Skuteczność filtracji realizującej nieliniowe równanie dyfuzji – obrazy syntetyczne syntetyczne

Analogiczne eksperymenty przeprowadzono dla filtru wykorzystującego proces dyfuzji według modelu PM. Testowano skuteczność filtracji dla kilku wybranych wartości parametru K oraz w zależności od używanej funkcji stopującej g. Dodatkowo przeprowadzono test skuteczności filtracji przy użyciu adaptacyjnego sposobu określania parametru K.

Rysunek 2-13: Miara SNR dla filtracji modelu PM, funkcja g1, zaszumienie obrazu testowego σn = 40. Na rysunku 2-13 widoczny jest charakterystyczny sposób działania filtracji według tego modelu. Dla zbyt małych (w porównaniu do zawartości szumu na obrazie) wartości parametru K wzrost jakości według SNR jest powolny, lecz stabilny (niebieska krzywa dla K=20). Aby zachować czytelność wykresu skala została zawężona do 150 iteracji. Jednak nawet dla 500 iteracji filtracja przy K=20 uzyskuje wartość SNR wynoszącą około 15 dB. Filtracja dla większego K (kolor zielony) pozwala na bardzo szybkie uzyskanie dobrego efektu filtracji, który utrzymuje się przez długi czas (brzegi pozostają stabilne nawet dla bardzo wielu iteracji). Użycie parametru K o zbyt dużej wartości (kolor czerwony) prowadzi do szybkiego zmniejszenia zakłóceń, co jednak po kolejnych kilku iteracjach skutkuje znacznym spadkiem jakości obrazu. Jest to spowodowane rozpoczęciem rozmywania brzegów. Należy zauważyć, że dla dużego K filtracja ma charakter zbliżony do procesu opartego na dyfuzji liniowej – funkcja stopująca nie odgrywa wtedy zbyt istotnej roli. Stąd znaczny spadek wartości SNR dla kolejnych iteracji.

44

Użycie adaptacyjnego sposobu wyznaczania parametru K jest bardzo praktycznym rozwiązaniem. Parametr ten zależy od zawartości szumu na obrazie, co jest mierzone przez moduł gradientu na całym obszarze. Na początku, gdy szum jest znaczny, parametr K również przyjmuje duże wartości (wykres fioletowy). Następnie jego wartość zmniejsza się, co powoduje, że dyfuzja w obszarach, gdzie występuje ciągle znaczny gradient, jest coraz bardziej hamowana. Ostatecznie filtracja taka uzyskuje nieznacznie gorsze efekty w porównaniu do odpowiednio dobranego stałego współczynnika K. Niemniej jednak podejście to pozwala na skuteczną automatyczną filtrację w przypadku zakłóceń, o których natężeniu nie ma dodatkowych informacji. Filtracja adaptacyjna również jest stabilna w czasie, to znaczy brzegi nie są rozmywane nawet dla bardzo dużej liczby iteracji.

Rysunek 2-14 przedstawia wynik filtracji obrazu o zaszumieniu σn = 40 po 150 iteracjach przy użyciu funkcji stopującej g1 z parametrami K odpowiednio 20, 50 oraz wersję adaptacyjną. Dla zbyt małego współczynnika K filtracja pozostawia znaczące zakłócenia. Dla porównania na rysunku 2-15 przedstawiono wybrane iteracje procesu filtracji dla K=100. Już przy 10 iteracjach widoczny jest rozpoczynający się proces rozmywania brzegów. Skala tego efektu coraz szybciej się powiększa, co powoduje znaczny spadek miary SNR na wykresie 2-13.

Rysunek 2-14: Wyniki filtracji dla 150 iteracji z parametrem K=20, 50 oraz dla wersji adaptacyjnej, funkcja g1. Początkowe zaszumienie obrazu σn = 40.

Rysunek 2-15: Wyniki filtracji dla wybranych iteracji (10, 30, 150) z parametrem K=100, funkcja g1. Początkowe zaszumienie obrazu σ_n = 40.

