Zredukowane hierarchiczne modele złożonych obiektów sterowania na przykładzie kotła energetycznego

WYDZIAè ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI

I INFORMATYKI

mgr in . Marek Rydel

Zredukowane hierarchiczne modele

zøo onych obiektów sterowania

na przykøadzie kotøa energetycznego

ROZPRAWA DOKTORSKA

promotor:

dr hab. in . Wøodzimierz Stanisøawski, prof. PO

WYKAZ WA NIEJSZYCH OZNACZE ...4

1. WST P...6

1.1. SFORMUèOWANIE PROBLEMU...6

1.2. HIERARCHICZNA BUDOWA MODELI MATEMATYCZNYCH ZèO ONYCH OBIEKTÓW STEROWANIA...7

1.3. KLASY ZèO ONO CI MODELI...8

1.4. AGREGACJA MODELI...10

CEL,TEZA I ZAKRES PRACY...12

2. MODELE MATEMATYCZNE KOTèÓW PRZEPèYWOWYCH BLOKÓW ENERGETYCZNYCH JAKO OBIEKTÓW STEROWANIA...13

2.1. BLOK ENERGETYCZNY...13

2.2. ANALIZA SYSTEMOWA I PODEJ CIE HIERARCHICZNE DO MODELOWANIA KOTèÓW ENERGETYCZNYCH16 2.3. FORMALIZACJA OPISU STRUKTURY MODELU PAROWNIKA KOTèA...17

2.4. MODELE MATEMATYCZNE PODSYSTEMÓW PAROWNIKA...21

2.4.1. Rury ekranowe ...21

2.4.2. Separator ...29

2.5. WERYFIKACJA MODELI PAROWNIKA...30

2.6. WNIOSKI...32

3. REDUKCJA MODELI ZèO ONYCH OBIEKTÓW STEROWANIA...33

3.1. WPROWADZENIE...33

3.2. METODY REDUKCJI OPARTE NA DEKOMPOZYCJISVD ...35

3.2.1. Algorytmy wyznaczania macierzy transformacji ...37

3.2.2. Balanced Truncation Approximation (BTA) ...42

3.2.3. Singular Perturbation Approximation (SPA)...43

3.2.4. Metody wprowadzaj ce wagi cz stotliwo ciowe ...43

3.2.5. Hankel Norm Approximation (HNA) ...50

3.3. METODY REDUKCJI OPARTE NA METODACH MOMENTÓW...51

3.3.1. Asymptotic Waveform Evaluation (AWE) ...52

3.3.2. Alogrytmy Lanczosa oraz Arnoldiego...53

3.3.3. Wielopunktowe metody momentów ...57

3.3.4. Fourier Model Reduction...58

3.4. WNIOSKI...60

4. ALGORYTMY DOBORU PARAMETRÓW METOD REDUKCJI...61

4.1. MIARY Bè DU APROKSYMACJI MODELI ZREDUKOWANYCH...61

4.1.1. Analiza wpøywu kryterium optymalizacji na wøa ciwo ci modelu zredukowanego ...63

4.1.2. Wpøyw liczby punktów aproksymacji na warto miar bø dów...64

4.2. PARAMETRY METOD REDUKCJI...65

4.2.1. Wpøyw parametrów metody FW na wyniki redukcji...67

4.2.2. Wpøyw parametrów metody FD na wyniki redukcji...71

4.2.3. Wpøyw parametrów metody FMR na wyniki redukcji ...73

4.2.4. Wpøyw parametrów metody RK na wyniki redukcji ...74

4.2.5. Algorytmy doboru parametrów dla metod redukcji ...77

4.3. ALGORYTMY EWOLUCYJNE...78

4.3.1. Podstawowe operacje algorytmu ewolucyjnego ...79

4.3.2. Strategie ewolucyjne ...82

4.4. WYZNACZANIE OPTYMALNYCH PARAMETRÓW METOD REDUKCJI Z WYKORZYSTANIEMAE ...84

4.4.1. Strategia ewolucyjna ...87

4.4.2. Strategie ewolucyjne , oraz ...90

4.4.3. Algorytm ewolucyjny o zmiennej liczebno ci populacji...96

4.4.4. Algorytm ewolucyjny z kosztown funkcj celu ...97

HIERARCHII...102

5.2. REDUKCJA MODELI PIERWSZEGO POZIOMU HIERARCHII...104

5.3. REDUKCJA MODELI DRUGIEGO POZIOMU HIERARCHII...106

5.3.1. Wra liwo wøa ciwo ci dynamicznych modelu rur ekranowych na wariancje poø cze podsystemów ...107

5.3.2. Wpøyw sprz e zwrotnych na stabilno hierarchicznego modelu zredukowanego rur ekranowych ...109

5.3.3. Wpøyw bø dów aproksymacji podsystemów na bø dy aproksymacji modelu rur ekranowych parownika ...114

5.3.4. Redukcja hierarchicznego modelu rur ekranowych parownika...116

5.3.5. Pozostaøe podsystemu drugiego poziomu hierarchii...117

5.4. PAROWNIK KOTèA ENERGETYCZNEGOBP-1150...118

5.4.1. Redukcja hierarchicznego modelu parownika ...121

5.5. PROJEKTOWANIE UKèADU STEROWANIA PAROWNIKA NA PODSTAWIE MODELI ZREDUKOWANYCH...122

5.6. WNIOSKI...124

6. PODSUMOWANIE ...127

LITERATURA ...131

A. DODATEK A...137

B. DODATEK B...140

B.1. ALGORYTMY WYZNACZANIA MACIERZY TRANSFORMACJI...140

B.2. Bè DY APROKSYMACJI ZREDUKOWANYCH MODELI STREFY DOGRZEWU RUR EKRANOWYCH PAROWNIKA...148

B.3. WPèYW PARAMETRÓW METODYFWNA WYNIKI REDUKCJI...153

C. DODATEK C...154

C.1. TABELE WYNIKÓW...154

C.2. STRATEGIE EWOLUCYJNE , ORAZ -WYKRESY...169

D. DODATEK D...172

D.1. CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWE,FAZOWE ORAZ Bè DY APROKSYMACJI MODELI POZIOMU PIERWSZEGO...172

D.2. CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWE,FAZOWE ORAZ Bè DY APROKSYMACJI MODELI POZIOMU DRUGIEGO...181

Wykaz oznacze dla modeli parownika: Indeksy:

sep – separator; w – woda wpøywaj ca do rur ekranowych; kond – kon-densat; m – mieszalnik; f – filtr; pom – pompa cyrkulacyjna; 1 – schøa-dzacze pary;

- Entalpia czynnika roboczego odniesiona do jednostki masy czynnika ro-_boczego - Przepøyw masowy czynnika roboczego odniesiony do jednostki

po-wierzchni przekroju i jednostki czasu

- Entalpia czynnika roboczego odniesiona do jednostki masy czynnika ro-_{boczego przepøywaj cego przez okre lony przekrój poprzeczny} - Przepøyw masowy czynnika roboczego odniesiony do jednostki czasu - Ci nienie

- Strumie cieplny odniesiony do jednostki døugo ci rury

~ _{- Wzgl dna warto strumienia cieplnego}

- Wspóøczynnik przewodno ci cieplnej

, - rednica zewn trzna i wewn trzna cianki rury - Promie cianki rury

- Obj to wøa ciwa czynnika roboczego

, - Obj to wøa ciwa wrz cej wody i pary nasyconej suchej €

€_• - Wspóøczynnik po lizgu w przepøywie dwufazowym

‚ƒ„ - G sto stali

…ƒ„ - Ciepøo wøa ciwe stali

† - Grubo_separatorawarstwy (elementu sko czonego) dla cianki rury i pøaszcza - Obj to separatora

Q - Temperatura cianki rury

- Temperatura czynnika roboczego

‚ - G sto czynnika roboczego

‡ - Strumie cieplny dopøywaj cy do czynnika roboczego odniesiony do jed-_{nostki obj to ci czynnika roboczego}

ˆ ‰ - Przyspieszenie ziemskie

Š ° - K t nachylenia rur ekranowych wzgl dem kierunku pionowego ‹ 1 - Wspóøczynnik strat ci nienia

- Døugo rur ekranowych parownika - Poøo enie przekroju z wrz c wod

, - Pr dko przepøywu czynnika roboczego / pary

, - Entalpia wrz cej wody i pary nasyconej suchej - Ciepøo parowania

- Stopie sucho ci mieszaniny parowo-wodnej Wykaz oznacze dla redukcji modeli:

, , , - Opis modelu pierwotnego w przestrzeni stanu , , , - Opis modelu zredukowanego w przestrzeni stanu

, - Liczba wej / wyj modelu

, - Liczba zmiennych stanu modelu pierwotnego / zredukowanego , € - Gramian sterowalno ci / obserwowalno ci

•, ‚ - Dekompozycja Choleskiego gramianu sterowalno ci / obserwowalno ci ƒ, „ - Macierze transformacji

…† - i-ta warto szczególna Hankela

‡_†,‡_ˆ - Wej ciowa / wyj ciowa funkcja wagowa dla metody FW

‰,Š‰ - Rz d oraz cz stotliwo_{wagowa dla metody FW)} graniczna filtru dolnoprzepustowego (funkcja

Š , Š - Cz stotliwo ci graniczne dla metody FD

‹,ŠŒ - Liczba dyskretno czasowych wspóøczynników Fouriera / parametr trans-_{formacji biliniowej dla metody FMR}

, •,Ž• - Liczba punktów interpolacji / warto_{momentów przypadaj cych na j-ty punkt interpolacji dla metody RK}j-tego punktu interpolacji / liczba

Wykaz oznacze dla algorytmów ewolucyjnych:

•, • - liczebno populacji bazowej / potomnej

… - standardowe odchylenie mutacji (zasi g mutacji) …_‘ˆ’“”• _,…

‘ˆ’“ –•

- pocz tkowy zasi g operatora mutacji dla chromosomu okre laj cego rz d_{/ cz stotliwo graniczn filtru dolnoprzepustowego} …_—†””• _,…

—†”

–• _- minimalny (kryterium zatrzymania algorytmu) zasi g operatora mutacji

dla chromosomu okre laj cego rz d / cz stotliwo graniczn filtru ˜ - staøa søu ca do sterowania naciskiem selektywnym (˜=0 – du y nacisk

selektywny,˜=1 – maøy nacisk selektywny)

M - maksymalny koszt AE (okre lony przez maksymaln liczb wykonanych_{operacji wyznaczenia przystosowania osobników)}

Mbp

-minimalna szybko poprawy uzyskanego wyniku (okre lona przez mak-symaln liczb wykonanych operacji wyznaczenia przystosowania bez poprawy najlepszego uzyskanego wyniku)

1.1. Sformuøowanie problemu

Dla celów sterowania systemami niezb dna jest znajomo ich modeli matematycznych, które s adekwatne w zadanym przedziale amplitud i cz stotliwo ci sygnaøów. Modele mate-matyczne mog by tworzone poprzez modelowanie zjawisk zachodz cych w obiekcie oraz na podstawie identyfikacji. W pierwszym przypadku model otrzymywany jest w oparciu o opis matematyczny procesów np. fizykochemicznych zachodz cych w rzeczywistym obiek-cie. Identyfikacja polega natomiast na wyznaczeniu matematycznego modelu w oparciu o znajomo sygnaøów uzyskanych z obiektu (danych eksperymentalnych).

