oraz∑^k_i=1r_i = n?

10. Rzucamy symetryczn ˛a monet ˛a do chwili otrzymania orła. Skonstruowa´c zbiór zdarze ´n elementarnych i wybra´c odpowiednie prawdopodobie ´nstwo. Jaka jest szansa, ˙ze liczba rzutów b ˛edzie parzysta? podzielna przez 3? podzielna przez m?

11. Znale´z´c i oszacowa´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w grupie k osób przynajmniej dwie obcho- dz ˛a urodziny tego samego dnia. Ile powinno wynosi´c k aby prawdopodobie ´nstwo to było wi ˛eksze ni ˙z 1/2?

12. Niech A∪B∪C = _{Ω, P}[B] = _2P[A], P[C] = _3P[A], P[A∩B] = _P[A∩C] =_P[B∩C]. Poka ˙z, ˙ze 1/6≤_P[A] ≤1/4, przy czym oba ograniczenia s ˛a osi ˛agalne.

13. (nierówno´s´c Boole’a) Udowodni´c, ˙ze P

" _n [

i=1

A_i

#

≤

∑

P[A_i].

Przenie´s´c wynik na przeliczalnie wiele zbiorów.

14. Udowodni´c, ˙ze

P

" _n

\

i=1

A_i

#

≥

∑

P[A_i] − (n−1).

15. (nierówno´s´c Bonferroniego) Udowodni´c, ˙ze

P

" _n [

i=1

A_i

#

≥

∑

P[A_i] −

∑

1≤i<j≤n

P[A_i∩A_j].

16. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w losowym uporz ˛adkowaniu 52 kart przynajmniej dwa asy b ˛ed ˛a obok siebie.

17. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze przynajmniej jeden z graczy w bryd ˙za ma wszystkie karty jednego koloru. Przybli ˙zy´c to prawdopodobie ´nstwo za pomoc ˛a wzoru Stirlinga.

18. (Koincydencje) Na imprezie mikołajkowej wszystkie n prezentów pozbawiono karteczek z imieniem adresata i losowo rozdano uczestnikom. Niech p_k oznacza prawdopodobie ´n- stwo, ˙ze dokładnie k osób dostanie własny prezent. Obliczy´c p_k oraz limn→_∞p_k.

19. Niech(_Ω,F,P)b ˛edzie przestrzeni ˛a probabilistyczn ˛a. Pokaza´c, ˙ze A∼B⇔_P[A4B] =0 definiuje relacj ˛e równowa ˙zno´sci. Niech B= {[A] |A∈ F }oznacza rodzin ˛e klas abstrak- cji tej relacji. Zauwa ˙zy´c, ˙ze B ma struktur ˛e algebry Boole’a. Jakie s ˛a działania? Tak zdefiniowana algebr ˛e nazywamy algebr ˛a miaryP.

20. Niech A₁, ..., A₂₀₁₅ ∈ F b ˛ed ˛a zbiorami o własno´sci P[A_i] ≥ 1/2. Wykaza´c, ˙ze istnieje ω∈ Ω taka, ˙ze ω∈ A_i dla przynajmniej 1008 warto´sci i.

21. Niech Ω = {_{0, 1}}^N b ˛edzie zbiorem niesko ´nczonych ci ˛agów zer i jedynek. Niech n-tym wyrazem ω ∈ Ω b˛edzie an(ω), czyli ω = (a₁(ω), a₂(ω), a₃(ω), . . .). Sprawdzi´c, ˙ze na zbiorzeΩ mo˙zna okre´sli´c metryk˛e d wzorem

d(ω, θ) = ¹

n, gdzie n=min{k : a_k(ω) 6=a_k(θ)}.

Zauwa ˙zy´c, ˙ze zbie ˙zno´s´c w metryce d to zbie ˙zno´s´c po współrz ˛ednych, to znaczy dla ω_n, ω ∈ Ω, zbie˙zno´s´c d(ωn, ω) → 0 jest równowa ˙zna temu, ˙ze a_k(ωn) → a_k(ω)dla ka ˙zdego k (co w tym przypadku oznacza, ˙ze a_k(ω_n) =a_k(ω)dla dostatecznie du ˙zych n).

22. (kontynuacja poprzedniego zadania) Poka ˙z, ˙ze funkcja f : Ω→ [0, 1]dana wzorem f(ω) =

∑

k=1

2a_k(ω) 3^k

jest homeomorfizmem pomi ˛edzy przestrzeni ˛aΩ i zbiorem f[_Ω] ⊆ [0, 1], który jest trójko- wym zbiorem Cantora. Wywnioskowa´c, ˙ze(_{Ω, d})jest przestrzeni ˛a zwart ˛a.

lista 3 : p-stwo geometryczne, warunkowe i całkowite

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałami 1.3, 3.1-3.2 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Ja- kubowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. Ania i Bo ˙zena umówiły si ˛e mi ˛edzy 16.00 a 17.00 w centrum miasta. Osoba, która przyj- dzie pierwsza, czeka na drug ˛a 20 minut. Jaka jest szansa, ˙ze dojdzie do spotkania?

˙Zeby opisa´c, co si ˛e zdarzyło, wystarczy poda´c czasy przybycia obu kole ˙zanek. Mo ˙zna zatem przyj ˛a´c, ˙zeΩ = [0, 1] × [0, 1], a wtedy ω = (t₁, t₂), gdzie t₁, t₂ ∈ [0, 1]. Wybieraj ˛ac F = Bor[0, 1]² iP =λb ˛ed ˛ac ˛a miar ˛a Lebesgue’a, otrzymujemy model, w którym szansa,

˙ze Ania pojawi si ˛e w przedziale [s, t] b ˛edzie równa długo´sci tego przedziału. To samo tyczy si ˛e Bo ˙zeny. Jak wygl ˛ada zbiór zdarze ´n sprzyjaj ˛acych? Jakie jest prawdopodobie ´n- stwo, ˙ze dojdzie do spotkania?

3. Z przedziału[0, 1]wybrano losowo punkty X i Y. Wyznaczy´c funkcje:

(a) g(a) =_P[max(X, 1/3) <a];(b) h(a) =_P[min(X, Y) <a];(c) k(a) =_P[max(X, Y) <a]. 4. Niech P[B] > 0. Udowodni´c, ˙ze P[A|B] jako funkcja A, przy ustalonym B, jest prawdo-

podobie ´nstwem.

5. W urnie jest b kul białych i c czarnych. Wyci ˛agni ˛eto jedn ˛a kul ˛e i wyrzucono bez ogl ˛ada- nia. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze za drugim razem wyci ˛agni ˛eto kul ˛e biał ˛a.

6. Jest n monet, ale k z nich jest asymetrycznych i orzeł wypada na nich dwa razy rzadziej ni ˙z reszka. Wybrano losowo monet ˛e i w wyniku rzutu wypadł orzeł. Znale´z´c prawdopo- dobie ´nstwo warunkowe, ˙ze moneta jest asymetryczna.

7. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki.

Obliczy´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze z tych odcinków da si ˛e skonstruowa´c trójk ˛at.

8. Na płaszczy´znie jest niesko ´nczenie wiele prostych równoległych, w odległo´sciach na przemian 2 i 10. Na płaszczyzn ˛e rzucono okr ˛ag o promieniu 3. Obliczy´c prawdopo- dobie ´nstwo, ˙ze nie przetnie on ˙zadnej prostej

9. Wybrano losowo rodzin ˛e z dwojgiem dzieci i okazało si ˛e, ze jedno z dzieci ma na imi ˛e Franek. Je´sli p oznacza prawdopodobie ´nstwo, ˙ze losowo wybrany chłopiec ma na imi ˛e Franek, wyznaczy´c prawdopodobie ´nstwo warunkowe, ˙ze drugie dziecko jest chłopcem.

