Adaptacyjne wyznaczanie współczynnika sprzężenia h f

s

h

sprzężenie ma charakter czysto multiplikatywny, co najczęściej nie ma praktycznego zastosowania.

Dla

h

_s

→∞

proces jest coraz bliższy modelowi Perona-Malik, gdyż dominuje w nim składowa

oszacowania występowania krawędzi opartego na gradiencie obrazu oryginalnego.

Addytywna część wyrażenia (3 – 26) powoduje, że częściowo realizowana jest filtracja niezależna od estymacji struktury w przestrzeni Hougha. Jeżeli jednocześnie oszacowanie występowania struktury wykazuje brak krawędzi (wartość funkcji gH równa w przybliżeniu 1), to dyfuzja na tym obszarze zostaje przyspieszona. Jeżeli natomiast struktura ta jest odnaleziona, to wartość całkowita współczynnika c₂

zostaje dodatkowo zmniejszona, co powoduje szybsze zahamowanie dyfuzji.

Szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy oszacowanie występowania krawędzi obrazu wykazuje ich brak (wartość funkcja g równa w przybliżeniu 1), a oszacowanie struktury na podstawie przestrzeni Hougha wskazuje na jej występowanie (wartość funkcji gH zmierza do 0). Jest to możliwe w przypadku detekcji linii prostych, dla których podstawowy algorytm Hougha nie określa położenia linii, jedynie proste, w jakich się zawierają. Jednak ponieważ całkowity proces filtracji nie jest czysto multiplikatywny, to dyfuzja w takim obszarze nadal jest prowadzona pomimo hamującego wpływu funkcji g_H.

Ta wersja sprzężenia wykazuje dobre właściwości zarówno w przypadku krzywych, których położenie można dokładnie odwzorować (np. okrąg) jak też i w przypadku transformacji dla linii prostych. Tak przygotowany proces często pozwala na przeprowadzenie filtracji przy stałej wartości współczynnika h_f. Wartość współczynnika hs można przyjąć w zależności od rodzaju struktur występujących na odszumianym obrazie. Dla struktur zamkniętych (np. okręgi) można zwiększyć addytywną składową procesu przez przyjęcie dużej wartości hs. Dla struktur zawartych w ogólnych krzywych analitycznych (np. linie i proste) można w większym stopniu uwzględnić multiplikatywny charakter sprzężenia. Prawidłowe działanie procesu będzie jednak często zależeć od poziomu i natężenia sygnału szumu, który może powodować błędną detekcję krawędzi i struktur na obrazie.

3.3.2 Adaptacyjne wyznaczanie współczynnika sprzężenia h

f

Proponuje się, aby wartość współczynnika h_f zależała od zaszumienia występującego na obrazie. Podejście to powinno uwzględnić następujące fazy o zróżnicowanym charakterze filtracji:

69

1. Dla bardzo dużego zaszumienia możliwe jest, że detekcja struktur występujących na obrazie da fałszywe wyniki (pomimo tego, że transformacja Hougha jest w pewnym stopniu odporna na zakłócenia). Początkowo błędnie określona struktura może mieć bardzo negatywny wpływ na cały proces filtracji. W takim przypadku estymacja struktury dla odwrotnej transformaty Hougha powinna być brana z mniejszym współczynnikiem, ze względu na możliwość błędnego wyniku. Pierwsza faza filtracji powinna przypominać klasyczny model Perona-Malik – hf przyjmuje małe wartości.

2. Gdy obraz zostanie częściowo odszumiony, prawdopodobieństwo prawidłowej identyfikacji struktury przy pomocy transformacji Hougha rośnie. Proponuje się, aby w drugiej fazie procesu oszacowanie występowania krawędzi wyznaczane było w znacznym stopniu na podstawie informacji o strukturach geometrycznych obliczonych przez odwrotną transformację Hougha – hf

przyjmuje duże wartości zbliżone lub równe 1.

3. W zależności od kwantyzacji przestrzeni parametrów Hougha identyfikacja struktur na obrazie może być zrealizowana ze skończoną dokładnością. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest użycie splotu transformaty odwrotnej z jądrem Gaussa, co powoduje, że krawędzie struktury są estymowane nie w pojedynczym punkcie, ale na pewnym obszarze wokół niego. Proponuje się, aby w adaptacyjnej wersji algorytmu w trakcie ostatniej fazy odszumiania (gdy większość szumu została już usunięta) proces ponownie miał charakter oparty na modelu Perona-Malik, a jedynie w niewielkiej części używał informacji z przestrzeni Hougha. Podejście takie jest szczególnie przydatne w przypadku transformacji dla linii prostych, która może powodować identyfikację struktury (linii) w miejscu, w którym taka nie występuje. Zmniejszenie współczynnika h_f w ostatniej fazie algorytmu powoduje, że zostają wygładzone obszary, dla których taka błędna identyfikacja mogła zajść.

