Propozycje przetwarzania trajektorii w przestrzeniach rotacji S3
Algorytm 7: Nieliniowa anizotropowa filtracja trajektorii kwaternionów AnisoQuat
5.5 Geometryczna interpretacja metod opartych na równaniach dyfuzji
5.5.3 Algorytm filtracji anizotropowej AnisoQuat
Algorytm anizotropowy przedstawiony w rozdziale 5.4 jest rozwinięciem algorytmu filtracji nieliniowej. Z tego powodu zostaną przedstawione najważniejsze różnice, które wynikają z proponowanego podejścia uogólnionego. W szczególny sposób jest w tym algorytmie uwzględniana zmiana kierunku wykonywanego ruchu. Aby własności proponowanego podejścia były czytelnie przedstawione, zostanie użyta trajektoria orientacji, w której występują zmiany kierunku ruchu o różnym charakterze. Na rysunku 5-12 przedstawiono trajektorię testową użytą w dalszej części rozdziału. Prawa kolumna rysunku przedstawia trajektorię testową wraz z wprowadzonym sygnałem zakłócającym – przebieg zostanie użyty przy analizie sposobów wyznaczania krzywizny trajektorii.
Rysunek 5-12: Sekwencja użyta do geometrycznej interpretacji filtracji anizotropowej. Na rysunku zaznaczono chwile czasowe, w których dokonywana jest zmiana kierunku ruchu. Kolumna prawa – przebieg testowy z
wprowadzonym sygnałem zakłócającym.
Na rysunku zostały zaznaczone chwile czasowe, które definiują klatki kluczowe przebiegu. W chwilach tych zmienia się kierunek ruchu utworzony przez zastosowanie interpolacji sferyczno-liniowej pomiędzy klatkami kluczowymi. Rysunek 5-13 szczegółowo przedstawia dwie chwile czasowe prezentowanej trajektorii testowej (niezakłóconej), dla których będą analizowane kolejne kroki algorytmu filtracji.
Rysunek 5-13: Wybrane chwile czasowe trajektorii, dla których będzie przeprowadzona analiza filtracji anizotropowej. Należy zwrócić uwagę, że w wybranych momentach kierunek ruchu zmienia się w różny sposób.
Kroki algorytmu od 4 do 8 są wykonywane w taki sam sposób, jak w przypadku algorytmu nieliniowego. Na rysunku 5-14 zaznaczono wyniki częściowe i końcowe poszczególnych kroków filtracji
182
anizotropowej. Nieliniowe wyznaczenie położenia opisanego przez kwaterniony q~P,
q~
N zaznaczone jest czerwonym punktem (krok 6, 7). W kroku 8 wyznaczany jest pośredni wynik filtracji opisany kwaternionemi
q~
(żółty punkt). Ostateczne położenie otrzymuje się przez interpolację wzdłuż kierunku zaznaczonego kolorem jasnozielonym (krok 12). Zielony punkt oznacza końcowy wynik filtracji określony współczynnikiem współczynnik anizotropowej składowej dyfuzji c~A (krok 11).Rysunek 5-14: Realizacja iteracji filtracji anizotropowej dla chwili czasowej i=13 przebiegu testowego. Najważniejsza różnica w procesach filtracji w proponowanych algorytmach dotyczy kroków 10 – 12. W kroku 10 wyznaczana jest lokalna krzywizna trajektorii w punkcie
q
i:( )
( ) (( ))
2 1 1 1 1 1 1 1 1 log log log log i i i i i i i i i q q q q q q q q − − − − + − + − − =κ
(5 – 89)Na podstawie tej wartości jest określany współczynnik anizotropowej składowej dyfuzji c~A tak, aby dyfuzja była zmniejszana dla zwiększającej się wartości lokalnego oszacowania krzywizny. Na rysunku 5-15 zaznaczono te rezultaty tych samych kroków algorytmu, jednak dla innej chwili czasowej trajektorii i=18.
Rysunek 5-15: Realizacja iteracji filtracji anizotropowej dla chwili czasowej i=13 przebiegu testowego. Ze względu na znaczną zmianę kierunku ruchu w tej chwili czasowej, zmniejszona została wartość współczynnika dyfuzji c~A. Stąd dyfuzja zostaje w danym fragmencie znacznie zahamowana. W pozostałych
183
obszarach trajektoria jest w dalszym ciągu wygładzana ze względu na mniejszą krzywiznę, która prowadzi do większej wartości c~A. Ostatecznie można scharakteryzować zaproponowany proces filtracji przez następującą własność.
Własność 5.1
Algorytm filtracji realizujący anizotropowy proces dyfuzji trajektorii orientacji AnisoQuat wygładza przebieg czasowy zmniejszając zaszumienie sygnału przy jednoczesnym zachowywaniu kształtu zdefiniowanego przez oszacowanie lokalnej krzywizny. We fragmentach, dla których występuje znacząca zmiana krzywizny, wartość anizotropowego współczynnika dyfuzji (będącego funkcją krzywizny) jest zmniejszana.