10. (igła Buffona) Igł ˛e o długo´sci l rzucono na podłog ˛e z desek o szeroko´sci a ≥ l. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze igła przetnie kraw˛ed´z deski.

11. Na niesko ´nczon ˛a szachownic ˛e o boku a rzuca si ˛e monet ˛e o ´srednicy 2r < a. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze: (a) moneta znajdzie si ˛e całkowicie we wn ˛etrzu jednego z pól;

(b) moneta przetnie si ˛e z co najwy ˙zej jednym bokiem szachownicy.

12. (dylemat wi˛e´znia) Naczelnik wi ˛ezienia postanowił uwolni´c jednego z trzech wi ˛e´zniów, o czym dowiedzieli si ˛e zainteresowani, ale nie dowiedzieli si ˛e, który z nich b ˛edzie wolny.

Wi ˛ezie ´n A ma w´sród stra ˙zników znajomego, który to wie. Chce go zapyta´c, ale kr ˛epuje

si ˛e pyta´c o siebie. Pyta wi ˛ec o imi ˛e jednego z wi ˛e´zniów (ró ˙znego od niego), który ma po- zosta´c w wi ˛ezieniu. Przed zadaniem pytania ocenia, ˙ze ka ˙zdy z nich ma szanse wyj´scia równ ˛a 1/3. My´sli, ˙ze je´sli stra ˙znik powie na przykład, ˙ze zostaje B, to jego szanse rosn ˛a do 1/2 (bo zostaje uwolniony A lub C). Gdzie popełnia bł ˛ad?

13. (schemat Pólya) W urnie znajduje si ˛e b kul białych i c czarnych. Po wyci ˛agni ˛eciu kuli z urny wrzucamy s ˛a z powrotem i dokładamy d kul tego samego koloru. Znale´z´c praw- dopodobie ´nstwo wyci ˛agni ˛ecia k kul czarnych w n losowaniach.

14. W urnie jest n kul, przy czym n mo ˙ze by´c równe 2, 3, 4, 5 z jednakowym prawdopodo- bie ´nstwem. Kule s ˛a ponumerowane liczbami od 1 do n. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania (z tej samej urny) i zapisujemy cyfry z tych kul w kolejno´sci wylosowania. Za- pisana liczba okazała si ˛e by´c mniejsza ni ˙z 44. Obliczy´c prawdopodobie ´nstwo warunkowe,

˙ze n było równe 3.

15. Gracze A i B rzucaj ˛a niezale ˙znie monet ˛a (niekoniecznie symetryczn ˛a). W pojedynczej ko- lejce gracz A wygrywa 1 od gracza B z prawdopodobie ´nstwem p lub gracz B wygrywa 1 od gracza A z prawdopodobie ´nstwem 1−p. Gracze maj ˛a kapitały pocz ˛atkowe a i b. Zna- le´z´c prawdopodobie ´nstwo qa ruiny gracza A, który ko ´nczy gdy straci wszystko (ruina) lub gdy b ˛edzie miał c (a≤ c≤ a+b).

16. (Kontynuacja zadania 22 z listy 2) Niech Ω = {0, 1}^N b ˛edzie zbiorem niesko ´nczonych ci ˛agów zer i jedynek. Niech n-tym wyrazem ω∈ Ω b˛edzie an(ω), czyli ω= (a_k(ω)|k≥ 0). Dla sko ´nczonego ci ˛agu zer i jedynek u= (u₁, u₂, . . . , u_n) ∈ {0, 1}ⁿzbiór

[u]_:= {ω ∈_Ω|a_k(ω) =u_k, 1≤ k≤n} ₍₁₎ nazywamy cylindrem rz ˛edu n. Pokaza´c, ˙ze zbiory postaci [u] s ˛a jednocze´snie otwarte i domkni ˛ete wΩ. Rodzina takich zbiorów stanowi baz˛e topologii w Ω.

17. (kontynuacja poprzedniego zadania) Rozwa ˙zmy naΩ miar˛e P dan ˛a przez P[[u]] =2⁻ⁿ, gdzie[u]jest postaci (1). Rozwa ˙zmy rodzin ˛e zbiorówC₀ składaj ˛ac ˛a si ˛e ze zbioru pustego i rozł ˛acznych, sko ´nczonych sum A = ^Sk_j=1C_j, gdzie C_j s ˛a cylindrami. Połó ˙zmy P[A] =

∑^k_j=1P[C_j]. Poka ˙z, ˙ze (a) C₀jest ciałem zbiorów;

(b) zbiór C∈ C₀wtedy i tylko wtedy gdy istnieje n i C⁰ ⊆ {0, 1}ⁿtakie, ˙ze

C=C⁰× {0, 1} × {0, 1} ×. . . ; (2) (c) P jest sko´nczenie addytywna na klasie cylindrów;

(d) P jest jest dobrze okre´slona naC₀i jest na niej sko ´nczenie addytywna;

(e) dla C postaci (2),P[C] = ^|C₂n^0|;

(f) P jest przeliczalnie addytywna naC₀;

Wywnioskuj, ˙ze P rozszerza si˛e jednoznacznie do miary probabilistycznej na σ(C₀) = Bor(_Ω)(patrz zadanie 16).

18. (kontynuacja poprzedniego zadania) Niech h : Ω→ [0, 1]b ˛edzie dana wzorem h(ω) =

∑

a_k(ω) 2^k .

Sprawdzi´c, ˙ze h jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a. Niech µ :Bor[0, 1] → [0, 1]b ˛edzie dana przez µ(A) = P[h⁻¹[A]]. Pokaza´c, ˙ze µ jest miar ˛a probabilistyczn ˛a. Zidentyfikowa´c µ.

lista 4 : zmienne losowe, rozkłady i dystrybuanty

Definicja

Ustalmy(_Ω,F_,P).

(i) Zmienn ˛a losow ˛a nazywamy funkcj ˛e mierzaln ˛a X : (_Ω,F ) → (_R,Bor(_R)).

(ii) Rozkładem prawdopodobie ´nstwa zmiennej losowej X nazywamy miar ˛e probabilistyczn ˛a µ_X naR dan ˛a przez µX(A) =_P[X⁻¹[A]]dla A∈ Bor(_R).

(iii) Dystrybuant ˛a zmiennej losowej X nazywamy funkcj ˛e F_X: R→ [0, 1]dan ˛a wzorem F_X(t) =µ_X((−_{∞, t}]) =_P[X ≤t]

(iv) Rozkład µ na Rⁿ nazywamy dyskretnym, je ˙zeli istnieje przeliczalny S ⊆ _Rⁿ taki, ˙ze µ(S) =_1.

(v) Rozkład µ na Rⁿ nazywamy ci ˛agłym, je ˙zeli jest on absolutnie ci ˛agły wzgl ˛edem miary Lebesgue’a naRⁿ.

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałami 5.1-5.3 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Jaku- bowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. Punkt x nazywamy punktem skokowym rozkładu µ na R (= miary probabilistycznej na R), gdy µ({x}) > 0. Pokaza´c, ˙ze rozkład prawdopodobie ´nstwa µ mo ˙ze mie´c co najwy ˙zej przeliczaln ˛a liczb ˛e punktów skokowych. Wskazówka: rozwa ˙zy´c zbiory Bn = {x∈_R|µ({x}) ≥1/n}.

