Metody wprowadzaj ce wagi cz stotliwo ciowe

Metody redukcji oparte na algorytmach BTA maj za zadanie minimalizacj bø du aprok-symacji charakterystyki cz stotliwo ciowej w caøej dziedzinie cz stotliwo ci. W wielu

prak-tycznych zadaniach redukcji szczególnie istotna jest minimalizacja bø du aproksymacji w okre lonym przedziale cz stotliwo ci. Mo na to osi gn poprzez wprowadzenie cz sto-tliwo ciowych funkcji wagowych.

Funkcje wagowe powoduj modyfikacj zmiennych stanu modelu, w wyniku której tøu-mione s mody odpowiedzialne za przebieg charakterystyki cz stotliwo ciowej modelu poza wybranym zakresem cz stotliwo ci. Ma to wpøyw na zmniejszenie zwi zanych z nimi warto-ci szczególnych Hankela, co w efekwarto-cie umo liwia usuni warto-cie tych modów z dominuj cego podsystemu ( ).

W zale no ci od sposobu doø czenia funkcji wagowych do modelu pierwotnego mo na je podzieli na wej ciowe ( ) i wyj ciowe ( ) (rys. 3.6). Mog one by wprowadzone za-równo w sposób bezpo redni (przez wprowadzenie filtrów o odpowiednim ksztaøcie charakte-rystyki cz stotliwo ciowej), jak równie w sposób po redni (przez modyfikacj zale no ci, z których wyznaczane s gramiany sterowalno ci i obserwowalno ci).

W ród metod wprowadzaj cych funkcje wagowe mo na wyró ni :

• metod Frequency Weighted (FW) [Enn84, LC92, WSL99, VA01], • metod Frequency Domain (FD) [GJ90, AZN03, GA04],

• metod time-limited balanced reduction (TLBR) [GJ90, GA03, GA04],

Model pierwotny G(s) Waga wyj ciowa Wo(s) Waga wej ciowa Wi(s) u y

Rys. 3.6. Idea modyfikacji modelu pierwotnego poprzez wprowadzenie cz stotliwo ciowych funkcji wagowych na wej ciu i wyj ciu modelu

Metoda Frequency Weighted

Metoda FW jest uogólnieniem metody BTA, polegaj cym na bezpo rednim wprowa-dzeniu cz stotliwo ciowych funkcji wagowych. Pierwsz tego typu metod zaproponowaø Enns w 1984 roku [Enn84]. Wøa ciwo ci funkcji wagowych okre la si na podstawie znajo-mo ci charakterystyk amplitudowych znajo-modelu oraz zakresu cz stotliwo ci, dla którego znajo-model ma by adekwatny. Dla modeli matematycznych podsystemów parownika (dla których wa -nym parametrem jest bø d aproksymacji dla stanu ustalonego) poprawne wyniki redukcji uzyskano, wprowadzaj c filtry dolnoprzepustowe o okre lonej cz stotliwo ci granicznej [SRZ04, Ryd05, SR05, SR06, IRS08]. Przy odpowiednim dobraniu wspóøczynników wago-wych, metoda FW umo liwia znaczne ograniczenie bø dów aproksymacji modelu zreduko-wanego dla zadanego przedziaøu cz stotliwo ci. Powa nym problemem praktycznym pozosta-je wyznaczenie odpowiednich funkcji wagowych.

Metoda FW daje du swobod w projektowaniu transmitancji cz stotliwo ciowych funkcji wagowych. Jedynymi warunkiem jest identyczna liczba wyj funkcji wagowej oraz wej modelu pierwotnego (analogicznie liczba wej funkcji musi by równa liczbie wyj modelu). Dla modeli matematycznych podsystemów parownika zdecydowano si na wprowadzenie funkcji wagowych w postaci filtrów dolnoprzepustowych na wszystkich

Rys. 3.7. Model zmodyfikowany poprzez wprowadzenie filtrów cz stotliwo ciowych dla ka dego z wej i wyj modelu pierwotnego

Metoda FW zostaøa opracowana dla stabilnych modeli oraz stabilnych transmitancji fil-trów wagowych wej ciowych (macierze stanu , , , ) i wyj ciowych (macie-rze stanu , , , ). Wprowadzenie filtrów wagowych modyfikuje opis modelu pier-wotnego w przestrzeni stanu, który mo na przedstawi nast puj co:

(3.32)

(3.33) Gramian sterowalno ci obliczany jest wówczas na podstawie transmitancji modelu z uwzgl dnieniem wagi wej ciowej ( ), natomiast obserwowalno ci z uwzgl dnieniem wagi wyj ciowej ( ).

