Index of /rozprawy2/10505

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica. Wydział Energetyki i Paliw Katedra Podstawowych Problemów Energetyki. Rozprawa doktorska. ANALIZA EKSPERYMENTALNA PROCESÓW KONWEKCYJNYCH Z WYKORZYSTANIEM METOD: PARTICLE IMAGE VELOCIMETRY (PIV), PARTICLE IMAGE THERMOMETRY (PIT). mgr inż. Remigiusz Nowak. Promotor: Prof. dr hab. inż. Janusz S. Szmyd. Kraków 2012.

(2) 1. Wstępa. 2.

(3) Pracę pragnę zadedykować swojej żonie Agnieszce, Rodzicom oraz Rodzeństwu. Jednocześnie chcę serdecznie podziękować promotorowi prof. dr hab. inż. Januszowi Szmydowi za pomoc okazaną przy jej realizacji. Serdecznie dziękuję również prof. Kazumiemu Tsunodzie za możliwość przeprowadzenia części badań w Shibaura Institute of Technology w Tokio. Dziękuję również wszystkim pracownikom oraz doktorantom Katedry Podstawowych Problemów Energetyki, którzy przyczynili się do powstania niniejszej rozprawy.. 3.

(4) 1. Wstępa. 4.

(5) Praca została sfinansowana ze środków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego Grant 4908/B/T02/2010/39. 5.

(6) 1. Wstępa. 6.

(7) Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń .................................................................................................. 9 1 Wstęp .................................................................................................................................... 13 1.1 Inwazyjne metody pomiarowe....................................................................................... 15 1.2 Nieinwazyjne metody pomiarowe ................................................................................. 17 2 Cel Pracy .............................................................................................................................. 23 3 Digital Particle Image Velocimetry...................................................................................... 25 3.1 Rozwój metody .............................................................................................................. 26 3.2 Konfiguracja układu optycznego ................................................................................... 29 3.3 Kalibracja układu optycznego ....................................................................................... 33 3.3.1 Pomiar przy pomocy jednej kamery CCD .............................................................. 34 3.3.2 Układ stereoskopowy .............................................................................................. 37 3.3.3 Obiekt kalibracyjny ................................................................................................. 39 3.3.4 Algorytmy kalibracji ............................................................................................... 40 3.4 Cząstki znacznikowe ..................................................................................................... 44 3.5 Obliczenie rozkładu pola prędkości .............................................................................. 48 4 Digital Particle Image Thermometry.................................................................................... 57 4.1 Zastosowanie ciekłych kryształów w cyfrowej termometrii obrazowej........................ 58 4.2 Kalibracja ciekłych kryształów ..................................................................................... 61 4.3 Zasada wyznaczania krzywej kalibracyjnej .................................................................. 62 5 Analiza pola prędkości w modelu ogniwa paliwowego typu SOFC .................................... 67 5.1 Geometrie ogniw paliwowych typu SOFC .................................................................... 67 5.1 Stan badań...................................................................................................................... 71 5.2 Układ pomiarowy .......................................................................................................... 74 5.3 Analiza wyników ........................................................................................................... 80 5.3.1 Sekcja A .................................................................................................................. 80 5.3.2 Sekcja B .................................................................................................................. 86. 7.

(8) 2. Wstępa 5.3.3 Sekcja C .................................................................................................................. 91 5.3.4 Analiza błędu .......................................................................................................... 96 5.4 Podsumowanie eksperymentu ..................................................................................... 101 6 Analiza pól prędkości i temperatury w układzie podobnym do metody Czochralskiego produkcji monokryształów ................................................................................................ 103 6.1 Stan badań.................................................................................................................... 105 6.2 Metoda Czochralskiego – konwekcja w tyglu ............................................................. 118 6.2.1 Struktury wywołane procesami konwekcyjnymi .................................................. 121 6.3 Układ pomiarowy ........................................................................................................ 122 6.3.1 Parametry eksperymentalne .................................................................................. 126 6.3.2 Układ do pomiarów DPIT ..................................................................................... 132 6.3.3 Układ do pomiarów DPIV .................................................................................... 134 6.4 Wyniki – Analiza rozkładu pól temperatury ............................................................... 136 6.4.1 Konwekcja naturalna............................................................................................. 137 6.4.2 Konwekcja wymuszona – rotacja tygla ................................................................ 140 6.4.3 Konwekcja wymuszona – rotacja kryształu .......................................................... 143 6.4.4 Konwekcja wymuszona – rotacja tygla i kryształu............................................... 147 6.5 Wyniki – Analiza rozkładu pól prędkości ................................................................... 151 6.5.1 Konwekcja naturalna............................................................................................. 151 6.5.2 Konwekcja wymuszona – Rotacja kryształu ........................................................ 154 6.5.3 Konwekcja wymuszona – Rotacja tygla ............................................................... 164 6.5.4 Konwekcja wymuszona – Rotacja tygla i kryształu ............................................. 173 6.6 Symetria struktur ......................................................................................................... 182 6.7 Wpływ zmiany wysokości cieczy na procesy konwekcji w tyglu............................... 185 6.8 Podsumowanie eksperymentu ..................................................................................... 189 7 Analiza eksperymentalna rozkładu prędkości w laboratoryjnym modelu skrzyżowania ściany z chodnikiem nadścianowym ................................................................................. 191 7.1 Wstęp ........................................................................................................................... 191 7.2 Stanowisko badawcze .................................................................................................. 192 7.3 Analiza wyników ......................................................................................................... 193 7.4 Podsumowanie bieżących badań ................................................................................. 212 8 Podsumowanie ................................................................................................................... 213 Bibliografia............................................................................................................................. 217. 8.

(9) 1. Wstęp. Wykaz ważniejszych oznaczeń. U. prędkość średnia. m/s. B. składowa koloru niebieskiego w przestrzeni kolorów RGB,. -. b. znormalizowana wartość składowej koloru niebieskiego w przestrzeni kolorów RGB,. -. Ch. częstotliwość charakterystyczna ruchu cząstki,. 1/s. cp. ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu,. J/(kg K). Cs. przekrój czynny na rozproszenie,. m2. d. długość przekroju pomiarowego. m. dcz. średnica cząstki znacznikowej,. m. dH. średnica hydrauliczna kanału ,. m. di. odległość obrazu od soczewki,. m. do. odległość obiektu od soczewki,. m. do. odległość obiektywu od płaszczyzny lasera,. m. EK*. znormalizowana energia kinetyczna,. -. f. ogniskowa obiektywu. -. G. składowa koloru zielonego w przestrzeni kolorów RGB,. -. g. znormalizowana wartość składowej koloru zielonego w przestrzeni kolorów RGB,. -. gz. przyspieszenie grawitacyjne,. m/s2. H. składowa koloru w przestrzeni kolorów HSI ,. -. h. współczynnik dyfuzyjności termicznej,. m2/s. H. wysokość cieczy w tyglu,. m. 9.

(10) 2. Wstępa H. wysokość kanału eksperymentalnego. m. I. intensywność,. -. I. składowa intensywności w przestrzeni kolorów HSI,. -. k. współczynnik przewodzenia ciepła,. W/(m K). k*. znormalizowana energia kinetyczna turbulencji,. -. l. wymiar charakterystyczny. m. l0. długość sekcji pomiarowej. m. M. powiększenie obrazu. -. n. współczynnik załamania światła,. -. Pλ. moc źródła światła. W. Qwe. ciepło doprowadzone do cieczy,. J. Qwy1. ciepło odprowadzone do kryształu na drodze przewodzenia,. J. Qwy2. ciepło wypromieniowane z powierzchni cieczy,. J. R. składowa koloru czerwonego w przestrzeni kolorów RGB,. -. r. znormalizowana wartość składowej koloru czerwonego w przestrzeni kolorów RGB,. -. Rc. promień tygla,. m. Rx. promień kryształu,. m. Rλ. współczynnik odbicia powierzchniowego. -. S. odległość między soczewkami,. m. S. składowa nasycenia w przestrzeni kolorów HSI,. -. T. temperatura ,. °C. t. czas. s. Ta. średnia temperatura pomiędzy ścianami naczynia i powierzchnią kryształu,. °C. Tc. temperatura ścian tygla,. °C. Tx. temperatura powierzchni kryształu,. °C. U. prędkość,. [m/s]. U*. prędkość znormalizowana,. -. w. stężenie masowe. -. ∆T. różnica temperatury. °C. 10.

(11) 1. Wstęp Greckie litery β. współczynnik rozszerzalności objętościowej,. 1/K. εx. błąd pomiaru składowej poprzecznej prędkości wynikający. m/s. z błędu perspektywy λ. długość fali. m. µ. lepkość dynamiczna,. kg/m·s. ν. lepkość kinematyczna,. m2/s. ρ. gęstość,. kg/m3. ρcz. gęstość cząstki znacznikowej,. kg/m3. ρp. gęstość powietrza,. kg/m3. σ. odchylenie standardowe pomiaru prędkości. m/s. τ. czas relaksacji. s. τxx*. znormalizowane naprężenia tarcia Reynoldsa. -. τxy*. znormalizowane naprężenia tarcia Reynoldsa. -. τyy*. znormalizowane naprężenia tarcia Reynoldsa. -. Ωc. prędkość obrotowa tygla,. obr/min. Ωx. prędkość obrotowa kryształu,. obr/min. Liczby podobieństwa. Gr = Ra =. Re = Pr =. g z β ∆Tl 3. ν2. g z β ∆Tl 3 = Gr ⋅ Pr νh. U ⋅l. k. liczba Rayleigha liczba Reynoldsa. ν cp µ. liczba Grashofa. =. ν h. liczba Prandtla. 11.

(12) 2. Wstępa. 12.

