B. Iłu cli punktu materialnego,
I. Ruch punktu, prowadzonego po krzywej
1. Zadanie sprowadzimy do ruchu swobodnego, rozpatrzonego pod 1)., str. 198, jeżeli do sil działających dodamy, jako siłę zewnętrzną opór toru prowadzącego. Opór ten da się rozłożyć na dwie sity skła
dowe: jV prostopadłą do toru i N f w kierunku jego stycznej (por.
tarcie w spokoju, str. 215); K f będzie albo równe w przybliżeniu zeru (jeżeli punkt prowadzi się po danej krzywej za pośrednictwem mechanizmu), albo też, zależąc od oporu iY toru, pozostawać będzie w stosunku prostym do tegoż oporu (jeżeli punkt musi iść po torze materyalnym): Nt — ,a N.
,«• jest spółcz3’nnikiem tarcia (por. str. 216).
Opór po normalnej iV(=odpór krzywej) wyznacza się, jak nastę
puje: siłę- P, nachyloną do stycznej toru pod kątem ip, rozkładamy w kierunku tejże stycznej i prostopadle do niej, na l\ = Pcostp i Pt == Psin (p. N i /’2 mają wówczas łączną wypadkową w kie
runku promienia krzywości o toru, równą sile dośrodkowej:
202 Dział drugi. — Mechanika.
2. Jeżeli torem jest koło, leżące w płaszczyznie poziomej, to ozna
czając: przez r w metrach promień kola, przez l czas jednego obiegu (w sek.), przez n ilość obiegów na minutę, przez v prędkość ruchu w m/sek., przez G wagę w kg. masy ruchomej i i i, przez w prędkość kątową/sek., otrzymamy siłę z jaką punkt ruchomy ciśnie prosto
padle na tor kołowy:
n - i ■» r 4.t- 2
G = m — = M ' r = 4 n - m — = mrn%
v i** obUU
=0,10194 — =0,10194 G o>2r == 4,024304 4 ? = 0,0011179 Grn?;
r t~
v 2 si 2 'sin. -i~r\ icov
przyczem: o> — — = — = (por. str. 150 i 152).
r ł bu
3. Jeżeli i\r jest znane; to siła po stycznej:
P( == nipt — m ~ = Pi — N t — J\ — ¡iN = /’ cos <p — ii.N.
Gdy N t — 0, to wynika bezpośrednio:
Pt — mpt = P cos cp.
III. Dynamika ciał sztywnych. 203
■ Wówczas oznaczenie siły iY dla określenia ruchu staje się zby- tecznem. Przy założeniu '2vJ==0, poleca się zastosowanie zasady pracy rozpędu (patrz 4. i 5., str. 195). Z zasady tej, gdy A', Y, Z są sktadowemi siły /’ w kierunkach osi spólrzędnych, wysnuwa się równanie:
J, !
w v2 mva- f , , T, , ,, , , L — L0 — —g---- g - = I (A • </* -I- ł • dy Z • ds),
»o. «a ponieważ i Y nie wykonywa żadnej pracy,
2. Przykłady ruchu punktu po krzywej.
1. Zwyczajne wahadło kołowe. Punkt mate- ryainy, zawieszony na nieważkiej nitce o długości l, odbywa ruch wahadłowy po luku kola w płasz
czy znie pionowej (rys. 135). Oznaczamy:
przez o. połowę kąta odchylenia,
przez h wysokość wznoszenia się, względnie spa
du punktu wahającego się; czas wahnięcia, który upływa między dwoma przejściami przez pion, t. j.
czas t r wa ni a j ednego poj edynczego wa h n i ę cia:
sin*
<v
a "]
ij | \ z / z 2
z wystarczająca dokładnością można napisać:
T
to znaczy: czas wahnięcia nie zależy od wielkości odchylenia. Dł u gość wahadła sekundowego w metrach będzie zatem z uwzględnie
niem wzoru dla g, str. 145:
l = Ą = 0,993563 -- 0,002536 cos 2 © — 0,0000003 li.
CT
Dla średniej' szerokości <¡p = 50° i dla poziomu morza (if= 0 )jc s t:
¿ = 0,5)94 m ( = 3 9'/8 ros. czyli ang. cali = 38 prus. cali).
Przy biegunach (na poziomie morza) jest <p — 900, a ^ = 0 ,9 9 6 m, na równiku {cp = 0 ° ) 0,991, a dla szerokości (^=45° lm=0,994 m tak, że w przybliżeniu:
lp ~ i a = V 196 _____
Prędkość w punkcie najniższym v — ]/2 gh, zatem siła na
prężająca nić, na której wisi masa wahająca się m, musi być w punkcie najniższym największą i wynosi:
l + 2h ,S mg h m — = mg — ^.... .