(3.34) (3.35)

Algorytm Ennsa [Enn84]

W wyniku wprowadzenia wag cz stotliwo ciowych gramiany sterowalno ci obserwowal-no ci modelu zmodyfikowanego funkcjami wagowymi maj wymiar wi kszy ni model pierwotny (gdy uwzgl dniaj dynamik wprowadzonych filtrów wagowych). Na ich pod-stawie nie jest mo liwe wyznaczenie macierzy transmitancji, gdy jej wymiar byøby wi kszy ni model podlegaj cy zrównowa eniu. W algorytmie zaproponowanym przez Enssa, za gra-miany sterowalno ci i obserwowalno ci modelu pierwotnego przyj to podmacierze gramia-nów (o wymiarze ) modeli zmodyfikowanych wprowadzeniem funkcji wagowych:

, gdzie: , (3.36)

, gdzie: , (3.37)

Przyj cie gramianów wyznaczonych na podstawie zale no ci (3.36) oraz (3.37) umo li-wia uzyskanie poprawnych wyników redukcji dla modeli podsystemów parownika na po-szczególnych poziomach hierarchii. Warto ci szczególne Hankela modelu oraz filtrów wago-wych umo liwiaj równie oszacowanie bø du aproksymacji modelu zredukowanego [KAM95]. Algorytm Ennsa gwarantuje zachowanie stabilno ci modelu zredukowanego

wy-ø cznie przy zastosowaniu jednej wagi cz stotliwo ciowej (ang. one-side weighting), druga z wag cz stotliwo ciowych musi by filtrem wszechprzepustowym.

Gramiany wyznaczone z zale no ci (3.36) oraz (3.37) podstawiane s w miejsce gramia-nów modelu pierwotnego. Wszystkie kolejne kroki algorytmów redukcji s identyczne jak dla metod nie wprowadzaj cych wag cz stotliwo ciowych.

Algorytm LIN-CHIU [LC92]

Modyfikacja algorytmu Ennsa, która gwarantuje stabilno modelu zredukowanego w przypadku zastosowania obu wag cz stotliwo ciowych (ang. two-sided weighting), zapre-zentowana zostaøa przez C. Lin i T. Chiu w 1992r [LC92]. Celem modyfikacji jest uwzgl d-nienie podmacierzy, które byøy pomijane w algorytmie Ennsa. Je eli podmacierze i nie s macierzami osobliwymi, wówczas gramiany sterowalno ci i obserwowalno ci mo emy przeksztaøci w identyczny sposób jak macierze modelu zredukowanego metod SPA. Gøów-n wad tego podej cia jest koGøów-nieczGøów-no dobraGøów-nia takich traGøów-nsmitaGøów-ncji filtrów wagowych, aby adne z zer i biegunów modelu pierwotnego nie ulegøo redukcji z transmitancj modelu pier-wotnego [VA01].

(3.38) (3.39) Zaproponowany zostaø równie metoda po rednia pomi dzy algorytmami Ennsa i Lin-Chiu [VA01] wprowadzaj ca dodatkowe wspóøczynniki oraz :

(3.40) (3.41)

Dla 0 gramiany przyjmuj warto jak w metodzie Ennsa, natomiast 1

s równe gramianom wyznaczonym metod Lin-Chiu. Stabilno redukowanego modelu jest gwarantowana, gdy wspóøczynniki s równe jedno ci. Mo na oczekiwa , e w praktycznych zastosowaniach b dzie ona równie zachowana dla warto ci zbli onych do jedno ci.

Algorytm Wanga [WSL99, VA01, GA04]

Kolejna modyfikacja metody FW, gwarantuj ca stabilno modelu zredukowanego z za-stosowaniem obu funkcji wagowych, zaproponowana zostaøa przez Wanga [WSL99].

Uwzgl dniaj c podziaø gramianów modelu zmodyfikowanego funkcjami wagowymi na podmacierze (3.32 oraz 3.33), równania Lapunowa (3.34 oraz 3.35) mo na przeksztaøci do nast puj cej postaci:

(3.42) (3.43) Aby mo liwe byøo zastosowanie algorytmu wyznaczenia dekompozycji Choleskiego gramia-nów bezpo rednio z równa Lapunowa (3.17 oraz 3.18), konieczna jest dekompozycja prawej strony równa (3.42) oraz (3.43) do postaci:

(3.44) (3.45) W ogólnym przypadku prawa strona równa (3.44) oraz (3.45) nie jest dodatnio okre lona i konieczne jest przyj cie aproksymacji macierzy oraz . Wang zaproponowaø dekompozy-cj prawej strony równa (3.44) oraz (3.45) wzgl dem wektorów oraz warto ci wøasnych, a nast pnie zast pienie wszystkich ujemnych warto ci wøasnych przez ich warto ci bez-wzgl dne [WSL99] (lub zera [VA01]):

diag | |, , | |, 0, ,0 ^(3.46)

diag | |, , , 0, ,0 ^(3.47)

gdzie: diag , , , diag , , , | | | | | | 0,

| | | | | | 0, rz d ,

.

Oszacowanie warto ci macierzy oraz szybko ro nie wraz z liczb uwzgl dnionych warto ci i wektorów wøasnych, co umo liwia usuni cie cz ci wektorów oraz warto ci wøa-snych bez zwi kszenia bø du aproksymacji elementów macierzy. W celu wyznaczenia de-kompozycji gramianów modelu zmodyfikowanego funkcjami wagowymi macierze oraz podstawia si w miejsce macierzy oraz w równaniach (3.17 oraz 3.18).