(13) 1. Wstęp. 1 Wstęp. W. sektorze. energetycznym. zagadnienia. związane. z. badaniem. procesów. konwekcyjnych mają zasadnicze znaczenie zarówno w przypadku prac laboratoryjnych jak i zastosowań przemysłowych. Z definicji, konwekcja oznacza proces polegający na przenoszeniu energii, głównie przez przepływ drobin i mieszanie się strug płynów o różnej temperaturze. Jest ona procesem zachodzącym tylko i wyłącznie w płynach (tzn. cieczach i gazach). W zależności od sposobu jej wywołania w układzie, dzieli się na konwekcję naturalną (swobodną) oraz konwekcję wymuszoną. Konwekcja naturalna spowodowana jest działaniem zewnętrznych sił masowych (np. siła ciężkości) na części płynu o różnych gęstościach. Przykładowymi układami zamkniętymi, w których obserwuje się konwekcję naturalną są wszelkiego rodzaju sześcienne, prostopadłościenne czy cylindryczne naczynia, w których pomiędzy dwiema przeciwległymi ścianami ustala się różnica temperatury. Obszerny przegląd procesów konwekcyjnych w tego typu układach geometrycznych przedstawił Bejan [1]. Z konwekcją wymuszoną mamy do czynienia zawsze wtedy, gdy ruch płynu wywołany jest działaniem zewnętrznego źródła. Mogą nim być pompy, sprężarki, wentylatory oraz wszelkiego rodzaju elementy obrotowe. Konwekcja wymuszona, to również przepływ płynu w instalacjach przemysłowych, energetycznych oraz urządzeniach wytwarzających energię elektryczną. Transport gazów w kanałach reakcyjnych ogniwa paliwowego typu SOFC może być przykładem występowania w układzie konwekcji wymuszonej. Układem, w którym obie z wymienionych konwekcji w porównywalny sposób wpływają na wydajność procesu jest stanowisko do produkcji monokryształów metodą Czochralskiego. Powyższe instalacje są układami, w których często jednocześnie występuje. 13.

(14) 1. Wstęp złożony ruch płynu połączony z wymianą ciepła. Szczegółowa analiza zachodzących w czasie ich funkcjonowania procesów termodynamicznych jest konieczna i nierzadko pozwala podnieść wydajność pracy samych instalacji, poprzez optymalizację ich geometrii oraz dobór odpowiednich warunków brzegowych. Daje również możliwość wpłynięcia na jakość otrzymywanych za ich pomocą produktów. Jednym z elementów tego typu badań jest analiza rozkładu pól temperatur i prędkości w danym urządzeniu. Pomiaru prędkości oraz temperatury płynu można dokonać na wiele sposobów. Dobór techniki pomiarowej bezpośrednio zależy od tego czy mierzona jest prędkość w przepływie laminarnym czy turbulentnym, w jakich warunkach przeprowadzany jest pomiar (geometria urządzenia, temperatura pracy itp.) oraz jak bardzo szczegółowa informacja o przepływie jest wymagana. Biorąc pod uwagę sposób dokonania pomiaru, stosowane metody można podzielić na techniki inwazyjne oraz nieinwazyjne.. Metoda pomiaru Prędkość. Temperatura. Pomiar inwazyjny. Pomiar nieinwazyjny. Pomiar nieinwazyjny. Pomiar inwazyjny. Rurki spiętrzające. LDA. LIF. Termopara. ADV. PIT. Termoanemometria. Termometr rezystancyjny. DGV PTV. Termistor PIV LSV. Rys. 1.1 Wybrane metody pomiaru prędkości i temperatury płynu. 14.

(15) 1. Wstęp Pierwsze z nich charakteryzują się koniecznością wprowadzenia do badanego układu czujnika (sensora) o skończonych wymiarach geometrycznych, który dostarcza informacji o prędkości płynu w jednym konkretnym punkcie, w którym został umieszony. Do grupy inwazyjnych metod pomiarowych zaliczają się m.in.: rurka Prandtla, rurka Pitota, termoanemometr, termometr rezystancyjny, termistor i termoelement. W przeciwieństwie do wyżej wymienionych, metody bezinwazyjne pozwalają uzyskać informację o prędkości i temperaturze płynu bez ingerencji w strukturę badanego przepływu. Do tej grupy technik zaliczana jest bogata grupa metod pomiarowych takich jak: LDA [z ang. Laser Doppler Anemometry], UDV [z ang. Ultrasonic Doppler Velocimetry], ADV [z ang. Acoustic Doppler Velocimetry), DGV [z ang. Doppler Global Velocimetry], PTV [z ang. Particle Tracking Velocimetry], PIV [z ang. Particle Image Velocimetry] oraz LIF [z ang. Laser Induced Fluorescence], a także PIT [z ang. Particle Image Thermometry] (rys. 1.1).. 1.1 Inwazyjne metody pomiarowe Pierwszą grupą przyrządów inwazyjnych pozwalających na punktowy pomiar prędkości przepływającego płynu są rurki spiętrzające (rurka Pitota, rurka Prandtla). Prosta w konstrukcji rurka, umożliwia obliczenie prędkości płynu (z równania Bernoulliego) w oparciu o wyznaczone, na podstawie pomiaru różnicy ciśnienia całkowitego i statycznego przepływającego płynu, ciśnienie dynamiczne. Rurki spiętrzające są urządzeniami o bardzo prostej konstrukcji i stosunkowo dużej dokładności (błąd urządzenia ok. 1% mierzonej wartości), dlatego często wykorzystywane są do pomiaru prędkości płynu w rurociągach, maszynach przepływowych, czy kanałach o nieregularnych kształtach (również o przekroju niekołowym), jednakże aby pomiar wykonany przy ich pomocy był wiarygodny musi zostać spełniony szereg warunków, jak choćby umiejscowienie rurki spiętrzającej równolegle do kierunku przepływu. Wynika stąd, iż precyzyjny pomiar przy jej pomocy może być dokonany dla przepływu ustalonego, bez widocznych zawirowań i znacznych pionowych gradientów prędkości. Na bazie powyższych ograniczeń niemal natychmiastowo można dojść do wniosku, iż tego typu urządzenie z całą pewnością nie sprawdzi się w przypadku pomiaru prędkości w przepływach turbulentnych, w których wyznaczenie dominującego kierunku ruchu jest często bardzo trudne.. 15.

(16) 1. Wstęp Drugą grupę urządzeń inwazyjnych stosowanych do pomiaru prędkości stanowią termoanemometry. Są to czujniki pomiarowe składające się z dwóch elementów: sondy pomiarowej oraz układu elektrycznego. Sondę pomiarową stanowi cienki drucik o średnicy oraz długości, które według różnych źródeł zawierają się odpowiednio w przedziale ok. 1 – 100 µm i 0,2 – 10 mm ([2], [3]). Drucik wykonany najczęściej z wolframu, platyny, nici kwarcowej, platynoirydu, czy niklu [3] zamocowany jest pomiędzy dwoma końcówkami pokrytymi warstwą miedzi lub złota i podgrzewany, zgodnie z prawem Joule’a, przez przepływający prąd. Płyn omywający sondę pomiarową odbiera od niej ciepło na drodze konwekcji. Ustalając równowagę pomiędzy ciepłem doprowadzonym przez płynący prąd i ciepłem odprowadzonym przez konwekcję można określić zależność, na podstawie której obliczana jest prędkość płynu. W praktyce stosowane są dwa główne sposoby wyznaczenia prędkości płynu przy pomocy termoanemometru. W pierwszym, celem jest utrzymanie stałej temperatury czujnika (T = const.), co wymaga odpowiedniej regulacji oraz kontroli prądu w układzie elektrycznym. W tym wypadku mierzona prędkość jest funkcją natężenia prądu płynącego przez czujnik. Minimalna prędkość mierzona w tego typu układzie to 2 m/s [3]. Aby móc mierzyć prędkości mniejsze od 2 m/s należy zastosować termoanemometr stałoprądowy (I = const.), w którym mierzona prędkość przepływu jest funkcją temperatury czujnika.. Z. grupy. przedstawionych. inwazyjnych. przyrządów. pomiaru. prędkości,. termoanemometr jest jedynym czujnikiem pozwalającym mierzyć prędkość płynu zarówno dla przepływu laminarnego, jak i turbulentnego. W zależności od stopnia skomplikowania sensora pomiarowego, możliwy jest pomiar wartości jednej, dwóch i trzech składowych wektora prędkości. Przykładowymi urządzeniami, należącymi do grupy inwazyjnych mierników temperatury są m.in: termometry rezystancyjne, termistory i termoelementy. Dwa pierwsze z podanych przyrządów są układami, w których temperatura mierzona jest w oparciu o zmianę rezystancji stosowanego czujnika. W przypadku termometrów rezystancyjnych, sensor wykonany jest z metalu, najczęściej platyny, niklu lub miedzi. W czujniku termistorowym sensor pomiarowy jest półprzewodnikiem wytworzonym z mieszanki tlenków różnych pierwiastków takich jak: miedź, mangan, żelazo, aluminium, kobalt, nikiel. Pomiar temperatury przy pomocy termoelementu wykonywany jest w oparciu o zjawisko termoelektryczne zachodzące na styku dwóch metali tworzących sensor pomiarowy. Konstrukcja czujnika wymaga, aby jeden z końców termoelementu umieścić w znanej temperaturze odniesienia. Umieszczając drugi koniec w układzie eksperymentalnym,. 16.