3. Wykaza´c, ˙ze je ˙zeli µ jest rozkładem prawdopodobie ´nstwa naRⁿ, to µ_j(B) := µ(_R×. . .×_R× B

|{z}

j–te miejsce

×_R×. . .×_R),

gdzie B∈ Bor(_R), jest rozkładem prawdopodobie ´nstwa naR (nazywamy go (jednowy- miarowym) rozkładem brzegowym rozkładu µ). Zdefiniowa´c rozkład brzegowy wielowy- miarowy.

4. Dystrybuanta rozkładu prawdopodobie ´nstwa µ dana jest wzorem

Fµ(x) = (0.1+x)_1[0,0.5)(x) + (0.4+x)_1[0.5,0.55)(x) +_1[0.55,∞)(x). Wyznaczy´c µ({_1/2}), µ([_{0, 1/2}])_{i µ}((_{0, 0.55}))_.

5. (rozkład geometrycznyGeo(p)) Wykonujemy do´swiadczenia Bernoulliego (z prawdopodo- bie ´nstwem pojedynczego sukcesu p) a ˙z do chwili otrzymania pierwszego sukcesu. Niech X oznacza liczb ˛e wykonanych do´swiadcze ´n, Y – czas oczekiwania na pierwszy sukces.

Wyznaczy´c rozkłady zmiennych losowych X i Y, tj. wyznaczy´c funkcje P[X = k] oraz P[Y=k].

6. Niech F₁, F2 b ˛ed ˛a jednowymiarowymi dystrybuantami. Sprawdzi´c, czy nast ˛epuj ˛ace funk- cje s ˛a jednowymiarowymi dystrybuantami: (a) F₁F₂; (b) F₁+F₂; (c) F₁−F₂; (d) F₁/F₂; (e) max(F₁, F₂); (f) min(F₁, F₂).

7. Niech µ₁b ˛edzie rozkładem rozkładem jednostajnym na[0, 1],U [0, 1](= miara Lebesgue’a na[0, 1]), a µ₂rozkładem jednopunktowym (delta Diraca) skupionym w zerze (µ₂({0}) =1).

Pokaza´c, ˙ze µ= ¹₂(µ₁+µ₂)nie jest rozkładem dyskretnym, ani ci ˛agłym.

8. Rozmieszczamy losowo n kul w k urnach. Znale´z´c rozkład liczby kul w pierwszej urnie.

Rozpatrzy´c przypadek rozró ˙znialnych jak i nierozró ˙znialnych kul. Znale´z´c rozkłady gra- niczne dla k→_{∞ gdy} ⁿ_k →λ>0. Co to za rozkłady?

9. (rozkład wykładniczyExp(λ)) Przypu´s´cmy, ˙ze do´swiadczenia opisane w zadaniu 5 wyko- nuje si ˛e n razy na sekund ˛e, za´s prawdopodobie ´nstwo sukcesu wynosi λ/n, λ>0, a czas oczekiwania na pierwszy sukces, X_n, mierzy si ˛e w sekundach. Wyznaczy´c dystrybuant ˛e zmiennej losowej Xn i zbada´c jej zachowanie gdy n→_∞.

10. Udowodni´c, ˙ze rozkład µ na Rⁿ jest dyskretny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka ˙zdego j≤n rozkład brzegowy µ_j jest dyskretny.

11. Udowodni´c, ˙ze je ˙zeli rozkład µ jest ci ˛agły, to wszystkie rozkłady brzegowe s ˛a ci ˛agłe.

Poda´c przykład, ˙ze implikacja odwrotna nie zachodzi. Jest to równie ˙z przykład na to, ˙ze znajomo´s´c rozkładów brzegowych nie wystarcza do odtworzenia pierwotnego rozkładu.

12. Niech F b ˛edzie dystrybuant ˛a naR

(a) Sprawdzi´c, ˙ze funkcja F⁻¹(s) = inf{u : F(u) ≥ s}jest dobrze okre´slona na (0, 1). Niech X b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie jednostajnym U [0, 1]. Udowodni´c, ˙ze Y = F⁻¹(X) ma rozkład o dystrybuancie F (tak zdefiniowana funkcja F⁻¹ nazywa si ˛e funkcj ˛a kwantylow ˛a).

(b) Niech Y b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o ci ˛agłej, ´sci´sle rosn ˛acej dystrybuancie F_Y. Pokaza´c,

˙ze zmienna losowa X = F_Y(Y)ma rozkład jednostajnyU [0, 1].

13. (kontynuacja zadania 18 z listy 3) Niech Ω = {0, 1}^N b ˛edzie zbiorem niesko ´nczonych ci ˛agów zer i jedynek. Niech n-tym wyrazem ω∈ Ω b˛edzie an(ω), czyli ω= (a_k(ω)|k≥ 0). Dla ω, θ∈Ω okre´slamy działanie

ω⊕θ= ((a_k(ω) +a_k(θ))_mod2|k ≥0)_.

NiechP b˛edzie miar ˛a z zadania 17 z listy 2. Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego A ∈ Bor(_Ω)i dla ka ˙zdej ω∈_{Ω zbiór}

ω⊕A= {ω⊕a|a∈ A}

jest elementemBor(_Ω)orazP[ω⊕A] =_P[A]. Mówimy, ˙zeP jest miar ˛a Haara na Ω.

14. (kontynuacja poprzedniego zadania) Zbiór borelowski A⊆Ω jest nazywany zdarzeniem resztowym je ˙zeli ω⊕A = A dla dowolnego ω ∈ Ω, dla którego ak(ω) = 0 dla prawie wszystkich k. Udowodni´c, ˙zeP[A] =0 lubP[A] =1 dla ka ˙zdego zdarzenia resztowego (jest tzw. prawo 0-1 Kołmogorowa). Wskazówka: Je ˙zeli A jest takim zdarzeniem to P(A∩C) =_P[A]_P[C]dla ka ˙zdego C∈ C₀; skorzysta´c z tego, ˙ze wielko´s´cP[A4C]mo ˙ze by´c dowolnie mała.

15. (kontynuacja poprzedniego zadania) Pokaza´c, ˙ze dla n ∈ N funkcje an: Ω → {0, 1} s ˛a zmiennymi losowymi. Pokaza´c, ˙ze maj ˛a one taki sam rozkład oraz P[a_n = i, a_k = j] = P[an=i]_P[a_k = j]dla n6=k.

lista 5 : g ˛ esto ´ s ´ c , parametry rozkładów i schemat Bernoulliego

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałami 5.4-5.6 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Jaku- bowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. Niech (X, Y)b ˛edzie dwuwymiarowym wektorem losowym o rozkładzie ł ˛acznym µ. Ko- rzystaj ˛ac z faktu, ˙ze dla dowolnej borelowskiej funkcji ϕ : R²→_{R zachodzi}

E[ϕ(X, Y)] =

Z

R² ϕ(x, y)µ(dx, dy), uzasadni´c wzory:

(a) E[ϕ(X)] =R

R² ϕ(x)µ(dx, dy)dla borelowskiej funkcji ϕ : R→_R;

(b) E[X] =R

R² x µ(dx, dy); (c) Var[X] =R

R² x²µ(dx, dy) − R

R²xµ(dx, dy)
²; (d) E[XY] =R

R²xy µ(dx, dy); (e) Cov(X, Y) =R

R²xy µ(dx, dy) − R

R²x µ(dx, dy)
R

R²y µ(dx, dy)

Zauwa ˙zy´c, ˙ze je ˙zeli(X, Y)ma rozkład ci ˛agły z g ˛esto´sci ˛a f , to „µ(dx, dy) = f(x, y)dxdy”, a je ˙zeli(X, Y)ma rozkład dyskretnyP(X= x_i, Y=y_j) = p_i,j dla i, j∈ I, to „µ(dx, dy) = P(X = x, Y = y)”. Zapisa´c wszystkie powy ˙zsze wzory w postaci odpowiednich ca- łek za pomoc ˛a f w przypadku ci ˛agłym, a w postaci odpowiednich sum za pomoc ˛a p_i,j w przypadku dyskretnym.

