Algorytmy wyznaczania macierzy transformacji

Podstawowym zadaniem algorytmów redukcji opartych na dekompozycji SVD jest wy-znaczenie przeksztaøcenia nieosobliwego , które zrównowa y model pierwotny. Prze-ksztaøcenie to nie jest jednoznaczne i w literaturze opisanych jest wiele ró nych algorytmów wyznaczania macierzy transformacji (o wymiarach ) oraz jej odwrotno ci . Dla modeli o znacznej liczbie zmiennych stanu, macierz transformacji cz sto ma wøa ciwo ci zbli one do macierzy osobliwej, co powoduje du e bø dy numeryczne podczas wyznaczania jej odwrotno ci. Dlatego te wi kszo odpornych numerycznie algorytmów bazuje na

jedno-czesnym wyznaczeniu dwóch macierzy transformacji ( i ) w postaci macierzy prostok t-nych o wymiarach odpowiednio oraz . Umo liwia to jednoczesne zrównowa enie oraz wydzielenie cz ci dominuj cej modelu pierwotnego:

diag (3.16)

W kolejnych punktach przedstawiono podstawowe algorytmy numeryczne oraz dokonano oceny ich wøa ciwo ci numerycznych oraz zøo ono ci obliczeniowej.

Algorytmy RPR, SR oraz BFSR

Dziaøanie przedstawionych algorytmów wyznaczania macierzy transformacji opiera si na dekompozycji Choleskiego gramianów. Wad metody RPR [Glo84, Ant05] w stosunku do

SR (ang. square-root) [LHP87, Ant05] jest konieczno inwersji macierzy , co dla systemów

o wysokim rz dzie wi e si ze znacznymi problemami numerycznymi. Algorytmy RPR oraz

SR zostaøy przedstawione w dodatku (tab. B.1 oraz tab. B.2). Warunkiem wykonania

dekom-pozycji Choleskiego (wynikiem jej jest macierz trójk tna górna) jest dodatnia okre lono gramianów, która speøniona jest dla modeli asymptotycznie stabilnych.

W 1991r. A. Varga opracowaø modyfikacj algorytmu SR znacznie poprawiaj c uwa-runkowanie macierzy transformacji - algorytm BFSR (ang. balanced-free square root) [Var91, Var91a, VA01, Ant05]. Algorytm ten ø czy zalety algorytmu SR z algorytmami typu

BF (ang. balanced-free) [SC89]. Wynik dziaøania algorytmu SR poddany zostaje faktoryzacji

QR oraz nast pnej dekompozycji SVD, w wyniku których wyznaczona macierz transformacji ma znacznie lepsze uwarunkowanie numeryczne. Algorytm przedstawiony zostaø w tab. B.3.

Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów dla modeli podsystemów kotøa energe-tycznego, stwierdzono trudno ci zwi zane z wyznaczaniem dekompozycji Choleskiego gra-mianów dla modeli powy ej 40. rz du [Ryd05]. Wynika to z wyst powania w modelu pier-wotnym wielu modów, które maj znikomy wpøyw na wøa ciwo ci modelu pierwotnego (zwi zane s one z bardzo maøymi warto ciami Hankela). Powoduje to zøe uwarunkowanie numeryczne gramianów i przy ograniczonej dokøadno ci numerycznej niektóre mody modelu mog zosta uznane za niesterowalne lub nieobserwowalne ( 0), a nawet za mody niesta-bilne ( 0). Klasyczny algorytm wyznaczania macierzy transformacji (wyznaczenie gra-mianów, a nast pnie ich dekompozycja) mo na zastosowa wyø cznie dla modeli o maøej zøo ono ci. Modele o du ej zøo ono ci wymagaj zastosowania algorytmów Lapunowa, które umo liwiaj bezpo rednie wyznaczenie dekompozycji Choleskiego gramianów (np. algorytm Hammarlinga [Ham82] lub bazuj cy na funkcji signum [BQ99, BQQ00, SB08]):

(3.17) (3.18) Zaimplementowany w przyborniku SLICOT [Var01a, Var02] oraz w pakiecie MATLAB/Simulink algorytm Hammarlinga wymaga okoøo 25n³ operacji zmiennoprzecinko-wych [Ham82, Pen98, Pen98a]. Dla modeli o du ej zøo ono ci kolejne warto ci wøasne gra-mianów ( ) zazwyczaj bardzo szybko malej [Pen99]. Gramiany mo na zatem aproksymo-wa z du dokøadno ci za pomoc dodatnio okre lonych macierzy niskiego rz du. Umo li-wia to zastosowanie iteracyjnych algorytmów niskiego rz du (ang. low-rank, o zøo ono ci obliczeniowej [LW04], które wyznaczaj macierze oraz o znacznie ni szej liczbie wierszy ni rz d modelu. Algorytmy niskiego rz du bazuj na wyznaczeniu podprzestrzeni Kryøowa [Saa90, JKL92,GL94, LW04], metodach ADI (ang. alternating direction implicite) [Pen06, Li00, LW01, LW04], Smith [ASG03, Pen06] lub wyznaczaj c dekompozycj w bazie funkcji wøasnych POD (ang. Proper Orthogonal Decomposition) [WP02, Row05, IR06, Sin08]. Algorytmy te ø cz w sobie zalety metod redukcji SVD oraz Kryøowa (metody SVD-Kryøowa), tj. przy zachowaniu porównywalnej z metodami Kryøowa zøo ono ci obliczeniowej gwarantuj zachowanie stabilno ci modelu zredukowanego.