(17) 1. Wstęp dokonuje się pomiaru powstałej różnicy potencjału w złączu, co bezpośrednio przekłada się na wartość mierzonej temperatury. Przedstawione powyżej metody pomiarowe znalazły zastosowanie w wielu urządzeniach i instalacjach przemysłowych. Wykorzystuje się je również często w pracach laboratoryjnych. Mają one jednak dwa główne ograniczenia. Po pierwsze, w przypadku pomiaru prędkości, do układu pomiarowego należy wprowadzić sensor, który sam w sobie ma skończone wymiary geometryczne i lokalnie, w miejscu pomiaru, może zaburzyć mierzoną prędkość płynu. Ponadto wykonywany przy pomocy wszystkich opisanych powyżej technik pomiar jest pomiarem punktowym, tzn. w danej chwili czasowej daje możliwość uzyskania informacji o prędkości i temperaturze płynu tylko w jednym ściśle określonym miejscu rozpatrywanego obszaru.. 1.2 Nieinwazyjne metody pomiarowe Drugim zbiorem technik pomiarowych są metody nieinwazyjne. Pozwalają one na punktowe (ADV, LDA1) lub obszarowe (DGV, PTV, PIV, LIF, PIT) określenie poszukiwanej prędkości lub temperatury płynu. Ich podstawową zaletą jest możliwość nieinwazyjnego wykonania pomiarów. Poprzez nieinwazyjność rozumiany jest brak konieczności wprowadzenia czujnika o skończonych wymiarach geometrycznych, w miejsce przeprowadzania badania. W przypadku pomiaru prędkości wynika z tego zasadnicza zaleta powyższych metod: badany przepływ nie ulega zaburzeniu wskutek wprowadzenia sondy pomiarowej. Poniżej, w skrócie scharakteryzowano każdą z powyższych technik badawczych. Metoda ADV pozwala na bezinwazyjne wyznaczenie chwilowych wartości trzech składowych wektora prędkości płynu w danym punkcie pomiarowym. Przeznaczona jest do badań zarówno w przepływach laminarnych jak i turbulentnych. Wykorzystywany instrument pomiarowy składa się z trzech elementów: sondy pomiarowej, wzmacniacza sygnału oraz modułu obliczeniowego [4]. Sonda pomiarowa złożona z nadajnika oraz trzech odbiorników umieszczona jest na trzpieniu długości 40 cm i przekroju 7 mm. Trzy odbiorniki, z których każdy odpowiedzialny jest za pomiar jednej składowej wektora prędkości rozmieszczone są na okręgu, pod kątem 120° względem siebie ([5], [6]). Pomiar prędkości dokonywany jest w tzw. objętości próbkowania. Każdy z odbiorników umieszony jest pod 1. Często metoda LDA (Laser Doppler Anemometry) w literaturze występuje pod nazwą LDV (Laser Doppler Velocimetry). W rzeczywistości są to określenia odnoszące się do tej samej metody pomiarowej. 17.

(18) 1. Wstęp kątem 30° do wyznaczonej przez nią osi ([5], [6]). Objętość próbkowania jest miejscem przecięcia się fali biegnącej z nadajnika i fal kierowanych do poszczególnych odbiorników. W typowym czujniku objętość próbkowania ma kształt walca o wysokości 9 mm, średnicy 6 mm [7] i znajduje się w odległości 5 – 10 cm od sondy pomiarowej ([8], [4]). Zasada działania urządzenia bazuje na efekcie Dopplera. W układzie pomiarowym nadajnik wysyła falę akustyczną o częstotliwości 10 MHz ([5], [6], [4]). Fala ta jest rozpraszana na cząstkach znacznika, które muszą zostać wprowadzone do układu w celu dokonania pomiaru. Częstotliwość rejestrowana przez odbiornik, wskutek rozpraszania fal na cząstkach znacznikowych jest przesunięta w fazie względem częstotliwości wysłanej przez nadajnik. Wielkość przesunięcia jest proporcjonalna do mierzonej prędkości znacznika ([5], [8]). Zakres możliwych do mierzenia prędkości, według dwóch różnych źródeł zawiera się w przedziale 3,0 – 250,0 cm/s ([6], [4]) lub jak podaje Rehmel [8] 0,1 – 450,0 cm/s. Dokładność urządzenia wynosi 0,1 mm/s [4]. Częstotliwość z jaką miernik jest w stanie rejestrować dane wynosi 0,1 – 25,0 Hz [4]. Metoda LDA jest metodą optyczną punktowego pomiaru prędkości płynu bazującą, tak jak powyższa, na pomiarze dopplerowskiego przesunięcia częstotliwości powstałego wskutek rozpraszania wiązki laserowej na cząstkach znacznika wprowadzonych do badanej objętości. Aby móc wyznaczyć prędkość w metodzie LDA należy, ze względu na wykorzystywane światło laserowe, umożliwić dostęp optyczny do sekcji pomiarowej. Źródłem fali elektromagnetycznej wykorzystywanej w metodzie LDA jest w większości2 przypadków laser argonowy o mocy 2 – 4 W ([9], [10], [11]). Światło o określonej długości fali, emitowane z lasera, po rozszczepieniu na dwie wiązki przesyłane jest światłowodami w kierunku głowicy laserowej. Emitowane przez głowicę wiązki nachylone są do siebie pod kątem, który w zależności od konfiguracji układu może wynosić od kilku ([11], [12]) do kilkudziesięciu stopni ([10], [13]). Pomiar poszczególnej składowej prędkości płynu dokonywany jest w miejscu przecięcia się wiązek laserowych, zwanym objętością pomiarową. W metodzie LDA ma ona kształt elipsoidy. Jej objętość w typowych układach pomiarowych zawiera się w przedziale 0,03 – 1,0 mm3 ([14], [10], [15], [16]). W typowym układzie eksperymentalnym głowica emituje dwie pary wiązek o długościach fali równych odpowiednio 488,0 nm (światło niebieskie) oraz 514,5 nm (światło zielone). Kąt pomiędzy parą wiązek zielonych, a parą wiązek niebieskich wynosi 90°, co pozwala wyznaczyć dwie składowe wektora prędkości płynu w objętości pomiarowej. W celu jednoczesnego pomiaru 2. W niektórych przypadkach wykorzystywany jest laser He-Ne (helowo neonowy) o mocy 15 mW emitujący parę wiązek laserowych o długości fali równej 633 nm ([12], [15]).. 18.

(19) 1. Wstęp trzech składowych wektora prędkości, do układu należy dołączyć drugą głowicę laserową emitującą falę świetlną o długości 467,5 nm. Światło laserowe po rozproszeniu przez cząstkę znacznikową przesyłane jest przez oddzielny światłowód w kierunku układu dwóch fotodetektorów. Zanim fala świetlna trafi na poszczególny detektor rozdzielana jest na wiązki o długości 488,0 nm oraz 514,5 nm. Poszczególne wiązki, po rozdzieleniu, rejestrowane są przez odpowiedni czujnik. Fotodetektor transformuje sygnał świetlny (intensywność) na sygnał elektryczny (impulsy elektryczne), który w procesie dalszej obróbki dostarcza informacji o wartościach poszczególnych składowych wektora prędkości. Pewnym ograniczeniem wynikającym z teorii stojącej za podstawami metody LDA jest trudność w wyznaczeniu zwrotu mierzonego wektora prędkości, ponieważ cząstka znacznikowa poruszając się w dowolnym kierunku jest źródłem tej samej wartości przesunięcia dopplerowskiego. Aby w pełni wykorzystać jednak możliwości pomiarowe metody LDA stosuje się tzw. komórki Bragga, dzięki którym w układzie można ocenić, w którym kierunku poruszała się cząstka znacznikowa ([11], [15]). Metoda LDA, dzięki dużej rozdzielczości czasowej (częstotliwość rejestracji danych rzędu kHz) [16] oraz przestrzennej (objętość obszaru pomiarowego nie przekracza 1 mm3) znalazła zastosowanie zarówno w pomiarach przepływów laminarnych jak i turbulentnych. Maksymalne możliwe do zmierzenia prędkości zależne są jedynie od czasu reakcji fotodetektora i układu elektronicznego, co praktycznie oznacza. możliwość. badania. nawet. prędkości. naddźwiękowych. [16].. Dokładność. otrzymanych pól wektorowych zawiera się w przedziale od 0,5 – 3,0 % [11]. Fizyczne podstawy metody DGV są identyczne jak w przypadku metod LDA i ADV. Pomiar prędkości cząstek znacznikowych odbywa się poprzez pomiar dopplerowskiego przesunięcia częstotliwości światła padającego na cząstkę znacznikową i światła przez nią rozproszonego ([17], [18]). Różnica pomiędzy nimi polega na tym, iż w metodzie DGV obszar pomiarowy utworzony jest przez płaszczyznę światła laserowego, dzięki czemu możliwe jest wyznaczenie rozkładu pola prędkości w całym rozpatrywanym obszarze, a nie tylko w jednym konkretnym punkcie. Źródłem światła w układzie pomiarowym jest przeważnie laser argonowy generujący ciągłą wiązkę światła o długości fali 514,5 nm [17] lub pulsacyjny laser neodymowy (Nd:YAG), w którym długość fali światła wynosi 532 nm [19]. Wielkość dopplerowskiego przesunięcia w oparciu, o które mierzona jest prędkość cząstki znacznikowej jest rzędu kilkunastu MHz [19]. W porównaniu z częstotliwością światła laserowego wynoszącą ok. 1014 Hz [19] jest to wartość niewielka. Aby możliwe było prawidłowe oszacowanie rejestrowanych wielkości, układ mierzący daną składową wektora prędkości składa się z dwóch kamer CCD. Pierwsza z nich umieszczona. 19.