Od wielu lat mamy do czynienia z bardzo intensywnym wzrostem mocy obliczeniowych komputerów oraz rozwojem oprogramowania søu cego do modelowania i symulacji zøo o-nych obiektów sterowania. Ograniczona moc obliczeniowa oraz pojemno pami ci kompute-rów powoduj , e praktyka modelowania polega na upraszczaniu opisu zjawisk zachodz cych w modelowanych obiektach sterowania. Odbywa si to poprzez przyjmowanie zaøo e upraszczaj cych (np.: równowaga termodynamiczna czynnika roboczego, jednorodny rozkøad temperatury itp.) oraz pomijaniu zjawisk maj cych niewielki wpøyw na wøa ciwo ci obiektu sterowania w zadanym zakresie adekwatno ci. Na skutek rosn cych mo liwo ci obliczenio-wych komputerów liczba nakøadanych zaøo e upraszczaj cych stale si zmniejsza, co powo-duje coraz wi ksz zøo ono otrzymywanych modeli.

Szczególnie istotny wpøyw na wzrost zøo ono ci modeli ma rozwój programów do modelowania ukøadów o czasoprzestrzennej dynamice z zastosowaniem metody elementów sko -czonych. Programy takie automatycznie generuj tysi ce elementów sko czonych, a uzyskane modele matematyczne zawieraj tysi ce zmiennych stanu [Ant01, CD02, WM03, WM05, Her05, IRS08]. Tak wysoka zøo ono modelu matematycznego poci ga za sob døugie czasy symulacji komputerowej, znaczne zapotrzebowanie mocy obliczeniowej procesorów oraz problemy numeryczne wyst puj ce szczególnie dla modeli o du ej sztywno ci.

èatwo uzyskiwania zøo onych modeli opisuj cych wøa ciwo ci obiektów sterowania poci ga za sob konieczno zastosowania wielopoziomowej (hierarchicznej) struktury oraz dekompozycj na szereg prostszych do zamodelowania podsystemów. Istot tak skonstru-owanego modelu jest fakt, e jedynie podsystemy najni szego (zerowego) poziomu opisywa-ne s zestawem równa ró niczkowych oraz algebraicznych. Na wszystkich wy szych po-ziomach model zawiera podsystemy nale ce do poziomu ni szego wraz z okre lon topolo-gi powi za mi dzy nimi.

Programy symulacyjne (np.: MATLAB/Simulink) udost pniaj technologi budowy modeli hierarchicznych poprzez mechaniczne ø czenie podsystemów o ukierunkowanym dziaøaniu. Nale y jednak zwróci uwag , e hierarchiczna budowa modeli w rodowiskach obliczenio-wych zwi zana jest wyø cznie z funkcjonowaniem edytora graficznego (operacje zagnie d a-nia oraz maskowaa-nia modeli podsystemów). W pami ci komputera model przechowywany jest jednak w postaci jednopoziomowej, jako ukøad równa ró niczkowych zwyczajnych oraz algebraicznych. Taki model matematyczny jest bardzo zøo ony i trudny do analizy ze wzgl du na wysoki rz d. Z tego wzgl du wyci gni cie jakichkolwiek wniosków o wøa ciwo ciach obiektu jest praktycznie niemo liwe.

Wielowarstwowa konstrukcja modelu wraz z dekompozycj modeli na poszczególnych poziomach hierarchicznej struktury daje mo liwo analizy przez zastosowanie procedury

agregacji. Agregacja jest przeciwie stwem dekompozycji. Jest to proces komponowania funkcjonalnej caøo ci z podsystemów skøadowych. Jednym z zasadniczych jej rodków jest redukcja modelu na poszczególnych poziomach hierarchicznej struktury. Podej cie takie umo liwia stworzenie zredukowanego modelu hierarchicznego, zawieraj cego zbiór modeli na ka dym z poziomów hierarchii charakteryzuj cych si ró nymi zakresami adekwatno ci oraz dokøadno ci aproksymacji wøa ciwo ci obiektu sterowania.

Podczas redukcji, model pierwotny jest aproksymowany przez model ni szego rz du, któ-ry zapewnia wymagan dokøadno aproksymacji. Operacja redukcji pozwala na wyelimino-wanie zøo onych zjawisk i procesów dynamicznych nie maj cych istotnego znaczenia na da-nym poziomie hierarchii. Model zredukowany nie uwzgl dnia zatem cz ci zjawisk maj cych miejsce w obiekcie rzeczywistym. Charakteryzuje si on ograniczonym zakresem adekwatno-ci, który dla modeli liniowych okre la si przez przedziaø cz stotliwo ci w którym aproksy-muje wøa ciwo ci obiektu z zadan dokøadno ci . Dolnym przedziaøem zakresu adekwatno ci modelu dla obiektów sterowania jest cz stotliwo zerowa, co zapewnia zgodno modelu zredukowanego z modelem pierwotnym dla stanu ustalonego.

Modele matematyczne zredukowanego rz du, adekwatne w ograniczonym przedziale cz stotliwo ci s niezb dne ze wzgl du na:

• skrócenie czasu symulacji komputerowej,

• umo liwienie zastosowania modeli w systemach sterowania w czasie rzeczywistym, • zastosowanie do projektowania ukøadów sterowania.

Redukcja modelu nie jest operacj jednoznaczn . Dlatego te istnieje caøy szereg technik pozwalaj cych na przeprowadzenie redukcji modelu zøo onego [Moo81, Glo84, Enn84, LA89, GJ90, PR90, FNG92, FF95, Gri97, OA01, WM03, Ant05, GA06]. Dla modeli obiek-tów sterowania, które charakteryzuj si okre lonym zakresem adekwatno ci szczególnie u y-teczne s metody redukcji umo liwiaj ce minimalizacj bø du aproksymacji w zadanym przedziale cz stotliwo ci. Odbywa si to poprzez wprowadzenie cz stotliwo ciowych funkcji wagowych (dla metod bazuj cych na dekompozycji SVD) lub okre lenia punktów wokóø któ-rych nast puje rozwini cie transmitancji w szereg Laurenta (dla metod momentów).

Powa ny problemem praktyczny stanowi wybór algorytmu doboru optymalnych parame-trów dla metod redukcji, ze wzgl du na wyst powanie znacznej liczby minimów lokalnych bø du aproksymacji oraz czasochøonno ci operacji redukcji modeli matematycznych, zawiera-j cych znaczn liczb zmiennych stanu [SRZ04, SR06, IRS08].

1.2. Hierarchiczna budowa modeli matematycznych zøo onych

obiektów sterowania

Dekompozycja modelu systemu na szereg prostszych podsystemów jest szeroko stosowa-n metod modelowastosowa-nia zøo ostosowa-nych obiektów i ukøadów sterowstosowa-nia. Procedura dekompozycji wykonywana jest tak døugo, a b dzie mo liwe i celowe wyznaczenie modeli podsystemów najni szego (zerowego) poziomu. Na rys. 1.1 przedstawiono graf, ilustruj cy schemat de-kompozycji modelu zøo onego obiektu sterowania (wielk liter L oznaczono bezwzgl dn numeracj poziomów modelu, natomiast maø liter l - wzgl dn ). W przypadku modelowa-nia analitycznego modele podsystemów zerowego poziomu opisywane s ukøadami równa ró niczkowych (ró nicowych) i algebraicznych (w przypadku modelowania w sposób anali-tyczny), natomiast dla identyfikacji modelami typu WE/WY.

Z reguøy procedura dekompozycji nie jest zøo ona. Programy symulacyjne (np.:. MATLAB/Simulink) udost pniaj technologi budowy modeli hierarchicznych poprzez mechaniczne ø czenie podsystemów o ukierunkowanym dziaøaniu.

... ... ... l-3 l-2 l-1 l l+1 L=0 L=1 L=2 L=3

Rys. 1.1. Struktura poø cze modeli podsystemów zøo onego obiektu sterowania

Istot tak skonstruowanego modelu jest fakt, e jedynie podsystemy zerowego poziomu opisywane s zestawem równa ró niczkowych oraz algebraicznych. Na wszystkich wy -szych poziomach model zawiera podsystemy nale ce do poziomu ni szego, z okre lon struktur powi za mi dzy nimi. Na tej podstawie model na l-tym poziomie mo e by przed-stawiony jako zbiór podsystemów poziomu l-1 oraz zestawu poø cze mi dzy tymi podsys-temami (nie mog w tym opisie wyst pi podsystemy innych poziomów):

, dla 1,2, (1.1)

gdzie: - liczba podsystemów na l-tym poziomie hierarchii, - zbiór powi za mi dzy podsystemami na poziomie l.

Poszczególne podsystemy na poziomie l-1 ( ) s ukøadami o ukierunkowanym dziaøa-niu [KIA96], posiadaj cymi wektor wielko ci wej ciowych , , , , , , ,

wektor wielko ci wyj ciowych , , , , , , oraz wektor stanu

, _, , _{, ,} , _{. Ka dy z podsystemów opisany jest operatorami przej i wyj}

, :

, (1.2)

Poø czenia poszczególnych podsystemów na poziomie l mo na opisywa ró nymi metodami, a w szczególno ci:

• schemat blokowy (graficzna metoda prezentacji struktury modelu na poziomie l), • lista wielko ci wyj ciowych i wej ciowych poszczególnych podsystemów, • zero-jedynkowa macierz poø cze .

1.3. Klasy zøo ono ci modeli

Kluczowe z punktu widzenia pracy jest okre lenie, co rozumie si pod poj ciem modelu zøo onego. Nale y podkre li , e poj cie zøo ono ci modeli matematycznych nie jest jedno-znaczne. Zwi zane jest ono z przyj t metodologi bada , poziomem rozwoju metod anali-tycznych i obliczeniowych oraz technologii komputerowych. Z tego powodu ocena zøo ono-ci mo e by wyø cznie wzgl dna, posiada charakter ekspertowy oraz jest poddana czasowym modyfikacjom.

Mo na wyró ni jako ciow oraz ilo ciow zøo ono modeli matematycznych. Zøo o-no jako ciowa modelu okre la poziom zøo ono ci klasy modelu. Pod poj ciem zøo ono ci ilo ciowej nale y rozumie rz d odpowiadaj cego równania ró niczkowego/ró nicowego.

