TOD REDUKCJI
4.1. Miary bø du aproksymacji modeli zredukowanych
Modele matematyczne obiektów sterowania charakteryzuj si okre lonym zakresem ade-kwatno ci, który dla modeli liniowych okre la si poprzez podanie maksymalnej cz stotliwo-ci, dla której model poprawnie aproksymuje charakterystyki cz stotliwo ciowe obiektu [KIA96]. Dla cz stotliwo ci wi kszych od zakresu adekwatno ci bø d aproksymacji mo e znacznie wzrosn , nie wpøywaj c negatywnie na ocen przydatno ci modelu dla celów ste-rowania. Celem redukcji jest zatem wyznaczenie modelu zredukowanego o jak najni szym rz dzie, który b dzie si charakteryzowaø okre lonym bø dem aproksymacji dla zadanego zakresu adekwatno ci.
Metody redukcji, bazuj ce na dekompozycji SVD, umo liwiaj wyznaczenie normy bø du aproksymacji modelu zredukowanego. Model zredukowany metod BTA lub SPA charakte-ryzuje si norm bø du mniejsz ni podwojona suma warto ci Hankela modów, które zostaj odrzucone (3.29). Dla metody HNA bø d ten jest dwukrotnie mniejszy [Glo84].
Z literatury znane s równie oszacowania bø dów aproksymacji dla metod wprowadzaj -cych wagi cz stotliwo ciowe (FW [KAM95], FD [GA04], TLBT [GA03]). Zale no ci te wprowadzaj dodatkowe wspóøczynniki pochodz ce od warto ci Hankela filtrów wagowych. Umo liwiaj one oszacowanie maksymalnego bø du aproksymacji w caøej dziedzinie cz sto-tliwo ci. Dobór odpowiednich wag cz stosto-tliwo ciowych umo liwia zmniejszenie bø du aproksymacji dla zadanego przedziaøu cz stotliwo ci. Nie istnieje jednak adna zale no , która umo liwiaøaby oszacowanie warto ci bø du aproksymacji dla okre lonego zakresu cz -stotliwo ci.
Ocena zredukowanych modeli matematycznych obiektów sterowania, uzyskanych z za-stosowaniem ró nych technik redukcji, wymaga wprowadzenia odpowiednich miar bø du aproksymacji. Ze wzgl du na ograniczony zakres adekwatno ci modelu zredukowanego, mia-ry te powinny okre la warto bø du aproksymacji wyø cznie dla okre lonego przedziaøu cz stotliwo ci.
Modele MIMO mog charakteryzowa si znacznymi ró nicami warto ci moduøów transmitancji dla poszczególnych torów. Dodatkowo warto ci moduøów transmitancji dla po-szczególnych torów mog podlega znacznej zmienno ci w funkcji cz stotliwo ci. Z tego wzgl du zastosowanie wyø cznie bezwzgl dnej miary bø du aproksymacji nie zawsze pozwa-la poprawnie oceni jako aproksymacji modelu zredukowanego.
Na podstawie przeprowadzonych analiz wprowadzono nast puj ce miary bø du: • bø d bezwzgl dny,
• znormalizowany bø d bezwzgl dny (wprowadzaj cy wspóøczynniki dla poszczególnych torów),
• bø d wzgl dny.
Kryterium oceny poprawno ci aproksymacji modelu zredukowanego mo e by bø d mak-symalny oraz redniokwadratowy, który lepiej opisuje dokøadno aproksymacji w caøym zakresie adekwatno ci modelu. Poszczególne miary bø du aproksymacji mo na przedstawi nast puj cymi zale no ciami:
• maksymalny bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci modelu:
max max
, G , jw G , jw (4.1)
• znormalizowany maksymalny bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci modelu:
max max
, G , jw G , jw ./ (4.2)
• maksymalny wzgl dny bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci modelu:
100 max max
, , jw , jw ./ , jw (4.3)
• redniokwadratowy bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci modelu: 1
G , jw G , jw (4.4)
• znormalizowany redniokwadratowy bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci mode-lu:
1
€ G , jw G , jw ./ • (4.5)
• redniokwadratowy wzgl dny bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci modelu: 1
€ G , jw G , jw ./ G , jw • (4.6)
• redniokwadratowy wzgl dny bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci modelu z cz -stotliwo ciowym wspóøczynnikiem wagowym:
1
€ G , jw G , jw .‚ ƒ • (4.7)
gdzie: – liczba punktów aproksymacji w dziedzinie cz stotliwo ci,
– macierz wag normalizuj cych (zale na od warto ci moduøu transmitancji po-szczególnych torów modelu). Dla modelu rur ekranowych parownika oraz jego pod-systemów macierz wag normalizuj cych ma nast puj c posta :
„ | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | max wi 0.01 20 | jwi | max wi 0.01 20 | jwi | | 0 | max wi 0.01 20 | jwi | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | (4.8) – macierz cz stotliwo ciowej funkcji wagowej o wymiarach ( … … ). Dla modelu parownika oraz jego podsystemów macierz przyjmuje nast puj c posta :
i 1 . | jw | ‚ w¤ (4.9)
Operacje ( ./ ) oraz ( .* ) oznaczaj odpowiednio:
‡./ˆ ‡ , /ˆ ,
4.1.1. Analiza wpøywu kryterium optymalizacji na wøa ciwo ci
mode-lu zredukowanego
Za pomoc zale no ci (4.1) – (4.7) wprowadzonych zostaøo 7 miar bø du aproksymacji modelu zredukowanego dla okre lonego zakresu adekwatno ci. Trudno jest zatem sformuøo-wa zadanie optymalizacji w postaci jednej funkcji celu. Zamiast skalarnej sformuøo-warto ci kryterium oceny, nale y uwzgl dnia caøy zbiór warto ci (w postaci wektora celów [MF06]), których jednoczesna minimalizacja nie zawsze jest mo liwa z powodu ich wzajemnej sprzeczno ci.