(20) 1. Wstęp jest za tzw. komórką jodową pełniącą rolę filtra [19], który konwertuje wielkość dopplerowskiego przesunięcia częstotliwości na intensywność rejestrowanego obrazu. W celu zniwelowania efektów związanych z wahaniami częstotliwości, pochodzących od samego lasera, druga z kamer rejestruje tzw. obraz odniesienia obserwując bezpośrednio płaszczyznę noża świetlnego. Wyznaczając wartość danej składowej wektora prędkości oblicza się stosunek sygnałów pochodzących z obu kamer, co pozwala ocenić, jak duża zmiana w częstotliwości (intensywności obrazu) była wynikiem rozproszenia światła laserowego na poruszających się cząstkach znacznikowych ([17], [18], [19], [20]). Metoda DGV pozwala wyznaczyć wszystkie trzy składowe wektora prędkości płynu. Wymaga to jednak zastosowania złożonego układu pomiarowego. Wynika to z faktu, iż wielkość dopplerowskiego przesunięcia częstotliwości zależy nie tylko od prędkości cząstki, ale również od kąta padania światła laserowego i kąta pod którym rejestruje się sygnał pochodzący z wiązki rozproszonej [18]. Układ tego typu konfiguruje się na dwa sposoby. W pierwszym z nich wykorzystuje się jedną kamerę CCD, generując jednocześnie trzy płaszczyzny noża świetlnego, każdą skierowaną w innym kierunku [18]. W drugim, obszar pomiarowy podświetlony jest pojedynczą wiązką laserową, koniecznym jest jednak zastosowanie układu sześciu kamer CCD, w taki sposób, aby każda ich para była ustawiona pod innym katem do płaszczyzny pomiarowej [17]. Kolejną grupę metod, w których pomiar prędkości odbywa się w oparciu o dodane do przepływającego płynu cząstki znacznikowe tworzą techniki: PTV, PIV, LSV. Są to metody optyczne, w których prędkość płynu badana jest bezpośrednio w oparciu ruch cząstek znacznikowych zapisanych na kolejnych klatkach obrazu zarejestrowanego przez kamerę CCD. Co do zasady działania, metody te są do siebie podobne. Różnica pomiędzy nimi wynika głównie z gęstości stosowanego posiewu (ilości cząstek znacznikowych przypadających na jednostkę objętości) przy której są wykorzystywane [21]. Metoda PTV stosowana jest wtedy, gdy gęstość ta jest niewielka i istnieje możliwość śledzenia ruchu poszczególnych cząstek w układzie. W metodzie PIV jest to już niemożliwe, gdyż gęstość posiewu jest większa, jednak wciąż na obrazach rejestrowanych przez kamerę CCD widoczny jest sygnał pochodzący od poszczególnych cząstek znacznikowych. W metodzie LSV pomiar przeprowadzany jest w układzie, w którym gęstość posiewu jest tak duża, że nie ma możliwości odróżnienia od siebie poszczególnych cząstek znacznikowych. Metoda PIV, należąca do tej grupy metod pomiarowych jest tematem powyższego opracowania. Jej szczegółową charakterystykę zamieszczono w rozdziale 3.. 20.

(21) 1. Wstęp W podobny sposób, jak to przedstawiono dla pomiaru prędkości płynu, można wyznaczyć rozkład temperatury w układzie przy pomocy technik nieinwazyjnych. Do tej grupy metod zaliczają się np. techniki PIT i LIF. Pierwsza z nich jest również jednym z tematów powyższego opracowania i jej opis zawarto w rozdziale 4 powyższej rozprawy. Metoda LIF jest optyczną metodą pomiaru temperatury, w której pomiar dokonywany jest w oparciu o analizę intensywności światła, emitowanego przez cząstki znacznikowe na drodze fluorescencji. W technice tej zakłada się, iż intensywność światła emitowanego przez cząstkę znacznikową zależy liniowo od temperatury w jakiej dana cząstka się znajduje [22]. Pozwala ona na wyznaczenie rozkładu pola temperatury w całym obszarze pomiarowym rejestrowanym przez kamerę CCD. Typowym źródłem światła w metodzie LIF jest pulsacyjny laser neodymowy (Nd:YAG) lub laser argonowy o ciągłej wiązce światła. W metodzie LIF fala elektromagnetyczna wysyłana z głowicy laserowej wzbudza cząstki znacznika zawartego w obszarze pomiarowym. W przypadku dwóch powyższych laserów, długości fal światła pobudzającego cząstki są odpowiednio równe 514,15 nm i 532 nm [22]. Najczęściej stosowanymi znacznikami w metodzie LIF są cząstki fluorescencyjne: Rodamina B i Rodamina 6G [22]. Cząstki tego typu emitują światło o długości fali nieznacznie przesuniętej względem długości fali światła laserowego. Przykładowo, pik absorbcji Rodaminy B przypada na długość fali równą 525 nm, a pik emisji wynosi 555 nm [22]. Dzięki temu stosują odpowiedni filtr, umieszczony na obiektywie kamery, możliwy jest pomiar intensywności światła pochodzącej tylko i wyłącznie od wykorzystanego znacznika. Jak widać z powyższego przeglądu, nieinwazyjne techniki pomiarowe stanowią liczną grupę metod, które pozwalają na dokonanie pomiaru w układzie bez konieczności wprowadzania do niego jakiegokolwiek sensora o skończonych wymiarach geometrycznych. Pomiar w tego typu metodach dokonywany jest w oparciu o ruch wymieszanych z płynem cząstek znacznikowych. Techniki przedstawione powyżej, wybrano w taki sposób, aby móc przedstawić ich ogólną charakterystykę oraz pewną różnorodność wynikającą z fizycznych podstaw w oparciu o które dokonywane są pomiary. Nie są to jednak wszystkie nieinwazyjne techniki pomiarowe, jakie można spotkać przeglądając literaturę naukową, co wskazuje jednocześnie na to jak bardzo ważny jest obecnie rozwój i dokładna analiza metod, które w czasie badań nie ingerują w sam obszar, w którym przeprowadzane są pomiary.. 21.

(22) 1. Wstęp. 22.

(23) 2. Cel Pracy. 2 Cel Pracy. Głównym zadaniem powyższego opracowania, które wynika z tematu przyjętej rozprawy doktorskiej jest przedstawienie oraz szczegółowe omówienie zastosowania dwóch optycznych metod pomiaru prędkości oraz temperatury płynu, jakimi są Digital Particle Image Velocimetry (DPIV) oraz Digital Particle Image Thermometry (DPIT). W celu realizacji powierzonego tematu wybrane i zaprezentowane zostaną trzy całkowicie różne układy pomiarowe, dla których przeprowadzone zostaną badania. Pierwszy z nich przedstawia trzy przykładowe modele kanału reakcyjnego wysokotemperaturowego stało tlenkowego ogniwa paliwowego typu SOFC [z ang. Solid Oxide Fuel Cell]. Pierwszym, z zadań niezbędnych do wykonania jest odpowiednie zaprojektowanie stanowiska pomiarowego. Głównym problemem, z punktu widzenia stosowanych metod pomiarowych jest odpowiednie doprowadzenie znacznika do obszaru pomiarowego, co w przypadku wybranej geometrii przepływowej wymaga opracowania rozwiązania, które zapewni jego ciągłą dostawę. Celem szczegółowym na tym etapie badań jest również wykorzystanie metody DPIV do optymalizacji kształtu kanału reakcyjnego ogniwa. pod. kątem. maksymalnego. ujednorodnienia. rozkładu. pola. prędkości. w jego obszarze, co w przyszłości pozwoliłoby zminimalizować wielkość niebezpiecznych dla pracującego ogniwa, naprężeń termicznych. Układ drugi przedstawia model stanowiska wykorzystywanego do produkcji monokryształów metodą Czochralskiego. W tym przypadku stanowisko pomiarowe jest układem zamkniętym, w którym cząstki znacznikowe znajdują się w szklanym cylindrycznym tyglu wypełnionym wodnym roztworem gliceryny. Taki dobór geometrii ma na celu wykazanie możliwości oraz sposobu przeprowadzenia pomiaru w całkowicie innych. 23.

(24) 2.. Cel pracy. warunkach pomiarowych. Po raz kolejny, pierwszym z zadań jakie zostanie zrealizowane jest właściwy projekt stanowiska badawczego, który pozwoli odnieść otrzymane wyniki do rzeczywistego układu oraz, w którym możliwe będzie poprawne przeprowadzenie pomiaru z wykorzystaniem dwóch omawianych technik pomiarowych. Ponadto, w w/w układzie celem badań jest analiza wpływu szeregu parametrów, takich jak: zmiana różnicy temperatury pomiędzy ścianami tygla i powierzchnią kryształu, zmiana prędkości obrotowej tygla i kryształu oraz zmiana wysokości cieczy w tyglu, na procesy konwekcji mieszanej zachodzące w obrębie naczynia pomiarowego. W badaniach poszukiwane będą, takie wartości parametrów, dla których układ będzie charakteryzować się symetrycznym rozkładem pól prędkości i temperatury cieczy w naczyniu eksperymentalnym, co przekłada się na jakość wytwarzanych w/w metodą monokryształów. Ostatnim układem pomiarowym jest model skrzyżowania ściany z chodnikiem nadścianowym. Jest to typ geometrii powszechnie występujący w wielu podziemnych kopalniach węgla. Skonstruowane na potrzeby badań stanowisko pomiarowe przedstawiać będzie, tak jak w przypadku modeli ogniw paliwowych układ przepływowy, w którym na wlocie do kanału dostarczane będą cząstki znacznikowe. Ze względu na zupełnie inną skalę stanowiska pomiarowego (niż w przypadku dwóch poprzednich układów) koniecznym jest odpowiednie przygotowanie aparatury pomiarowej, na co składa się m.in. konieczność eliminacji wielu niepożądanych odbić światła laserowego od przezroczystych ścian kanału badawczego. Celem projektu w ramach, którego przeprowadzone zostaną pomiary jest eksperymentalna. walidacja. turbulentnych. modeli. numerycznych. wykorzystywanych. do analizy przepływu powietrza w omawianym układzie. Zadaniem części eksperymentalnej, która będzie przedstawiona w prezentowanej rozprawie jest dostarczenie szczegółowych informacji o badanym przepływie powietrza (dla dwóch zadanych średnich prędkości na wlocie do kanału), na które składają się: informacja o wielkości poszczególnych składowych wektora prędkości, prędkości średniej, energii kinetycznej, energii kinetycznej turbulencji oraz naprężeń Reynoldsa, niezbędnych do oszacowania poprawności stosowanych kodów numerycznych.. 24.

