W rozdziale 5 przedstawiono propozycje metod filtracji trajektorii w przestrzeniach rotacji parametryzowanych przez kwaterniony. Zaprezentowane metody były punktem wyjścia do konstrukcji algorytmów. Praktyczna realizacja algorytmów pozwoliła na uzyskanie eksperymentalnego potwierdzenia wcześniej przedstawionych własności metody filtracji. W kolejnych punktach rozdziału zostanie przedstawiona metoda badawcza, trajektorie testowe (proste i złożone) oraz wyniki przeprowadzonych eksperymentów. Otrzymane rezultaty pozwolą przedstawić zalety proponowanej anizotropowej nieliniowej filtracji trajektorii w porównaniu do algorytmów filtracji liniowej prezentowanych w cytowanych pracach [55], [63], [66].
6.1 Stosowana procedura badawcza
W ramach eksperymentów praktycznych porównywana będzie skuteczność algorytmów implementujących trzy metody filtracji. W dalszej części pracy będą stosowane następujące oznaczenia w prezentacji wyników:
• LQ – algorytm LinQuat (rozdział 5.2) • NLQ – algorytm NonLinQuat (rozdział 5.3) • AQ – algorytm AnisoQuat (rozdział 5.4)
W rozdziale 5.2.4 pokazano, że algorytm LinQuat jest zbieżny z algorytmami filtracji wykorzystującymi liniowe filtry stacjonarne LTI [66]. Wyniki eksperymentów dla tego algorytmu są więc zbieżne z wynikami, które otrzymuje się za pomocą cytowanych metod. Dzięki temu te same badania pozwolą na analizę porównawczą wyników pomiędzy nową metodą filtracji anizotropowej i podejściem zastosowanych w cytowanych pracach.
Ogólna procedura badawcza stosowana w prezentowanej pracy jest analogiczna do procedur stosowanych przy badaniu własności sygnałów cyfrowych (w szczególności przy badaniu obrazów, jak to zostało zaprezentowane w rozdziale 3). Eksperymenty będą się składać z następujących kroków:
• Wybór sekwencji testowej (syntetycznej – rozdział 7.2, złożonej – rozdział 7.3, 7.4). • Wprowadzenie sygnału zakłócającego o znanym charakterze.
196
• Filtracja przy użyciu prezentowanych metod filtracji trajektorii realizowana dla określonej liczby iteracji.
• Wyznaczenie miary jakości filtracji w odniesieniu do sekwencji oryginalnej dla każdej przeprowadzonej iteracji.
• Wizualizacja graficzna rezultatów pośrednich i końcowych.
• Ewentualna powtórka całej procedury dla zmienionych parametrów użytych w metodzie lub parametrów środowiska eksperymentu (zmiana poziomu zaszumienia, zmiana sekwencji testowej, zmiana warunków uwzględniania dodatkowych informacji, itp.) .
Ponieważ w eksperymentach wprowadza się losowy czynnik zakłócający, cała procedura zostanie powtórzona określoną liczbę razy, a otrzymane wyniki określające jakość filtracji będą uśrednione, aby został zmniejszony błąd wyznaczania współczynnika jakości filtracji. W praktyce wyznaczenie wartości dla pojedynczej iteracji przy określonych parametrach wykonywano od 3 do 19 razy. Mniejszą liczbę powtórzeń stosowano dla długich sekwencji, które wymagały bardzo długiego czasu obliczeń. Nie zmniejsza to jednak ogólności otrzymanych obliczeń, gdyż w trakcie przeprowadzania eksperymentów zauważono, że już po 3 losowych powtórzeniach sekwencji testowej, otrzymywano wyniki z dokładnością nie gorszą niż 95 % (w porównaniu do wyników otrzymanych dla 19 powtórzeń). Wyniki numeryczne reprezentują dane uśrednione z serii eksperymentów przeprowadzanych w takich samych warunkach. Oznacza to, że do trajektorii za każdym razem był dodawany sygnał zakłócający o wartościach losowych, lecz zawsze takich samych dla danej trajektorii i konkretnego powtórzenia filtracji.
Prezentacja wyników w postaci graficznej wizualizacji trajektorii dotyczyć natomiast będzie pojedynczego, losowo wybranego rezultatu przeprowadzonej filtracji.