W ogólnym przypadku optymalizacja wielokryterialna polega na wyznaczeniu mo liwie wielu rozwi za niezdominowanych. Punktem niezdominowanym (Pareto-optymalnym) dla zadania minimalizacji nazywamy rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje inny
punkt w przestrzeni rozwi za dopuszczalnych taki, e dla wszystkich
kryteriów oraz dla co najmniej jednego kryterium [Mic92]. Wyboru rozwi za-nia po ród punktów niezdominowanych mo na dokona metod punktu idealnego lub punktu najgorszych oczekiwa [Ara01].
Niektóre przypadki optymalizacji wielokryterialnej daj si sprowadzi do problemu optymalizacji ze skalarnym wska nikiem jako ci. Najprostszym z nich jest wybór jednego z kryteriów wraz z przeniesieniem pozostaøych jako ogranicze , co prowadzi do klasycznej postaci problemu optymalizacji z ograniczeniami.
Innym prostym sposobem jest metoda celów wa onych polegaj ca na obliczeniu sumy poszczególnych kryteriów przy zaøo onych wspóøczynnikach wagowych (4.11). Wad tego podej cia jest trudno zwi zana z okre leniem warto ci poszczególnych wag.
, , (4.11)
gdzie: - wspóøczynnik wagowy, – j-te kryterium optymalizacji
W pracy zastosowano optymalizacj jednokryterialn z uwzgl dnieniem pozostaøych miar bø dów jako ogranicze . Podstawowym problemem pozostaje wybór odpowiedniej miary bø du aproksymacji jako kryterium, które podlega b dzie minimalizacji.
W dodatku B.2 przedstawiono bø dy aproksymacji (warto bezwzgl dna oraz wzgl dna) zredukowanych modeli strefy dogrzewu rur ekranowych parownika, wybranych na podstawie minimalnej warto ci bø dów aproksymacji (4.1) – (4.7) o zakresie adekwatno ci 0-20[rad/s]. Wszystkie modele zredukowane (rz du 15) zostaøy uzyskane metod FW z zastosowa-niem wagi wyj ciowej w postaci filtrów dolnoprzepustowych Butterwortha. W tab. 4.1 przed-stawiono warto ci miar bø dów aproksymacji, uzyskane dla poszczególnych modeli zreduko-wanych.
Tab. 4.1. Bø d aproksymacji modeli zredukowanych model zredukowany
A
min minB minC minD minE minF minG
0.3144 17.06 20.38 0.9256 18.09 35.10 88.12 54.36 0.3486 1.941 24.45 0.4303 1.154 1.485 37129 2053 194.9 15634 1595 230.1 479.1 0.1209 0.8947 1.438 0.09988 0.9305 2.240 4.799 9.360 0.06006 0.2374 4.718 0.04821 0.07229 0.1143 29.33 1.812 0.4369 13.24 1.434 0.1812 0.3168 2801 1.036 24.68 2101 1.379 2.536 0.1030
Na podstawie przedstawionych wyników redukcji dla modelu strefy dogrzewu rur ekra-nowych parownika, mo na wyprowadzi kilka ogólnych wniosków dotycz cych wyboru po-szczególnych miar bø dów jako kryterium optymalizacji:
• Model zredukowany charakteryzuj cy si najmniejsz warto ci bezwzgl dnego bø du aproksymacji (4.1) oraz (4.4) poprawnie aproksymuje wyø cznie zakresy cz stotliwo ci, które charakteryzuj si najwi ksz warto ci moduøu transmitancji (dla tych zakresów wyst puj najwi ksze w mierze bezwzgl dnej bø dy aproksymacji i model dobierany jest pod k tem ich minimalizacji). Algorytm optymalizacji bazuj cy na bø dzie bezwzgl d-nym, mo e prowadzi do niepoprawnej aproksymacji tych torów oraz zakresów cz sto-tliwo ci, które charakteryzuj si maø warto ci moduøu transmitancji.