3. Pokaza´c, ˙ze je ˙zeli wektor losowy X o warto´sciach w Rⁿma rozkład ci ˛agły z g ˛esto´sci ˛a f_X, S jest otwartym podzbioremRⁿ, takim ˙ze P(X∈ S) =1, ϕ : S →T ⊂ _Rⁿ jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem klasy C¹, Jϕ 6=0, to g ˛esto´s´c wektora losowego Y= ϕ(_X) ma posta´c

f_Y(y) = f_X

ϕ⁻¹(y)^·det

J_ϕ⁻1(y)^ dla y∈ ϕ(S).

W szczególno´sci je ˙zeli ϕ jest odwracalnym przekształceniem liniowym o macierzy A, to g ˛esto´s´c wektora losowego Y= AX ma posta´c

f_Y(y) = f_X

A⁻¹(y)^/ det(A) dla y∈ ϕ(S).

4. Znale´z´c minimum funkcji ϕ(t) =_{E }(X−t)², gdzie X jest zmienn ˛a losow ˛a maj ˛ac ˛a wa- riancj ˛e.

5. Wykonujemy do´swiadczenia Bernoulliego (z prawdopodobie ´nstwem pojedynczego suk- cesu p) a ˙z do chwili otrzymania pierwszego sukcesu. Niech X oznacza liczb ˛e wyko- nanych do´swiadcze ´n, Y – czas oczekiwania na pierwszy sukces. Wyznaczy´c warto´sci oczekiwane zmiennych X i Y. Wskazówka: zró ˙zniczkuj obustronnie wzór ∑ⁿk=0x^k = (xⁿ⁺¹−1)/(x−1).

6. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo otrzymania parzystej (nieparzystej) liczby sukcesów w ci ˛agu n prób Bernoulliego z prawdopodobie ´nstwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p.

7. Niech F b ˛edzie dystrybuant ˛a zmiennej losowej X, a f jej g ˛esto´sci ˛a. Wyznaczy´c dystrybu- anty i g ˛esto´sci zmiennych losowych: (a) aX+b dla a 6=0; (b)|X|; (c) X²; (d) X³; (e) √

X przy zało ˙zeniu, ˙ze P(X ≥ 0) = 1, (f) 1/X i 1/|X| przy zało ˙zeniu, ˙ze P(X = 0) = 0;

(g) sin(X); (h) [X]i X− [X]. 8. Wyka ˙z, ˙ze

(a) je ˙zeli X ≥0, toE[X] =R_∞

0 P(X> t)dt=R_∞

0 P(X ≥t)dt przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równo´s´c;

(b) je ˙zeli X jest dowoln ˛a zmienn ˛a losow ˛a o sko ´nczonej warto´sci oczekiwanej i dystrybu- ancie F, toE[X] =R_∞

0 (1−F(t)) dt−R0

−_∞F(t)dt.

9. Udowodni´c, ˙ze je ˙zeli X ≥ 0, ϕ jest rosn ˛aca i ró ˙zniczkowalna, ϕ(0) = 0, to E[ϕ(X)] = R_∞

0 ϕ⁰(t)_P(X> t)dt. W szczególno´sci, je ˙zeli r>0, to E[X^r] =R_∞

0 rt^r−1P(X>t)dt.

10. Udowodni´c, ˙ze je ˙zeli X ≥0, to∑^∞n=1P(X≥n) ≤ _E[X] ≤1+_∑^∞_n=1P(X≥n).

11. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ile- kro´c chce zapali´c papierosa, si ˛ega do losowo wybranej kieszeni. Wyznaczy´c prawdopodo- bie ´nstwo, ˙ze gdy po raz pierwszy wyci ˛agnie puste pudełko, w drugim b ˛edzie k zapałek.

W chwili pocz ˛atkowej matematyk ma dwa pełne pudełka z m zapałkami w ka ˙zdym.

12. (własno´sci wariancji i kowariancji)

(a) Wykaza´c, ˙ze je ˙zeli X jest zmienn ˛a losow ˛a, tak ˛a, ˙zeE[X²] <∞, to istnieje Var[X]_oraz:

i. Var[X] ≥0;

ii. Var[cX] =c²Var[X]dla ka ˙zdego c∈_R;

iii. Var[X+a] =Var[X]dla ka ˙zdego a∈_R;

iv. Var[X] =0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest stała z prawdopo- dobie ´nstwem 1.

(b) Wykaza´c, ˙ze je ˙zeli zmienne losowe X₁, X2, . . . , Xnmaj ˛a wariancj ˛e, to istnieje wariancja ich sumy oraz

Var

"

∑

X_i

#

=

∑

Var[X_i] +₂

∑

1≤i<j≤n

Cov(X_i, Xj)_.

13. Niech X b ˛edzie wektorem losowym n-wymiarowym (pionowym), A – macierz ˛a p×n, B – macierz ˛a p×m. Sprawdzi´c, ˙ze:

(a) je ˙zeliE[_X]istnieje, toE[AX] =AE[_X],E[AXB] = AE[_X]B;

(b) je ˙zeli macierz kowariancji Q_X istnieje, to Q_AX = AQ_XA⁰.

Korzystaj ˛ac z (b), udowodni´c podpunkt (b) z poprzedniego zadania.

14. Rozwa ˙zmy ci ˛ag n prób Bernoulliego z prawdopodobie ´nstwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo otrzymania liczby sukcesów podzielnej przez 3?

15. (kontynuacja zadania 15 z listy 4) Pokaza´c, ˙ze funkcje a_n: {0, 1}^N→ {0, 1}s ˛a stochastycz- nie niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie. Niech P b ˛edzie zbiorem liczb pierwszych. Pokaza´c, ˙ze dla p∈P, Up= _∑k≥1a_pk2^−ks ˛a stochastycznie niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnymU [0, 1](zadanie 18 lista 3). Wywniosko- wa´c z zadania 12 z listy 4, ˙ze dla dowolnego ci ˛agu dystrybuant (Fp)_p∈P istnieje ci ˛ag stochastycznie niezale ˙znych zmiennych losowych (X_p)_p∈P okre´slonych na Ω = {0, 1}^N taki, ˙ze Xpma rozkład o dystrybuancie Fp.

lista 6 : przegl ˛ ad wa ˙ zniejszych rozkładów

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałem 5.10 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Jakubowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. (delta Diraca) Załó ˙zmy, ˙ze X ma rozkład δ_a (a∈R). Poka˙z, ˙ze (a) P[X= a] =1;

(b) P(X≤t) =_1[a,∞)(t);

(c) E[X] =a;

(d) Var[X] =0.

3. (rozkład dwumianowy (Bernoulliego) B(n, p), n ∈ _N+, p ∈ [0, 1]) Niech X oznacza liczb ˛e sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego z prawdopodobie ´nstwem pojedynczego suk- cesu równym p. Pokaza´c, ˙ze

(a) P[X=k] = (ⁿ_k)p^k(1−p)^n−k; (b) E[X] =np;

(c) Var[X] =np(1−p).