Jako ciow zøo ono modeli okre la si zmiennymi logicznymi (klas zøo ono ci), natomiast ilo ciow zøo ono – liczbami caøkowitymi (liczb zmiennych stanu) [IRS08].

W celu systematyzacji klas zøo ono ci modeli przyj to nast puj ce oznaczenia dla cech modeli:

– sko czeniewymiarowo , – niesko czeniewymiarowo ,

– stacjonarno , – niestacjonarno ,

– deterministyczno , – stochastyczno ,

– liniowo . – nieliniowo .

Przedstawione cztery cechy modeli s niezale ne oraz bialternatywne. Na tej podstawie mo na stwierdzi , e istnieje 24 klas modeli z czasem ci gøym oraz tyle samo z czasem dys-kretnym.

Jako ciowy poziom zøo ono ci modeli mo na powi za z liczb negacji cech – im wi k-sza liczba negacji w oznaczeniu klasy, tym wy szy poziom zøo ono ci modelu. Najprostk-sza jest klasa 0-poziomu – klasa modeli sko czeniewymiarowych, stacjonarnych, determi-nistycznych, liniowych typu LTI. Najwy szy poziom zøo ono ci stanowi modele klasy w postaci cz stkowych nieliniowych równa ró niczkowych/ró nicowych ze zmien-nymi przypadkowo wspóøczynnikami. Na rys. 1.2 przedstawiono graf zorientowany, którego wierzchoøki reprezentuj poszczególne klasy modeli.

L D S K L D S K L D S K L D S K L D S K L D KS L SD K L D S K DL S K L D S K L D S K KSDL SDL K DL S K L D KS L KSD D S D D S D S L S S D D S

Rys. 1.2. Graf redukcji klasy zøo ono ci modeli (zaznaczono operacje redukcji klasy zøo ono ci dla modeli podsystemów parownika)

Redukcja jako ciowej zøo ono ci modeli oznacza zdejmowanie negacji w oznaczeniach klas. Operacje te oznaczono literami: – dyskretyzacja zmiennej przestrzennej – przej cie do modelu o parametrach skupionych; – „stacjonaryzacja” – „zamro enie” wspóøczynników na okre lonych interwaøach czasu; – zamiana przypadkowych wspóøczynników przez ich rednie warto ci; – linearyzacja. Na rys. 1.2 liniami punktowymi zaznaczono mo liwe øuki grafu, odpowiadaj ce dyskretyzacji czasu – przej cie do równa ró nicowych (operacj t zaznaczono liter ). Dla modeli z czasem dyskretnym graf redukcji jest analogiczny do grafu modeli z czasem ci gøym.

Modelowanie zwi zane jest z przyj ciem szeregu zaøo e upraszczaj cych. W wyniku tego modele wyj ciowe nie zawsze posiadaj najwy sz klas zøo ono ci. Modele parownika przepøywowego z czasem ci gøym, przedstawione w pracach [Sta01, Sta03], posiadaj drugi stopie zøo ono ci i odnosz si do klasy – nieliniowe równania ró niczkowe cz

st-kowe o staøych wspóøczynnikach. Redukcj klasy modeli podsystemów parownika przepøy-wowego przeprowadzono w wyniku operacji (operacje redukcji klasy modelu zaznaczono na rys. 1.2):

• dyskretyzacji zmiennej przestrzennej (uzyskano model klasy ), • linearyzacji modelu (uzyskano model klasy ).

1.4. Agregacja modeli

Pod poj ciem agregacji rozumie si wnioskowanie o wøa ciwo ciach modelu na danym poziomie hierarchii, na podstawie modeli podsystemów poziomu bezpo rednio ni szego oraz topologii poø cze pomi dzy nimi (poszczególne podsystemy opisane s blokami o ukierun-kowanym dziaøaniu). Modele podsystemów wy szych poziomów hierarchii s modelami za-gregowanymi, które reprezentuj istotne dla danego poziomu wøa ciwo ci modelu.

Agregacj modelu mo na przeprowadza na dwa sposoby, stosuj c redukcj lub abstrak-cj modeli na poszczególnych poziomach hierarchii [SR05a]. Tak przy zastosowaniu jednej jak i drugiej procedury, na danym poziomie hierarchii uzyskuje si model o uproszczonej strukturze w stosunku do modelu uzyskanego na podstawie poø czenia modeli podsystemów ni szego poziomu.

W wyniku redukcji, w modelu zredukowanym zbiór zmiennych wej ciowych pozostaje niezmieniony w stosunku do modelu pierwotnego. Zmianie ulegaj wspóørz dne stanu tak, aby z zaøo on dokøadno ci aproksymowa zmienne wyj ciowe modelu pierwotnego (rys. 1.3). W wyniku, abstrakcji konstruowany jest model o ni szym rz dzie, charakteryzuj -cy si innymi wielko ciami wej ciowymi, wyj ciowymi oraz wspóørz dnymi wektora stanu. Celem abstrakcji jest wyznaczenie takiego przeksztaøcenia wektora stanu w wektor , aby nowy model (nazywany abstrakcj ) posiadaø okre lone wøa ciwo ci wtedy i tylko wtedy, gdy model pierwotny posiada okre lone wøa ciwo ci. Okre la si to mianem propagacji danej wøa ciwo ci od makro-modelu (abstrakcji) do mikro-modelu (modelu pierwotnego) [Pap00] (rys. 1.3).

Rys. 1.3. Idea redukcji i abstrakcji modelu

Zadanie redukcji modelu liniowego mo e by przedstawione nast puj co: na podstawie stabilnego (lub niestabilnego) modelu rz du , przedstawionego w przestrzeni stanu (1.3), nale y wyznaczy model zredukowany rz du (1.4), gdzie , taki aby okre lona norma

bø du aproksymacji przyjmowaøa warto minimaln . Schemat pogl dowy

redukcji przedstawiony zostaø na rys. 1.4.

(1.3) (1.4)

gdzie: , , , , , , ,

Rys. 1.4. Idea redukcji modelu

Wektor stanu modelu zredukowanego jest zwi zany z wektorem stanu modelu pier-wotnego nieosobliwym przeksztaøceniem , gdzie macierz jest okre lana mianem macierzy transformacji. W literaturze mo na znale wiele algorytmów wyznaczania tej ma-cierzy [Moo81, PS82, Glo84, LHP87, SC89, Var91a, Var93, Pen98, WSL99, LWW99, LW99, HY00, BQQ00, Var00, OA01, VA01, WP02, ASG03, Ant05, Gug05, UDE07]. W podrozdziale 3.2.1 przedstawiono i porównano wybrane algorytmy.

Istnieje caøy szereg metod pozwalaj cych na przeprowadzenie redukcji modelu zøo onego. Dla modeli o zøo ono ci mniejszej ni 104zmiennych stanu najwi ksz dokøadno ci aprok-symacji (zapewniaj c zachowanie stabilno ci modelu zredukowanego) charakteryzuje si grupa metod oparta na dekompozycji SVD [GA00].

W przeciwie stwie do redukcji, abstrakcja nie aproksymuje wøa ciwo ci modelu pierwot-nego (zøo opierwot-nego) jego przybli eniem o ni szym rz dzie. Jej celem jest wyznaczenie nowego modelu o wøa ciwo ciach jakie posiada model pierwotny. Z punktu widzenia teorii sterowania interesuj cymi wøa ciwo ciami s mi dzy innymi: sterowalno , obserwowalno , stabilno .

Dla okre lenia sterowalno ci modelu wyznaczono warunki, przy których sterowalno modelu b d cego abstrakcj implikuje sterowalno modelu pierwotnego [Pap00]. Dokonuj c abstrakcji modelu o du ej zøo ono ci, mo liwe jest okre lenie sterowalno ci modelu zøo one-go na podstawie okre lenia sterowalno ci jeone-go abstrakcji. Procedura abstrakcji mo e by przeprowadzana iteracyjne, co daje mo liwo analizy sterowalno ci modeli o bardzo du ej zøo ono ci.

Cel, teza i zakres pracy

• opracowanie metod, algorytmów i programów redukcji modeli zøo onych obiektów sterowania,

• opracowanie hierarchicznie zorganizowanej rodziny modeli podsystemów kotøa ener-getycznego BP-1150 jako obiektu sterowania.

Aby osi gn postawiony cel pracy nale y rozwi za nast puj ce zadania:

1. Opracowanie metod i algorytmów redukcji liniowych modeli zøo onych obiektów ste-rowania,

2. Opracowanie algorytmów i programów adaptacji parametrów modeli zredukowanych w oparciu o algorytmy ewolucyjne,

3. Ocena metod i algorytmów redukcji oraz algorytmów ewolucyjnych dla celów reduk-cji modeli podsystemów kotøa energetycznego,

4. Opracowanie zredukowanych, hierarchicznych modeli podsystemów kotøa energe-tycznego dla bloku o mocy 360 MW Elektrowni Opole S.A.

5. Weryfikacja modeli zredukowanych podsystemów kotøa energetycznego bloku o mo-cy 360 MW Elektrowni Opole S.A.,

6. Opracowanie biblioteki programów dla celów redukcji liniowych modeli zøo onych obiektów sterowania.

Wobec tego teza pracy mo e zosta sformuøowana nast puj co:

Zastosowanie procedury redukcji z wykorzystaniem odpowiednich algorytmów i pro-gramów komputerowych jest efektywn metod opracowania hierarchicznych modeli zøo onych obiektów sterowania. Otrzymane w ten sposób modele matematyczne mog søu y do analizy wøa ciwo ci dynamicznych zøo onego obiektu sterowania na poszcze-gólnych poziomach hierarchii, a tak e do projektowania ukøadów sterowania.

PRZEPèYWOWYCH BLOKÓW

ENERGETYCZNYCH JAKO OBIEKTÓW

STEROWANIA

2.1. Blok energetyczny

Kotøy BB-1150 oraz BP-1150 wchodz ce w skøad bloków energetycznych o mocy 360 MW s kotøami przepøywowymi opartymi na konstrukcji firmy SULZER, ze staøym punktem ko cowym strefy odparowania. Separacja wody od pary na wylocie z parownika odbywa si w pionowym wodoodzielaczu. Kotøy przystosowane s do pracy w ukøadzie blokowym z tur-bin parow o mocy znamionowej 360 MW. W zakresie obci e 30 – 85 % blok pracuje przy ci nieniu po lizgowym, natomiast dla obci e wi kszych od 85 % praca bloku odbywa si przy staøym ci nieniu. Kotøy BB-1150 oraz BP-1150 s kotøami jednoci gowymi o wyso-ko ci ok. 100 m. Usytuowanie poszczególnych urz dze w wyso-kotle, ze szczególnym uwzgl d-nieniem wymienników ciepøa przedstawiono na rys. 2.1.

