Podstawowe operacje algorytmu ewolucyjnego

Kodowanie

Pierwsze algorytmy genetyczne wykorzystywaøy kodowanie binarne do reprezentacji chromosomów [Gol03]. Umo liwia to wprowadzenie krzy owania oraz mutacji dziaøaj cych na podobnych zasadach jak w biologii. Krzy owanie binarne jest jednak operatorem obci o-nym, który mo e powodowa , e osobniki potomne w przestrzeni fenotypu s bardziej odda-lone ni chromosomy rodzicielskie. Wykaza to mo na na prostym przykøadzie:

Dla funkcji liniowej para chromosomów kodowanych binarnie: =[1100],

=[0011] daje warto ci funkcji przystosowania równe 12 oraz 3.

W wyniku krzy owania jednopunktowego mo liwe jest otrzymanie pary chromosomów po-tomnych w postaci: =[1111], =[0000], dla których funkcja przystosowania jest

odpo-wiednio równa 15 oraz 0.

Reprezentacja binarna ma istotne wady, gdy stosuje si j do rozwi zywania wielowymia-rowych zada o du ej dokøadno ci [Mic92]. Szczególnie w zadaniach optymalizacji parame-trycznej z ci gøymi dziedzinami, du zalet jest zastosowanie kodowania za pomoc liczb rzeczywistych. Przeprowadzone przez Michalewicza eksperymenty wykazaøy, e reprezenta-cja zmiennopozycyjna (rzeczywisto liczbowa) jest szybsza, daje bardziej zbli one wyniki w ró nych przebiegach algorytmu oraz prowadzi do wi kszej dokøadno ci (zwøaszcza przy du ych dziedzinach, które wymagaj døugich reprezentacji binarnych) [Mic92].

Reprezentacja rzeczywista (bli sza przestrzeni zadania ze wzgl du na jednoznaczn za-le no miedzy zmienn a genem) umo liwia równie opracowanie operatorów genetycznych uwzgl dniaj cych specyfik zadania i ograniczenia z ni zwi zane. Zastosowanie kodowania rzeczywistoliczbowego umo liwia obej cie problemów zwi zanych z kraw dziami

Hammin-ga [Ara01] oraz pozwala unikn zwi zanych z tym niebezpiecze stw wprowadzenia dodat-kowych ekstremów lokalnych.

Na podstawie rozwa a zawartych w [Mic92] i [Ara01] w pracy zdecydowano si zasto-sowa kodowanie rzeczywisto liczbowe, nawet w przypadku kodowania warto ci caøkowitych jakimi s rz d filtru dolnoprzepustowego ( ) dla metody FW, liczba wspóøczynników dys-kretnoczasowych Fouriera ( ) dla metody FMR.

Reprodukcja

Zadaniem reprodukcji jest utworzenie populacji tymczasowej TT, która jest nast pnie poddawana operacjom genetycznym. W jej wyniku zostaj powielone wybrane osobniki pulacji bazowej (mo liwe jest wielokrotne powielanie tego samego osobnika). Osobniki po-pulacji tymczasowej nazywane s osobnikami rodzicielskimi. Prawdopodobie stwo wyboru osobnika do reprodukcji uwzgl dnia warto jego przystosowania. Im wi ksza warto przy-stosowania tym wi ksze prawdopodobie stwo powielenia. Zwi zane jest to z poj ciem naci-sku selektywnego, które okre la tendencj do poprawiania redniej warto ci przystosowania populacji bazowej.

