Analiza błędu

Analizę błędu wyznaczonych pól wektorowych rozpoczęto od eliminacji tzw. wektorów pozornych [z ang. spurious vectors]. Są to wektory, których wielkość (wartość) jest kilkakrotnie razy większa od wielkości wektorów ich otaczających. Ich głównym źródłem występowania w analizie DPIV są: niewystarczająca gęstość posiewu, duże gradienty prędkości w obszarze pomiarowym oraz znaczny ruch przestrzenny w układzie [109]. Wektory pozorne pojawiają się każdorazowo w czasie obliczania pola prędkości metodą DPIV, jednak jak podaje Westerweel [109], odpowiednie przygotowanie i przeprowadzenie pomiarów pozwala ograniczyć ich ilość do 5 % wszystkich wyznaczonych w układzie wektorów prędkości. W przeprowadzonych badaniach przepływ w każdym z kanałów był głównie dwuwymiarowy (długość kanału była ok. sześć razy większa od jego wysokości) i laminarny, przez co występowanie wektorów pozornych miało znikomy wpływ na otrzymywane wyniki. Co więcej, w wyniku procesu przetwarzania danych, były one w całości eliminowane.

Ponieważ schemat obliczeniowy w metodzie DPIV bazuje na statystycznej analizie otrzymanych obrazów, możliwe jest wyznaczenie wielkości odchylenia standardowego chwilowych wartości wektorów prędkości od ich wartości średniej (równanie (5.7)). Tak jak w przypadku eliminacji wektorów pozornych, istnieje wiele parametrów kontrolowanych w czasie wykonywania pomiaru, które mogą wpłynąć na wielkość obliczonego odchylenia standardowego.

( )

1 1 N i i U U N σ = =

∑

− (5.7)

Są nimi m.in.: gęstość posiewu, wielkości występujących gradientów prędkości, intensywność ruchu przestrzennego w układzie, różnice w naświetleniu poszczególnych części obrazu oraz szumy występujące podczas jego rejestracji [110]. Z punktu widzenia algorytmu obliczeniowego można wyszczególnić kilka parametrów których odpowiedni dobór pozwala ograniczyć wielkość odchylenia standardowego. Są nimi m.in: wielkość okna interrogacji oraz parametr określający ich wzajemne nałożenie. Badaniem wpływu szeregu parametrów obliczeniowych na dokładność otrzymywanych map wektorowych zajmowali się m.in. Hart [111], McKenna i McGillis [110] oraz Meunieri Leweke [112].

W prezentowanej rozprawie doktorskiej, w pierwszej kolejności badaniom poddano wpływ wielkości okna interrogacji na dokładność obliczonych średnich rozkładów pola prędkości. Rozmiary okien wzięte pod uwagę wynosiły odpowiednio: 6x6, 12x12, 32x32, 64x64 oraz 128x128 piksela. W pracy, wpływ powyższego parametru przeanalizowano obliczając wartości odchylenia standardowego dla różnych wielkości przemieszczenia i dla trzech charakterystycznych wartości strumienia przepływu w kanale, równych odpowiednio 0,5 l/min, 1,5 l/min oraz 3,0 l/min. Otrzymane wyniki przedstawiono na rysunkach 5.24 a-b i 5.25. W przypadku okien interrogacji mniejszych od 12x12 piksela wielkość odchylenia standardowego, dla prędkości mniejszych od 6 cm/s, była porównywalna z ich wartościami mierzonymi. W związku z tym, pomimo znacznie większej, niż ma to miejsce dla większych okien interrogacji, rozdzielczości map wektorowych, wartości otrzymanych w ten sposób wektorów prędkości nie mogły być uznane za wiarygodne. Gdy mierzone wartości prędkości były większe od 6cm/s, wielkość odchylenia standardowego znacznie spadła, jednak wciąż była na poziomie 10-15% wartości mierzonych prędkości, co było wielkością zbyt dużą, aby można było uznać otrzymany wektor za wiarygodny. Dla okna interrogacji o rozmiarze 32x32 piksela otrzymane wartości odchylenia standardowego nie były większe od 0,1 cm/s oraz 0,05 cm/s, odpowiednio dla przepływów 0,5 l/min, 1,5 l/min oraz 3,0 l/min. Stanowiło to około 5% wartości mierzonej prędkości, co w znaczny sposób wpłynęło na poprawę dokładności wyznaczanych map wektorowych. Dalszy spadek wartości odchylenia standardowego zaobserwowano dla większych okien interrogacji, jednocześnie jednak, co widać na rysunkach 5.24 a-b i 5.25, zakres mierzonych prędkości, a co za tym idzie rozdzielczość pola wektorowego znacznie malała. Stąd, przy doborze odpowiedniego rozmiaru okna interrogacji koniecznym było określenie pewnego kompromisu pomiędzy dokładnością map wektorowych, a ich rozdzielczością. Z powyższego porównania wynika, iż optymalny rozmiar okna interrogacji w opisanych wyżej badaniach wynosił 32x32 piksela.