Charakterystyka odszumiania zmienia się w przypadku filtracji obrazu o bardzo znacznym zaszumieniu (rysunek 2-16). W tym przypadku małe wartości współczynnika K nie dają wystarczających efektów – zaszumienie obrazu zostaje bardzo nieznacznie zmniejszane. Użycie współczynnika o dużej wartości powoduje szybki wzrost miary SNR, co jest jednak związane również ze znacznym rozmyciem krawędzi na obrazie. Wersja adaptacyjna algorytmu działa w tym przypadku znacznie lepiej w porównaniu do filtracji przy stałej wartości K. Jakkolwiek maksymalna miara SNR osiągana przez filtrację przy

45

adaptacyjnym doborze K jest podobna jak w przypadku stałego dużego współczynników, to takie podejście wykazuje szereg zalet:

• początkowa filtracja jest szybsza,

• miara SNR utrzymuje się na zbliżonym poziomie przez bardzo wiele iteracji, • brzegi obiektu na obrazie są wyostrzane pomimo bardzo znacznych zakłóceń.

Rysunek 2-16: Miara SNR dla filtracji modelu PM, funkcja g1, zaszumienie obrazu testowego σ_n = 400. Ostatnia z wymienionych cech odróżnia charakter tej filtracji od filtracji liniowej. Brzegi w przypadku filtracji opartej na dyfuzji liniowej (rysunek 2-12) były za każdym razem rozmywane, podobnie jak to się dzieje w przypadku źle dobranej wartości współczynnika K. Dobrze zrealizowana filtracja nieliniowa dąży do wyostrzenia znaczących brzegów na obrazie. Rysunek 2-17 przedstawia wybrane iteracje filtracji przy stałym K=100 oraz dla K dobieranego adaptacyjnie.

Rysunek 2-17: Wyniki filtracji dla wybranych iteracji (10, 30, 150) funkcja g1;górny rząd - K=100, dolny rząd – K adaptacyjne. Początkowe zaszumienie obrazu σ_n = 400.

Filtracja dla K=100 daje wizualnie nieznacznie lepsze efekty od filtracji liniowej przy tym samym zaszumieniu. Natomiast wersja adaptacyjna algorytmu pozwala na uzyskanie bardzo wyraźnego

46

rozgraniczenia pomiędzy obiektem, a otoczeniem. Miara SNR przyjmuje w tym przypadku podobną wartość, jednak brzegi obiektu są znacznie lepiej odtworzone. Jest to jeszcze lepiej widoczne dla wyniku filtracji przy 800 iteracjach przedstawionego na rysunku 2-18.

Rysunek 2-18: Wyniki filtracji po 800 iteracjach, K adaptacyjne, funkcja g1; detekcja krawędzi; funkcja obrazu dla linii y=150. Początkowe zaszumienie obrazu σ_n = 400.

Zgodnie z teoretycznymi założeniami proces dyfuzji w nieskończoności dąży do jednolitej wartości funkcji na całym rozpatrywanym obszarze. Wartość ta jest średnią jasności pikseli obrazu początkowego, która pozostaje niezmieniona po każdej iteracji filtru skonstruowanego jako realizacja procesu dyfuzyjnego. Rysunek 2-18 pokazuje, że przy użyciu nieliniowej wersji filtru możliwe jest uzyskanie dobrego rozróżnienia obiektu od tła nawet w przypadku bardzo dużej początkowej degradacji informacji. Wprowadzenie sygnału zakłócającego do obrazu spowodowało:

• Degradację krawędzi, których rekonstrukcja nie jest w pełni możliwa bez dodatkowej wiedzy. Należy zauważyć, że degradacja krawędzi w przypadku dyfuzji nieliniowej (rysunek 2-18) ma inny charakter niż w przypadku dyfuzji liniowej (rysunek 2-12). Z punktu widzenia segmentacji obrazów wynik uzyskany dla dyfuzji nieliniowej jest bardziej praktyczny.