Kocioø BP-1150 opalany jest w glem kamiennym, który po zmieleniu w møynach miso-wo-rolkowych wdmuchiwany jest w postaci pyøu do komory paleniskowej przez dysze czte-rech naro nikowych palników pyøowych. Powietrze do spalania dostarczane jest przez jeden wentylator powietrza pierwotnego oraz dwa wentylatory powietrza wtórnego. Powietrze pierwotne, przeznaczone do suszenia i transportu pyøu w glowego jest podgrzewane do tem-peratury ok. 350 w obrotowym podgrzewaczu powietrza møynowego oraz wdmuchiwane do møynów przez wentylatory møynowe. Powietrze wtórne, podgrzewane w dwóch obroto-wych podgrzewaczach powietrza, dostarczane jest wprost do komory paleniskowej kotøa.

Komora paleniskowa, usytuowany nad ni kanaø konwekcyjny oraz strop wykonane s ze cian membranowych szczelnie spawanych. Przekrój komory paleniskowej wynosi 14.3 15.7 m.

Podstawowe dane techniczne kotøa BP-1150 s nast puj ce [dok_tech]:

• wydajno maksymalna trwaøa 1150 [ton/godz]» 320 [kg/sek]

• wydajno cieplna 750 [Gcal/godz]» 873 [MW]

• ci nienie pary na wylocie z przegrzewacza pierwotnego 18.3 [MPa]

• temperatura pary przegrzanej 540±5 [ ]

• temperatura wody zasilaj cej 255 [ ]

• ci nienie w separatorze 20.3 [MPa]

• ci nienie pary wtórnie przegrzanej 4.5/4.3 [MPa]

Rys. 2.1. Uproszczony schemat technologiczny kotøa BP-1150 w przekroju Oznaczenia na rys. 2.1 s nast puj ce:

P1A - wewn trzne rury wieszakowe,

P1B - przegrzewacz konwekcyjny wysokiego ci nienia; temp. pary - 367/388 ; temp.spalin - 600/455 , P2 - przegrzewacz na cienny opromieniowany;

temp. pary - 378/414 , P3 - przegrzewacz grodziowy;

P4 - przegrzewacz ko cowy pary wie ej;

temp. pary - 480/540 ; temp. spalin - 900/780 , M1 - przegrzewacz pocz tkowy niskiego ci nienia (wtórny);

temp. pary - 335/463 ; temp. spalin - 780/600 , M2 - przegrzewacz ko cowy niskiego ci nienia (wtórny);

temp. pary - 463/540 ; temp. spalin - 1000/900 ,

ECO - podgrzewacz wody;

temp. wody - 255/285 ; temp. spalin - 455/342 .

W skøad parownika kotøa BP-1150 wchodz : pionowe rury ekranowe parownika stano-wi ce ekran komory paleniskowej, separator, mieszalnik, filtr, pompa cyrkulacyjna oraz ruro-ci gi ø cz ce (rys. 2.2). Caøy ekran komory paleniskowej jest podzielony na cztery szczelnie spawane ciany. Szczelno cian uzyskano przez poø czenie s siednich rur ekranowych wspawan pøetw (dodatek rys. A.1). Ekran komory paleniskowej zostaø podzielony na sekcje w celu wøa ciwego doboru przepøywu czynnika roboczego. Ka da sekcja zasilana jest z ko-lektora pier cieniowego przez rury ø cz ce. W poszczególnych rurach ø cz cych okre lono wøa ciwy przepøyw czynnika poprzez wspawanie kryz døawi cych. Struktur ekranu komory paleniskowej przedstawiono w dodatku na rys. A.2. Ponadto ka da rura ekranu komory pale-niskowej jest kryzowana w celu unikni cia oscylacji przepøywu dwufazowego w równole-gøych rurach parownika (ang. parallel flow oscillations) [AAI77].

Do poziomu 51.4 m. ekrany parownika wykonane s z rur F 30 5 o podziaøce 44.5 mm. Na cianach bocznych liczba rur równolegøych wynosi 320 2=640 szt., natomiast na cianie przedniej i tylniej 352 2=704 szt. W pasie najwy szych obci e cieplnych (od poziomu 23.1 m. do 36.2 m.) ekrany wykonane s ze stali 15 HM ze wzgl du na mo liwo wyst pie-nia odparowapie-nia filmowego. Na poziomie 51.4 m. na wszystkich cianach ekranowych wy-konane s trójniki. Powy ej linii trójnikowania ciany kotøa wywy-konane s z rur F 44.5 5 o podziaøce 89 mm. Na rys. 2.2 przedstawiono przybli ony rozkøad strumienia cieplnego wzdøu rur parownika dla sekcji umieszczonych w rodkowej cz ci cian ekranu. Maksy-malny strumie cieplny wyst puje w pasie palników pyøowych i przy maksyMaksy-malnym obci e-niu wynosi ok. 25 [kW/m] (w odniesiee-niu do 1 m. pojedynczej rury). Mi dzy poziomem 36.5 m. a 47.3 m. rury ekranowe parownika s przykryte przegrzewaczem na ciennym, co powoduje e w pasie tym strumie cieplny dopøywaj cy do rur parownika wynosi zero.

Para mokra po opuszczeniu górnych kolektorów ekranowych pøynie czterema ruroci gami F 324 36 i wpøywa do wodooddzielacza czterema kró cami wspawanymi w jego górnej cz -ci. Wodooddzielacz o døugo ci caøkowitej 33.8 m. usytuowany jest pionowo mi dzy pozio-mem 57.4 m. a 91 m. rednica wewn trzna separatora wynosi 800 mm , a grubo cianki 50 - 70 mm. Kró ce wlotowe usytuowane s stycznie do separatora z lekkim odchyleniem w dóø, co powoduje powstanie wiru i separacj pary od wody. W górnej cz ci separatora wspawano stycznie dwa kró ce wylotowe paryF 356 , natomiast w dolnej cz ci dwa kró ce odprowadzaj ce wod do mieszalnikaF 406. Pomiaru poziomu wody w separatorze dokonu-je si poprzez pomiar ró nicy ci nie statycznych pomi dzy wyprowadzeniami wykonanymi w dolnej i górnej cz ci separatora. Nominalna wysoko wody w separatorze wynosi 12 m. (mierzona wzgl dem dna separatora).

W mieszalniku o wymiarachF 930 65 i døugo ci caøkowitej 2.8 m. odbywa si miesza-nie ze sob dwóch strumieni wody: wody zasilaj cej pøyn cej z podgrzewacza wody oraz kondensatu pøyn cego z separatora. Z mieszalnika woda przepøywa do filtra o wymiarach F 930 65 i døugo ci caøkowitej 4.6 m. W filtrze umieszczony jest wkøad sitowy z otworami F 4.

Rys. 2.2. Uproszczony schemat parownika kotøa BP-1150

2.2. Analiza systemowa i podej cie hierarchiczne do

modelo-wania kotøów energetycznych

Ogólny schemat hierarchicznej struktury modelu kotøa BP-1150, ze szczególnym uwzgl dnieniem modelu parownika, przedstawiono na rys. 2.3 [Sta03].

Na poziomie o bezwzgl dnym numerze 3, model parownika poø czony jest z modelami pozostaøych urz dze kotøa. Opis operatora agregatu o nazwie parownik ma nast puj c po-sta :

Rys. 2.3. Hierarchiczna struktura modelu kotøa BP-1150

2.3. Formalizacja opisu struktury modelu parownika kotøa

q Msep hsep Mp h'' Psep Hsep Mkond h' Ms1 Mw, hw, Pw Mpom Pm, hm Mzas hzas hkond hf

Poszczególne podsystemy modelu parownika mog by opisane poprzez podanie wekto-rów wej ciowych , wyj ciowych oraz okre lenie operatorów opisuj cych poszczególne podsystemy :

Ekran komory paleniskowej

parownik. ekran ~ Separator parownik. separator Mieszalnik parownik. mieszalnik Filtr parownik. iltr _{_} Pompa cyrkulacyjna parownik. pompa W zeø zasilania schøadzaczy pary

parownik. w€zeø_zasilania_schøadzaczy •‚

Ruroci gi ø cz ce

_ parownik. rurociƒg1 „ …

parownik. rurociƒg2 † ‡

(2.2)

Na rys. 2.5 przedstawiono model parownika kotøa BP-1150 w postaci schematu blokowego.

Rys. 2.5. Struktura modelu parownika kotøa BP-1150 (R1, R2-ruroci gi ø cz ce, F - filtr)

Podsystemy modelu parownika: MIESZALNIK, SEPARATOR, POMPA CYRKULA-CYJNA, RUROCI GI è CZ CE nie zawieraj podsystemów ni szego poziomu i opisane s ukøadami równa ró niczkowych, przedstawionymi w dalszej cz ci pracy. Natomiast w modelu ekranu komory paleniskowej wyró niane s trzy podsystemy: STREFA DO-GRZEWU oraz STREFA ODPAROWANIA I, STREFA ODPAROWANIA II i STREFA

ODPAROWANIA III (s to podsystemy poziomu pierwszego). Struktur modelu rur ekrano-wych parownika kotøa BP-1150 w postaci schematu blokowego przedstawiono na rys 2.6.

W modelu rur ekranowych parownika mo na wyró ni trzy podsystemy o istotnie ró ni -cych si wøa ciwo ciach:

• strefa dogrzewu rozci gaj ca si od przekroju wlotowego rur ekranowych do przekroju, w którym rozpoczyna si obj to ciowe wrzenie wody (entalpia wody osi ga entalpi

- przekrój wspóørz dnej ,

• strefa odparowania I z du ym obci eniem cieplnym w której wyst puje intensywna gene-racja pary, rozci gaj ca si od przekroju o wspóørz dnej do miejsca gdzie rury ekrano-we parownika s przykryte przez przegrzewacz na cienny (poziom 36.5 m.),

• strefa odparowania II z zerowym obci eniem cieplnym ze wzgl du na przykrycie prze-grzewaczem na ciennym,

• strefa odparowania III z niewielkim obci eniem cieplnym oraz mniejsz pr dko ci prze-pøywu czynnika (rury ekranowe o wi kszej rednicy).

Przekrój graniczny mi dzy stref dogrzewu i odparowania posiada zmienne poøo enie , oraz przemieszcza si z pr dko ci . Poszczególne wielko ci z indeksem N1 okre laj pa-rametry przepøywu wrz cej wody w przekroju granicznym mi dzy strefami. Wielko ci z in-deksem II dotycz wlotu do strefy odparowania II, sep - wlotu do separatora, natomiast w - wlotu do rur ekranowych.