(25) 3. Digital Particle Image Velocimetry. 3 Digital Particle Image Velocimetry. Digital Particle Image Velocimetry (DPIV) jest metodą pomiaru prędkości płynu zaliczającą się do grupy metod nieinwazyjnych. Co więcej, w odróżnieniu od technik punktowych, jak np. LDA, czy ADV pozwala ona wyznaczyć poprzez jednorazowy pomiar, rozkład pola prędkości płynu w całym rozpatrywanym obszarze pomiarowym, którego wielkość, przy założeniu ustalonej odległości kamery od sekcji pomiarowej, ograniczona jest jedynie przez pole widzenia obiektywu, wykorzystanego podczas rejestracji obrazu.. Rys. 3.1 Schemat układu pomiarowego w metodzie DPIV. 25.

(26) 3. Digital Particle Image Velocimetry Z definicji, metoda DPIV oznacza ilościowy pomiar prędkości płynu w dużej liczbie punktów [23]. Badanie przeprowadzane tą metodą wymaga wykorzystania: źródła światła generującego wąski nóż świetlny w obszarze pomiarowym, cząstek znacznikowych oraz kamery lub aparatu fotograficznego rejestrujących obraz poruszających się cząstek, których przemieszczenie w obszarze pomiarowym służy wyznaczeniu wektorowego pola prędkości (rys. 3.1). Przeważnie, źródłem światła w badaniach przeprowadzanych metodą DPIV są pulsacyjne lasery neodymowe (w skrócie Nd:YAG) generujące, monochromatyczny nóż świetlny koloru zielonego (długość fali λ = 532 nm) w bardzo krótkich odstępach czasu (w laboratorium Katedry Podstawowych Problemów Energetyki na Wydziale Energetyki i Paliw AGH częstotliwość pracy lasera zawarta jest w przedziale od 1 Hz do 15 Hz, a czas trwania poszczególnego pulsu wynosi 6ns). Światło laserowe odbijane jest przez cząstki znacznikowe, w stosunku do których stosuje się dwa podstawowe kryteria doboru: po pierwsze muszą być dostatecznie małe, aby można było założyć, iż ruch tych cząstek w rzeczywistości oddaje ruch badanego płynu. Z drugiej strony muszą być odpowiednio duże, aby światło przez nie odbite było widoczne na zarejestrowanym przez monochromatyczną kamerę CCD zdjęciu3. Metoda DPIV, którą wykorzystano w badaniach jest obecnie jedną z bardziej intensywnie rozwijanych metod pomiarowych. W powyższym rozdziale przedstawiono krótki opis jej rozwoju od pierwszego zastosowania po dzień dzisiejszy. Następnie, omówiono sposób konfiguracji i kalibracji układu optycznego oraz kwestię odpowiedniego doboru cząstek znacznikowych. W ostatnim punkcie opisano teorię związaną z obliczeniem pola wektorowego na podstawie eksperymentalnie otrzymanych danych.. 3.1 Rozwój metody Sięgając do historii rozwoju tej coraz bardziej popularnej techniki pomiarowej można zauważyć, iż po raz pierwszy jeszcze pod nazwą Laser Speckle Velocimetry (LSV), wykorzystano ją w badaniach pod koniec lat 70-tych XX wieku. Przy jej pomocy trzy niezależne zespoły badawcze: Barker i Fourney [24], Grousson i Malik [25], Dudderar i Simpkins [26], wyznaczyły profil prędkości podczas laminarnego przepływu wody w kanale o przekroju kołowym. Skuteczne zastosowanie metody LSV, do analizy niestacjonarnego 3. Zagadnienie dotyczące odpowiedniego doboru cząstek znacznikowych zostało szczegółowo przedstawione w paragrafie 2.4 powyższej pracy.. 26.

(27) 3. Digital Particle Image Velocimetry przepływu gazu wypływającego z dyszy ([27], [28]) oraz do badania konwekcji naturalnej w cieczach [29] przedstawił, jako pierwszy, w latach 80-tych doktorant pracujący w Instytucie von Karmana w Belgii, Ronald Meynart. Od tego momentu możliwość zastosowania nieinwazyjnej metody do pomiaru turbulentnego przepływu płynów stała się głównym motorem jej rozwoju. W badaniach przeprowadzonych przez Meynarta, Barkera, Groussona i Dudderara, pomiar pola prędkości dokonywany był w oparciu o rejestrowane na zdjęciach tzw. prążki Young’a [z ang. speckle patterns], których zagęszczenie i orientacja pozwalały obliczać prędkości płynu. W 1984 roku R.J. Adrian, profesor Uniwersytetu Stanforda stwierdził, że w pomiarach przepływu płynu ich pojawienie się wymaga tak dużej koncentracji cząstek znacznikowych, że w wielu przypadkach pomiar ich prędkości mógłby nie odzwierciedlać prawdziwej prędkości płynu [30]. W związku z tym, jako pierwszy postulował, iż w większości przypadków wynikiem pomiaru, będzie losowy rozkład punktów (cząstek znacznikowych) na zdjęciu, stąd ostatecznie zaproponowano nową nazwę metody znaną do dzisiaj jako Particle Image Velocimetry (PIV). Pojawienie się oraz rozwój nowej metody pomiarowej, pozwalającej w sposób nieinwazyjny mierzyć rozkład pola wektorowego w badanym przepływie stawiało przed liczną grupą naukowców szereg problemów natury technicznej. Po pierwsze, należało umieścić w płynie odpowiednie, bardzo małe (wielkości µm) cząstki znacznikowe, aby mogły one w sposób prawidłowy reprezentować jego turbulentny przepływ. Zastosowanie mikroskopijnych rozmiarów cząstek wiązało się z koniecznością doboru odpowiednio silnego źródła światła mogącego równomiernie podświetlić cały badany obszar. Jednocześnie, znaczna losowość przepływu turbulentnego wymagała od układu rejestrującego obraz dużej rozdzielczości przestrzennej oraz czasowej, a od algorytmów obliczeniowych „umiejętności” jednoznacznego określenia kierunku każdego z wyznaczanych wektorów prędkości. Podstawowe kryteria doboru odpowiedniego źródła światła wiązały się z możliwością wytworzenia wiązki światła o odpowiednio dużej energii, co pozwalałoby na rejestracje obrazu z wyraźnie widocznymi na nim cząstkami znacznikowymi. Przez lata rozwoju testowano różne rozwiązania. Wykorzystywano lasery o ciągłej wiązce światła oraz lasery pulsacyjne (lasery argonowe, rubinowe). Obszerny przegląd rozpatrywanych rozwiązań zawarto w [31]. Obecnie najczęstszym źródłem światła wykorzystywanym w metodzie PIV jest pulsacyjny laser neodymowy (Nd:YAG) generujący wiązkę światła zielonego o długości fali 532 nm.. 27.

(28) 3. Digital Particle Image Velocimetry Na przełomie lat 70-tych i 80-tych XX wieku, obraz cząstek znacznikowych rejestrowano kamerami analogowymi. Aby otrzymać obraz cząstek, które w krótkim odstępie czasu przemieściły się o pewną odległość, dana klatka filmu fotograficznego naświetlana była dwukrotnie. W wyniku tego otrzymywano obraz, który przedstawiał nałożony na siebie rozkład cząstek znacznikowych zarejestrowanych w dwóch kolejnych chwilach czasowych. Następnie, dzielono obraz na niewielkie obszary, tzw. okna interrogacji i w każdym z nich mierzono kierunek oraz odległość pomiędzy powstałymi prążkami Young’a. Analizę otrzymanych zdjęć poprzez wykorzystanie statystycznej funkcji autokorelacji zaproponowali po raz pierwszy w 1984 roku Adrian i Yao [32]. Również Adrian w roku 1986 [33] rozwiązał dwa kolejne problemy rozwijanej metody. Pierwszy z nich wynikał z faktu podwójnego naświetlenia filmu fotograficznego. Otrzymywano tym sposobem nałożone na siebie obrazy cząstek zarejestrowane w czasie kolejnych pulsów laserowych, gdzie często ciężko było jednoznacznie ocenić, w którym kierunku cząstki się przemieściły. Ponadto, metoda posiadała znaczące ograniczenie polegające na minimalnej możliwej do zmierzenia prędkości znacznika, która wymagała aby przemieszczenie znacznika pomiędzy kolejnymi błyskami lasera było co najmniej równe średnicy cząstki znacznikowej. W przeciwnym wypadku cząstki nakładały się na siebie i nie było możliwości wyznaczenia wektora ich przemieszczenia. Metoda jaką zaproponował Adrian polegała na przesunięciu obrazu, pomiędzy pierwszym, a drugim pulsem lasera w konkretnym kierunku, dzięki czemu można było jednoznacznie określić kierunek przemieszczenia cząstek. Przełom lat 80-tych i 90-tych to okres, w którym na szeroką skalę zaczęto wykorzystywać w badaniach kamery cyfrowe. Było to wynikiem, m.in. pracy Nishino i innych [34], którzy rejestrując blisko 20 000 zdjęć cyfrowych dokonali analizy przepływu turbulentnego, dla ilości danych znacznie przewyższających możliwości kamer analogowych. Rozwój technik cyfrowych związany z wprowadzeniem kamer CCD do pomiarów metodą PIV wiązał się z dalszym udoskonalaniem algorytmów obliczeniowych bazujących na wykorzystaniu funkcji autokorelacji oraz korelacji krzyżowej [35]. Wykorzystanie kamer CCD, które umożliwiły rejestrację obrazu cząstek pochodzącego z poszczególnych pulsów laserowych na kolejnych klatkach obrazu, pozwoliło w jasny sposób zweryfikować kierunek przesunięcia cząstek dzięki czemu można było zrezygnować z wcześniejszych technik sztucznego przesuwania klatek. Lata 90-te to również okres, w którym stosując dwie kamery cyfrowe skonstruowano układ stereoskopowy pozwalający wyznaczać trzy składowe wektora prędkości w oparciu o geometryczną rekonstrukcję danych zarejestrowanych na płaszczyźnie. 28.