Proponuje się, aby uzależnić wartość współczynnika sprzężenia od oszacowania globalnego zaszumienia obrazu, podobnie jak to było realizowane dla współczynnika K opisanym równaniem (2 – 57) w nieliniowym procesie dyfuzji. Funkcja estymacji poziomu zaszumienia przyjmuje postać:

( ) _{( ) ( )} ∑ ∑

^{( )− ( )}

( )

= − = ∇ = Ν ¹ 0 1 0 , , 1 W I x I H y t y x u I H I W t , _{(3 – 27)}

gdzie W

( ) ( )

I ,H I oznaczają odpowiednio szerokość i wysokość obrazu w pikselach. Funkcja ta w praktyce jest monotonicznie malejąca dla kolejnych iteracji t procesu filtracji. Przykładowe przebiegi N(t) dla filtracji realizującej model Perona-Malik pokazane zostały na rysunku 3-5. Dla tego przykładu filtracji został poddany syntetyczny obraz testowy o zaszumieniu σ_n = 400 pokazany na rysunku 2-9. Użyto zarówno stałej wartości K=50 oraz adaptacyjnego doboru współczynnika K z parametrem skalującym

ϑ

=0.9, funkcji stopujących g1, g2 oraz parametru

λ

=0.25. Oszacowanie N(t) dla początkowych iteracji wynosiło około 400 (wykres zawężono dla lepszej czytelności w kolejnych iteracjach).

Przebieg funkcji N(t) dla filtracji przy innym modelu (także sprzężonym) będzie oczywiście odmienny. Jednak istotne jest to, że funkcja ta w praktyce jest monotonicznie malejąca – szybciej w

70

początkowym etapie przetwarzania, wolniej po usunięciu znacznej części zaszumienia. Monotoniczny charakter tego współczynnika wynika z własności procesu filtracji, który nie wprowadza żadnych nowym maksimów, a jedynie może powodować zmniejszenie różnicy wartości pomiędzy sąsiadującymi pikselami. Dzięki temu zagwarantowane jest również to, że w kolejnych krokach wartość bezwzględna gradientu nie będzie rosła.

Rysunek 3-5: Oszacowanie zaszumienia obrazu N(t) dla kolejnych kroków filtracji przy użyciu modelu Perona-Malik (obraz testowy nr 1, początkowe zaszumienie σ_n = 400).

Różne przebiegi otrzymane na rysunku 3-5 wynikają z faktu użycia tego estymatora, jako czynnika, od którego zależy parametr K (dla wersji adaptacyjnej). Widoczne jest, że przy stałym ustalonym K wartość funkcji N(t) maleje wolniej (dla ustalonego K przy użyciu funkcji g₁ wartość ta nie spadła poniżej 300). Charakterystyka odszumiania z punktu widzenia oszacowania zawartości szumu powinna być zbliżona do modelu oryginalnego przy użyciu modelu sprzężonego. Wynika to z realizacji tego samego procesu dyfuzyjnego, na którym oparty jest oryginalny model – modyfikacji podlega jedynie sposób estymacji krawędzi obiektów. Własności procesu (takie jak nie wprowadzanie nowych ekstremów) będą zachowane.

Proponuje się, aby adaptacyjny sposób wyznaczania współczynnika sprzężenia realizował funkcję zbliżoną do funkcji Gaussa o niezerowej wartości oczekiwanej:

( ) ( ^{( )} )

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛_{− −}

=

σ μ

h

h

t

N

h

t

h

_f 2 max

exp

, (3 – 28)

gdzie

h

_max jest współczynnikiem skalującym, który określa maksymalną wartość, jaką może przyjąć hf;

h

_μ

jest wartością średnią zaszumienia, dla której współczynnik sprzężenia przyjmie wartość maksymalną;

h

_σ

jest odpowiednikiem odchylenia standardowego funkcji Gaussa i decyduje o przebiegu funkcji współczynnika hf (dla małych wartości przebieg jest zawężony, dla wartości większych współczynnik wolniej narasta i wolniej zostaje wytłumiony).

W podrozdziale 3.4 zostanie zaprezentowany przykładowe wykresy wartości współczynnika sprzężenia h_f dla kolejnych iteracji.

71

W dokumencie Równania różniczkowe cząstkowe w problemach filtracji obrazów i trajektorii przestrzennych (Stron 68-71)