• Wprowadzenie macierzy wag normalizuj cych (4.2) oraz (4.5) ma za zadnie odniesienie warto ci bø du aproksymacji do warto ci maksymalnej (lub do warto ci dla stanu ustalo-nego) moduøu transmitancji poszczególnych torów modelu. Umo liwia to poprawn aproksymacj charakterystyk cz stotliwo ciowych wszystkich torów modelu, niezale nie od wyst puj cych ró nic warto ci moduøu transmitancji dla poszczególnych torów. Po-wa nym problemem jest odpowiedni wybór Po-wag normalizuj cych, gdy w gøównej mie-rze od tego zale wøa ciwo ci modelu zredukowanego.
• Minimalizacja bø du wzgl dnego modelu zredukowanego (4.3) oraz (4.6) umo liwia po-prawn aproksymacj torów niezale nie od ró nic moduøów transmitancji poszczegól-nych torów, jak równie znacznej ich zmienno ci w zakresie adekwatno ci modelu. Mi-nimalizacja tej miary bø du mo e jednak powodowa , e model zredukowany dobierany jest na podstawie warto ci bø du dla zakresów cz stotliwo ci o najmniejszej warto ci moduøu transmitancji, gdy statystycznie dla tych zakresów cz stotliwo ci wyst puj najwi ksze bø dy wzgl dne. W wyniku tego mo e nast pi pogorszenie jako ci aproksymacji dla stanu ustalonego oraz niskich cz stotliwo ci w stosunku do algorytmu bazuj -cego na znormalizowanej warto ci bø du.
• Zastosowanie kryterium w postaci bø du maksymalnego powoduje wybranie modelu na podstawie minimalizacji bø du w jednym (najgorzej aproksymowanym) punkcie charak-terystyki cz stotliwo ciowej modelu. Zalet jest prosty do zinterpretowania wynik, np. bø d aproksymacji dla zakresu adekwatno ci nie przekracza 10%. W zamian za to zasto-sowanie miary redniokwadratowej umo liwia rozøo enie kryterium oceny na wiele punktów w caøym przedziale adekwatno ci modelu.
• Wprowadzenie cz stotliwo ciowej funkcji wagowej umo liwia zmniejszenie bø dów aproksymacji dla okre lonych torów modelu w wybranych zakresach cz stotliwo ci. Miara ta jest najbardziej uniwersalna w zastosowaniu, jednak warto liczbowa tego bø -du jest trudna do interpretacji fizykalnej.
Na podstawie przedstawionych wyników redukcji dla modeli podsystemów parownika ko-tøa przepøywowego, za najbardziej celowe uznano minimalizacj redniokwadratowego bø du wzgl dnego. Pozostaøe kryteria (zwøaszcza maksymalny bø d wzgl dny, ze wzgl du na prost interpretacj fizykaln ) mog zosta uwzgl dnione jako ograniczenia.
4.1.2. Wpøyw liczby punktów aproksymacji na warto miar bø dów
Poprawne wyznaczenie miar bø dów aproksymacji (4.1 – 4.7) wymaga okre lenia odpo-wiednio du ej liczby bø dów dla poszczególnych cz stotliwo ci ( ) w zakresie adekwatno ci modelu. Zwi kszanie liczby punktów aproksymacji powoduje jednak wzrost nakøadów obli-czeniowych. Na rys 4.1 przedstawiono wpøyw liczby punktów aproksymacji (liczby cz sto-tliwo ci ) na warto maksymalnego oraz redniokwadratowego bø du wzgl dnego dla pi
-ciu ró nych modeli zredukowanych strefy dogrzewu o zakresie adekwatno ci w przedziale 0,001-20 [rad/s]. Warto ci bø dów dla poszczególnej liczby punktów zostaøy odniesione do bø du uzyskanego dla N=1000 punktów aproksymacji. Na podstawie przestawionych wyni-ków redukcji, poprawne oszacowanie poszczególnych miar bø dów wymaga minimum 100 punktów, dla których wyznaczone zostaj ró nice charakterystyk cz stotliwo ciowych mode-lu pierwotnego oraz modeli zredukowanych.
Rys. 4.1. Wpøyw liczby punków aproksymacji na warto
(a) maksymalnego bø du wzgl dnego, (b) redniokwadratowego bø du wzgl dnego
Na warto bø du redniokwadratowego ma równie wpøyw sposób rozøo enia punktów aproksymacji na osi cz stotliwo ci. Nierównomierny sposób rozøo enia punktów mo na uzna za równowa ny wprowadzeniu wagi cz stotliwo ciowej. Zwi kszenie liczby punktów dla pewnych przedziaøów cz stotliwo ci powoduje, e algorytmy minimalizuj ce rednio-kwadratow warto bø du b d d y do zmniejszenia bø dów aproksymacji dla wybranego przedziaøu cz stotliwo ci.