Wskazówka: ró ˙zniczkuj ˛ac wzór dwumianowy Newtona wywnioskowa´c, ˙ze

∑k(ⁿ_k)kx^ky^n−k =nx(x+y)ⁿ⁻¹.

4. (rozkład jednostajny U [a, b] a < b ∈ R) Pokaza´c, ˙ze funkcja fX(x) = _b−¹_{a 1[a,b]}(x) _{jest g ˛e-} sto´sci ˛a rozkładu prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie sprawdzi´c to ˙zsamo´sci dla zmiennej losowej X o g ˛esto´sci f_X

(a) EX= ^a+₂^b; (b) Var[X] = ^(b−₁₂^a)2.

5. (rozkład dwupunktowy) Załó ˙zmy, ˙ze X ma rozkład pδ_a+ (1−p)δ_b, gdzie a6=b, p ∈ (0, 1). Sprawd´z, ˙ze

(a) P[X= a] = p,P[X=b] =1−p;

(b) E[X] =ap+b(1−p);

(c) Var[X] = (b−a)²p(1−p).

6. (rozkład Poissona Poi(λ), λ > 0 ) Pokaza´c, ˙ze funkcja P[X = k] = e^{−λ λ}_k!^k dla k ∈ _N definiuje rozkład prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie sprawdzi´c to ˙zsamo´sci

(a) E[X] =λ; (b) Var[X] =λ.

7. (rozkład geometryczny Geo(p), p ∈ (0, 1)) Sprawdzi´c, ˙ze funkcja P[X = k] = p(1−p)^k−1 dla k∈_N+definiuje rozkład prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie sprawdzi´c to ˙zsamo´sci

(a) E[X] = ¹_p; (b) Var[X] = ^(1−p)

p² .

8. (rozkład wykładniczy Exp(λ), λ > 0)Pokaza´c, ˙ze funkcja f_X(x) = λe^−λx1(_0,∞)(x) jest g ˛e- sto´sci ˛a rozkładu prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie sprawdzi´c to ˙zsamo´sci dla zmiennej losowej X o g ˛esto´sci f_X

(a) P[X≤t] =_1[0,∞)(t) 1−e^−λt
;

(b) E[X] = _λ¹;

(c) Var[X] = ¹

λ².

9. (rozkład dwustronny wykładniczy (Laplace’a)λ>0): Pokaza´c, ˙ze funkcja f_X(x) = ^λ₂ e^−λ|x| dla x ∈ R jest g˛esto´sci ˛a rozkładu prawdopodobie´nstwa, a nast ˛epnie sprawdzi´c to˙zsamo´sci dla zmiennej losowej X o g ˛esto´sci f_X:

(a) E[X] =0; (b) Var[X] = ²

λ². 10. (rozkład normalny (Gaussa)) Pokaza´c, ˙ze funkcja f_X(x) = ^√1

2π exp −x²/2
dla x∈_{R jest} g ˛esto´sci ˛a rozkładu prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie sprawdzi´c to ˙zsamo´sci na warto´s´c oczekiwan ˛a i wariancj ˛e zmiennej losowej X:

(a) E[X] =0; (b) Var[X] =1.

Wskazówka:  R

Re^−x2dx2

=R

R²e^−x2−y2dxdy.

11. (rozkład normalny N (m, σ²) _(m ∈ _{R, σ} > _{0)) Niech} Φ b ˛edzie dystrybuant ˛a zmiennej lo- sowej X z poprzedniego zadanie. Rozpatruj ˛ac zmienn ˛a losow ˛a Y = σX+m pokaza´c,

˙ze funkcja f_Y(x) = ¹

σ

√2π exp

−^(x−_2σ^m₂^)2 dla x ∈ R jest g˛esto´sci ˛a rozkładu prawdo- podobie ´nstwa, a nast ˛epnie wyznaczy´c dystrybuant ˛e i sprawdzi´c to ˙zsamo´sci na warto´s´c oczekiwan ˛a i wariancj ˛e zmiennej losowej Y:

(a) E[Y] =m; (b) Var[Y] =σ².

12. (rozkład gamma Γ(α, β), α, β>0) Poka ˙z, ˙ze funkcja f_X(x) = ^β

αx^α−1e^−βx

Γ(α) ^1(0,∞)(x) gdzie Γ(α) =

Z _∞

0 x^α−1e^−xdx ; jest g ˛esto´sci ˛a prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie sprawd´z, ˙ze

(a) E[X] = ^α

β; (b) Var[X] = ^α

β². 13. (rozkład beta B(α, β), α, β>0) Poka ˙z, ˙ze funkcja

fX(x) = ¹ B(α, β)^x

α−1(1−x)^β−1_1[0,1](x) gdzie B(α, β) = ^Γ(α)_Γ(β) Γ(α+β) ^; jest g ˛esto´sci ˛a prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie sprawd´z, ˙ze

(a) E[X] = _α+^α_β; (b) Var[X] = ₍ ^αβ

α+β)²(α+β+1). 14. X, Y maj ˛a jednakowy rozkład. Czy prawd ˛a jest, ˙zeE _X^X_+Y

=_{E X}^Y_+Y?

15. (kontynuacja zadania 19 z listy 2) Sprawdzi´c, ˙ze algebra miary B jest przestrzeni ˛a me- tryczn ˛a, gdzie metryk ˛e zadajemy wzorem d([A],[B]) =_P[A4B]. Udowodni´c, ˙ze metryka ta jest zupełna.

16. (kontynuacja poprzedniego zadania) Niech miara Q b ˛edzie absolutnie ci ˛agła wzgl ˛edem miary P. Pokaza´c, ˙ze funkcjaQ: B → [0, 1] dana wzorem Q([A]) = _Q(A) jest dobrze okre´slona i jednostajnie ci ˛agła.

lista 7 : powtórka przed kolokwium

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałami 1.1-5.10 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Jaku- bowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. Wybieramy losowo liczb ˛e naturaln ˛a z przedziału [1, 1000]. Obliczy´c prawdopodobie ´n- stwo, ˙ze wybrana liczba jest podzielna przez co najmniej jedn ˛a z liczb: 4, 6, 9.

3. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostek, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach obu kostek 4. Ka ˙zda z n pałek została złamana na dwie cz ˛e´sci – dług ˛a i krótk ˛a. 2n cz ˛e´sci poł ˛aczono

w n par, z których utworzono nowe pałki. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze (a) cz ˛e´sci zostan ˛a poł ˛aczone w takich samych kombinacjach jak przed złamaniem; (b) wszystkie długie cz ˛e´sci zostan ˛a poł ˛aczone z krótkimi.

5. Grupa składaj ˛aca si ˛e z 2n pa ´n i 2n panów została podzielona na dwie równoliczne grupy.

Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze ka ˙zda z tych grup składa si ˛e z takiej samej liczby pa ´n i panów. Przybli ˙zy´c to prawdopodobie ´nstwo za pomoc ˛a wzoru Stirlinga.

6. Na odcinku[0, 1]umieszczono losowo punkty A₁ , A₂ i A₃ . Obliczy´c prawdopodobie ´n- stwo, ˙ze A₁≤ A₂ ≤ A₃.

7. Z przedziału [−1, 1] wybrano losowo punkty A i B. Niech funkcja f : R → _{R b ˛e-} dzie zadana wzorem f(x) = (A+1)x²+2Bx+1. Obliczy´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze (a) f(x) > A dla ka ˙zdego x∈R; (b) suma rozwi ˛aza´n równania f(x) =0 jest dodatnia.