Równie ważnym parametrem określanym podczas obliczeń map wektorowych jest wielkość wzajemnego nałożenia się okien interrogacji. Wartość ta podawana jest w procentach i określa jaka część danego okna interrogacji jest wspólna również dla drugiego. Większe wartości tego parametru pozwalają, bez zmiany wielkości okna interrogacji zwiększyć rozdzielczość (gęstość wektorów) końcowego pola wektorowego. Pojawia się jednak pytanie, jak zmiana tego parametru wpływa na dokładność obliczanych map wektorowych.

(a)

(b)

Rys. 5.24 Wpływ wielkości okna interrogacji na wartość odchylenia standardowego, (a) 0,5 l/min, (b) 1,5 l/min

Rys. 5.25 Wpływ wielkości okna interrogacji na wartość odchylenia standardowego dla przepływu 3,0 l/min

Rys. 5.26 Wpływ wielkości wzajemnego nakładania się okien interrogacji na wartość odchylenia standardowego

W powyższej pracy przeanalizowano trzy wartości współczynnika wzajemnego nałożenia okien interrogacji, oraz jego wpływ na wielkość odchylenia standardowego. Wyniki analiz przedstawiono na rysunku 5.26. Na podstawie wykresu stwierdzono, iż dla względnie małych prędkości znacznika (mniejszych od 6 cm/s) otrzymane wyniki obarczone były najmniejszym błędem statystycznym, gdy okna w połowie nakładały się na siebie. Analogicznie, dla prędkości większych od 6 cm/s, najbardziej satysfakcjonujące rezultaty uzyskiwane były w sytuacji, gdy okna interrogacji przylegały do siebie (nie nakładały się). Efekt ten można wytłumaczyć w następujący sposób. W przypadku, gdy cząstki znacznikowe poruszały się wolno, większe (procentowo) nałożenie się okien interrogacji dawało większą szansę na to, że dana cząstka pomiędzy dwoma impulsami lasera zdoła przemieścić się z obszaru pierwszego okna interrogacji, do drugiego. Podobnie, dla względnie szybko (w skali danego eksperymentu) poruszających się cząstek znacznikowych, brak nałożenia się okien interrogacji zapobiegał (do pewnego stopnia) ucieczce tych cząstek z obszaru poszczególnych okien interrogacji. Ponieważ jednak w czasie obliczeń należało wybrać jedną konkretną wartość powyższego parametru, zauważono iż ustalenie go na poziomie 25 % pozwalało uzyskać satysfakcjonujące wyniki w całym obszarze mierzonego przemieszczenia. Jak pokazali w swojej pracy Huang i inni [113], dalsze podniesienie dokładności obliczeń statystycznych można uzyskać poprzez normalizację funkcji korelacji krzyżowej. Co więcej, Anadarajah i inni [114] wykazali, że normalizacja funkcji korelacji krzyżowej eliminuje tzw. błąd cząstkowego obrazu [z ang. Partial Image Error]. Błąd ten wynika z faktu, iż w czasie podziału zdjęcia na okna interrogacji może dojść do sytuacji, w której tylko część obrazu danej cząstki znacznikowej zostanie ujęta w ramach danego okna interrogacji.

( ) ( )

( ) ( )

0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0 0, 0, 1 1, 1, , , 2 2 1 0, 0, 1 1, 1, , , , , , , i i i i i i i i i i i i x x y y II Norm i i i i x y x y I x y I x dx y dy R I x y I x y − + + =

∑ ∑

∑ ∑

^(5.8)

W konsekwencji może to spowodować przesunięcie się piku korelacyjnego w kierunku mniejszych niż w rzeczywistości wartości przemieszczenia. Normalizacja funkcji korelacji krzyżowej eliminuje ten efekt. W badaniach, normalizację funkcji krzyżowej zastosowano, ustalając wcześniej optymalne wartości wielkości okna interrogacji oraz parametru wzajemnego nałożenia się okien (były równie odpowiednio 32x32 piksela oraz 25%).

Znormalizowaną postać funkcji korelacji krzyżowej przedstawia równanie 5.8. Otrzymane wyniki przedstawiono na rysunku 5.27.

Rys. 5.27 Wpływ normalizacji funkcji korelacji krzyżowej na wielkość odchylenia standardowego

Z powyższego wykresu wynika, iż stosując normalizację funkcji korelacji krzyżowej, można w dalszym stopniu zwiększyć dokładność obliczanych wyników, nie tracąc informacji o samych charakterze przepływu, jak miało by to miejsce przy zmianie innych wyżej opisanych parametrów.

W dokumencie Index of /rozprawy2/10505 (Stron 96-101)