Rozró ni mo na nast puj ce rodzaje reprodukcji: • Reprodukcja proporcjonalna (ruletkowa)

Prawdopodobie stwo reprodukcji ka dego osobnika do populacji tymczasowej jest wprost proporcjonalne do jego warto ci funkcji przystosowania i wynosi:

å ^(4.14)

• Rangowa

Reprodukcja rangowa umo liwia z du swobod ksztaøtowanie nacisku selektywnego. W tej metodzie prawdopodobie stwo reprodukcji zale ne jest od rangi okre laj cej jako osobnika. Z rang zwi zane jest okre lone prawdopodobie stwo reprodukcji. Wybór funkcji okre laj -cej prawdopodobie stwo reprodukcji w zale no ci od rangi, dokonywany jest przez projek-tanta algorytmu. Gøówn trudno stanowi prawidøowe wyznaczenie liczby przewidywanych kopii na podstawie rangi.

• Turniejowa

Reprodukcja turniejowa korzysta z dwustopniowej selekcji. W pierwszym kroku dokonuje si wyboru populacji turniejowej Q . Zawiera ona osobników, które s wybrane z jedna-kowym prawdopodobie stwem z populacji bazowej. Nast pnym krokiem jest turniej, którego zwyci zc zostaje osobnik o najwi kszej warto ci funkcji przystosowania. Zwyci zcy umieszczani s w populacji tymczasowej a do jej wypeønienia. Parametrem steruj cym in-tensywno ci nacisku selektywnego jest liczno turnieju .

Przeksztaøcenie funkcji celu w funkcj przystosowania

Celem optymalizacji parametrów metod redukcji jest minimalizacja bø du aproksymacji modelu zredukowanego. Algorytmy ewolucyjne d jednak do maksymalizowania funkcji przystosowania, co powoduje konieczno odpowiedniego przeksztaøcenia funkcji celu w funkcje przystosowania. Najprostszym sposobem jest przeksztaøcenie liniowe w postaci:

(4.15) gdzie: jest funkcj przystosowania, natomiast g jest funkcj celu.

Przystosowanie osobników jest zawsze liczb dodatni co oznacza, e musi by wi k-sza od warto ci funkcji celu najgorszego z osobników. Warto ta mo e by staøa w caøym cyklu algorytmu lub dobierana dynamicznie w ka dym pokoleniu.

Staøa warto powoduje zmniejszanie si nacisku selektywnego wraz z kolejnymi gene-racjami algorytmu. Powodem s coraz mniejsze ró nice warto ci funkcji przystosowania

po-mi dzy osobnikapo-mi populacji. Zapobiec temu mo e dynapo-miczne wyznaczanie warto ci , które jednak zawodzi w momencie pojawienie si osobnika o przystosowaniu wyra nie gorszym od przeci tnego. Nast puje wówczas drastyczne obni enie nacisku selektywnego. Mo -na to wykaza -na -nast puj cym prostym przykøadzie:

Dla trzech osobników maj cych nast puj ce warto ci funkcji celu:

0,1 _0,2 4,7

W wyniku przeksztaøcenia funkcji celu w funkcj przystosowania wg zale no ci (4.15) dla =5 otrzymuje si nast puj ce warto ci przystosowania:

4,9 4,8 0,3

Oznacza to, e prawdopodobie stwa reprodukcji (dla reprodukcji proporcjonalnej) wynosz odpowiednio:

49% 48% 3%

Dwukrotna ró nica w warto ci funkcji celu pomi dzy pierwszym a drugim osobnikiem daje w rezultacie zaledwie 1% ró nic w prawdopodobie stwie reprodukcji. W efekcie obni-enia nacisku selektywnego w nast pnych pokolobni-eniach mo e zmniejszy si rednie przysto-sowanie populacji i przeszukiwanie upodobni si do bø dzenia przypadkowego. Ostatecznie powoduje to zmniejszenie si szybko ci zbie no ci algorytmu i pogorszenie jako ci znalezio-nych rozwi za .

Z tego wzgl du w pracy zdecydowano si na przyj cie nast puj cej funkcji przeksztaøca-j ceprzeksztaøca-j funkcprzeksztaøca-j celu w funkcprzeksztaøca-j przystosowania:

1

(4.16) gdzie warto søu y do sterowania naciskiem selektywnym.