Rys. 2.6. Struktura modelu rur ekranowych komory paleniskowej parownika kotøa BP-1150 Opis poszczególnych podsystemów ekranu komory paleniskowej jest nast puj cy:

Strefa dogrzewu:

[ZIUIPN1hN1MN1QN1VN1Pw]T= parownik.ekran.dog ([Mwq~hwQN1+1 PN1+1]T)

Strefa odparowania I:

[MIIhIIW2IIQN1+1PN+1]T= parownik.ekran.odpI ([q~ZIUIPN1hN1MN1QN1VN1PII]T)

Strefa odparowania II:

[MIIIhIIIW2IIIPII]T= parownik.ekran.odpII ([q~MIIhIIPIIIW2II]T)

Strefa odparowania III:

[MsephsepPIII]T= parownik.ekran.odpIII ([q~MIIIhIIIPsepW2III]T)

(2.3)

Na poziomie nr 1 modelu parownika przepøywowego wyst puj modele poszczególnych stref, okre lonych przez ró ne rodzaje przepøywu czynnika roboczego w rurach ekranowych parownika przepøywowego: STREFA DOGRZEWU, STREFA ODPAROWANIA I, STRE-FA ODPAROWANIA II oraz STRESTRE-FA ODPAROWANIA III. Poszczególne podsystemy rur ekranowych parownika s ukøadami o parametrach rozøo onych wzdøu jednej zmiennej prze-strzennej, jak jest døugo rur ekranowych parownika. W modelu parownika o parametrach skupionych, poszczególne strefy parownika dzielone s wzdøu ich døugo ci na elementarne sekcje. Døugo ci sekcji dobierane s tak, aby mo liwe byøo zaøo enie, e ka da z nich jest

opisana ukøadem równa ró niczkowych zwyczajnych, czyli jest ukøadem o parametrach sku-pionych. Struktur modelu strefy dogrzewu przedstawiono na rys. 2.7.

Rys. 2.7. Struktura modelu strefy dogrzewu Opis poszczególnych sekcji strefy dogrzewu jest nast puj cy:

sekcja nr 1: [P1h1M1Q1Pw]T= parownik.ekran.dog.s1 ([ZI UI hw q~Mw Q2 P2]T) sekcja nr k: [PkhkMkQk]T= parownik.ekran.dog.sk ([ZIUIq~Pk-1hk-1Mk-1Qk-1Qk+1Pk+1]T) sekcja nr N1: [ZIUIPN1hN1MN1QN1]T=parownik.ekran.dog.sN1 ([q~PN1-1hN1-1MN1-1QN1-1 …QN1+1PN1+1]T) (2.4)

Struktur modelu podsystemu STREFA ODPAROWANIA I przedstawiono na rys. 2.8.

Rys. 2.8. Struktura modelu podsystemu STREFA ODPAROWANIA I

Natomiast opis poszczególnych sekcji wchodz cych w skøad modelu podsystemu STREFA ODPAROWANIA I jest nast puj cy:

sekcja nr 1:

[Pod1hod1Mod1Qod1W21]T= parownik.ekran.odpI.s1 ([q~ZIUIPN1hN1MN1QN1

…Qod2Pod2]T)

sekcja nr k:

[PodkhodkModkQodkW2k]T= parownik.ekran.odpI.sk ([q~ZIUIPodk-1hodk-1Modk-1

…Qodk-1W2odk-1Qodk+1Podk+1]T)

sekcja nr N2:

[hIIMIIW2IIQodN2PodN2]T=parownik.ekran.odpI.sN2 ([q~ZIUIPodN2-1hodN2-1

… ModN2-1QodN2-1W2N2-1PII]T)

(2.5)

Struktur modelu podsystemu STREFA ODPAROWANIA II przedstawiono na rys. 2.9.

Rys. 2.9. Struktura modelu podsystemu STREFA ODPAROWANIA II

Natomiast opis poszczególnych sekcji wchodz cych w skøad podsystemu STREFA ODPA-ROWANIA II jest nast puj cy:

sekcja nr 1:

[PIIhII 1MII 1W2II 1]T= parownik.ekran.odpII.s1 ([q~PII 2 hII MIIW2II]T)

sekcja nr k:

[PII khII kMII kW2II k]T= parownik.ekran.odpII.sk ([q~hII k-1MII k-1W2II k-1PII k+1]T)

sekcja nr N3:

[hIIIMIIIW2IIIPII N3] = parownik.ekran.odpII.sN3 ([q~hII N3-1MII N3-1W2II N3-1PIII]T)

(2.6)

Struktura modelu podsystemu STREFA ODPAROWANIA III jest analogiczna jak na rys. 2.9.

2.4. Modele matematyczne podsystemów parownika

2.4.1. Rury ekranowe

W rurach ekranowych parownika przepøywowego czynnik roboczy przepøywa w znacznej liczbie równolegøych rur poø czonych kolektorami dolnym i górnym. Z punktu widzenia dy-namiki kotøa przepøywowego istotny jest efekt sumaryczny procesów termodynamicznych zachodz cych w poszczególnych rurach, ujawniaj cy si w zmianach parametrów czynnika roboczego w kolektorach dolnym i górnym parownika przepøywowego. Z tego powodu, przy opracowaniu modelu matematycznego parownika przepøywowego wzi to pod uwag jedn zast pcz rur parownika o rednim obci eniu cieplnym i rednim przepøywie masowym

czynnika roboczego. Do analizy wøa ciwo ci dynamicznych parownika przepøywowego pra-cuj cego przy ci nieniu podkrytycznym przyj to model strefowy.

Ze wzgl du na stan czynnika roboczego w modelu parownika kotøa BP-1150 wyró niono dwie strefy:

I - stref dogrzewu wody do temperatury nasycenia, II - stref odparowania wody.

Woda zasilaj ca parownik ma temperatur mniejsz od temperatury nasycenia, odpowia-daj cej ci nieniu panuj cemu w parowniku. Z tego powodu na pocz tkowym odcinku rury ekranowej parownika nast puje dogrzew wody do temperatury nasycenia. Odcinek ten nosi nazw strefy dogrzewu. Przyj to, e przekrojem granicznym strefy dogrzewu jest przekrój, w którym rozpoczyna si proces obj to ciowego wrzenia wody (entalpia czynnika roboczego przyjmuje warto entalpii wrz cej wody, odpowiadaj cej ci nieniu panuj cemu w tym prze-kroju). Pocz wszy od tego przekroju (oznaczonego na rys. 2.10 wspóørz dn ) nast puje proces stopniowego odparowania wody. Bardzo istotn cech charakterystyczn parownika przepøywowego s zmiany poøo enia przekroju granicznego mi dzy stref dogrzewu i odpa-rowania przy zmieniaj cych si warunkach pracy parownika (zmiany strumienia cieplnego, przepøywu wody zasilaj cej, entalpii wlotowej, itd.).

I II q ZI Mw h_w P_w M_sep h_sep P_sep r Q q P Z P,Q, J, r

Rys. 2.10. Model strefowy parownika przepøywowego przy ustalonym ko cu strefy odparowania oraz podsta-wowe parametry czynnika roboczego

Na podstawie pracy [Sta01, Sta03], równania ró niczkowe cz stkowe opisuj ce jednowymia-rowy przepøyw wody w strefie dogrzewu, otrzymane na podstawie bilansu masy, energii oraz p du, przyjmuj nast puj c posta ró niczkow :

2 cos 10 0

(2.7)

gdzie:

, , , , , , , , , ,

Natomiast jednowymiarowy przepøyw dwufazowy (mieszanina parowo-wodna) w strefie od-parowania opisany jest nast puj cym ukøadem równa ró niczkowych cz stkowych:

1 2 cos 10 0 (2.8) gdzie: , , , , , , , , , , 1 1 € , ,

Warunki brzegowe dla rur ekranowych s nast puj ce:

0, M• t , 0, h• t , L, P‚ƒ„ t .

Transport energii cieplnej wzdøu promienia cianki rury opisany jest nast puj c zale -no ci (przy zaøo eniu, e wøa ciwo ci materiaøu rury nie ulegaj zmianie przy zmianach temperatury:…, †, † ‡ˆ‰ ):

Q

Š‹ Q (2.9)

W warunkach pracy parownika, gradienty temperatury w kierunku osiowym s pomijalnie maøe w stosunku do gradientów w kierunku promieniowym. Ponadto przy zaøo eniu symetrii k towej w laplasjanie mo na pomin pochodn Œ •_ŒŽ . Na tej podstawie analiz przewodze-nia ciepøa w ciance rury parownika oparto na nast puj cym równaniu ró niczkowym:

Q Š • Q • 1 • Q •‘ (2.10)

Warunki brzegowe dla tego równania s nast puj ce: ’“… ” Q ••†–— ˜ ™š › œ , ’•… ” Q ••†– ’•ž Q• Ÿ ˜ ™š › œ gdzie:Q_• - temperatura wewn trznej powierzchni cianki rury.

W przypadku parownika kotøa BP-1150, poszczególne rury poø czone s pøetw zapew-niaj c szczelno komory paleniskowej kotøa o przekroju prostok tnym (rys. A.1). Transport energii cieplnej wzdøu pøetwy jest opisany nast puj cym równaniem przewodnictwa, z uwzgl dnieniem ciepøa dopøywaj cego z komory paleniskowej:

1 ‡• ¡¢£ ¢£ Š Q_„ ¤ Q_„ (2.11) z warunkami brzegowymi: Q„ ¦ §–¨ 0, Q_„©_§–ª « Q„©†–—

gdzie:Š _-®¯°®¯¬ ±²_¢ ³ - wspóøczynnik wyrównywania temperatur, ´_µ ¶· ¸ — ±›³ – poøowa døugo ci pøetwy,

‡• ±›³ - podziaøka rozmieszczenia rur ekranowych, ±›³ - grubo pøetwy.

Zlinearyzowane modele o parametrach rozøo onych

W stanach nieustalonych przekrój graniczny mi dzy strefami przemieszcza si . Jednak dla modelu zlinearyzowanego, søusznego dla maøych odchyle od stanu ustalonego, przemiesz-czenia przekroju granicznego s niewielkie. Z tego powodu zlinearyzowany model o parame-trach rozøo onych rur ekranowych parownika zawiera (rys. 2.11):

• stref dogrzewu o døugo ci ZIoi nieruchomym prawym brzegu,

• stref odparowania o døugo ci L - ZIoi nieruchomym lewym brzegu,

• sekcj przej ciow mi dzy strefami, w której przeliczane s wielko ci wyj ciowe strefy dogrzewu na wielko ci wej ciowe strefy odparowania. Zale no ci te maj posta linio-wych równa algebraicznych (nie jest brana pod uwag dynamika ze wzgl du na maøe rozmiary sekcji przej ciowej).