6.1.1 Zastosowane trajektorie testowe
Należy podkreślić, że w przeciwieństwie do dziedziny filtracji obrazów dwuwymiarowych, nie istnieją ogólnie przyjęte wzorce sekwencji testowych używanych do badania algorytmów filtracji w przestrzeni trajektorii. Jednym z powodów takiej sytuacji jest to, że pierwsze tego typu algorytmy powstały stosunkowo niedawno, a liczba publikacji rozważających problem filtracji w przestrzeni rotacji jest nadal niewielka. Zazwyczaj każdy autor stosuje apriorycznie wybrane sekwencje testowe, często bez dokładniejszego opisania sposobu generacji takich sekwencji. W prezentowanej pracy zostaną zaproponowane dwie grupy sekwencji testowych z dokładnym opisem sposobu ich generacji oraz argumentacją, dlaczego takie podejście jest stosowane. Ocena wydajności algorytmów jest dokonywana w sposób porównawczy, co pozwala uzyskać bardziej obiektywne wyniki niż odwoływanie się do rezultatów otrzymanych w innych pracach, w których metoda testowa nie jest ustandaryzowana.
Syntetyczne trajektorie testowe
Pierwsza grupa składa się z trajektorii w przestrzeni orientacji wygenerowanych syntetycznie. Oznacza to, że tworzenie tych przebiegów nie było związane z zapisywaniem ruchów wykonywanych w
197
przestrzeni rzeczywistej. Trajektoria jest przygotowywana przez odcinkowo ciągłą sferyczno-liniową interpolację pomiędzy ustalonymi punktami węzłowymi w przestrzeni rotacji. Nie nakłada się jednak żadnych dodatkowych ograniczeń na otrzymaną trajektorię (np. związanych z różniczkowalnością krzywej, fizycznej możliwości realizacji trajektorii itp.). Celem tego eksperymentu jest sprawdzenie własności prezentowanych metod w przypadkach sygnału o określonych własnościach. Syntetyczne wygenerowanie trajektorii pozwala na uzyskanie pożądanego przebiegu, którego własności są z góry określone. Podobne podejście stosuje się przy badaniu algorytmów przetwarzania obrazów (rozdział 3).
W prezentowanej pracy wyróżnia się 3 główne rodzaje syntetycznych trajektorii testowych. Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to w każdym z przypadków przyjmuje się, że liczba punktów interpolowanych pomiędzy punktami węzłowymi wynosi n = 30 (włączając początkowy punkt węzłowy).
Trajektoria testowa nr 1: QuatEdge
Trajektoria ma na celu modelować odpowiednik krawędzi rozważanych dla algorytmów filtracji obrazów. Jednym z celów opracowania anizotropowych algorytmów filtracji trajektorii jest zmniejszenie wpływu deformacji trajektorii z punktu widzenia jej kształtu. Wizualnie deformacja kształtu jest związana z wprowadzeniem znacznej zmiany w kierunku wykonywanego ruchu. Przyjmuje się ogólne założenie, że odpowiednikiem krawędzi dla trajektorii w przestrzeni rotacji, nazywać się będzie taki przebieg, w którym występuje nagła zmiana położenia lub kształtu trajektorii.
Pierwsza trajektoria testowa reprezentuje ciągły ruch, w którym w dwóch punktach występuje nagła zmiana kierunku. Podejście takie ma symulować odpowiednik krawędzi dla trajektorii w przestrzeni rotacji (QuatEdge). Realizowane jest to przez generację trajektorii przy użyciu następujących punktów węzłowych:
• (0, 0, 0) – punkt początkowy, n elementów • (-90, 45, 0) – n/3 elementów
• (-90, 0, 30) – n elementów • (-180, 0, 0) – punkt końcowy
198
Na rysunku 6-1 pokazana jest trójwymiarowa wizualizacja trajektorii testowej numer 1. Widoczne są dwa punkty, w których występuje zmiana charakteru trajektorii (zmiana kierunku ruchu). Aby lepiej uwypuklić właściwości tego sygnału, na rysunku 6-2 pokazany jest on przy użyciu sfery rotacji. Kolorem niebieskim zaznaczono punkt początkowy. Kolorem czerwonym zaznaczone są punkty węzłowe (z góry określone). Kolor żółty oznacza punkt końcowy trajektorii. Wartości interpolowane zaznaczone są zielonymi punktami i połączone odcinkami. Celowo zrezygnowano z zaznaczania wszystkich punktów przy użyciu stożka pokazującego trzecią składową rotacji. Wystarczające jest pokazanie w ten sposób tylko kilku wybranych punktów w całej trajektorii. W rozpatrywanym przykładzie co 5 punktów interpolowanych rysowany jest stożek reprezentujący pełną rotację (kolor jasnoniebieski). W pozostałych przypadkach wartość rotacji zaznaczona jest punktem zielonym. Sfera została obrócona o około -30 stopni wokół osi Y w porównaniu do poprzednio prezentowanej orientacji w celu czytelniejszej wizualizacji prezentowanej trajektorii.