-Jeżeli a ;> ys a, to na wysokości 2/s U1 — 0 ponad punktem za
wieszenia siła ta staje się — 0. Gdy prędkość w punkcie naj
niższym ¡> |/ 5 to masa wahająca się obiega cale kolo z silą wyprężającą nić w najwyższym punkcie koła > 0, a w najniższym
6 ?«¿r.
2. Wahadło cykloidalne. Punkt wahający się biegnie po cykloidzie, a trwanie jednego wahnięcia jest dok ł ad ni e:
w powyższym wzorze r jest promieniem koła, kreślącego cykloidę (por. str. 112). Trwanie wahnięcia nie z a l e ż y zatem zupełnie, od wielkości odchylenia; z tego powodu cykloidę nazywają „tautochro-
niczną“. .
Jeżeli w rys. 22, str. 112 pomyślimy sobie na lewo 0(1 A B obraz zwierciadlany cykloidy . 1H <)y a następnie cały, tak uzupełniony rysunek obrócimy około -l C o 180°
w ten sposób, aby się obydwie gałęzie krzywych zwróciły ku dołowi, to utworzą ono tory stałe. Jeżeli nić nieważką, długości l — -łr. zawiesimy w .4, to punkt materyalny na jej końcu i, wahając się, zakreśli krzywą, która przystaje do cykloidy torowej, jako jej rozwijająca.
Oprócz powyższej posiada cykloida jeszcze i tę właściwość, że, 0 ile jej podstawa będzie poziomą, ciała toczące się po niej z jakie
gokolwiek jej punktu do niżej położonego, przebywają swą drogę' w czasie n a j k r ó t s z y m , t. j. krótszym, niż po jakiejbądź innej linii, łączącej owe dwa punkta. (Brachystochronizm).
3. Spad po prostej pochylonej (płaszczyzna pochyła). *) Zatrzymu
jąc poprzednie znakowanie, jak pod 1., str. 202, otrzymamy (rys. 136):
I\ = m g cos 'r. — K sin /?,
¡\ = mg sin '/■-{- K cos /3.
1’onieważ ruch odbywa się po pro
stej, więc l ’n — 0, a zatem:
N — — / 2 = — (mg sin a -+■ K cos /?), a
l\ = P, — ,(l 1\ = mg cos a — K sin ,3 — a (rng sin a -1- K cos /?);
,tt jest spólczynnikiein tarcia przy ślizganiu (por. str. 216).
Z powyższego wynika przyspieszenie ruchu skierowanego w dól:
Pt K
P — Pt — ~ ==' g (cos sin ci) — (sin p -+- ,u cos ¡3) 1 zwolnienie ruchu skierowanego w górę:
p = — g (cos a -I- p, sin a) 4- (sin ¡i — cos /?).
204 Dział drugi. — Mcclianika.
*) Zwana też r ó w n i ą p o c h y ł ą , wyrażenie to wypada jednak zarzucic, gdyż r ó w n i ą nazywamy powierzchnię równego pótencyału i t. p.
111. Dynamika ciał sztywnych. 205 3. Ruch punktu, przyczepionego do powierzchni.
Nie biorąc w rachubę tarcia i oznaczając równanie powierzchni przez f( x , y, z) = 0, otrzymujemy równania różniczkowe ruchu punktu materyalnego, rugując ilość /. z trzech równań:
d*x ó f d?y ; . d f d*z d f
m = A — T- ; m —ry = V — l — ; m — = ¿ — ). •
dt- ox dt* dy dt- dz
We wzorze tym A', V, Z są składowemi sil działających. Zasada pracy rozpędu zatrzymuje swe znaczenie w tej samej formie, jak przy ruchu s w o b o d n y m, gdyż prostopadle oddziaływanie po
wierzchni :
Ar=;- / / (M) Jy ) (|Q
nie wykonywa żadnej pracy. — Za przykład służyć może:
Wahadło odśrodkowe (stożkowe).
Niechaj oznacza: a kąt między nicią a pionem,
h wysokość wahadła, t. j. odległość punktu za
wieszenia od poziomej płaszczyzny krążenia punktu materyalnego,
r promień kołowego toru wahadła, v prędkość punktu materyalnego, m jego masę,
to w st ani e r ó wn o wa g i w a h a d ł a jest:
v- ,
r-tg o. = ... b r g< a h — n--J yi
r 7 / /,
czas jednego obiegu: T = 2 n — n
siła naprężająca nić: S = m / fft-h
y j
a
€. Ruch systemu mas.
a. Zasady ogólne.