Propozycja uwzględnienia w procesie filtracji globalnej wiedzy o strukturze geometrycznej obrazu
Algorytm 2: Nieliniowy proces dyfuzji sprzężony z przestrzenią Hougha
3.5 Dyskusja i podsumowanie metod filtracji sprzężonej
W rozdziale 3 przedstawiono możliwości uwzględnienia w procesie filtracji dodatkowej wiedzy o obrazie. Konstrukcja zaproponowanego podejścia jest ściśle oparta na metodach realizujących przestrzenną filtrację obrazów dwuwymiarowych. Krótko zostaną przedstawione zagadnienia implementacyjne związane z konkretną realizacją przedstawionego algorytmu.
Złożoność obliczeniowa algorytmu
Pojedyncza iteracja podstawowej wersji algorytmu filtracji nieliniowej opisanej dyskretyzacją (2 – 61) wymaga wykonania O(
W(I)H(I)
) operacji wyznaczenia nowej wartości pikseli. W praktyce należy również uwzględnić czas niezbędny na wyznaczenie oszacowania wystąpienia krawędzi, które jest używane, jako zmienna sterująca procesu filtracji.W oszacowaniu złożoności algorytmu sprzężonego należy wziąć pod uwagę czas potrzebny na wyznaczenie nowej wartości piksela oraz obliczenie transformacji Hougha. Wyznaczenie nowej wartości piksela jest wykonywane w czasie O(
W(I)H(I)
) operacji – sprzężenie nie wpływa na tą składową algorytmu, gdyż zostaje jedynie zmieniona postać dla lokalnego współczynnika dyfuzji.Obliczenie transformacji Hougha jest najbardziej czasochłonnym zadaniem wykonywanym w trakcie filtracji algorytmem sprzężonym. Złożoność obliczeniowa transformacji zależy przede wszystkim od
89
przyjętego rodzaju transformaty oraz zastosowanego sposobu parametryzacji krzywych. Zastosowanie standardowej wersji transformaty jest najbardziej kosztowne obliczeniowo. W przypadku transformacji wykrywającej linie proste dla przestrzeni parametrów o rozmiarze
s
α złożoność obliczeniowa jest ograniczona przez O(W(I)H(I)s
α). Detekcja krzywych opisanych przez większą liczbę parametrów pociąga za sobą dalszy wzrost złożoności obliczeniowej. Jednocześnie znacznie wzrasta zapotrzebowanie na zasoby pamięci wynikające z rozmiaru akumulatora.W praktyce nakład obliczeniowy związany z wyznaczeniem przestrzeni parametrów jest ograniczony przez liczbę punktów, które brane są pod uwagę przy wypełnianiu akumulatora. W przypadku skomplikowanych obrazów liczba ta może być znacząca, co powoduje znaczny wzrost wymaganych obliczeń. Częściowym rozwiązaniem problemu dużej złożoności algorytmu jest zastosowanie zmodyfikowanej wersji algorytmu transformaty Hougha. Zastosowanie probabilistycznej lub hierarchicznej odmiany transfromaty pozwoliłoby na zmniejszenie nakładów obliczeniowych przy zachowaniu wysokiej skuteczności detekcji struktur geometrycznych. Jednakże badanie wpływu rodzaju transformaty na skuteczność algorytmu sprzężonego wykracza poza zakres prezentowanej pracy.
Złożoność obliczeniowa algorytmu dotyczy pojedynczej iteracji filtracji obrazu. W trakcie eksperymentów zauważono, że nie ma konieczność wyznaczania transformaty Hougha dla każdej iteracji. Doświadczenia praktyczne wykazały, że najbardziej istotne jest zaktualizowanie przestrzeni parametrów na początku procesu filtracji. Szybka poprawa jakości obrazu w pierwszych iteracjach algorytmu pozwala na znaczne zwiększenie dokładności wyznaczenia transformaty Hougha, a co za tym idzie także transformaty odwrotnej (podobny problem jest rozważany w rozdziale 3.3.2). W kolejnych iteracjach algorytmu aktualizacja przestrzeni Hougha może być znacznie rzadsza, dzięki czemu możliwe jest znaczne przyspieszenie wykonywanych obliczeń.