Dla stabilnych modeli wysokiego rz du ( 500) i maøej liczbie wej i wyj ( , 100) algorytmy niskiego rz du ADI oraz Smith zaimplementowano dla pakietu MATLAB/Simulink w przyborniku LYAPACK[Pen00].

Algorytm BF Schura [SC89, Pen06]

Wyznaczenie macierzy transformacji przy u yciu algorytmu SR w niektórych przypad-kach wi e si z du ymi problemami numerycznymi. Kosztowny obliczeniowo algorytm Schura umo liwia prawidøowe wyznaczenie macierzy transformacji, pomimo zøego uwarun-kowania gramianów. Algorytm ten nale y do metod typu BF (ang. balanced free). Oznacza to, e model zredukowany wyznaczany jest bez wcze niejszego zrównowa enia modelu, po-przez projekcj lewej i prawej bazy macierzy wøasnej (uporz dkowany zbiór wektorów wøa-snych) zwi zanych z „du ymi” warto ciami Hankela. Metoda ta korzysta z dekompozycji Schura oraz ortogonalnej rotacji Givensa. Algorytm przedstawiono w tab. B.4 (dodatek). Opracowany zostaø równie algorytm Schura niskiego rz du (LRSM – ang. Low Rank Schur Method) [Pen06], który zaimplementowano dla pakietu MATLAB/Simulink w przyborniku L Y-APACK[Pen00].

Algorytm Huanga [HY00]

W pracy [HY00] przedstawiono podej cie wykorzystuj ce wektory wøasne do wyznacze-nia macierzy transformacji. Polega ono na takim przeksztaøceniu wektorów wøasnych, aby iloczyn byø równy jedno ci. Przeksztaøcenie to mo na wyznaczy z nast puj cej za-le no ci:

(3.19) gdzie:v jest wektorem wøasnym iloczynu gramianów

Macierz transformacji uzyskuje si jako iloczyn macierzy diagonalnej zawieraj cej na gøównej przek tnej pierwiastki warto ci szczególnych Hankela oraz odwrotnej macierzy wek-torów wøasnych . Wad tej metody jest konieczno wyznaczenia inwersji gramianu stero-walno ci oraz macierzy wektorów wøasnych. Powoduje to maø przydatno metody dla ukøa-dów wysokiego rz du. Algorytm redukcji zostaø przestawiony w tab. B.5.

Algorytm EIG-SR, EIG-BFSR

Zastosowana w algorytmach SR oraz BFSR dekompozycja Choleskiego gramianów ste-rowalno ci i obserwowalno ci mo e by wyznaczona wyø cznie dla macierzy dodatnio okre-lonych. Na skutek bø dów numerycznych algorytm ten nie zawsze mo e by zastosowany. Dekompozycj gramianów do postaci mo na równie uzyska wyznaczaj c ortogo-naln baz wektorów wøasnych oraz diagoortogo-naln , która zawiera warto ci wøasne macierzy:

(3.20) (3.21) Obinata oraz Anderson zaproponowali algorytm wyznaczania macierzy transformacji ba-zuj cy na wyznaczeniu bazy wektorów wøasnych (dodatek tab. B.6), lecz jego wad jest ko-nieczno wyznaczenia inwersji macierzy transformacji [OA01].

Dla modeli o wielkiej zøo ono ci cz sto wyst puj bø dy numeryczne podczas wyznacza-nia najmniejszych warto ci wøasnych gramianów sterowalno ci oraz obserwowalno ci. Efek-tem tego mo e by pojawienie si ujemnych warto ci wøasnych gramianów (najcz ciej o warto ci nie wi kszej ni -10 ), co dla modelu asymptotycznie stabilnego jest sprzeczne

z warunkiem (3.14). Mody zwi zane z tymi warto ciami wøasnymi maj jednak znikomy wpøyw na wøa ciwo ci modelu pierwotnego i mog by pomini te podczas wyznaczania aproksymacji macierzy oraz :

(3.22) (3.23)

gdzie: , , , 0 0 , , , 0 0 s macierzami diagonalnymi

zawieraj cymi dodatnie warto ci wøasne gramianów 0, 0.

Na rys. 3.1 przedstawiono norm bø du aproksymacji gramianów (3.24) w funkcji (licz-by zastosowanych wektorów oraz warto ci wøasnych graminaów do wyznaczenia jego aprok-symacji) dla modelu head-cont (SLICOT benchmark collection [CD02]).