8. W jednej urnie jest k₁kul białych i n₁czarnych, w drugiej k₂kul białych i n₂czarnych. Nie wiadomo, która urna jest która. Nale ˙zy wylosowa´c bez zwracania po kolei dwie kule tak, by szansa otrzymania dwóch kul białych była najwi ˛eksza. Jaka powinna by´c procedura losowania? Zakładamy, ˙ze k₁, n₁, k₂i n₂ s ˛a stosunkowo du ˙ze.

9. W turnieju (system turniejowy) w´sród 2ⁿuczestników jest dwóch braci. Znale´z´c prawdo- podobie ´nstwo, ˙ze si ˛e spotkaj ˛a w pojedynku.

10. W mie´scie działaj ˛a dwa przedsi ˛ebiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15% samochodów). ´Swiadek nocnego wypadku twierdzi, ˙ze samochód był niebieski. Jednak ´swiadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków. Obliczy´c prawdopodobie ´nstwo warunkowe, ˙ze w wypadku uczestniczyła rzeczywi´scie niebieska taksówka.

11. Wyznaczy´c najbardziej prawdopodobn ˛a warto´s´c k, zaj´scia dokładnie k sukcesów w n próbach Bernoulliego (z prawdopodobie ´nstwem pojedynczego sukcesu p).

12. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze przy wielokrotnym rzucaniu par ˛a kostek sze´sciennych suma oczek 8 wypadnie przed sum ˛a oczek 7.

13. Niech Q b ˛edzie wielomianem rzeczywistym stopnia 2n o losowych współczynnikach.

Ka ˙zdy współczynnik jest losowany niezale ˙znie i mo ˙ze wynie´s´c 1 z prawdopodobie ´n- stwem p oraz−1 z prawdopodobie ´nstwem 1−p. Znale´z´c: (a)P[Q(2) >0]; (b) P[Q(1) >

0]_{; (c)P}[Q(₂) >₀|Q(₁) >₀]_.

14. Niech µ b ˛edzie rozkładem prawdopodobie ´nstwa na R. Wykaza´c, ˙ze x0 jest punktem skokowym µ wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta Fµ jest nieci ˛agła w x₀.

15. Z urny, w której jest 6 kul czarnych i 4 białe losujemy kolejno bez zwracania po jednej kuli tak długo, a ˙z wylosujemy kul ˛e czarn ˛a. Obliczy´c warto´s´c oczekiwan ˛a liczby wyloso- wanych kul białych.

16. Rzucamy sze´scienn ˛a kostk ˛a a ˙z do momentu, gdy wypadn ˛a pod rz ˛ad dwie „szóstki”.

Znale´z´c warto´s´c oczekiwan ˛a liczby rzutów.

17. (rozkład Cauchy’ego, λ>_{0, m}∈ R) Pokaza´c, ˙ze funkcja fX(x) = ^λ

π((x−m)²+λ²) jest g ˛esto´sci ˛a rozkładu prawdopodobie ´nstwa, a nast ˛epnie wyznaczy´c dystrybuant ˛e i sprawdzi´c, ˙ze nie istnieje warto´s´c oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X.

18. Podaj przykład dystrybuanty, której zbiór punktów nieci ˛agło´sci jest g ˛esty wR.

19. Zmienna losowa X ma rozkład normalnyN (0, 1). Wyznacz g ˛esto´sci zmiennych Y = e^X, Z= X².

20. Zmienne losowe X, Y spełniaj ˛a warunki: Var[X] =3, Cov(X, Y) = −1, Var[Y] =2. Oblicz Var[4X−3Y]oraz Cov(2X−Y, 2X+Y).

21. Zdarzenia A i B s ˛a niezale ˙zne oraz A∪B=Ω. Wykaza´c, ˙ze P(A) =1 lubP(B) =1.

22. Zdarzenia A₁, . . . , A_n s ˛a niezale ˙zne i maj ˛a jednakowe prawdopodobie ´nstwo p. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze:

(a) zajd ˛a wszystkie naraz;

(b) nie zajdzie ˙zadne;

(c) zajdzie dokładnie jedno;

(d) zajdzie tylko A_n;

(e) zajdzie A₁i nie zajdzie A₃; (f) zajdzie przynajmniej jedno.

23. Rzucono 10 razy sze´scienn ˛a kostk ˛a. Obliczy´c prawdopodobie ´nstwo warunkowe, ˙ze w pierw- szym rzucie otrzymano szóstk ˛e, je ˙zeli wiadomo, ˙ze

(a) otrzymano 3 szóstki; (b) w nast ˛epnych 9-ciu rzutach otrzymano szóstki.

24. Niech A₁, A2, . . . , An b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zdarzeniami o jednakowym prawdopodobie ´n- stwie p_n. Przy pomocy nierówno´sci Boole’a oraz nierówno´sci Bonferroniego (lista 2 zadania 13i 15) oszacowa´c (z góry i z dołu)

P_n = ^P[^Sn_i=1A_i] np_n .

Jak sprawdza si ˛e to szacowanie dla pn=1/n? Jak si ˛e sprawdza dla pn <1/n? Wyznaczy´c lim_n→_∞P_nw przypadku, gdy lim_n→_∞np_n=0.

25. Owad składa k jajeczek z prawdopodobie ´nstwem ^λ_k!^ke^−λ, λ>0. Potomek wyl ˛ega si ˛e z jaja z prawdopodobie ´nstwem p, niezale ˙znie od innych. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo, ˙ze liczba potomków b ˛edzie równa l. Wskazówka: Skorzysta´c ze wzoru na prawdopodo- bie ´nstwo całkowite.

26. Szansa wygrania pojedynczej partii gry przez gracza A wynosi p i do zako ´nczenia całej gry brakuje mu a wygranych partii, a jemu przeciwnikowi brakuje b wygranych partii.

Niestety, pojedynek musi zosta´c przerwany. Jak sprawiedliwie podzieli´c stawk ˛e?

lista 8 : nierówno´sci, niezale ˙zne zmienne i sploty

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałami 5.7-5.9 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Jaku- bowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. (nierówno´s´c Schwarza) Załó ˙zmy, ˙ze E[X²], E[Y²] < ∞. Poka˙z, ˙ze E[|XY|] < _{∞ oraz} E[|XY|] ≤^p_E[X²]^p_E[Y²]. Wskazówka: rozwa ˙zy´c funkcj ˛e f(a) =_E[(aX+Y)²].

3. Korzystaj ˛ac z nierówno´sci Czebyszewa (zadanie 8) dobieraj ˛ac odpowiednie funkcje g udo- wodni´c nierówno´sci:

(a) (nierówno´s´c Markowa) dla p>0 i ka ˙zdego e>_{0 zachodziP}[|X| ≥e] ≤ ^E|X|p

e^p ; (b) (nierówno´s´c Czebyszewa-Biernaym ´e) dla ka ˙zdego e> 0 zachodziP[|X−_E[X]| ≥ e] ≤

Var[X] e² ;

(c) (wykładnicza nierówno´s´c Czebyszewa) je ˙zeli E[e^pX] < ∞ dla pewnego p > 0, to dla ka ˙zdego λ∈ [0, p]i e>0 zachodziP[X≥e] ≤ ^E[eλX]

e^λe .