(29) 3. Digital Particle Image Velocimetry noża świetlnego, dzięki czemu znaczne ograniczenie metody jakim była dotąd nie pełna informacja o badanym przepływie zostało wyeliminowane ([36], [37], [38]). Obecnie, układ pomiarowy składający się z kompaktowych rozmiarów lasera neodymowego, dwóch kamer CCD o rozdzielczości ok. 4mln pikseli oraz oprogramowanie wyposażone w rozbudowane statystyczne algorytmy obliczeniowe bazujące na wykorzystaniu funkcji. korelacji. krzyżowej,. są standardowym. wyposarzeniem. laboratorium. PIV.. Wykorzystanie metody PIV w konfiguracji stereoskopowej staje się również coraz bardziej powszechne. Ponadto, metoda PIV wciąż ewoluuje. Powstają układy, gdzie wykorzystując więcej niż dwie kamery odtwarza się w pełni trójwymiarowy ruch cieczy, podświetlając obszar. pomiarowy,. jednocześnie. dwoma. nożami. świetlnymi. (DPSPIV). [39],. lub podświetlając całą objętość pomiarową (TOMO-PIV) [40].. 3.2 Konfiguracja układu optycznego W zależności od dostępu do aparatury badawczej, układ pomiarowy w metodzie DPIV można skonfigurować na kilka sposobów. W najprostszym przypadku, podświetlony płaską wiązką laserową obraz obszaru pomiarowego rejestrowany jest przez jedną kamerę CCD, umiejscowioną prostopadle do płaszczyzny noża świetlnego (rys. 3.2a). Układ tego typu nosi nazwę 2D DPIV [z ang. Two dimensional Digital Particle Image Velocimetry]. Ułożenie kamery CCD pod kątem prostym do płaszczyzny noża świetlnego nie jest tutaj przypadkowe. Wynika ono z konieczności minimalizacji zniekształceń obrazu oraz błędu perspektywy mających niekorzystny wpływ na rejestrowane dane ([41], [42]), a co za tym idzie obliczane na ich podstawie mapy wektorowe. Układ 2D DPIV pozwala z definicji na wyznaczenie dwóch składowych wektora prędkości płynu leżących w płaszczyźnie noża świetlnego. Istnieje możliwość wyznaczenia składowej przestrzennej, poprzez obrót płaszczyzny laserowej o 90°, jednak wiąże się to z koniecznością ponownego przeprowadzenia pomiaru. Ponadto, należy zauważyć, iż de facto, poprzez tego typu pomiar uzyskuje się wszystkie trzy składowe wektorów prędkości znajdujących się tylko w miejscu przecięcia obu płaszczyzn pomiarowych. Możliwość jednoczesnego wyznaczenia wszystkich trzech składowych wektora prędkości na płaszczyźnie noża świetlnego daje układ stereoskopowy SDPIV [z ang. Stereoscopic Digital Particle Image Velocimetry] składający się co najmniej dwóch kamer CCD. Dzięki wykorzystaniu dwóch kamer, w systemie stereoskopowym eliminowany jest. 29.

(30) 3. Digital Particle Image Velocimetry błąd perspektywy występujący w metodzie 2D DPIV (patrz rozdział 3.3.1). Z punktu widzenia konfiguracji stanowiska pomiarowego system SDPIV występuje w dwóch układach geometrycznych ([38], [43]): • Translation system (TS) – gdzie zarówno płaszczyzna soczewki, jak i płaszczyzna obrazu obu kamer jest równoległa do płaszczyzny noża świetlnego, a same kamery oddalone są od siebie o pewną ustaloną odległość (rys. 3.2b), • Angular system (AS) – gdzie płaszczyzna soczewki oraz płaszczyzna obrazu nachylone są pod pewnym kątem do płaszczyzny noża świetlnego (rys. 3.2c). Układy TS charakteryzują się dużą prostotą podczas konfiguracji stanowiska pomiarowego. Ze względu na to, iż zarówno płaszczyzna noża świetlnego, soczewek, jak i płaszczyzna obrazu są do siebie równoległe, w całym obszarze pomiarowym występuje jednakowe powiększenie. Ponadto, w układzie tym ostry obraz cząstek otrzymuje się bez konieczności znacznego przysłonięcia obiektywu fotograficznego. Podstawową wadą tego rozwiązania jest jednak ograniczenie dotyczące rozmieszczenia aparatury pomiarowej podczas eksperymentu. Jak wykazali Prasad oraz Zang ([43], [44]) błąd wyznaczenia składowej przestrzennej w układzie TS wyraża się wzorem 2do/S, gdzie do jest odległością obiektywu od płaszczyzny noża świetlnego, a S odległością pomiędzy soczewkami. Stąd wniosek, że dla ustalonej odległości kamer od układu pomiarowego, błąd wyznaczenia składowej przestrzennej maleje wraz ze wzrostem odległości między nimi (rys. 3.3a). Pojawia się jednak inny problem. Arroyo i inni [45] zauważyli, iż błąd ten jest tym większy im cząstka znajduje się bliżej środka obrazu rejestrowanego przez obie kamery. Jeżeli określimy kąt θ jako kąt pomiędzy normalną do płaszczyzny noża świetlnego, a prostą łączącą środek układu optycznego ze środkiem płaszczyzny noża świetlnego (rys. 3.2b), to przykładowo dla kąta θ ≈ 15° (dla którego tgθ = S/2d0 = 0,26) błąd wyznaczenia składowej przestrzennej wektora prędkości, w zależności od jego położenia w obrazie, może być nawet czterokrotnie większy niż w przypadku prędkości mierzonych na płaszczyźnie noża świetlnego. Efekt ten potwierdzili w swoich badaniach również Prasad i Adrian [46] oraz Soloff i inni [47]. Ponadto, stosunek błędu pomiaru składowej przestrzennej do składowych na płaszczyźnie ulega znacznej zmianie wraz z oddalaniem się położenia wektora od środka płaszczyzny noża świetlnego. Jak postuluje Prasad [36] wynika to z faktu, iż wraz ze wzrostem odległości między kamerami obiektywy obserwują obraz pod coraz większym kątem co sprawia, iż rejestrowany obraz może ulec zniekształceniu na skutek niedoskonałości soczewek w obiektywach fotograficznych.. 30.

(31) 3. Digital Particle Image Velocimetry. (a). (b). (c) Rys. 3.2 Konfiguracja układu pomiarowego, (a) 2D DPIV, (b) SDPIV TS, (c) SDPIV AS. W układzie AS kamery nachylone są pod pewnym kątem do płaszczyzny noża świetlnego. Tego typu konfiguracja ma kilka zalet w porównaniu do układów TS. Po pierwsze, błąd wyznaczenia składowej przestrzennej w układzie AS jest niezależny od odległości obiektywu od środka płaszczyzny noża świetlnego. Ponadto, dla kątów θ z przedziału 30º – 45° jest on mniejszy niż w układzie TS, a dla kątów θ z przedziału 20º – 30º porównywalny (rys. 3.3b). Przy niższych wartościach kąta θ błąd znacznie rośnie, co jest zrozumiałe ponieważ nachylenie kamery zbliża się do sytuacji, w której znajduje się ona pod kątem prostym do płaszczyzny noża świetlnego, co odpowiada konfiguracji w układzie 2D DPIV, w którym wyznaczenie składowej przestrzennej jest niemożliwe. Dzięki umiejscowieniu kamer pod pewnym kątem do płaszczyzny noża świetlnego ograniczenia występujące w systemach TS dotyczące konfiguracji stanowiska badawczego są eliminowane,. 31.

(32) 3. Digital Particle Image Velocimetry dając dużo większą swobodę podczas przeprowadzania badań. Z drugiej strony, nachylenie kamer w stosunku do płaszczyzny noża świetlnego znacznie utrudnia uchwycenie ostrości cząstek znacznikowych w całym widocznym obszarze, dlatego w większości przypadków kamery wykorzystywane w pomiarach stereoskopowych mają możliwość dodatkowego nachylenia płaszczyzny obrazu (sensora CCD) względem płaszczyzny soczewki obiektywu, co poprawia ostrość rejestrowanego obrazu na jego brzegach poprzez spełnienie tzw. warunku Shiempfluga [37], który wymaga aby wszystkie proste stanowiące przedłużenie trzech płaszczyzn tzn. płaszczyzny obiektu, płaszczyzny soczewki i płaszczyzny obrazu przecinały się w jednym punkcie.. (a). (b). Rys. 3.3 Stosunek błędu wyznaczenia wartości składowej przestrzennej wektora prędkości do wartości składowej na płaszczyźnie w zależności od konfiguracji układu optycznego; (a) Układ TS, (b) Układ AS [43] W powyższej pracy w badaniach stereoskopowych wykorzystano system w konfiguracji AS, w którym kamery wyposażone były w odpowiedni mechanizm pozwalający dostosować położenie sensora CCD w taki sposób aby spełnić powyższe kryterium. W literaturze naukowej występują jeszcze bardziej złożone systemy pomiarowe, które do wyznaczenia rozkładu pola prędkości wykorzystują dane zarejestrowane przez więcej niż dwie kamery CCD, a obszar pomiarowy podświetlany jest więcej niż jedną płaszczyzną noża świetlnego. W przeprowadzonych badaniach nie było możliwości zastosowania tego typu układów. Ich dokładna charakterystyka została zamieszczona m.in. w pracy Hu i innych [39], Elsinga i innych [40], a także Schrodera i Kompenhansa [48].. 32.