Zastosowanie takiego przeksztaøcenia umo liwia sterowanie w szerokim stopniu naciskiem selektywnym. Dla identycznych warto ci funkcji celu jak w przykøadzie powy ej, mo -liwe jest sterowanie naciskiem selektywnym w szerokim zakresie (tab. 4.6).

Tab. 4.6. Prawdopodobie stwo reprodukcji w funkcji parametru steruj cego naciskiem selektywnym

=0 =0,1 =0,2 =0,5 =1

65,73% 58,54% 55,21% 50,70% 47,40%

32,87% 39,02% 41,41% 43,45% 43,45%

1,40% 2,44% 3,38% 5,85% 9,15%

Przeksztaøcenie funkcji celu w funkcj przystosowania jest jednym ze sposobów zmiany nacisku selektywnego. W pocz tkowej fazie algorytmu spotyka si cz sto tendencj do domi-nowania w procesie selekcji ze strony jednego superosobnika (lub niewielkiej ich liczby). Powoduje to zmniejszenie eksploracyjno ci algorytmu, co skutkuje szybk zbie no ci do lokalnego ekstremum. W takiej sytuacji zwi kszenie warto ci parametru umo liwia zmniej-szenie nacisku selektywnego poprzez zmniejzmniej-szenie liczby kopii superosobnika w populacji tymczasowej. W pó nej fazie algorytmu, gdy skøad populacji jest bardziej jednorodny, zmniejszenie warto ci umo liwia uwydatnienie ró nic pomi dzy osobnikami populacji i odpowiednie promowanie najlepszych rozwi za . W ten sposób zwi ksza si nacisk selek-tywny co poprawia uzyskiwane wyniki.

Operacje genetyczne

Do podstawowych operacji genetycznych nale krzy owanie (ang. crossover) oraz muta-cja. Mutacja polega na perturbacji genotypu jednego osobnika. Przyjmuje si , e niewielkie perturbacje s bardziej prawdopodobne ni du e. W zale no ci od sposobu kodowania geno-typu osobnika, mo e ona polega na zamianie pojedynczego genu na przeciwny (dla kodowa-nia binarnego) lub dodanie warto ci losowej o zadanym rozkøadzie np. normalnym (dla

ko-dowania rzeczywistoliczbowego). Krzy owanie jest natomiast operacj dziaøaj c na wielu osobnikach. W jego wyniku powstaje jeden lub wielu osobników potomnych. Ich chromoso-my powstaj w wyniku wymieszania chromosomów dwóch lub wi cej osobników rodziciel-skich.

Sukcesja

Sukcesja polega na utworzeniu nowej populacji bazowej PT+1. Rozró ni mo emy dwie odmiany sukcesji:

• z caøkowitym zast powaniem (trywialna)

Nowa populacja bazowa PT+1tworzona jest wyø cznie na podstawie populacji potomnej OT. • z cz ciowym zast powaniem (sukcesja elitarna)

Nowa populacja bazowa PT+1 tworzona jest ze starej populacji bazowej PT oraz populacji po-tomnej OT. W sukcesji elitarnej wybiera si osobników do nowej populacji bazowej spo ród

najlepszych osobników dotychczasowej populacji bazowej PToraz populacji potomnej. Sukcesja elitarna jest pomocna przy dowodzeniu zbie no ci AE, jednak e algorytm ten jest mniej odporny na minima lokalne w porównaniu z algorytmem sukcesji trywialnej. Pod-stawowym mechanizmem pozwalaj cym opu ci puøapk ewolucyjn jest makromutacja (mutacja o du ym zasi gu). Zastosowanie niewielkiej liczebnie elity (jednego lub co najwy ej kilku najlepszych osobników) statystycznie powoduje odnalezienie lepszego przybli enia ekstremum. Sukcesja trywialna jest bardziej odporna, lecz jednocze nie algorytm wolniej zbli a si do maksimów lokalnych i globalnych.