4. Przy pomocy nierówno´sci Jensena (zadanie 10) poka ˙z, ˙ze je ˙zeli 0< p <q, to(_E|X|^p)^1/p ≤ (_E|X|^q)^1/q_.

5. Niech X₀, X₁, . . . , X₇ b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie dwumianowym B(1, p) (tzn. p = _P[X_k = 1] = 1−_P[X_k = 0]). Zmienne X0, X₁, . . . , X7

traktujemy jako cyfry w zapisie binarnym liczby X=_∑⁷_k=02^kX_k ze zbioru{0, 1, . . . , 255}. Obliczy´c:

(a) E[X]_{oraz Var}[X]_{; (b) P}[X∈ {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128}]. 6. Niech X i Y b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczychExp(α)

iExp(β)odpowiednio. Wyznaczy´c rozkład zmiennej losowej Z=X+Y.

7. (rozkład chi-kwadrat) Niech X, X₁, X2, . . . Xnb ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o roz- kładzie normalnymN (0, 1). Pokaza´c, ˙ze zmienna losowa X² ma rozkładΓ(1/2, 2). Z za- dania 14 wywnioskowa´c, ˙ze zmienna losowa ∑ⁿk=1X²_k ma rozkład Γ(n/2, 2) = χ²(n). Rozkład ten nazywany jest rozkładem chi-kwadrat z n stopniami swobody.

8. (nierówno´s´c Czebyszewa) Poka ˙z, ˙ze

(a) dla X≥0 i ka ˙zdego e >0 zachodziP[X≥ e] ≤ ^E[X]

e ;

(b) je ˙zeli g jest niemalej ˛aca i dodatnia, to dla ka ˙zdego a∈R zachodzi P[X≥a] ≤ ^E[g(X)]

g(a) ; (c) je ˙zeli g jest parzysta, niemalej ˛aca na[0,∞)i dodatnia, to dla ka ˙zdego e>0 zachodzi

P[|X| ≥e] ≤ ^E[_g^g₍^(X)]

e) .

9. (nierówno´s´c H ¨oldera) Udowodni´c, ˙ze je ˙zeli p >1, q > 1 spełniaj ˛a ¹_p +¹_q = 1,E[|X|^p] < _∞, E[|Y|^q] <_{∞, to E}[|XY|] <_{∞ oraz E}[|XY|] ≤ _E[|X|^p]^1/p_E[|Y|^q]^1/q.

10. (nierówno´s´c Jensena) Pokaza´c, ˙ze je ˙zeli ϕ jest funkcj ˛a wypukł ˛a to ϕ(_E[X]) ≤_E[ϕ(X)].

11. (nierówno´s´c Minkowskiego) Udowodni´c, ˙ze je ˙zeli p ≥ 1, to E[|X+Y|^p]^1/p ≤ _E[|X|^p]^1/p+ E[|Y|^p]^1/p.

12. Niech X₁, X2, . . . , Xn b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładach z dystry- buantami F₁, F₂, . . . , F_n odpowiednio. Znale´z´c dystrybuanty zmiennych losowych Y = max_1≤i≤nX_i oraz Z = min_1≤i≤nX_i. Znale´z´c dystrybuanty i g ˛esto´sci Y, Z w przypadku, gdy X₁, X2, . . . , Xn maj ˛a jednakowy rozkład ci ˛agły z dystrybuant ˛a F i g ˛esto´sci ˛a f .

13. Niech X₁, X₂, . . . , X_n b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi maj ˛acymi wariancje. Wy- znaczy´c warto´sci oczekiwane i wariancje zmiennych losowych Y = _∑ⁿ_i=1X_i oraz Z = Πⁿ_i=1X_i. Zastosowa´c wynik dla niezale ˙znych zmiennych losowych o jednakowym rozkła- dzie takim, ˙zeE[X₁] =m oraz Var[X₁] =σ².

14. Niech X i Y b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładach Γ(α_X, β) i Γ(α_Y, β) odpowiednio. Pokaza´c, ˙ze Z= X+Y ma rozkładΓ(α_X+α_Y, β).

15. (rozkład Erlanga) Niech X1, X2, . . . , Xn b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o jedna- kowym rozkładzie wykładniczymExp(λ). Udowodni´c, ˙ze zmienna losowa Y= _∑ⁿ_i=1X_i ma rozkład gammaΓ(λ, n)o nast ˛epuj ˛acej g ˛esto´sci g_ni dystrybuancie G_n:

g_n(x) = ^λ

nxⁿ⁻¹

(n−1)!e^−λx1(_0,∞)(x), G_n(x) = 1−e^−λx

n−1 k

∑

(λx)^k

k! dla x >0 . 16. („nieró˙znowarto´sciowa” wersja zadania 9 z listy 6) Niech X b ˛edzie wektorem losowym o

warto´sciach wRⁿz g ˛esto´sci ˛a f_X tak ˛a, ˙zeP[X∈ ^Sr_i=1A_i] =1 dla pewnych A₁, A₂, . . . , A_r b ˛ed ˛acymi parami rozł ˛acznymi zbiorami otwartymi wRⁿ. Niech ϕ : ^Sr_i=1A_i → T ⊂ _Rⁿ b ˛edzie przekształceniem takim, ˙ze dla ka ˙zdego i = 1, 2, . . . , r obci ˛ecie ϕ_i := ϕ|_Ai jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem klasy C¹ oraz J_ϕi 6= 0. Pokaza ˙z, ˙ze g ˛esto´s´c wektora losowego Y= ϕ(_X)_{ma posta´c}

f_Y(y) =

∑

f_X

ϕ⁻_i ¹(y)^·det J_ϕ⁻1

i (y)^·_1ϕ(Ai)(y) dla y∈ ϕ

r

[

i=1

A_i

! . 17. (transformata Boxa-M ¨ullera) Niech X, Y b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o jedna-

kowym rozkładzie jednostajnymU [0, 1]. Niech

U = ^p−2 log X cos(2πY), V = ^p−2 log X sin(2πY),

a nast ˛epnie pokaza´c, ˙ze U, V s ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o standardowym roz- kładzie normalnymN (0, 1). Wskazówka: Ostro ˙znie skorzysta´c z poprzedniego zadania.

18. (całkowa nierówno´s´c Minkowskiego) Dla g : R²→_{R, p}≥1 i rozkładów µ i ν

Z

R

    Z

Rg(x, y)ν(dy)    

p

µ(dx)

1/p

≤

Z

R

Z

R|g(x, y)|^pµ(dx)

1/p

ν(dy)

Wskazówka: zacznij od funkcji postaci g(x, y) =_∑ⁿ_k=1f_k(x)_1Fk(y)i zastosuj zadanie 11.

19. (nierówno´s´c Chernoffa) MamyP[X≥c] ≤min_t≥0E[e^tX−tc]dla dowolnej zmiennej X (patrz zadanie 3). Niech X₁, . . . Xn b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi o rozkładzie 0/1-kowym, przy czymP[X_i =1] = p_i =1−q_i. Niech ponadto X=_∑ⁿ_k=1X_k i µ=_E[X]. Pokaza´c, ˙ze:

(a) dla δ>0, P[X> (1+δ)µ] ≤ ^₍ ^eδ

1+δ)^1+δ

µ

; (b) dla δ∈ [0, 1),P[X > (1+δ)] ≤ e^−µδ2/3; (c) dla δ>2µe,P[X >δ] ≤e^−δ.

lista 9 : własno´sci wa ˙zniejszych rozkładów

1. Zapozna´c si ˛e z rozdziałem 5.10 z ksi ˛a ˙zki Wst˛ep do teorii prawdopodobie ´nstwa, J. Jakubowski, R. Sztencel, Wydanie III, SCRIPT, Warszawa 2004.

2. (a) Niech X b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie normalnym N (m, σ²). Pokaza´c, ˙ze zmienna losowa Y =aX+b ma rozkład normalnyN (am+b, a²σ²).