Wykres na rysunku 5-16 przedstawia oszacowanie krzywizny wyznaczone przy użyciu wzoru (5 – 89).
Rysunek 5-16: Oszacowanie lokalnej krzywizny trajektorii dla sygnału testowego (szczegółowy opis w tekście).
Kolorami zielonym i niebieskim zaznaczono wartości
κ
i dla oryginalnej trajektorii testowej (odpowiednio przy użyciu 1-punktowej i 3-punktowej wersji estymatora). Widoczne jest, że dla chwil czasowych i = 7, 13, 18 zauważalny jest znaczny wzrost wyznaczonego współczynnika. Jest to zgodne z używanym przebiegiem testowym, dla którego w tych chwilach czasowych następuje zmiana kierunku ruchu. Najmniejsza zmiana występuje dla i = 13, co jest zgodne z otrzymanym oszacowaniem. Należy zwrócić uwagę, że zastosowana postać estymatora określa wartość bezwzględna zmiany bez rozróżniania jej kierunku. Jest to właściwość pożądana, gdyż szybkość dyfuzji nie powinna zależeć od tego, którego kierunku dotyczy zmiana krzywizny. Widać również, że krzywizna wyznaczana metodą 3-punktową (kolor niebieski) bierze pod uwagę nie tylko pojedynczy punkt, ale pewne najbliższe sąsiedztwo. Jest to znak, że sposób wyznaczania w tym przypadku jest regularyzowany według zależności (5 – 78), (5 – 79).Czerwony przebieg na przedstawionym wykresie jest wartością 1-punktowego estymatora krzywizny dla testowego sygnału zaszumionego (rysunek 5-12). Wprowadzenie niewielkiej składowej zakłócającej powoduje, że estymacja zmiany kierunku ruchu nie jest dobrze realizowana. Na podstawie wykresu trudno
184
jest rozróżnić, czy w danym fragmencie dyfuzja anizotropowa powinna zostać zahamowana (tj. czy oszacowanie krzywizny jest względnie duże). Stąd wynika konieczność zastosowania schematu alternatywnego. Możliwe jest użycie różnego rodzaju podejścia, między innymi pomocnicze przeprowadzenie lokalnej wstępnej liniowej filtracji dla badanego fragmentu trajektorii. Można także użyć trzypunktowej metody wyznaczania estymatora lokalnej krzywizny. Wyznaczone w ten sposób oszacowanie zaznaczone jest kolorem pomarańczowym na wykresie.
Na podstawie wykresu widoczne jest, że trzypunktowa metoda wyznaczania oszacowania krzywizny jest mniej wrażliwa na zakłócenia sygnału. W przypadku tej samej zaszumionej trajektorii możliwe jest wyznaczenie fragmentów, w których wyraźnie zauważalna jest zmiana kierunku wykonywania ruchu. W kolejnych iteracjach procesu filtracji wyznaczenie tych fragmentów będzie realizowane z jeszcze większą dokładnością ze względu na zmniejszający się poziom zakłóceń. Z tego powodu warto rozważyć adaptacyjny sposób wprowadzania składnika anizotropowego do procesu, który będzie zwiększał udział tego typu dyfuzji wraz ze zmniejszającą się zawartością zakłóceń na obrazie. Podejście takie byłoby podobne do adaptacyjnego sposoby wyznaczania współczynnika K dla procesu filtracji obrazów (rozdział 2.5.1) oraz zmiennego współczynnika sprzężenia wielokanałowego procesu dyfuzji (rozdział 3.3.2).
Trzypunktowa metoda wyznaczania oszacowania krzywizny jest jednym ze sposobów regularyzacji procesu filtracji. Warunki narzucone na parametry procesu (rozdział 5.4.3) zapewniają, że otrzymany wynik nie będzie naruszał statycznych ograniczeń związanych z własnościami przestrzeni kwaternionów. Modyfikacja sposobu wyznaczania oszacowania krzywizny jest odpowiednikiem regularyzacji procesu filtracji obrazów (rozdział 2.5.3) i pozwala na zmniejszenie wpływu zakłóceń na uzyskanie poprawnego, odfiltrowanego rezultatu. Bez wprowadzenia tego typu podejścia istniałoby większe prawdopodobieństwo otrzymania wyniku nieprawidłowego, w przypadku którego proces szybko osiąga minimum lokalne (w odniesieniu do minimalizacji energii), lecz pozostaje część zakłóceń, które nie mogą zostać usunięte.
Należy pamiętać, że przedstawiona interpretacja geometryczna została zobrazowana położeniami odpowiedników wektorów w przestrzeni trójwymiarowej (przy uwzględnieniu dwóch stopni swobody). Zaproponowany właściwy proces filtracji jest przeprowadzany bezpośrednio w przestrzeni kwaternionów. Dzięki temu uwzględniane są wszystkie stopnie swobody związane z orientacją lokalnego układu współrzędnych (obroty we wszystkich dostępnych osiach). Własność ta wynika bezpośrednio z właściwości operacji użytych do dyskretyzacji równania opisującego procesu dyfuzji.