Alternatywne określenie sąsiedztwa
Konstrukcja algorytmu sprzężonego zaprezentowanego w rozdziale 3.3.3 opiera się na dyskretyzacji równania różniczkowego procesu dyfuzji opisanego wyrażeniem (2 – 46). W dyskretyzacji zastosowany został schemat różnicowy wzorowany na przekształceniach opisanych w pracy [79]. Przyjęty sposób konstruowania różnic skończonych powoduje, że algorytm realizujący filtrację dla obrazów dyskretnych oparty jest na czterosąsiedztwie zdefiniowanym w rozdziale 2.1.
Jednakże możliwa jest konstrukcja algorytmu, która uwzględnia ośmiosąsiedztwo przy przetwarzaniu pojedynczego piksela. Podejście opisane wyrażeniem (2 – 66) zostało zaproponowane między innymi w pracy [30], jako jedna z metod regularyzacji procesu filtracji. W takim przypadku należy rozpatrzyć wartości wagowe przy uwzględnianiu pikseli sąsiadujących diagonalnie. W cytowanej pracy autorzy proponują przyjąć wartość 2, jako wagę dla pikseli diagonalnych, co wynika z dyskretnej miary odległości dla siatki pikseli obrazu.
Wyznaczanie nowych wartości pikseli przy użyciu ośmiosąsiedztwa dla punktu może pozytywnie wpływać na własności procesu. Jednakże w takim przypadku należy również uwzględnić warunek
90
monotoniczności procesu w odniesieniu do dyskretyzacji warstwy czasowej równania różniczkowego. W ogólności mniejsza wartość kroku czasowego pozwala dokładniej odwzorować przebieg procesu ciągłego przy użyciu dyskretnej aproksymacji. Można pokazać [30], że dla zwiększającej się liczby punktów uwzględnianych dla sąsiedztwa piksela centralnego, zmniejsza się maksymalna dopuszczalna wartość kroku czasowego, przy której dyskretyzacja procesu jest poprawna.
Kryterium stopu algorytmu
W przedstawionych badaniach badano przebieg procesu filtracji po wykonaniu określonej liczby iteracji. W zastosowaniach praktycznych najczęściej istnieje konieczność określenia automatycznego kryterium stopu algorytmu. Dla zagadnienia filtracji obrazów trudno jest określić moment, kiedy filtracja powinna zostać zakończona. W przypadku filtrów liniowych można wyznaczyć, po jakim czasie zostaną usunięte zakłócenia występujące z określonym natężeniem. Ze względu na brak ogólnego rozwiązania dla nieliniowego równania różniczkowego, analiza taka nie jest możliwa dla algorytmów opartych na modelu Perona-Malik. Jest wiele sposobów zdefiniowania kryterium stopu dla aproksymacji numerycznej równania nieliniowego, które mogą być także bezpośrednio używane do zaproponowanego algorytmu sprzężonego. Wśród nich można wymienić następujące rozwiązania:
• Zmiana opisu procesu z równania różniczkowego w postaci (2 – 66) w model reakcyjno-dyfuzyjny przedstawiony w pracy [77]. Jedną z podstawowych zalet modelu opisanego w cytowanej pracy jest właśnie brak konieczności określania warunków stopu dla algorytmu. Jednakże zamiast ustalania chwili czasowej, w której algorytm kończy swoje działanie, w modelu tym występuje konieczność określenia nowego parametru, który decyduje o zatrzymaniu się algorytmu. W praktyce oba modele mogą być w dużej części rozpatrywane równoważnie, a ich wybór zależy od wygody określenia danego kryterium stopu dla konkretnego zastosowania. • Wyznaczenie współczynnika globalnej zmiany szybkości dyfuzji na podstawie dwóch
następujących po sobie pojedynczych przebiegów algorytmu. Konstrukcja takiego rodzaju kryterium jest analogiczna do sposobu określenia warunków stopu dla wielu problemów optymalizacyjnych. W tym przypadku mogą być zastosowanie globalne miary odległości pomiędzy obrazami przedstawione w rozdziale 2.1.
• Wyznaczenie współczynnika globalnej zmiany szybkości dyfuzji na podstawie aktualnej (po filtracji) oraz oryginalnej zawartości obrazu. W pracy [74] zaproponowane zostało przykładowe kryterium wyznaczone na podstawie korelacji pomiędzy stanem po filtracji oraz stanem początkowym.