(b) Niech X b ˛edzie wektorem losowym o rozkładzie normalnymN (m, Q_X). Pokaza´c, ˙ze wektor losowy Y= AX+_bma rozkład normalnyN (Am+_{b, AQX}A⁰)_.

3. Niech X b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie jednostajnymU [0, 1]. Pokaza´c, ˙ze zmienna losowa Y= −^{log X}

λ , gdzie λ>0, ma rozkład wykładniczyExp(λ)_.

4. Niech X b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie jednostajnym U [0, 1], natomiast Y b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie jednostajnym U [a, b] (a < b). Pokaza´c, ˙ze Y ma taki sam rozkład co(b−a)X−a.

5. (rozkład Weibulla W(λ, β)) Niech X b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie wykładniczym Exp(λ). Znale´z´c dystrybuant ˛e, g ˛esto´s´c, warto´s´c oczekiwan ˛a i wariancj ˛e zmiennej losowej Y=X^1/β dla β>_0.

6. (wielowymiarowy rozkład normalny)

(a) Niech X = (X₁, X2, . . . , Xn)b ˛edzie wektorem losowym o standardowym rozkładzie normalnymN (0, I), gdzie I jest macierz ˛a identyczno´sci, z g ˛esto´sci ˛a

f_X(x) = _√¹

2πn exp



−¹ 2hx, xi



= _√¹

2πn exp −¹ 2

∑

x²_i

!

dla x∈_Rⁿ.

Sprawdzi´c, ˙ze X₁, X₂, . . . , Xn s ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym standardowym rozkładzie normalnymN (0, 1).

(b) (wielowymiarowy rozkład normalny) Niech Y b ˛edzie wektorem losowym o rozkładzie normalnym N (m, Q_Y), gdzie Q_Y jest dodatnie okre´slon ˛a macierz ˛a kowariancji, z g ˛esto´sci ˛a

f_Y(_x) = ¹ pdet(Q_Y)^√

2πn exp



−¹ 2

D

Q⁻_Y¹(_x−m)_{, x}−m E

dla x∈_Rⁿ.

Pokaza´c, ˙ze Y ma taki sam rozkład co BX+m, gdzie B jest kwadratow ˛a macierz ˛a tak ˛a, ˙ze BB⁰ = Q_Y.

Wskazówka: Skorzysta´c z zada ´n 3 i 13 z listy 5.

7. (własno´sci wielowymiarowego rozkładu normalnego)

(a) Niech (X, Y) b ˛edzie wektorem losowym o rozkładzie normalnym z nieskorelowa- nymi współrz ˛ednymi X, Y (tzn. Cov(X, Y) =0). Wykaza´c, ˙ze X, Y s ˛a niezale ˙zne.

(b) Niech X = (X₁, X₂, . . . , Xn) b ˛edzie wektorem losowym o rozkładzie normalnym z wzajemnie nieskorelowanymi współrz ˛ednymi X₁, X₂, . . . , X_n. Wykaza´c, ˙ze X₁, X₂, . . . , X_n s ˛a niezale ˙zne.

(c) Niech X = (X₁, X2, . . . , Xn) b ˛edzie wektorem losowym o rozkładzie normalnym N (m, Q_X). Wykaza´c, ˙ze X₁, X₂, . . . , X_n s ˛a niezale ˙zne, wtedy i tylko wtedy, gdy Q_X jest macierz ˛a diagonaln ˛a.

(d) Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)b ˛edzie wektorem losowym o standardowym rozkładzie normalnymN (0, I). Wykaza´c, ˙ze je ˙zeli A jest kwadratow ˛a macierz ˛a ortonormaln ˛a, to Y = AX jest równie ˙z wektorem losowym o standardowym rozkładzie normalnym N (0, I).

(e) Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)b ˛edzie wektorem losowym o standardowym rozkładzie normalnym N (0, I). Wykaza´c, ˙ze je ˙zeli A jest kwadratow ˛a macierz ˛a ortogonaln ˛a (niekoniecznie ortonormaln ˛a), to Y = AX jest wektorem losowym o wzajemnie nie- zale ˙znych współrz ˛ednych Y₁, Y₂, . . . , Y_n.

8. NiechΦ b˛edzie dystrybuant ˛a, a ϕ g˛esto´sci ˛a standardowego rozkładu normalnegoN (0, 1). Wykaza´c, ˙ze dla ka ˙zdego x > 0 zachodzi ^xϕ₁₊⁽_x^x2⁾ < 1−_Φ(x) = _Φ(−x) < ^ϕ(_x^x), a w szczególno´sci lim_x→_∞ ^xΦ(−x)

ϕ(x) = 1.

9. Niech X i Y b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładachN (0, 1)i ¹₂(δ−1+δ₁) odpowiednio. Pokaza´c, ˙ze Z=YX ma rozkład standardowy rozkład normalny. Pokaza´c,

˙ze X+Z nie ma rozkładu normalnego. Dlaczego tak si ˛e dzieje?

10. Wykaza´c, ˙ze rozkład geometryczny Geo(p)(w jednej z podanych wersji) i wykładniczy Exp(λ)maj ˛a nast ˛epuj ˛ac ˛a własno´s´c braku pami˛eci zwan ˛a te ˙z własno´sci ˛a Markowa:

P(X >t+s|X>t) = _P(X> s),

gdzie w przypadku rozkładu ci ˛agłego t, s ∈ _R+, a dyskretnego t, s ∈ N. Wykaza´c, ˙ze jedynym rozkładem ci ˛agłym na [0,∞) z własno´sci ˛a braku pami ˛eci jest wykładniczy, a jedynym skupionym na liczbach naturalnych – geometryczny.

11. Pokaza´c, ˙ze je ˙zeli X₁, X2 s ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona Poi(λ₁),Poi(λ₂)odpowiednio, to Y =X₁+X₂ma rozkład PoissonaPoi(λ₁+λ₂). W szcze- gólno´sci, je ˙zeli X₁, X₂, . . . , X_n s ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładach Po- issona Poi(λ_i) dla i = 1, 2, . . . , n odpowiednio, to Y = _∑ⁿ_i=1X_i ma rozkład Poissona Poi(_∑ⁿ_i=1λ_i).

12. Niech X b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a o standardowym rozkładzie normalnymN (0, 1). Wy- znaczy´cE[|_X|^p]_{dla p}>0. Wyznaczy´c momentyE[_Xⁿ]_{dla n}∈_N+oraz momentyE[_Yⁿ] dla n∈_N+, gdzie Y jest zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie normalnymN (0, σ²).

13. Niech {X_n}^∞_n=1 b ˛edzie ci ˛agiem niezale ˙znych zmiennych losowych o jednakowym rozkła- dzie wykładniczym Exp(λ). Niech S0 = 0 oraz Sn = _∑ⁿ_i=1X_i dla n ∈ _N+. Dla t > 0 definiujemy zmienn ˛a losow ˛a N_t :=max{n : S_n≤t}. Pokaza´c, ˙ze N_tma rozkład Poissona Poi(λt). Wskazówka: zadanie 15 z listy 8.

14. (rozkład Studenta t(n)) Niech X, Y b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnymN (0, 1), chi-kwadrat χ²(n) odpowiednio. Znale´z´c g ˛esto´s´c zmiennej losowej Z= ^√X

Y/n.

15. (rozkład Fishera-Snedecora F(n, r)) Niech X, Y b ˛ed ˛a niezale ˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat χ²(n), χ²(r)odpowiednio. Znale´z´c g ˛esto´s´c zmiennej losowej Z=

rX nY.