B. Równowaga sił w podpartych ciałach sztywnych
3. Mając do czynienia z siłami równoległemi, leżącemi w jednej płaszczyznle, dogodnie jest płaszczyznę momentów przyjmować pro
stopadłą do płaszczyzny sił. W takim razie odległości punktów przytknięcia sił od płaszczyzny momentów są oddaleniami tychże punktów od linii przecięcia obydwóch płaszczyzn.
4. Dla środka sił równoległych, leżą- ^ g+
cych w jednej płaszczyznie, względem
ja-kicjbądż prostej A A w tejże płaszczyznie, P o
m r ę r ń u r n n n i n '
w którem oznaczają: a„ odległość środka A sił równoległych od prostej A .4, a iloczyn
Pa moment s t at yc zny siły P wz g l ę dem tejże prostej.
1. Siły ciążenia, działające na oddzielne cząstki masy ciała, stano
wią układ sił równoległych, mają zatem (por. a., l.,s tr. 170) wspól
ny środek, nazwany środkiem masy albo środkiem ciężkości.
2. Do oznaczenia środka ciężkości służą twierdzenia, podobne po
danym pod a.
Suma momentów statycznych oddzielnych cząstek masy. wzglę
dem jakiejbądź płaszczyzny, równa się momentowi statycznemu ca
łej masy, względem tejże samej płaszczyzny (to zn. równa się ilo
czynowi z masy i odległości środka ciężkości od płaszczyzny).
Suma momentów statycznych cząstek masy względem płasz
czyzny, przechodzącej przez środek ciężkości (płaszczyzna ciężko
ści), równa się zeru.
3. Oznaczmy przez:
*u Vi, z, spólrzędne cząstki masy mlt ważącej y ,,
**> 2/2 >, z2 „ „ „ m2, „ ?! i t. d.,
*o, !/o> zo » środka ciężkości, str. 167, równania:
z02 (F ) = 2(Px), y02 (P ) = S ( P y ) / z 0S{P) = I(I> z),
(rys. 94) istnieje równanie:
a0Z (P ) = 2 (P a ),
b. Ogólne uw agi n a d środkiem ciężkości.
.1/ — 2 ni całą masę, G — 2y wagę całego ciała, •
a będzie: x0M = 2 ( x m ) , y0M = 2 ( y m ) , zgM — 2 (zm); albo:
x0G = 2(xy), j/o G — 2 (y•/), z0 G = 2 (z*/).
Równania powyższe nie zmieniają swego znaczenia, gdy ml , m2, m3 . . . . oznaczają masy ciał (pól lub linii), a x,, ylt zlt x2, y2, z2 . . . . spółrzędne ich środków ciężkości.
4. Do ciał jednolitych, a więc takich, których jednostka objętości ma wagę stałą, stosują się równania:
*o V = f x • d V; y0 V = f y d F; z0 T - J z - d F, w których oznaczają: Fcałą objętość ciała, a x,y, z spółrzędne cząstki d V.
Podobnie będzie dla pól, które sobie wyobrażamy, jako równo
miernie pokryte masą:
x0F = J x d l'; yaF = f y d F ; z0F = f z - d F ; F oznacza tutaj całe pole, a x, y, z spółrzędne cząstki poła d F.
Również i dla linii jest:
x0s = f x - d s ; 2/ ° s = f y -da; z0s — j^z-ds, jeżeli oznaczają: s całą linię, a x, y, z spółrzędne cząstki linii ds.
5. 0 ile linie, powierzchnie, pola lub bryły posiadają płasz
czyzny lub osie symetryi, albo punkty środkowe, to w nich też leżą środki ciężkości.
6. Środek ciężkości powierzchni obrotowej M lub bryły obro
towej F leży na osi obrotu *).
Jeżeli y r = f(x ) jest w tym razie równaniem południka względem osi obrotowej, jako osi x, a ds = ]/dx2 -t- dy^ różniczką łuku po
łudnika i, jeżeli nadto il/ i F na pbydwóch krańcach, w odległościach i j i od początku spólrzędnych, ograniczone są płaszczyznami pro- stopadłemi do osi z, to będzie:
x ,
! xy ■ ds j x y i -dx
dla .U: *0 = “ ---- , a dla F: ^
?-'-T---•^3 ' JjZ
f y d s j 'y i -dx
X t
7. Do1 wyznaczenia środka ciężkości krzywych lub pól, tworzących powierzchnie lub bryty obrotowe, można stosować odwrócenie zasa
dy Gu l d i n a (Pappusa) (patrz str. 138), jeżeli pole tych powierzchni lub objętość takich brył jest znana.
1 7 2 Dział drugi. — Mechanika.
') Więcej w tym przedmiocie patrz F. Kosch, „Zur Lago des Scliwerpunktes eines Rotations-Korpprs“. Zęitscbr. f. Matheni. u. 1'liysik 1891.
JJ.. Statyka ciał sztywnych. 173 c. Położeuia środków ciężkości.
