B. Równowaga sił w podpartych ciałach sztywnych
I). Momenty bezwładności i odśrodkowe,
a. Zasady ogólne.
Suma iloczynów z cząstek masy d M i kwadratów ich odległości r od danej osi nazywa się momentem bezwładności ciała materyalnego względem tej osi: r /* 2. ,i i r
180 Dziat drugi. — Mechanika.
We wzorze. J = ma9 oznacza: a dowolną długość, a m = J:a- masę ciała, odniesioną do odległości a. Jeżeli o — 1, to m — J (t. zn.
masa odniesiona do odległości 1).
Nadając wzorowi naszemu formę:
J = Mi-,
w którym M oznacza całą masę ciała, nazywamy i ramieniem bezwładności masy M.
Jeżeli ciało (bryła, powierzchnia, linia) składa się z wielu (n) części, to jego moment bezwładności równa się sumie momentów bezwładności części składowych, względem jednej i tej samej osi:
/ =
Jeżeli części te są jednolite, wzajemnie sobie równe i leżą sy
metrycznie względem osi, to:
Ą — Ą = Ą = --- = J„ = ( / : ń):
Momentem odśrodkowym ciała materyalnego, względem dwóch osi, nazywa się wyraz:
J xff — f
w którym x i y są spóirzędnemi cząstki masy d M.
2. Jeżeli na każdej z osi, przechodzących przez jakibądź punkt ciała, odetniemy kresę odwrotnie ustosunkowaną do ramienia bez
władności względem tejże osi, to wszystkie te punkty krańcowe będą leżały w powierzchni elipsoidu bezwładności, którego osiom głównym odpowiadają też główne momenty bezwładności (pór. str. 128 i rys. 127 na str. 190). Jeżeli momenty odśrodkowe względem każdej pary osi spółrzędnych prostokątnych są równe zeru, czyli,, jeżeli:
I'x y ■ d M — J x z • dM = J y z - d M — 0,
to osie główne elipsoidu, czyli główne osie bezwładności, zlewają się z osiami spółrzędnych i naodwrót:
W prostokątnym układzie spółrzędnych, którego osiami są główne osie bezwładności, momenty odśrodkowe dla tych osi są równe zeru.
Jeżeli ciało posiada p ł as z cz y z nę symetryi, to każda prosto
padła do niej jest jedną z głównych', osi bezwładności. Jeżeli ciało posiada oś symetryi, to jest ona dla każdego ze swych punktów jedną z trzech osi głównych.
Jeżeli środek ciężkości jest początkiem spółrzędnych, to wóurczas elipsoid bezwładności przybiera nazwę elipsoidu centralnego, a głów
ne jego osie noszą w tym razie miano osi swobodnych.
3. Jeżeli główne moment)’ bezwładności względem dowolnego punktu równe są .1, B, C, to moment bezwładności względem dowolnej osi, przechodzącej przez ten punkt i nachylonej do osi głównych pod kątami a, /?, •/, jest:
J = A cos2 a -t- B cos2 j5+ C cos2 y.
4. Moment bezwładności względem osi równoległych.
Jeżeli J $ jest momentem bezwładności ciała o masie ill względem osi obrotowej, przechodzącej przez środek ciężkości, a J
rnorncn-II. Statyka cial sztywnych. 181 tem bezwładności względem innej osi, leżącej równolegle do pierw
szej, w odległości e, to:
/ = . / -+- Me-, a zatem również: J s — J — ilfc2.
Jeżeli J i i są momentami bezwładności dwóch ciał względem równoległych ich osi ciężkości, to moment bezwładności ciała z ł o ż o nego z tych dwóch ciał względem osi, przechodzącej przez jego śro
dek ciężkości, a równoległej do osi pierwszych, będzie:
e we wzorze powyższym oznacza odległość wzajemną równoległych osi ciężkości mas ilij i M t .
5. Wzorując się na ciałach jednolitych, możemy uważać momenty bezwładności brył geometrycznych względem danej osi, jako sumę iloczynów cząstek prz es t rz ennyc h bryły i kwadratów ich odległo
ści od osi.
Takie same znaczenie mają momenty bezwładności powierzchni i linij (z zastrzeżeniem ich jednolitości masowej).
8. Momenty bezwładności pól (powierzchni) płaskich.
1. Równikowy moment bezwładności pola płaskiego ma za oś prostą, leżącą w płaszczyznie pola (oś równikowa); osią zaś biegu
nowego momentu bezwładności jest prosta, prostopadła do płasz
czyzny pola (oś biegunowa).
Bi egunowy moment bezwładności pola płaskiego równa się su
mie dwóch równikowych momentów bezwładności względem dwóch dowolnych osi równikowych, przecinających się pod kątem prostym w osi biegunowej:
nazywa się momentem odśrodkowym powierzchni i'' względem osi, leżących w jej płaszczyźnie; x i y są spółrzędnemi cząstki d F pola.
Każde dwie osie, względem których J xy = 0, nazywają się osiami Sprzężonemi; jeżeli są one nadto do siebie prostopadłe, to przyjmują nazwę osi głównych. Oś symetryi, jeżeli taka się znajduje, i każda równoległa do kierunku symetryi, są zawsze osiami sprzężonemi.
Jeżeli kierunek symetryi jest prostopadły do osi symetryi, to oś ta i każda równoległa do kierunku symetryi są zatem dwiema osiami głównemi.