• Zmianę średniej jasności obrazu. Wykres dla jednej linii obrazu na rysunku 2-18 pokazuje, że początkowe obszary o maksymalnej i minimalnej jasności ostatecznie zostały sprowadzone do jasności o mniejszych różnicach.

• Powstawanie nowych obszarów o jednolitej jasności – jest to specyficzny efekt wynikający z charakteru rozpatrywanej nieliniowej filtracji.

We wszystkich przeprowadzonych eksperymentach współczynnik K był wyznaczany za pomocą zależności (2 – 57). Za każdym razem przyjęto parametr skalujący

ϑ

na poziomie 0.9. Własności filtracji mogłyby nieznacznie ulec zmianie po przyjęciu innej wartości parametru

ϑ

. Z obserwacji w trakcie przeprowadzania eksperymentów można stwierdzić, że współczynnik skalujący w mniejszy sposób wpływa na jakość uzyskiwanych wyników. Stąd jego dobór jest łatwiejszy niż prawidłowy dobór współczynnika K.

Wyniki filtracji przy użyciu alternatywnej funkcji stopującej

Charakter filtracji zmienia się w przypadku użyciu funkcji g2, jako funkcji stopującej. Wyniki skuteczności filtracji syntetycznego obrazu testowego o niewielkim zaszumieniu σn = 40 przedstawione są na rysunku 2-19.

47

Rysunek 2-19: Miara SNR dla filtracji modelu PM, funkcja g2, zaszumienie obrazu testowego σ_n = 40. Dla funkcji g2 potrzebne są mniejsze wartości parametrów, aby uzyskać podobną szybkość filtracji, jak w przypadku funkcji g₁ (patrz rysunek 2-4). Proces jest bardziej wrażliwy na użycie zbyt dużego parametru K, co może powodować znaczne rozmycie krawędzi na obrazie i szybki spadek miary SNR. Jednak w tym przypadku przyjęcie adaptacyjnej wersji algorytmu ze względu na parametr K, daje bardzo dobre efekty. Filtracja powoduje szybki wzrost miary SNR dla początkowych iteracji, a następnie stabilne zachowywanie brzegów na obrazie w kolejnych krokach.

Rysunek 2-20: Wyniki filtracji dla 30 iteracji z parametrem K=20, 50 oraz dla wersji adaptacyjnej, funkcja g2. Początkowe zaszumienie obrazu σ_n = 40.

Rysunek 2-21: Miara SNR dla filtracji modelu PM, funkcja g2, zaszumienie obrazu testowego σ_n = 400 Rysunek 2-20 przedstawia wynik filtracji po 30 iteracjach dla wartości K=10, 50 oraz wersji adaptacyjnej. Widoczne jest, że dla małego K taka liczba iteracji jest niewystarczająca do pełnego

48

odszumienia obrazu (patrz wykres 2-19). Większe K powoduje szybkie rozmywanie brzegów zaraz po usunięciu z obrazu większości szumu. Adaptacyjny dobór współczynnika K daje bardzo dobre efekty filtracji, które poprawiają się dla kolejnych iteracji.

Charakter filtracji przy użyciu funkcji g2 jest podobny przy przetwarzaniu obrazu testowego z dużym zaszumieniem σ_n = 400 (rysunek 2-21). W tym przypadku nawet małe wartości parametru K powodują powolny, ale stabilny wzrost miary SNR. Użycie adaptacyjnej wersji algorytmu również w tym przypadku pozwoliło uzyskać dobrą jakość obrazu. Na rysunku 2-22 pokazany jest efekty filtracji mocno zaszumionego obrazu przy użyciu adaptacyjnej wersji algorytmu z funkcją g₂ po 150 iteracjach.

Rysunek 2-22: Wyniki filtracji dla 150 iteracji, K adaptacyjne, funkcja g2; detekcja krawędzi; funkcja obrazu dla linii y=150. Początkowe zaszumienie obrazu σ_n = 400.