W rysunkach 95 do 110 S oznacza zawsze środek ciężkości.
a. Środek ciężkości l i u l l . 1. Kresa prosta. .9 leży w środku kresy.
2. Obwód trójkąta (rys. 95). S leży w środku kola, wpisanego w trójkąt, którego rogi leżą w środkach boków a, b i c danego trójkąta.
Rys. 05. Rys. 96.
■-■la.
Odległość x0 środka ciężkości od a jest:
h b —i— c I|>=I a + T + ^ T
3. Obwód równoległoboku. Sleży w punkcie przecięcia się wza
jemnego przekątni.
rs r sin«180 4. Łuk koła (rys. 96). w ' l\t S = -¡- =■b --a? 5— ---n
Łuk p ó ł k o l a: M S = 2 r : i f = 0,636619772r.
Łuk ćwi erćkoł a: M S = 2 r|/2 : k = 0,900316316 r.
Łuk szóstej części koła: M S = 3 r : n = 0,954929659 r.
/?. Środek ciężkości p ó l {p ow ierzchni).
I. Trójkąt. Sleży w punkcie przecięcia się ośrodkowych (por. rys. 97).
W tym celu (rys. 98, str. 174) prowadzi się przez Crównoległą do AB, następnie AD\\BCi BE\\AC, a I I 1) i A E przetną się w S. Lub też: Jeżeli jeden bok trójkąta podzielimy na trzy równe części i z punk
tów- podziałowych poprowadzimy równoległe do dwóch pozostałych boków, to równoległe te przetną się w S.*)
Oddalenie środka ciężkości od jednego z boków trójkąta równa się trzeciej części wysokości trójkąta, stojącej na tvm boku.
W rys. 97:
i'o = V3 (a'i x3), a y0 = lj 3 (y, -4- y2 -+- y3) ;
zatem: Odległość środka ciężkości trójkąta od jakiejbądź prostej równa się średniej arytmetycznej odległości wierzchołków trójkąta od tejże prostej. To samo stosuje się i do odległości środka ciężkości trójkąta od jakiejbądź płaszczyzn}'.
*) Por. objaśnienia Rob. Land w „Centrali,1. d. BauYCrw.- 1&94, str. 459.
3. Odcinamy (rys. 99) M J — G M l r a J S — l/3 GJ\ G J bywa ! najczęściej tak małe, że starczy podział na oko.
4. Jeżeli (rys. 99) C J ' = B G , a J ' S ' — l/3 J 'G , to przez .S1' przechodzi linia ciężkości, równoległa do podstaw trapezu.
5. Odcinamy (rys. 99) M S i — 1/3M A , a iS^iS || Ci? przetnie linię środkową M M y w S.
6. W rys. 99 >S' wpada na środek ciężkości trójkąta C I I D (po
równaj 1.).
7. W rysunku 100 odcinamy na przedłużeniach podstaw: B E — a i C F — b, prosta E F przetnie linię środkową trapezu w S.
Rys. 100. Rys. 101.
8. Prowadzimy (rys. 101) B N j| .4 C, odcinamy CK= DL=
’.3 D N = Yj (a — b), a natenczas KS\\CB i LS\\ADprzetną się w .S'; jeżeli linia środkowa trapezu jest dana, to wystarcza poprowa
dzić samą K S lub L S.
Odległości środka ciężkości od podstaw A B i CD (rys. 100) są:
2. Równoległobok. S leży w przecięciu się przekątni.
3. Trapez. *) 1. Prowadzimy (rys. 99) A ¿CU C li a li AD, następnie przedłużamy I I G aż do My H M będzie linią środkową trapezu, a M S = Ys H M
2. Jeżeli (rys. 99) mamy daną linię środkową M M U to przedłu
żamy ją* o M x 1 1 = G M r \ M S == Y3 H M daje nam
’s. 98. Rys. 99.
1 7 4 Dział drugi. — Mechanika.
*) Porówn. objaśnienia Land, Lewin, Tobien, Labes i Ellerbeck, „Centralbl. der Iiauverw.tt 1894, str. 192. 280, 312, 458 i nast.
II. Statyka ciał sztywnych. 175
°i X z
h 2 a ■ i O S ■ h a -f- 2b -l-bRys. 102.
3 8 + b
4. Czworokąt. 1. (rys. 102).. Łączymy M środek przekątni AC z B i D, odci
namy M F = '¡3 DM, a M E = l'j3BM, następnie na E F (równoległej do B D) F S — E J, a S będzie środkiem ciężkości.
2. Na przekątniach odcinamy A L = CG i IJ H — BG, S leży w przecięciu się 1I M z L-Mlt jeżeli iii i M\ są środka
mi przekątni. Również M S — ¡'U M U i .l/j S — ‘/3 M i L.
3. W przypuszczeniu, że (rys. 99, na str. 174) A B O D jest czworokątem do
wolnym, prowadzimy AII\\CBi BII\\AD, łączymy I I z M, środ
kiem CD, a M S — 1/3 I I M da nam środek ciężkości S.