Sekcja przej-ciowa h_w M_w h_sep M_sep P_sep q q Z_I L - Z_I Strefa dogrzewu h_w M_w P_w h_{wy_dog} M_{wy_dog} P_{wy_dog} Sekcja przej cio-wa h_{we_odp} M_{we_odp} P_{we_odp} Strefa odparowa-nia h_sep M_sep P_sep q q

Rys. 2.11. Budowa modelu o parametrach rozøo onych rur ekranowych parownika Sekcja przej ciowa opisana jest nast puj cymi zale no ciami:

_ _

_ _

_ _

(2.12)

W równaniach ró niczkowych opisuj cych stref odparowania wyst puje entalpia , ,

która zwi zana jest z entalpi , nast puj c zale no ci : . Na tej

podstawie uzyskuje si nast puj c zale no , søuszn dla niewielkich odchyle poszczegól-nych wielko ci od ich warto ci w stanie ustalonym, w przekroju granicznym mi dzy stref

dogrzewu i odparowania ( ):

h 1 dh

dP P (2.13)

sk d otrzymano nast puj c zale no okre laj c przyrost entalpii wlotowej do strefy

odpa-rowania:

h _{€_•‚ƒ} 1 h _{„_‚•…} 1 dh

dP P „_‚•… (2.14)

Dla niewielkich odchyle poszczególnych wielko ci od ich warto ci w stanie ustalonym, zlinearyzowany model rur ekranowych parownika otrzymuje si poprzez zøo enie zlineary-zowanych modeli strefy dogrzewu i odparowania, a sposób poø czenia tych modeli okre la

sekcja przej ciowa opisana równaniami (2.12, 2.14). Operacja taka jest niemo liwa dla mode-lu nieliniowego, w którym przekrój graniczny mi dzy stref dogrzewu i odparowania mo e przemieszcza si w szerokim przedziale.

Przy analizach dynamiki strefy odparowania rozdziela si stref odparowania na trzy cz -ci o ró ni cych si wøa -ciwo -ciach dynamicznych: cz dolna strefy odparowania z du ym obci eniem cieplnym w której wytwarzana jest wi kszo pary, cz po rednia z zerowym obci eniem cieplnym oraz cz górna strefy odparowania z maøym obci eniem cieplnym i wi ksz rednic rur ekranowych, zapewniaj ca wysok zdolno akumulacyjn kotøa.

Modele o parametrach skupionych rur ekranowych parownika

W celu uzyskania modelu o parametrach skupionych rur ekranowych parownika, podzie-lono zast pcz rur parownika wzdøu jej døugo ci na pewn liczb sekcji o wymiarach na tyle maøych, aby mo na byøo zaøo y , e pojedyncza sekcja stanowi ukøad dynamiczny o pa-rametrach skupionych (opisany ukøadem równa ró niczkowych zwyczajnych) (rys. 2.12).

M_k h_k P_k M_k-1 h_k-1 P_k-1 q_k Zk Z_k-1 q_dk

Rys. 2.12. Pojedyncza sekcja modelu o parametrach skupionych

Na podstawie [Sta01, Sta03] równania bilansowe opisuj ce przepøyw wody w k-tej sekcji wchodz cej w skøad strefy dogrzewu przyjmuj nast puj c posta :

cos 10

(2.15)

gdzie: Q_€• ‚_• ,

natomiast dla k-tej sekcji strefy odparowania:

ƒ … „† †‡ 1 ˆ „ † †‡ 1 ˆ cos 10 (2.16) gdzie: Q€• ‚• , † † 1 1 ‰ Š ‰ , Š , ,

Parametry czynnika roboczego w strefie dogrzewu jak równie odparowania s funkcjami

ci nienia oraz entalpii : , , , , , i przedstawiono je w dodatku

na rys. A.3–A.4 (dla strefy dogrzewu) oraz rys. A.5–A.7 (dla strefy odparowania):

, 1 1 1 , , , (2.17) d dP h v d dP S 1 c S 1 , , (2.18)

Model elementarnej sekcji dla strefy dogrzewu przedstawiono w dodatku na rys. A.8. Trzy wspóørz dne stanu s zwi zane z czynnikiem roboczym: , ,€ , natomiast pozostaøe wspóørz dne stanu s zwi zane ze ciank rury i pøetw ø cz c . Do 20-to wej ciowego mul-tipleksera podano nast puj ce wielko ci: •‚, ƒ‚, „ , … , … , € … , Q … , … , † ,

Q _† , a , ‡ , , ,ˆ ‰ , ˆ ‰ , , ,€ , „_Š . Do symulacji komputerowych oraz wy-znaczania modeli zlinearyzowanych i charakterystyk cz stotliwo ciowych parownika wyko-rzystywano trzy modele cianki rury wraz z pøetw ø cz c :

• model 1-go rz du opisuj cy ciank rury wraz z pøetw jako ukøad o parametrach skupio-nych [SRZ04, SR05],

• model 12-go rz du opisuj cy rozkøad temperatury cianki rury wzdøu promienia oraz pøetwy wzdøu jej døugo ci (przy zaøo eniu równomiernego rozkøadu strumienia cieplne-go wzdøu obwodu cianki rury) [IRS08],

• model 52-go rz du opisuj cy rozkøad temperatury cianki rury wzdøu promienia i obwo-du oraz pøetwy wzdøu jej døugo ci.

Model o parametrach skupionych cianki rury wraz z pøetw ø cz c

Ekran komory paleniskowej kotøa BP-1150 stanowi rury ekranowe parownika, poø czone pøetw zapewniaj c szczelno komory paleniskowej (rys. A.1). Energia cieplna wytwarzana w komorze paleniskowej dopøywa do ekranu od strony wewn trznej, podczas gdy od strony zewn trznej ekran jest izolowany termicznie. W znanych z literatury modelach matematycz-nych kotøów przyjmuje si , e cianka rury ekranowej wraz z pøetw stanowi ukøad o para-metrach skupionych, opisany równaniem ró niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du (np.: [Sta01]). Zaøo enie takie zapewnia jednak niewielki zakres adekwatno ci modelu rur ekranowych parownika. Na podstawie [Sta03] mo na stwierdzi , e zakres adekwatno ci wy-nosi w takim przypadku ok. 1 [rad/s].

W celu poszerzenia zakresu adekwatno ci modelu rur ekranowych niezb dne staje si uwzgl dnienie rozøo enia parametrów modelu wzdøu promienia cianki rury oraz wzdøu pøetwy ø cz cej. Dla modelu o parametrach skupionych, przy zaøo eniu symetrii osiowej (za-køada si , e strumie cieplny jest jednakowy wzdøu obwodu cianki rury), ciank rury oraz pøetw podzielono na zadan liczb elementów sko czonych zgodnie z rys. 2.13 (‹Œ – liczba

elementów sko czonych w ciance rury, – liczba elementów sko czonych w pøetwie ø -cz cej). d D Podz s D_r D_p

Rys. 2.13. Dyskretyzacja modelu cianki rury

Równania bilansu energii cieplnej dla poszczególnych elementów sko czonych cianki rury przyjmuj nast puj c posta :

Q 4 2 Q 2 Q Q Q 4 2 1 Q Q 2 Q Q€ • ‚ 2 2 1 ƒ Q„… _{4 2} † 1 Q„… Q„… ‡ ‡ 2 8ˆ Q‰ Q„… Š ‡ ‡ 2 ‹ 4‡ Œ• Ž • Š ‡ ‡ 2 (2.19)

natomiast dla pøetwy ø cz cej:

Q_‰ ‰ Q „… _2Q ‰ Q‰ • Œ• Ž ˆ Q_‰ ‰ Q‰ 2Q‰ Q‰ € • Œ• Ž ˆ Q_‰„• ‰ ‘Q‰ „• _Q ‰ „•_’ • Œ• Ž ˆ (2.20)

gdzie:Q - temperatura cianki rury w k-tej sekcji, w j-tej warstwie, Q_‰ - temperatura pøetwy

w k-tej sekcji, w j-tej warstwie.

W celu okre lenia liczby elementów sko czonych w modelu cianki rury wyznaczono

charakterystyki cz stotliwo ciowe ukøadu dla wielko ci wej ciowej• [kW/m] i wielko ci

wyj-ciowej •“ [kW/m] przy ró nej liczbie elementów dla cianki rury oraz pøetwy ø cz cej.

Z charakterystyk przedstawionych na rys. 2.14 wynika, e w celu zapewnienia zakresu ade-kwatno ci modelu równej 20 [rad/s] niezb dna liczba elementów sko czonych wynosi:

10-1 100 101 102 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 [Rad/sek] [d B ] 10-1 100 101 102 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 [Rad/sek] [D e g ] N=1 N_r=2 N_p=2 Nr=5 N_p=7 Nr=10 N_p=14

Rys. 2.14. Charakterystyki cz stotliwo ciowe dla wielko ci wej ciowej [kW/m] i wielko ci wyj ciowej

[kW/m] uzyskane dla modeli o ró nej liczbie elementów sko czonych

Aby sprawdzi jaki wpøyw na model cianki rury wraz z pøetw ø cz c ma nierówno-mierno strumienia cieplnego wzdøu obwodu rury, opracowano model cianki rury, w którym uwzgl dnia si przewodnictwo cieplne wzdøu obwodu cianki rury poprzez podziaø ka -dej z warstw w modelu na elementów (rys. 2.15). Mo liwe jest przy tym uwzgl dnienie symetrii osiowej. q [kW/m] j=1 j=2 j=N_r ... i=1 i=2 ... i=N_a/2 q

Rys. 2.15. Dyskretyzacja cianki rury z uwzgl dnieniem nierównomierno ci strumienia cieplnego wzdøu obwodu rury

Na podstawie przeprowadzonych oblicze mo na stwierdzi , e jednostronne doprowa-dzanie ciepøa do rur ekranowych ma bardzo istotny wpøyw na rozkøad strumienia cieplnego dopøywaj cego do czynnika roboczego wzdøu obwodu rury. Na rys. 2.16 przedstawiono wzgl dn warto strumienia cieplnego _ó w stanie ustalonym w funkcji k ta ,

uzy-skan dla 18 oraz 5 oraz 12.43 .

W oparciu o uzyskany model cianki rury parownika wraz z pøetw ø cz c wyznaczono charakterystyki cz stotliwo ciowe dla wielko ci wej ciowej i wielko ci wyj ciowej oraz porównano z charakterystykami cz stotliwo ciowymi przedstawionymi na rys. 2.14 dla

5 oraz 7. Wzgl dn ró nic obydwu transmitancji widmowych: | |

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 1 .4 1 .6 qd /qro w n . q [o_] 10-3 10-2 10-1 100 101 1 02 0 2 4 6 8 w [rad/sek] ab s(G a (j w )-G (jw )) /a b s( Ga (j w )) [% ]

Rys. 2.16. Rozkøad strumienia cieplnego dopøywaj

-cego do czynnika roboczego wzdøu obwodu rury Rys. 2.17. Wzgl dny bø d modelu cianki rury z pøetwø cz c spowodowany zaøo eniem równomiernego roz-køadu ciepøa wzdøu obwodu rury

Z rys. 2.17 wynika, e maksymalny bø d modelu wyst puje dla cz stotliwo ci rednich, z przedziaøu 0,1-10 [rad/s] i wynosi ok. 8%.