(3.24) Jak mo na zauwa y , poprawne oszacowanie warto ci gramianów oraz ro nie wraz z liczb uwzgl dnionych warto ci i wektorów wøasnych ( ). Na skutek bø dów numerycznych a 85 spo ród 200 warto ci wøasnych gramianów sterowalno ci oraz obserwowalno ci przyj-muje warto ci ujemne. Rz dy gramianów wynosz jednak odpowiednio 24 (dla ) oraz 26 (dla ), a wiec poprawna aproksymacja elementów macierzy gramianów wymaga dokøadne-go wyznaczenia okoøo 25 najwi kszych warto ci wøasnych gramianów.

Rys. 3.1. Dokøadno aproksymacji gramianów oraz dla modelu head-cont Dekompozycja gramianów wzgl dem bazy wektorów oraz warto ci wøasnych mo e rów-nie zast pi dekompozycj Choleskiego w algorytmach SR oraz BFSR. Zaproponowana modyfikacja standardowych algorytmów umo liwia wyznaczenia macierzy transformacji równie dla modeli wysokiego rz du (algorytmy EIG-SR oraz EIG-BFSR zaprezentowano w dodatku tab. B.7).

Porównanie algorytmów wyznaczania macierzy transformacji

Przedstawione algorytmy zrównowa enia modelu zostaøy porównane pod wzgl dem wøa-ciwo ci numerycznych okre laj cych ich przydatno dla redukcji modeli o du ej zøo ono-ci. Jednym z parametrów oceny wøa ciwo ci numerycznych otrzymanej macierzy transfor-macji jest jej uwarunkowanie numeryczne. W przypadku du ej warto ci tego parametru ma-cierz ma wøa ciwo ci mama-cierzy osobliwej.

Sprawdzenie uwarunkowania macierzy transformacji oraz jej odwrotno ci€ wykonano dla dwóch przykøadów:

• losowo generowanych modeli (rz d modelu •=10 1000), dla których model zredukowany zawieraø 1/5 zmiennych stanu modelu pierwotnego (rys. 3.2),

• losowego wygenerowanego modelu rz du =300 oraz zmianie rz du modelu zredukowanego (rys. 3.3).

Ze wzgl du na uwarunkowanie macierzy transformacji algorytmy mo na podzieli na trzy grupy :

• algorytmy o dobrym uwarunkowaniu macierzy (BFSR, EIG-BFSR oraz Schura), • algorytmy o zøym uwarunkowaniu (RPR, SR, EIG-SR),

• algorytmy nieprzydatne do redukcji modeli o rz dzie wi kszym ni kilkana cie, ze wzgl -du na bø dy numeryczne (algorytm Huanga).

Na podstawie przedstawionych charakterystyk mo na stwierdzi , e wykorzystanie orto-normalnej dekompozycji wzgl dem bazy wektorów oraz warto ci wøasnych charakteryzuje si lepszymi wøa ciwo ci numerycznymi ni analogiczny algorytm z dekompozycj Chole-skiego (uwarunkowanie macierzy transformacji dla algorytmów EIG-SR oraz EIG-BFSR jest ni sze ni od SR oraz BFSR).

Rys. 3.2. Uwarunkowanie macierzy transformacji w funkcji rz du modelu pierwotnego: a) macierz T b) macierz L

Rys. 3.3. Uwarunkowanie macierzy transformacji w funkcji rz du modelu zredukowanego: a) macierz T b) macierz L

Algorytmy porównano równie pod wzgl dem bø dów numerycznych wyst puj cych w macierzach transformacji. W celu oceny algorytmów wyznaczono norm bø du aproksyma-cji, jako ró nic macierzy jednostkowej z iloczynem macierzy transformacji oraz [Ant05]:

| | (3.25)

a) b)

Rys. 3.4. w funkcji rz du modelu

zreduko-wanego (model pierwotny - model losowy rz d 300) ^{Rys. 3.5.} nego (rz d zredukowany k=n/5)^{w funkcji rz du modelu} pierwot-Przeprowadzone eksperymenty dowodz , e algorytm RPR charakteryzuje si najsøab-szymi wøa ciwo ciami numerycznymi. Dla modeli o rz dzie wi kszym ni 200 algorytm ten nie daje poprawnych wyników redukcji. Najmniejsz norm bø du charakteryzuj algorytmy

EIG-BFSR, BFSR oraz Schura.

Najlepszymi wøa ciwo ciami numerycznymi, zarówno pod wzgl dem uwarunkowania macierzy transformacji, jak równie bø dów numerycznych w macierzach oraz , charakte-ryzuje si algorytm EIG-BFSR. Jedyn wad metody EIG-BFSR jest ograniczenie maksy-malnego rz du modelu zredukowanego do okoøo 60% – 70% zmiennych modelu pierwotne-go. W praktycznych zastosowaniach redukcji, rz d modelu zredukowanego jest zazwyczaj znacznie ni szy od rz du modelu pierwotnego ( ). Nie powoduje to zatem znacznego ograniczenia przydatno ci metody EIG-BFSR dla redukcji modeli o znacznej zøo ono ci.