4. W ten sam sposób można (rys. 99) odciąć M S t = l/3 MA, poprowadzić StĄ || A B, Si S|j C Ii i St S|| A D, a otrzyma się S.
5. Prowadzimy przez wierzchołki czworokątu równoległe do prze
kątni i łączymy sąsiadujące wierzchołki powstałego stąd równoległo- boku z przecięciem przekątni, przez co odcinamy środki najbliższych boków czworokąta; proste, łączące środki te z przeciwległemi wierz
chołkami równoległoboku, przecinają się w S.
5. Wielokąt. Rozkładamy wielokąt na trójkąty lub inne części, dla których oznaczenie środków ciężkości nie przedstawia trudności;
następnie oznaczamy ich momenty statyczne, względem dwóch osi spółrzędnych i dzielimy te momenty przez zawartość pola wielokąta (por. 3., str. 131), a otrzymamy stąd spółrzędne środka S.
Można również oznaczyć środek ciężkości wielokąta doś wi a d
czalnie, zawieszając na nitce wielokąt wycięty ze sztywnego, a możli
wie równogrubego papieru za jeden, a następnie za inny punkt sto
sownie obrany, lub szukając jego równowagi przez podparcie w jednym punkcie (środku ciężkości) na ostrzu igły lub t. p.
Wi el okąt prawi dłowy. S leży w środku ^wpisanego lub opi
sanego kola.
6. Odcinek koła. Znakowanie jak w rys. 96, (str. 173). i ;'= p ó le odcinka koła.
.yg s3 2 r3 sin3 cc 2 r sin3 a
12 F F 3 a°it
180 — sin cc cos a 7. Wycinek koła (rys. 103, str. 176). F = polu wycinka koła.
1 J 3 8 , 1 9 7 1 8 6 2 rs r**
MS--Pole p ó ł ko l a: 4 v
° ~ 3 b ~ 3 F
= 0,424413182 r.
Dział drugi. — Mechanika.
0,636 619 772 r.
8. Odcinek pola eliptycznego A l Bl C. Cięciwa równoległa do osi głównej *) (rys. 104). Środek ciężkości schodzi się ze środkiem ciężkości tego odcinka koła A BC, który odcina cięciwa z koła, za
kreślonego nad średnicą prostopadłą do tejże cięciwy, a równą dru
giej głównej osi elipsy.
9. Pole pierścieniowe (rys. 105).
2 R3 — r3 sin 'j. 180 __ R3— v3 sin « M S - ¥ ~o<i~ ~ii~ ~ 1197186i f ~-=7*
Ą. R3 __ r 3 P o le p ie r ś c ie n io w e p ó łk o lis t e : M S = - ~ó 7C l i — r---7^ ---70“ 10. Pole paraboliczne (rys. 106):. xa — 3/5 a ; ?/0 = 3/8 6.
(rys. 107): x0 = 3l l0a\ y0 — 3/., 6.
Bys. 106. Rys. 107. Ryś. 108.
II. Pole dowolne A B C D (rys. 108) ograniczone: krzywą AD, osią odciętych BC i dwiema krańcowemi rzędnemi A B ( = o ś rzęd
nych) i CD. Dzielimy pole na parzystą ilość (2n) pasków o równej szerokości h, (zgodnie z regułą Simpsona, str. 132) spólrzędne ć'o, ty)
środka ciężkości S będą w przybliżeniu:
’) Środek ciężkości dowolnego odcinka lub wycinka pola elipsy i ajdogodniej ozna
czyć, uważając elipsę za rzut ukośnokątny kola, a środki ciężkości danych pól eliptycz
nych będą rzutami środków ciężkości odnośnych pól kołowych.
o = h rzutem tegoż pola na podstawę półkuli, x0 odległością środka ciężkości powierzchni F od tejże podstawy, a r promieniem kuli, to:
- Xq = —p v.
14. Płaszcz ostrosłupa lub stożka pełnego. S leży na prostej, łączącej środek ciężkości obwodu podstawy z wierzchołkiem, w od
ległości l/3 wysokości od podstawy.
15. Płaszcz stożka ściętego. Jeżeli h jest wysokością stożka, r pro
mieniem górnej, a R dolnej płaszczyzny krańcowej, to odległość środ
ka ciężkości od podstawy będzie :
_ h R - t- 21- ■
* ° ~ 3 R-V-r '
16. Trójkąt kulisty (rys. 109). Jeżeli a:, jest odległością środka cięż
kości trójkąta kulistego od płaszczyzny OBC, x2 odległością od O A C, a x3 od O AB, to:
2. Walec okrągły, ukośnie Ścięty. Zna
kowanie (rys. 110):
yz płaszczyzna symetryi, 11długość osi, r promień podstawy,
« kąt nachylenia płaszczyzny ścinającej, względem podstawy; spółrzędne środka ciężkości są:
1 r2 tg a za . H l r 2 tg2 a
2/o = ¥
H ’ 0 ~~ 2 1 8
Podięcznik techniczny. T. I.
I I