2.4.2. Separator

Rola separatora w kotøach przepøywowych firmy SULZER polega na oddzielaniu wody z mieszaniny parowo-wodnej opuszczaj cej rury ekranowe parownika. Separator stanowi wydøu ony, pionowy zbiornik cylindryczny o døugo ci 34 . i rednicy wewn trznej 0.8 . oraz rednicy zewn trznej 0.94 . Do górnej cz ci separatora doprowadza-na jest mieszanidoprowadza-na parowo-woddoprowadza-na z pr dko ci ok. 16 m/s, stycznie usytuowanymi kró cami. Dolnymi kró cami, równie usytuowanymi stycznie, jest odprowadzana woda do mieszalnika z pr dko ci ok. 2.5 m/s. Mechanizm rozdziaøu faz w polu siø od rodkowych wyst puj cych w separatorze jest bardzo zøo onym procesem, zale nym od szeregu wielko ci fizycznych oraz parametrów konstrukcyjnych i eksploatacyjnych.

Separator jako obiekt sterowania jest ukøadem o czterech wielko ciach wej ciowych: , , , i dwóch wielko ciach wyj ciowych: , . W pracy zastosowano mo-del separatora o parametrach skupionych, wyznaczony na podstawie równa bilansu masy oraz energii wewn trznej czynnika roboczego, a tak e bilansu energii cieplnej w grubo cien-nym pøaszczu zewn trzcien-nym [Sta03].

Na podstawie powy szych równa bilansowych uzyskuje si nast puj ce równania stanu opisuj ce bilans masy oraz energii cieplnej czynnika roboczego w separatorze:

€• Q‚ƒ„ (2.21) gdzie: …_† ‡ ˆ ‰Š …_† ‹ €Œ ƒ …_†€Œ Œ ƒ …_† €‡ ƒˆ ‰Š …_† ‹ €Œ ƒ …_†€Œ Œ ƒ

Natomiast pøaszcz separatora opisany jest nast puj cym wektorem stanu: Q Q Q 4 Q 2 Q Q 2 4 2 1 Q Q 2 Q Q 2 2 1 4 2 € 1 Q Q • • 2 (2.22)

Z przeprowadzonych oblicze wynika, e separator jest podsystemem niestabilnym. Nie-stabilno ta zwi zana jest z zale no ci parametrów pary nasyconej suchej oraz wrz cej wo-dy od ci nienia. Warto bieguna dodatniego decyduj cego o niestabilno ci separatora jako obiektu sterowania silnie zale y od obci enia kotøa i jest najwi ksza dla obci enia 100% (rys. 2.18). Niestabilno separatora rzutuje na niestabilno parownika jako obiektu sterowa-nia.

Rys. 2.18. Warto ci wøasne modelu separatora

Modele matematyczne pozostaøych podsystemów parownika (mieszalnik, filtr, ruroci gi ø cz ce oraz pompa cyrkulacyjna) zostaøy opisane w [Sta03] i ze wzgl du na ich prostot nie zostaøy zawarte w pracy.

2.5. Weryfikacja modeli parownika

W pracach [Sta01, Sta03] przedstawiono szereg ci gøych oraz deterministycznych modeli parownika kotøa energetycznego BP-1150. Modele te mo na zaklasyfikowa do ró nych klas (modele o parametrach rozøo onych oraz skupionych, modele nieliniowe oraz zlinearyzowa-ne).

Uzyskane modele mo na podda weryfikacji na drodze eksperymentalnej w ograniczo-nym zakresie [SM98, SM99]. Wynika to przede wszystkim z faktu, e ingerencja w prac bloku energetycznego podczas normalnej eksploatacji mo e mie bardzo ograniczony charak-ter. Ponadto podczas eksploatacji bloku energetycznego, w kotle dziaøaj ukøady regulacji, których wyø czenie jest niemo liwe.

Brak mo liwo ci pomiarowej weryfikacji modeli parownika powoduje, e du ego zna-czenia nabiera weryfikacja formalna, polegaj ca na porównywaniu wyników uzyskanych na podstawie modeli nale cych do ró nych klas oraz otrzymanych niezale nymi metodami. Na rys. 2.19 przedstawiono schemat weryfikacji modeli parownika. Porównywaniu podlegaøy nast puj ce wyniki:

• warto ci w stanie ustalonym, oraz charakterystyki statyczne, • charakterystyki cz stotliwo ciowe,

• charakterystyki czasowe.

Uzyskane modele matematyczne, zostaøy porównane równie z uproszczonymi modelami znanymi z literatury, poprzez porównanie charakterystyk cz stotliwo ciowych oraz charakte-rystyk czasowych [Sta03].

¶ ¶t= 0

d d t= 0

2.6. Wnioski

1. Nieliniowy model rur ekranowych parownika kotøa BP-1150 opisany jest zestawem równa ró niczkowych cz stkowych stanowi cych bilans masy, energii oraz p du wody i mieszaniny parowo-wodnej, a tak e równaniem przewodnictwa cieplnego wzdøu promienia cianki rury oraz pøetwy ø cz cej.

2. W celu zapewnienia adekwatno ci modelu o parametrach skupionych do 20 [rad/s] niezb dne jest zastosowanie znacznej liczby elementów sko czonych, a tak e zasto-sowanie wysokiego rz du modelu cianki rury.

3. Model pierwotny o parametrach skupionych (wysokiego rz du) opisuje zjawiska fi-zyczne zwi zane z przemieszczaniem si zmian przepøywu masowego, g sto ci, ental-pii oraz ci nienia wzdøu rur ekranowych, a tak e transportu ciepøa w elementach me-talowych. Przy czym zmiany ci nienia czynnika roboczego przemieszczaj si wzdøu rur ekranowych w obu kierunkach.

4. W równaniach bilansowych zaøo ono równowag termodynamiczn czynnika dwufa-zowego. Model taki mo e by stosowany w zakresie cz stotliwo ci do 100 [rad/s]. 5. Model rur ekranowych parownika charakteryzuje si du sztywno ci (stosunek

maksymalnej do minimalnej warto ci wøasnej jest wi kszy od 1000), gdy opisuje wolnozmienne procesy cieplne oraz szybkie procesy d wi kowe (transport zmian ci-nienia). Poci ga to za sob znaczne problemy numeryczne zwi zane z rozwi zywa-niem ukøadów równa ró niczkowych.

6. Bø d wynikøy z nieuwzgl dnienia niesymetrycznego dopøywu ciepøa do rur ekrano-wych nie przekracza 8%.

7. Separator wnosi do modelu parownika dodatni warto wøasn , wynikaj c z dyna-miki ci nienia oraz zerow warto wøasn , zwi zan z poziomem wody w separato-rze. Powoduje to niestabilno caøego modelu parownika. Stawia to bardzo wysokie wymagania dla ukøadów regulacji ci nienia oraz zasilania w kotle.

OBIEKTÓW STEROWANIA

3.1. Wprowadzenie

Prace nad zaawansowanymi metodami redukcji modeli rozpocz øy si w ko cu lat 60. ubiegøego stulecia (np. metoda agregacji <ang. aggregation methods>) [Aok68]. Znaczna wi kszo wczesnych metod redukcji opieraøa swoje dziaøanie na aproksymacji wøa ciwo ci modelu za pomoc wielomianów (ang. polynomial approximations) [FNG92]. Wspóøczynniki wielomianów wybierano na podstawie: kryterium stabilno ci Routha (ang. model reduction using the Routh stability criterion) [HF75, KS76, FNG92], warto ci momentów modelu pier-wotnego (np.: metoda Asymptotic Waveform Evaluation) [PR90] lub minimalizowano bø d aproksymacji dobieraj c wspóøczynniki za pomoc algorytmów genetycznych [LTG97, TL00, HTW01,SMM05, DY05, RS05] itp.

Wi kszo wspóøcze nie wykorzystywanych metod redukcji modeli liniowych mo na po-dzieli na trzy grupy [AS01, Ant05]:

• metody bazuj ce na dekompozycji SVD (rozkøadzie wzgl dem warto ci szczególnych, ang. Singular Value Decomposition). Wykorzystuj one teori zrównowa onej reali-zacji modelu. Grupa tych metod zostaøa przedstawiona w rozdziale 3.2.

• metody momentów, które opieraj swoje dziaøanie na mo liwo ci przedstawienia transmitancji modelu w postaci rozwini cia w szereg Laurenta wokóø jednego lub wie-lu punktów. Ze wzgl dów numerycznych najwi ksze znaczenie po ród metod momen-tów uzyskaøy algorytmy bazuj ce na wyznaczeniu podprzestrzeni Kryøowa. Grupa tych metod zostaøa przedstawione w rozdziale 3.3.

• metody ø cz ce zalety obydwu grup – SVD-Kryøowa

Metody redukcji modelu bazuj ce na dekompozycji SVD zapocz tkowane zostaøy praca-mi Moore’a [Moo81]. Koncepcja zrównowa onej realizacji modelu (ang. Balanced Realiza-tion) byøa przeøomem w dziedzinie redukcji liniowych modeli dynamicznych. Umo liwia ona w prosty sposób wydzielenie cz ci dominuj cej oraz redukcj modelu poprzez „obci cie” macierzy opisuj cych dynamik modelu w przestrzeni stanów (ang. Balanced Truncation). Koncepcja zrównowa onej realizacji modelu staøa si podstaw opracowania metody redukcji

BTA (ang. Balanced Truncation Approximation) [Moo81, PS82]. Do podstawowych zalet tej

metody redukcji mo na zaliczy zagwarantowanie zachowania stabilno ci modelu zreduko-wanego oraz mo liwo oszacowania bø du aproksymacji. Metoda ta, pierwotnie opracowana dla liniowych modeli asymptotycznie stabilnych, staøa si podstaw do opracowania metod redukcji modeli niestabilnych [Zil91, Chi96, BB97].

Stworzono równie wiele modyfikacji metody BTA eliminuj cych jej wady np.: SPA (ang. Singular Perturbation Approximation) [LA89, Pra94, Chi96]. Metoda ta znacznie po-prawia aproksymacj charakterystyk cz stotliwo ciowych dla stanu ustalonego oraz niskich cz stotliwo ci.

W 1984 roku opublikowana zostaøa innowacyjna praca, w której przedstawiono optymal-n metod redukcji wzgl dem optymal-normy Haoptymal-nkela (aoptymal-ng. Haoptymal-nkel Norm Approximatiooptymal-n) [Glo84, Zho95, WSL98, BQQ04] oraz zale no ci umo liwiaj ce oszacowanie bø du aproksymacji.

Metoda HNA gwarantuje dwukrotnie mniejszy maksymalny bø d aproksymacji ni BTA, jednak okupione jest to wi ksz zøo ono ci obliczeniow algorytmu.