W porównaniu do analogicznej filtracji przy użyciu funkcji g₁ (rysunek 2-18) uzyskuje się obraz, który ma usunięte większość z zakłóceń kosztem specyficznej degradacji krawędzi. Obiekt na przedstawionym obrazie wynikowym ma delikatnie bardziej rozmyte krawędzie, jednak cały czas możliwe jest jego jednoznaczne rozróżnienie od tła. Również detekcja krawędzi pokazana na rysunku 2-22 wskazuje na możliwość dobrego wyodrębnienia poszukiwanego obiektu na obrazie. Wykres funkcji wybranej linii z obrazu wynikowego wskazuje na zmiękczenie krawędzi, które nadal jednak pozostają stabilne. Znaczną zaletą uzyskanego wyniku jest brak niewielkich jednolitych (pod względem jasności) obszarów powstałych w poprzednim przypadku na skutek błędnego wyostrzenia obszarów zaszumionych.

Wyniki filtracji dla różnych wartości parametru λ

Filtry realizujące nieliniowe równanie dyfuzji parametryzowane są takżę współczynnikiem λ. Krótko zostaną zaprezentowane własności filtracji w zależności od wartości tego współczynnika.

Parametr λ w równaniu (2 – 60) nie wpływa znaczącą na wyniki uzyskiwane przez zastosowanie

filtracji PM. Decyduje on o szybkości dyfuzji przeprowadzanej w każdej iteracji. Aby została zachowana stabilność schematu dyskretyzacji równania różniczkowego, współczynnik ten nie może być większy niż 1. Na rysunku 2-23 przedstawiono miarę SNR w funkcji iteracji dla kilku wartości współczynnika l=λ/4. Przy użyciu funkcji stopującej g₁ oraz g₂. Eksperyment wykonano dla obrazu testowego o zaszumieniu σn = 40.

W przypadku funkcji g2 filtracja współczynnik λ wpływa jedynie na początkowy przebieg filtracji. Na wykresie wyraźnie widoczny jest wolniejszy wzrost miary SNR dla początkowych iteracji w przypadku zastosowania l=0.1. Od około 80 iteracji wyniki filtracji (według przyjętej miary) nie zależą znacząco od przyjętej wartości λ.

49

Rysunek 2-23: Miara SNR dla filtracji modelu PM, funkcje g2, g1, dla różnych wartości parametru l=λ/4. Zaszumienie obrazu testowego σ_n = 40.

Charakter filtracji zmienia się w zależności od wartości λ przy użyciu funkcji g₁. W tym przypadku zmniejszenie λ wpływa nie tylko na początkową szybkość filtracji. Również dla bardzo wielu iteracji miara SNR została w znaczący sposób zmniejszona przy zastosowaniu mniejszego współczynnika. Wynika to prawdopodobnie z charakteru funkcji g₁, której użycie w poprzednich eksperymentach prowadziło do uzyskanie wyników, które nie zostały całkowicie odszumione. Przy użyciu adaptacyjnego wyznaczania parametru K w początkowej fazie filtracji zostaje usunięte najwięcej zakłóceń. Po automatycznym zmniejszeniu wartości K, szybkość dyfuzji jest globalnie zmniejszona. Mniejsza szybkość w początkowej fazie odszumiania (przez użycie parametru λ o mniejszej wartości) powoduje, że w chwili przejścia do fazy spowolnionej dyfuzji, obraz jest gorzej odszumiony. Stąd bardziej równoległe wykresy miary SNR dla funkcji g₁.

W praktyce najczęściej stosuje się maksymalną wartość współczynnika λ=0.25. Nie wyklucza to jednak specyficznych zastosowań, kiedy pożądane jest zmniejszenie szybkości dyfuzji przez mniejszą wartość tego współczynnika.

W dokumencie Równania różniczkowe cząstkowe w problemach filtracji obrazów i trajektorii przestrzennych (Stron 43-49)