3. Jeżeli na każdej osi, przechodzącej przez jeden punkt płasz
czyzny, odetniemy kresę, odwrot nie ustosunkowaną do ramienia bezwładności odnośnego równikowego momentu bezwładności, to wszystkie punkty krańcowe tych kres znajdą się na obwodzie elipsy bezwładności; obydwom osiom głóiwiiym tej elipsy odpowiadają oby
dwa gł ó wne mo ment y bez wł a d n o ś c i (por. 2., str. 180). Jedna z tych osi głównych, odnosząca się do głównego momentu bez
2. Wyraz:
władności: J miX— A., nazywa się pierwszą, druga zaś dla główne
go momentu bezwładności ./min — B, drugą osią główną.
4. Jeżeli oznaczymy ramiona bezwładności obydwóch głównych momentów bezwładności przez a i b, to równanie elipsy względem Osi głównych h2x2 -V- a2y2 — k,2 przyjmie najprostszą postać:
x---- U 2 w2— 1. a2
b-jeżeli k — ab (por. str. 103). Przy powyższem założeniu ramię bez
władności względem dowolnej osi równa się jej odległości od stycznej do elipsy bezwładności) poprowadzonej równolegle z ową osią. Głow
nem! półosiami są ramiona bezwładności a i h.
Jeżeli środek ciężkości S pola płaskiego jest równocześnie po
czątkiem spółrzędnych O, to elipsa bezwładności przyjmuje miano elipsy centralnej.
B. Z mi an a osi.
«) Obró t osi. Jeżeli momenty pola płaskiego względem dwóch dowolnych, wzajemnie do siebie prostopadłych osi O X i O Y, ozna
czymy przez J x, J y i J Xy, to względem nowej osi, nachylonej do osi O A' pod kątem a, a przechodzącej przez tenże początek O, będzie:
J a — J x cos2 a -+- J sin2 a — J x sin 2 a.
Położenie osi g ł ównyc h oznaczamy z obydwóch kątów a0, ja
kie osie te tworzą z osią x, a określonych wzorem:
tg 2 «o = '
y *
Obrawszy natomiast osie główne za osie spółrzędnych, przyczern
•Jxy — 0 (por. 2.), a J x = A, J^ — B (por. 3.), otrzymamy wzór prostszy: J — A cos2 a -+- B sin2 a.
/?) Przesunięcie równoległe. Jeżeli J s jest momentem bez
władności pola płaskiego F względem osi, przechodzącej przez jej środek ciężkości S, a J momentem bezwładności tegoż pola F wzglę
dem innej osi, leżącej w odstępie e, równolegle do pierwszej, to bę
dzie (por. 4., str. 180):
J — J s -f- F e 2, a zatem również: .Tg~ J — Fe?.
6. Obl i czeni e J względem dwóch osi do siebie pro
stopadłych.
a) Jeżeli moment odśrodkowy pola płaskiego F, względem dwóch prostopadłych do siebie osi ciężkości S X ' i ii V , jest J ’xy, to J xy względem dwóch nowych osi OA' i O Y, przesuniętych równolegle do siebie o f, będzie: J xy = J 'xy-t- Fęy.
Ponieważ osie główne prostokąta (jako osie symetryi) mają J 'xy— 0, więc pole, złożone z samych prostokątów równoległych f t , sf 2, f ?i . . . , będzie posiadało moment odśrodkowy względem dowolnej osi, równo
ległej do boków owych prostokątów, wyrażający się dokładnie wzorem:
J xy = z / c v
1 0 2 Dział drugi. — Mechanika.
Dzieląc zatem dowol ne pola płaskie na wązkie paski/, równo
ległe do osi 0 X lub 0 Y, można uważać je za prostokąty i otrzy
mać w ten sposób z dostateczną ścisłością:
Jxy = f xV df 4/5 ?•
ß) J xy możemy też oznaczyć z równania pierwszego w 5. a., wyli
czając bezpośrednio ,Ta względem osi, pochylonej pod kątem a = 45°;
będzie wówczas:
J ,9 = lk Tv) - J a.
7. Odcinając na pierwszej osi głównej, przechodzącej przez śro
dek ciężkości S (por. 3., str. 181) na obiedwie strony kresę c, okre
śloną równaniem: A — B — F c2 (rys. 111), otrzymamy dwa punkty F l i F 2, które nazwiemy punktami stale] bezwładności przekroju F. Dla tych punktów mają mo
menty bezwładności względem każdej do
wolnej osi, przez jeden z nich przecho
dzącej, jednę i tę samą stałą wartość *4.
Wykreślamy zaś te punkty (podług Rob.
Land), jako przecięcia się pierwszej osi głównej z kołem zatoczonem nad średnicą .'liBj. Końce średnicy A^B^ znajdujemy zaś jako punkty drugiej osi głównej, okre
ślone związkami ich odległości od S, a mianowicie:
p * A — B . n
S A\ — ~ i S ßi —— •
n F
(» jest dogodnie dobraną, dowolną wielkością trzeciego wymiaru).
Ż pomocą punktów stałej bezwładności można oznaczyć moment bezwładności J względem dowolnej osi CC w płaszczyznie prze
kroju F (rys. 111).
•T — A —t— /' Ci 6% j
«i i e, oznaczają tu oddalenia punktów stałej bezwładności F x i F2 od osi CC.
Dla dowolnego punktu P w płaszczyznie osie główne, przez nie
go przechodzące, są dwójsiecznemi kątów, utworzonych przez proste PF, i P F ,.
b . W ykreślanie m om entów bezwładności.