Rysunek 6-2: Wizualizacja trajektorii testowej nr 1 (QuatEdge) przy użyciu sfery rotacji.
Użycie zaprezentowanej trajektorii testowej ma na celu sprawdzenie działania algorytmów w przypadku sygnału, w którym występuje istotna zmiana kształtu (przez zmianę kierunku) trajektorii. Prosta forma trajektorii (tylko 2 punkty węzłowe) pozwoli na pokazanie własności i różnic otrzymywanych przy przetwarzaniu sygnału przez różnego rodzaju algorytmy. Podobny ruch w przestrzeni jest często realizowany w różnych przypadkach praktycznych. Rzadziej występuje przypadek, w którym trajektoria opisuje ruch o znacznej zmianie zarówno kierunku, jak i chwilowej prędkości kątowej. Trajektoria testowa realizująca taką sytuację pokazana jest na rysunku 6-3. Jest ona modyfikacją poprzedniego przypadku, która będzie pomocna w szczególności do testowania algorytmu filtracji nieliniowej (NonLinQuat). W trajektorii tej nie występują dodatkowej położenia interpolowane pomiędzy drugim i trzecim punktem węzłowym. Pozostałe własności trajektorii pozostają bez zmian.
199
Rysunek 6-3: Trójwymiarowa wizualizacja zmodyfikowanej trajektorii testowej nr 1a.
Trajektoria testowa nr 2: QuatJumps
Druga trajektoria testowa pokazana została na rysunkach 6-4, 6-5 (w tym przypadku stożek reprezentujący rotację jest rysowany co 10 elementów, zastosowano obrót sfery rotacji o 180 stopni). Trajektoria jest opisana przy użyciu następujących punktów węzłowych:
• (0, 0, 0) – punkt początkowy, n elementów • (-90, -10, 0) – n elementów
• (0, 60, 10) – n elementów • (-70, 90, 0) – n elementów • (-10, 110, 10) – n elementów • (-60, 120, 10) – punkt końcowy
200
Rysunek 6-5: Wizualizacja trajektorii testowej nr 2 (QuatJumps) przy użyciu sfery rotacji.
Ruch wykonywany wzdłuż prezentowanej trajektorii testowej zmienia swój kierunek czterokrotnie. Prędkość kątowa w każdym ze stałych odcinków jest w przybliżeniu jednakowa. Trajektoria ta pozwoli przetestować działanie algorytmów dla bardziej skomplikowanego ruchu, w którym kierunek wielokrotnie się zmienia. Przy ocenie wydajności sprawdzane będzie przede wszystkim możliwość zachowania charakteru sygnału z punktu widzenia stałej prędkości kątowej przy jednoczesnej dużej zmienności kierunków. Ponieważ przebieg sygnału w przestrzeni rotacji charakteryzują szybkozmienne regularne skoki, trajektoria nazywana będzie QuatJumps.
Trajektoria testowa nr 3: QuatMulti
Ostatnia syntetyczna trajektoria testowa jest najbardziej skomplikowana z punktu widzenia liczby punktów węzłowych oraz zmian występujących w sygnale. Trajektoria pokazana na rysunku 6-6 tworzona jest przez odcinkowo ciągłą sferyczno-liniową interpolację zdefiniowaną przez następujące punkty węzłowe:
• (0, 0, 0) – punkt początkowy, n elementów • (0, 70, 180) – n/2 elementów • (10, 30, 0) – 2*n elementów • (0, 50, 150) – n/3 elementów • (20, 20, 0) – 3*n elementów • (0, 0, 170) – n/4 elementów • (30, 10, 10) – 4*n elementów • (170, 45, 0) – n elementów • (20, 60, 0) – n/2 elementów • (160, 60, 10) – 2*n elementów • (-160, -30, 0) – n/3 elementów