Uogólnieniem metody BTA s metody FW (ang. Frequency Weighted), wprowadzaj ce cz stotliwo ciowe funkcje wagowe ( – wej ciow funkcj wagow oraz – wyj ciow funkcj wagow ). Przy odpowiednim dobraniu wspóøczynników wagowych metoda ta umo -liwia znaczne poprawienie wyników aproksymacji modelu dla zadanego przedziaøu cz stotli-wo ci. Pierwsz tego typu metod zaproponowaø Enns w 1984 r. [Enn84], jednak e przedsta-wiony algorytm nie gwarantowaø zachowania stabilno ci modelu zredukowanego dla jedno-czesnego zastosowania obu funkcji wagowych. Wada ta zostaøa usuni ta w algorytmach za-proponowanych w pracach Lin i Chiu [LC92] oraz Wanga [WSL99].

Wprowadzenie wag cz stotliwo ciowych jest mo liwe równie w sposób po redni, po-przez modyfikacj zale no ci, z których wyznaczane s gramiany. Wyró ni mo na dwie metody: FD (ang. Frequency Domain) [GJ90, WB92,AZN03, SSG06, Ant05], gdy gramiany s wyznaczane w dziedzinie cz stotliwo ciowej oraz TLBT (ang. Time Limited Balanced Truncation) [GJ90, GA03, GA04] dla dziedziny czasu.

Osobn grup metod stanowi metody Balanced Stochastic Truncation [Var00, OA01, BQQ01, Ant05, SSG06], wyznaczaj ce gramiany z równa Riccatiego. Umo liwiaj one wy-znaczenie modelu zredukowanego o zaøo onym wzgl dnym bø dzie aproksymacji. Zastoso-wanie metody BST mo liwe jest jednak wyø cznie dla stabilnych modeli kwadratowych

( ) [Ant05].

Wad metod opartych na dekompozycji SVD jest znaczna zøo ono algorytmów reduk-cji, gdy charakteryzuj si one wi ksz ni wielomianowa zøo ono ci obliczeniow . Pomi-mo swoich niew tpliwych zalet, do których w pierwszej kolejno ci Pomi-mo na zaliczy zachowa-nie stabilno ci modelu zredukowanego, metody te zachowa-nie s praktyczzachowa-nie wykorzystywane dla modeli o liczbie wspóørz dnych stanu wi kszej ni 104. Spowodowane jest to znaczn zøo o-no ci obliczeniow oraz niepraktyczo-no ci algorytmów wyznaczania gramianów dla tak ol-brzymich modeli. W literaturze [Ant05] dla systemów wi kszych ni 104 zmiennych stanu, proponowane jest wykorzystanie metod momentów. Charakteryzuj si one znacznie mniej-sz zøo ono ci obliczeniow . Gøównymi wadami tych metod redukcji jest jednak brak gwa-rancji zachowania stabilno ci modelu zredukowanego (dla znacznej cz ci opracowanych algorytmów). Zazwyczaj charakteryzuj si tak e mniejsz dokøadno ci aproksymacji cha-rakterystyki amplitudowo-fazowej w porównaniu z metodami BT, a w szczególno ci z meto-dami wprowadzaj cymi wagi cz stotliwo ciowe [GA00].

Jedn z najprostszych metod redukcji bazuj c na metodzie momentów jest AWE (ang. Asymptotic Waveform Evaluation). Zaproponowana zostaøa przez Pillage oraz Rohrera w 1990 roku [Pil90]. Metoda wykorzystuje fakt, e transmitancj modelu pierwotnego, przed-stawion w postaci rozwini cia asymptotycznego wokóø dwóch punktów 0 oraz ¥ mo na dobrze aproksymowa wielomianem Pade. Bezpo rednie wyznaczenie warto ci mo-mentów powoduje jednak e znaczne problemy natury numerycznej. Ogranicza to w znacz-nym stopniu przydatno tej metody dla celów redukcji [GGD94, Doo95, FF95, GGS96, Her05, Gil06].

Znacznie wi ksze znaczenie praktyczne osi gn øy algorytmy opieraj ce swoje dziaøanie na wyznaczeniu podprzestrzeni Kryøowa [Bol94, Gri97, Ant05]. Metody te wymagaj wyzna-czenia bazy ortonormalnej. Klasyczna ortogonalizacja Grama-Schmidta jest jednak maøo do-køadna numerycznie. Dlatego te du e znaczenie osi gn øy dwa algorytmy: algorytm Arnol-diego (zmodyfikowana ortogonalizacja Grama-Schmidta) oraz niesymetryczny algorytm Lan-czosa.

Wi kszo opracowanych metod opartych na metodach momentów jest zdefiniowana wy-ø cznie dla modeli o jednym wej ciu i wyj ciu, gdy warto ci momentów s skalarami. Zaled-wie kilka metod zostaøo uogólnionych na modele o Zaled-wielu wej ciach i wyj ciach (momenty s

macierzami). Do takich metod mo na zaliczy m.in.: MPVL (ang. Matrix Pade via Lanczos) [FRE03] oraz metody blokowe Arnoldiego oraz Lanczosa [Sal05].

Po raz pierwszy metod wykorzystuj c przeksztaøcenia Fouriera dla celów redukcji mo-deli zaprezentowano w 1989 roku [GKL89]. Wymagaøa ona wykorzystania algorytmu IDtFT (odwrotnego dyskretnoczasowego przeksztaøcenia Fouriera – ang. Inverse Discrete Time Fo-urier Transform) w celu wyznaczenia modelu zredukowanego w przestrzeni stanów. Metoda

FMR (ang. Fourier Model Reduction) bazuje na iteracyjnym algorytmie wyznaczenia

wspóø-czynników Fouriera [WM03, WM05], natomiast jej modyfikacja (Rational Krylov–FMR) umo liwia pomini cie bezpo redniego wyznaczenia wspóøczynników Fouriera i wyznaczenie baz ortonormalnych za pomoc algorytmu Arnoldiego [GW08].

Opracowano równie metody ø cz ce dotychczas dwie oddzielne grupy metod (metody Krylov-SVD). Umo liwiaj one na zast pienie bardzo czasochøonnego obliczania gramianów z równa Lapunowa przez wyznaczenie ich aproksymacji [Saa90, JKL92, GL94, Pen06, Li00, LW01, ASG03, LW04, Ant05]). Na podobnej zasadzie opracowano metody wyznacza-j ce dekompozycwyznacza-j gramianów za pomoc algorytmu POD (ang. Proper Orthogonal Decom-position) [Row05, IR06, Sin08].

3.2. Metody redukcji oparte na dekompozycji SVD

Do podstawowych poj dla metod redukcji opartych na dekompozycji SVD nale : gra-mian sterowalno ci i obserwowalno ci , warto ci szczególne Hankela oraz zrównowa ona realizacja modelu (ang. Balanced Realization). Gramiany sterowalno ci i obserwowalno ci stabilnego modelu liniowego opisuj jego wøa ciwo ci (sterowalno oraz obserwowalno ) w nast puj cy sposób.

Model jest sterowalny/obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy gramian sterowalno-ci/obserwowalno ci jest dodatnio okre lony:

0 0, 0 0 (3.1)

Fizyczna interpretacja odwrotno ci gramianu sterowalno ci zwi zana jest z minimaln energi sygnaøu wej ciowego (w sensie normy L2), konieczn do osi gni cia stanu 0

[Glo84]:

(3.2) Je eli gramian sterowalno ci jest bliski osobliwemu, to minimalna energia dla osi gni cia pewnych stanów mo e mie znaczn warto . Oznacza to, e pewne stany mog by trud-ne do osi gni cia.

Gramian obserwowalno ci zwi zany jest z energi sygnaøu wyj ciowego przy braku

ste-rowania ( 0 dla 0) dla stanu pocz tkowego 0 [Glo84]:

(3.3) Z równa (3.2) oraz (3.3) mo na wyznaczy zale no ci opisuj ce gramiany sterowalno ci oraz obserwowalno ci dla stacjonarnego modelu liniowego w nast puj cej postaci [Moo81]:

e e _(3.5) W praktyce wyznaczenie gramianów z podanej definicji jest trudne nawet dla modeli o ni-skim rz dzie. Podstaw ich numerycznego wyznaczenia stanowi rozwi zanie równania ma-cierzowego Lapunowa:

(3.6) gdzie: oraz . Równanie to ma jednoznaczne rozwi zanie (3.7), gdy suma

dwóch dowolnych warto ci wøasnych macierzy jest ró na od zera

( 0 dla 1 , ) [Kac98]. Warunek ten jest zawsze speøniony w przypadku mo-deli stabilnych, których warto ci wøasne macierzy le w lewej póøpøaszczy nie zespolonej

( 0 dla 1 ):

e e (3.7)

Na podstawie otrzymanego rozwi zania równania macierzowego mo na wyznaczy za-le no ci b d ce podstaw numerycznego obliczenia gramianów sterowalno ci oraz obserwo-walno ci:

(3.8) (3.9) Dla nieosobliwych przeksztaøce liniowych w przestrzeni stanów (gdzie jest kwadratow macierz nieosobliw ) gramiany sterowalno ci i obserwowalno ci modelu zosta-j przeksztaøcone wedøug zale no ci [Glo84]:

€ (3.10)

€ •‚ •‚ _(3.11)

Pomimo, e postacie gramianów zale od przeksztaøcenia , warto ci wøasne ich iloczy-nu s niezmiennikami nieosobliwymi przeksztaøcenia liniowego. Ich pierwiastki nazywane s warto ciami szczególnymi Hankela.

Jednym z podstawowych poj redukcji modeli metodami SVD jest koncepcja zrówno-wa onej realizacji modelu [Moo81]. Z matematycznego punktu widzenia, zrównozrówno-wa enie bazuje na takim nieosobliwym przeksztaøceniu liniowym , aby gramiany sterowalno-ci i obserwowalno sterowalno-ci modelu byøy identycznymi masterowalno-cierzami diagonalnymi, na diagonali których znajduj si warto ci szczególne Hankela :

€ € _{ƒ„ … (3.12)}

gdzie:…_‚ …_† … 0 dla modeli asymptotycznie stabilnych.

Przedstawienie modelu w takiej postaci ma szereg zalet. Umo liwia w prosty sposób usu-ni cie usu-niesterowalnych oraz usu-nieobserwowalnych modów, a tak e redukcj modelu stabilnego zapewniaj c zachowanie stabilno ci modelu zredukowanego. Gramiany ka dego z podukøa-dów ( ) modelu zrównowa onego s równie macierzami diagonalnymi:

‡₀‚ 0

†ˆ, ‰ ƒ„ …‚, , …Š , ƒ„ …Š‹‚, , … (3.13)

Je eli warto ci szczególne Hankela podukøadu ( †) maj warto ci równe zero, wówczas

zawiera on wyø cznie mody niesterowalne b d nieobserwowalne. W ten sposób wszystkie te mody zostaj usuni te z podukøadu ( ‚). W identyczny sposób mo liwe jest usuni cie

skøa-dowych wektora stanu, którym odpowiadaj niewielkie warto ci szczególne Hankela. Ich usuni cie jest równoznaczne redukcji modelu.