Wybór kryterium stopu do obrazów nie jest zadaniem łatwym ze względu na brak jednoznacznego określenia osiągnięcia pożądanej jakości obrazu. Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów, można jednakże stwierdzić, że zastosowanie filtracji sprzężonej dodatkowo powinno ułatwić określenie kryterium stopu. W rozdziale 3.4 zostały przedstawione eksperymentalnie potwierdzone własności algorytmu, które zapewniają, że krawędzie obrazu dla wielu iteracji pozostają stabilne. Dzięki temu łatwiejsze jest zastosowanie kryterium opartym na porównywaniu zmiany odległości pomiędzy rezultatami dwóch
91
kolejnych iteracji filtracji. Zastosowanie takiego kryterium dla innego rodzaju algorytmów byłoby znacznie utrudnione np. dla oryginalnego modelu Perona-Malik, a praktycznie niemożliwe dla modelu liniowego. Jest to więc dodatkowa zaleta wynikająca z zastosowania zaproponowanego algorytmu sprzężonego.
Podsumowanie
Filtracja realizująca nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe uwzględnia jedynie informację o lokalnie wyznaczonym gradiencie funkcji obrazu. Zaproponowana została metoda uwzględnienia w procesie filtracji wiedzy o strukturze geometrycznej obrazu. Metoda została opisana i przebadana, a otrzymane rezultaty można podsumować w następujących punktach:
• zaproponowano algorytm filtracji realizujący uwzględnienie wiedzy o strukturze geometrycznej obrazu przez sprzężenie z przestrzenią Hougha,
• zastosowanie transformacji Hougha powoduje przyspieszenie procesu odszumiania dzięki uwzględnieniu jej filtrujących własności,
• krawędzie na obrazach przetwarzanych przez algorytm sprzężony pozostawały przez dłuższy czas stabilne w porównaniu do algorytmu standardowego,
• filtracja algorytmem sprzężonych pozwoliła uzyskać bardziej regularne krawędzie,
• sprzężenie z przestrzenią Hougha przeznaczoną dla określonej grupy struktur pozwala na uwydatnienie geometrycznie określonych cech na obrazie,
• opracowano dwa modele sprzężenia, których zastosowanie zależy od użytego rodzaju transformacji Hougha,
• opracowano i przetestowano metodę adaptacyjnego sposobu określania wartości współczynnika sprzężenia hf,
• adaptacyjne wyznaczanie współczynnika hf pozwala na zastosowanie sprzężenia addytywnego nawet w przypadku niecałkowitego odwzorowania struktur obrazu przez odwrotną transformację Hougha,
• przetestowano dwa sposoby tworzenia transformaty odwrotnej: uwzględniający ściśle określoną liczbę struktur oraz progowe uwzględnianie maksimów lokalnych przestrzeni H,
• realizacja filtracji przy progowym uwzględnianiu struktur daje bardzo dobre wyniki bez konieczności określania liczności struktur,
• zaproponowana metoda nie narzuca rodzaju struktur, które mają być uwydatnione przy filtracji – konstrukcja algorytmu realizującego metodę pozwala na zastosowanie dowolnego rodzaju transformacji Hougha (także dotyczącej dowolnych kształtów, a nie tylko krzywych analitycznych),
• przedstawiony algorytm został przetestowany na obrazach testowych, przedstawiono otrzymane wyniki w postaci otrzymanych obrazów oraz porównanie skuteczności różnych rodzajów algorytmów z filtracją bez sprzężenia przy użyciu miary SNR,
92
• prawidłowy dobór parametrów algorytmu pozwala na uzyskanie lepszych rezultatów w porównaniu do filtracji bez sprzężenia.
Zaproponowana metoda daje obiecujące wyniki. Główną jej zaletą jest połączenie własności filtracji opartej na nieliniowym procesie dyfuzji z odpornością transformacji Hougha na zakłócenia i nieregularności występujące na obrazie. Algorytm realizujący filtrację sprzężoną może być używany w przypadku konieczności uwydatnienia określonych struktur (krzywych analitycznych, kształtów). Nie jest on ograniczony do jednego typu transformacji. W przedstawionym rozdziale skoncentrowano się na pokazaniu, w jaki sposób sprzężenie pomiędzy różnymi estymatorami cech może zostać zrealizowane oraz jak skutecznie takie sprzężenie wpływa na proces filtracji.