(33) 3. Digital Particle Image Velocimetry. 3.3 Kalibracja układu optycznego Kalibracja pojedynczej kamery (2D DPIV) lub układu co najmniej dwóch kamer CCD (SDPIV) rejestrujących obraz poruszających się cząstek znacznikowych jest etapem niezbędnym w celu uzyskania dokładnych wyników z badań eksperymentalnych. Podstawowym zadaniem kalibracji jest właściwe odwzorowanie położenia cząstek znacznikowych w obszarze noża świetlnego na płaszczyźnie matrycy CCD, poprzez odpowiednie przeliczenie ilości pikseli obrazu cyfrowego odpowiadających jednostce długości w układzie pomiarowym. Podczas kalibracji układu optycznego uwzględnia się fakt, iż obiektyw fotograficzny posiada szereg ograniczeń wynikających z technologii stosowanej podczas jego produkcji. Konieczna jest minimalizacja takich efektów jak: aberracja sferyczna, koma, astygmatyzm czy dystorsja obrazu. Są to zjawiska występujące w mniejszym lub większym stopniu w każdym obiektywie. Ich eliminacja na etapie produkcji jest niezwykle trudna, a są one odpowiedzialne za zniekształcenia rejestrowanego obrazu.. Rys. 3.4 Położenie kamer względem płaszczyzny noża świetlnego w układzie 2D DPIV i SDPIV. Aberracja sferyczna oraz astygmatyzm powodują rozmycie obrazu cząstek wskutek kolejno niejednakowego ogniskowania promieni świetlnych znajdujących się w różnej odległości od osi optycznej obiektywu oraz ogniskowania w różnych punktach promieni padających na obiektyw w dwóch prostopadłych do siebie płaszczyznach. Wskutek komy. 33.

(34) 3. Digital Particle Image Velocimetry obraz punktu na płaszczyźnie obrazu ulega zniekształceniu i może przybrać kształt podobny do komety (stąd nazwa). Z kolei dystorsja obrazu wprowadza nieliniowe zależności pomiędzy położeniem cząstki w obiekcie rzeczywistym i na płaszczyźnie obrazu. Szczegółową charakterystykę opisanych zjawisk zamieszczono w [49] i [50].. 3.3.1 Pomiar przy pomocy jednej kamery CCD Wykorzystując w pomiarach jedną kamerę CCD, już na etapie kalibracji należy zwrócić uwagę na fakt, iż na bazie w pełni trójwymiarowego zjawiska wyznacza się dwuwymiarowe pole wektorowe (Ux, Uy). W związku z tym w układzie pojawia się błąd perspektywy, który przy założeniu, że ruch badanego płynu jest głównie dwuwymiarowy (Uz ≈ 0) zależy od kąta nachylenia płaszczyzny obrazu do płaszczyzny noża świetlnego ([42], [21], [41]), który na rysunku 3.4 oznaczono jako θ. Błąd rozpatruje się dla składowej prędkości, której kierunek jest zgodny z kierunkiem osi x na rysunku 3.4. Dla składowej prędkości prostopadłej do osi x błąd perspektywy jest znikomy i można go pominąć ponieważ, kąt φ na rysunku 3.4 wynosi przeważnie 90°. Zgodnie z rysunkiem 3.5a, teoretycznie wyznaczona wielkość błędu wynikającego z perspektywy jest niewielka (≈ 1%), jeżeli kąt ψ, czyli kąt nachylenia kamery do płaszczyzny noża świetlnego, jest bliski 90°. Stąd też w większości pomiarów DPIV, gdzie wyznaczane jest dwuwymiarowe pole wektorowe, kamera CCD jest ustawiona pod kątem prostym do płaszczyzny noża świetlnego (rys. 3.5c). Jednak, nawet wtedy należy zwrócić uwagę na stosunek pola widzenia obiektywu do odległości kamery od płaszczyzny noża świetlnego, ponieważ gdy jej odległość będzie za mała w stosunku do jej pola widzenia, błąd wyznaczonych składowych wektora prędkości na krańcach pola widzenia kamery może sięgnąć nawet 10% [47]. Generalnie, dla ustalonej odległości kamery CCD od płaszczyzny noża świetlnego rośnie on wraz ze zmniejszaniem się ogniskowej zastosowanego obiektywu (tzn. maksymalne wartości osiąga dla obiektywów szerokokątnych). Jeżeli jednak w czasie pomiaru ze względu np. na ograniczony dostęp optyczny do przestrzeni, gdzie wyznaczane jest pole wektorowe konieczne jest nachylenie kamery pod pewnym kątem ψ względem płaszczyzny noża świetlnego, wtedy zgodnie z rysunkiem 3.5a podczas wyznaczania składowej Ux’’ należy uwzględnić fakt, iż w rzeczywistości mierzona jest wielkość Ux (rzut składowej Ux’’ na płaszczyznę noża świetlnego), gdzie zależność pomiędzy nimi podana jest wzorem (3.1).. 34.

(35) 3. Digital Particle Image Velocimetry. (a). (b). (c). Rys. 3.5 (a) Ruch punktu na płaszczyźnie noża świetlnego i jego rzut na matrycę CCD, (b) Błąd perspektywy w funkcji kąta θ będącego miarą nachylenia kamery do normalnej względem płaszczyzny noża świetlnego, (c) pomiar prędkości punktu na płaszczyźnie noża świetlnego w przypadku umiejscowienia kamery prostopadle do pł. noża świetlnego. 35.

(36) 3. Digital Particle Image Velocimetry Nie uwzględniając korekty prędkości wyrażonej wzorem (3.1) otrzymuje się wynik, który dla dużych kątów ψ obarczony jest znacznym błędem wynikającym z perspektywy. Przykładowo dla kąta ψ równego 60° wynosi on ok. 13% i rośnie w sposób przedstawiony na wykresie 3.6a.. U x '' sinψ. (3.1). Ux ' =Ux +εx. (3.2). ε x = U z tgθ. (3.3). Ux =. Gdy w badanym procesie nie można założyć, iż ruch jest głownie dwuwymiarowy, tzn. jeśli trzecia składowa wektora prędkości Uz (rys. 3.5b) ma porównywalną wielkość do składowych Ux oraz Uy, wtedy wartość mierzonej w wyniku trójwymiarowego ruchu prędkości Ux opisują równania (3.2) i (3.3), gdzie współczynnik εx określa błąd perspektywy wynikający z wpływu składowej przestrzennej Uz wektora prędkości. na otrzymywane wyniki [41].. (a). (b). Rys. 3.6 Teoretyczna wielkość błędu perspektywy w zależności od (a) kąta nachylenia kamery względem płaszczyzny noża świetlnego, (b) nachylenia kamery względem płaszczyzny noża świetlnego oraz wielkości składowej przestrzennej Uz wektora prędkości w analizowanym przepływie. Na rysunku 3.6b przedstawiono krzywe teoretyczne ilustrujące wpływ wielkości składowej prędkości Uz na błąd wyznaczenia składowej Ux, obliczone na podstawie wzoru (3.3), dla trzech przykładowych kątów nachylenia kamery względem płaszczyzny noża świetlnego.. 36.

(37) 3. Digital Particle Image Velocimetry Wynika z niego, iż im bardziej ruch badanego płynu jest ruchem przestrzennym tym większa jest wartość błędu perspektywy. Z drugiej strony, błąd perspektywy maleje w sytuacji, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną noża świetlnego i kamerą CCD zbliża się do wartości 90º. Z powyższych zależności wynika, iż wykorzystując tylko jedną kamerę, w czasie badań mierzone są składowe wektora prędkości znajdujące się na płaszczyźnie noża świetlnego. Z tego względu w układzie pojawia się błąd perspektywy, który można zminimalizować, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną matrycy CCD, a płaszczyzną noża świetlnego wynosi 0° (dla tej wartości kąta tgθ = 0).. 3.3.2 Układ stereoskopowy Aby w pełni uniezależnić pomiary od błędu perspektywy należy wykorzystać układ w konfiguracji stereoskopowej (z minimum dwoma kamerami CCD), gdzie podczas pomiarów wyznaczane są wszystkie trzy składowe wektora prędkości. Mechanizm ich odtworzenia jest następujący: rozpatrując układ przedstawiony na rysunku 3.7 można zauważyć, że w przypadku kamery oznaczanej roboczo symbolem „L”, składowa Ux wektora prędkości jest rejestrowana jako prędkość Ux’’, gdzie zgodnie z poniższym rysunkiem jej związek z poszukiwaną składową Ux przedstawiają zależności (3.4) i (3.5). Analogicznie kamera oznaczona roboczo „P” rejestruje wielkość Ux’ będącą rzutem składowej Ux na płaszczyznę noża świetlnego, którą można wyznaczyć w oparciu o równania (3.6) i (3.7).. U x '' = U x − ε x ''. (3.4). ε x '' = U z tg ( 360° − θ '' ) = −U z tg (θ '' ). (3.5). Ux ' =Ux + εx '. (3.6). ε x ' = U z tg (θ ' ). (3.7). Przekształcając powyższe równania otrzymujemy wzór na Ux wyrażony równaniem (3.8). W analogiczny sposób można wyznaczyć składową prędkości Uy uwzględniając kąt nachylenia obu wykorzystanych kamer względem osi x (rys. 3.4) (równanie (3.9)). Ostatecznie, przekształcając równania (3.4) – (3.7) względem prędkości Uz otrzymujemy wyrażenie na przestrzenną składową wektora prędkości płynu (równanie (3.10)), które. 37.

(38) 3. Digital Particle Image Velocimetry również otrzymalibyśmy dokonując analogicznych obliczeń dla składowej Uy. W wyniku zaprezentowanych operacji uzyskuje się układ równań na podstawie którego wyznaczane są wszystkie trzy składowe pojedynczego wektora prędkości w badanym procesie ([21], [38], [41]).. Ux =. Uy =. U x ''⋅ tgθ '− U x '⋅ tgθ '' tgθ '− tgθ ''. (3.8). U y ''⋅ tgϕ '− U y '⋅ tgϕ ''. (3.9). tgϕ '− tgϕ ''. Uz =. U '− U y '' U x '− U x '' = y tgθ '− tgθ '' tgϕ '− tgϕ ''. (3.10). Uy =. U y '+ U y '' U x '+ U x ''  tgϕ '− tgϕ ''  +   2 2  tgθ ''− tgθ ' . (3.11). W wielu przypadkach, kąt nachylenia każdej z kamer względem płaszczyzny xy (tzn. kąt φ) jest bliski zeru, dlatego aby uniknąć problemów podczas obliczania składowej prędkości Uy (dla bardzo małego kata tgφ → 0 ), przekształca się równania (3.8) – (3.10) w taki sposób aby wyeliminować z mianownika w równaniu (3.9) wyrażenie tgφ’ – tgφ’’,. Rys. 3.7 Pomiar prędkości punktu na płaszczyźnie noża świetlnego w układzie stereoskopowym. 38.

(39) 3. Digital Particle Image Velocimetry co ostatecznie pozwala przedstawić składową Uy w postaci (3.11), gdzie człon zawierający różnicę tgφ’ – tgφ’’ może zostać pominięty dla małych kątów φ, co znacznie ułatwia wyznaczenie składowej Uy wektora prędkości płynu [38].. 3.3.3 Obiekt kalibracyjny Przygotowane stanowisko pomiarowe, w którym kamery zestawiono uwzględniając efekty opisane w rozdziale 3.3.1, przed wykonaniem badań, wymaga odpowiedniej kalibracji. Dokonuje się jej w celu właściwego przeskalowania przemieszczenia mierzonego na matrycy CCD do jednostek układu, w którym badany jest przepływ płynu. W praktyce można tego dokonać dysponując minimum jednym zdjęciem obiektu kalibracyjnego umieszczonego w obszarze pomiarowym. Wyznaczając dwuwymiarowe pola prędkości, z wykorzystaniem jednej kamery CCD, powyższą rolę w najprostszym przypadku pełni płaska płyta, na powierzchni której naniesione są dobrze widoczne punkty, o znanej wielkości, rozmieszczone na jednorodnej siatce kartezjańskiej (rys. 3.7a), na której odległości pomiędzy poszczególnymi punktami są znane. Kalibracja układu stereoskopowego wymaga dodatkowo wyznaczenia kątów nachylenia poszczególnej kamery względem płaszczyzny noża świetlnego.. (a). (b). (c). Rys. 3.7. Płyty stosowane do kalibracji układu optycznego; (a) układ 2D DPIV, (b), (c) układ stereoskopowy. 39.

(40) 3. Digital Particle Image Velocimetry Są one niezbędne do odtworzenia składowych wektora prędkości zgodnie z równaniami (3.8) – (3.11). W praktyce do ich określenia stosuje się dwa rozwiązania. W pierwszym z nich wykorzystywany jest płaski obiekt kalibracyjny z układem trawersującym (rys. 3.7b), gdzie efekt przestrzeni uzyskuje się poprzez rejestracje serii zdjęć obiektu kalibracyjnego przesuwanego kolejno o znaną (niewielką) odległość w kierunku normalnym do płaszczyzny noża świetlnego ([51], [52]). Tego typu procedura jest jednak dość czasochłonna i złożona. W celu jej uproszczenia (z punktu widzenia przygotowania stanowiska pomiarowego) stosuje się również przestrzenne płyty kalibracyjne, w których punkty siatki rozmieszczone są na przemiennie, na dwóch powierzchniach przesuniętych względem siebie o znaną odległość ([53], [54], [21]) (rys. 3.7c). Rozmiar obiektu kalibracyjnego powinien być tak dobrany, aby w miarę możliwości maksymalnie wypełniał obszar, w którym następnie wyznaczany będzie rozkład pola prędkości. Daje to pewność, iż wektory wyznaczane w jego obrębie będą prawidłowo obliczone. Jest to szczególnie ważne w przypadku stosowania opisanego w rozdziale 3.3.4 algorytmu. kalibracji. polegającego. na. dopasowaniu. do. punktów. kalibracyjnych. odpowiedniego wielomianu aproksymacyjnego. Ponadto, stosunek wielkości obiektu kalibracyjnego do powierzchni sekcji pomiarowej ma istotne znaczenie podczas kalibracji układu stereoskopowego, w którym na skutek nachylenia kamer względem płaszczyzny noża świetlnego może wystąpić znaczne zniekształcenie rejestrowanego obrazu. Wielkość oraz odległość między punktami siatki dostosowywane są również do rozmiaru stanowiska pomiarowego. W przypadku dużych stanowisk stosowane są płyty, o większych punktach rozmieszczonych w większych odległościach od siebie.. 3.3.4 Algorytmy kalibracji Rejestrując zdjęcie obiektu kalibracyjnego uzyskuje się dwa zbiory danych. Są nimi wartości liczbowe reprezentujące współrzędne punktów naniesionych na wykorzystywany obiekt kalibracyjny. Pierwszy zbiór zawiera współrzędne (w jednostkach pikseli) odpowiednich punktów kalibracyjnych na matrycy CCD ( X ). W drugim, z kolei zawarte są współrzędne tych samych punktów w układzie pomiarowym ( x ), które określane są na podstawie znanej wielkości oraz odległości pomiędzy punktami kalibracyjnymi. Na podstawie zdjęć obiektu kalibracyjnego przeprowadzana jest kalibracja układu optycznego. 40.

(41) 3. Digital Particle Image Velocimetry (kamer), która polega na wyznaczeniu funkcji pozwalającej w sposób w miarę najdokładniejszy wyznaczyć współrzędne dowolnego punktu obrazu w jednostkach układu SI. W przypadku idealnego układu optycznego zależność pomiędzy dwoma powyższymi zbiorami ma charakter liniowy i wyraża się wzorem (3.12). W rzeczywistości obiektywy fotograficzne nie są jednak idealne (o czy wspomniano na początku rozdziału 3.3). Jednocześnie, sama geometria układu pomiarowego również może generować pewne zniekształcenia obrazu (np. geometria cylindryczna). Ze względu na to, pojawia się konieczność wyznaczenia odpowiedniej funkcji kalibracyjnej, która pozwoli przeliczyć indywidualnie dla danego układu pomiarowego, współrzędne obrazu na współrzędne rzeczywiste (równanie (3.13)).. X =−. di x do − ∆z. (3.12). X = F (x). (3.13). W oprogramowaniu komercyjnym DAVIS 7.2 jakie wykorzystywano w czasie badań istnieje możliwość wyznaczenia szukanej funkcji w oparciu o dwa algorytmy obliczeniowe. W pierwszym z nich poszukiwana funkcja F ( x ) ma postać wielomianu stopnia trzeciego obliczanego według metody najmniejszych kwadratów. Jest to rozwiązanie, które bazuje na algorytmie zaproponowanym przez Soloff’a i innych [47]. Zgodnie z nim zależność pomiędzy współrzędnymi punktu obrazu i współrzędnymi rzeczywistymi dla pojedynczej kamery przedstawiają równania (3.14) – (3.18) [55]..  x + dx ( x, y )  X   Y  = F  y + dy x, y  ( )   . (3.14). dx ( x, y ) = a0 + a1s + a2 s 2 + a3 s 3 + a4t + a5t 2 + a6t 3 + a7 st + a8 s 2t + a9 st 2. (3.15). dy ( x, y ) = b0 + b1s + b2 s 2 + b3 s 3 + b4t + b5t 2 + b6t 3 + b7 st + b8 s 2t + b9 st 2. (3.16). s=. t=. 2 ( x − x0 ) nx. (3.17). 2 ( y − y0 ). (3.18). ny. 41.

(42) 3. Digital Particle Image Velocimetry W powyższych równaniach zmienne s i t są zmiennymi znormalizowanymi względem rozmiaru obrazu nx, ny i współrzędnych jego środka (x0, y0). W układzie stereoskopowym, dla każdej z płaszczyzn kalibracyjnych wyznaczane są wielomiany (3.15) i (3.16), co w przypadku stosowania przestrzennego obiektu kalibracyjnego (rys. 3.7c) daje zestaw czterech równań dla każdej z kamer. Drugi z zaimplementowanych w programie schematów kalibracyjnych nosi nazwę modelu kamery szczelinowej [z ang. Pinhole Camera Model]. Przedstawiając sposób kalibracji w tym modelu należy w pierwszej kolejności wprowadzić pojęcie układu współrzędnych jednorodnych. Z definicji jest to układ, w którym punkt o n współrzędnych w układzie kartezjańskim jest przedstawiany za pomocą wektora o n + 1 składowych. Przykładowo punkt na płaszczyźnie o współrzędnych (x,y) w układzie współrzędnych jednorodnych opisuje następujący wektor: (kx,ky,k), gdzie k = 1,2,3,…n. Z powyższego zapisu wynika istotna prawidłowość powyższego układu mówiąca, iż grupa wektorów w postaci (x,y,1), (2x,2y,2), …, (kx, ky, k) we współrzędnych jednorodnych opisuje ten sam punkt w przestrzeni [56].. Rys. 3.8 Ilustracja modelu kamery szczelinowej [56]. Schemat przedstawiający model kamery szczelinowej przedstawiono na rysunku 3.8, na którym punkt O reprezentuje środek kamery, a punkt A’ jest punktem głównym układu optycznego. Odcinek OA’ reprezentuje ogniskową obiektywu f. W modelu kamery szczelinowej punkt p0(X0,Y0,Z0) w układzie współrzędnych kamery reprezentowany jest przez punkt pp (xp, yp, zp). Poprzez rzutowanie punktów p0 oraz pp na płaszczyzny XZ oraz YZ. 42.