B. Iłu cli punktu materialnego,
3. Oscylacye (drgania) prostolinijne
III. Dynamika ciał sztywnych. 197
Jeżeli na punkt materyalny o masie m działa przyciąganie P ku środkowi stałemu M, proporcyonalne do odległości x od tegoż środka, to punkt ten (patrz rys. 130) oscyluje, czyli drga
prostolinijnie około 31.
Eł'6-130-Przyjmijmy, że w odległości x od M będzie
jP = cx, oraz, że w punkcie M prędkość = vt, /\Ą___; v ->■
a otrzymamy prędkość o (podług 5., str. 195) z równania:
Dla xn długość oscylacyi).
Podstawiając —c
= ^ ' _ p . dx = - j\ x ■ dx = —
; o,
J/
staje się v = 0, tu zatem punkt zawraca (x0ni x02we wzór powyższy na o, otrzymamy:
Kys. 131.
a z tego d t ■■ dx
Xn . X . tf t
zatem: i=---arcsin— , albo: x =
x0sin--o, x b x0
Jeżeli z M promieniem x0 zakreślimy koło
(rys. 131) i po obwodzie jego puścimy w ruch z prędkością vt punkt P, o masie m, to promień wodzący w czasie t zakreśli kąt a = — •tv i -Można zatem uważać oscylacyę za rzut jednostajnego ruchu kołowego xo na stałą średnicę. Czas (trwanie) jednego drgnięcia, t. j. czas T, upływający między dwoma kolejnemi przejściami punktu ruchomego przez punkt przyciągający .1 f, czyli pół całego okresu drgania:
... x0 7/ m .
1 = n — / / — ( i ni
j/ c
Cały zaś okres trwa: 2 7 '= 2 .t / / —
V c
nie zależy więc od x0).
198 Dział drugi. Mechanika;
1>. Swobodny ruch krzyw oliiiijny punktu in(iteryalnego.
I. Oznaczmy spółrzędne. punktu materyalnego o masie m w chwili t przez: x, y, z, prędkość jego przez o, a jej składowe w kierunku trzech osi spółrzędnych przez vx, vy , Wypadkową sil działają
cych niech będzie /’, a składowemi jej w kierunku trzech osi- A", Y.
X nadaje masie m w. kierunku osi x przyspieszenie:
Te trzy równania wyznaczają ruch punktu w kierunkach trzech osi. (Dla ruchu w plaszczyznic, np. plaszczyznie- xy, trzecie równa
nie odpada).
Jeżeli P rozłożymy na składowe w kierunku stycznej do toru i w kierunku głównej jego normalnej (w kierunku ku środkowi krzy- wości) czyli:
na siłę styczną 1\ i siłę normalną czyli dośrodkową Ptl, to, ozna
czając promień krzywości toru przez o, otrzymamy:
2. Ruch ciała rzuconego (bez uwzględnienia oporu powietrza).
_ A~ __
m d t il t- ’ w podobny sposób Y w kierunku osi y:
Y d l 'y . d^y,
~ d i ~ dl Z w kierunku osi z\
X d'~z
d v V“
P, — 1’ cos cp — m -r- i P„ — Psin w = m —
Rys. 132. Punkt materyalny, rzucony z miejsca O (rys. 132) z prędkością początkową c. w gó
rę ukośnie pod kątem a do poziomu O A', zakreśli p a r a bol ę o osi pionowej. Rów
nanie tej paraboli, odniesione do jej wierz-Ą str. 108), będzie:
^ chołka, jako początku spółrzędnych (por.
Równania ruchu (rys. 132):
^ = 0 ; vx — cx’ o: = cxt.
Py = - r ,
Rugując t z równań dla x i y, otrzymamy równanie paraboli, odnie
sione do osi spólrzędnych (rys. 132) z początkiem w 0.
)/ = Xtg a — 7: '—q5— a:-.
2 ci cos-a Prędkość v w chwili t jest:
III. Dynamika ciał sztywnych. X99
v = Yv' * k J = ]/r- — 2 c.y <11 -h ff-1- = )/c- — 2 gy.
I)la wierzchołka (x', y') paraboli. ponieWaż v' y ~ ® ~ cy — ff1', otrzymamy:
r — O i. — cł sin 2 a . 1i — c” sin:!a .
9 ’ !J 2.7 ’ ' 2 g 2 g
_ _ ,
o2 sin 2« . . ,. . .
Przelot rzutu a — 2x — — -- -staje się na j wi ę k s z o ś c i ą dla
o = 45°: (...
“ras* — g >
naodwrót, dla danego a i dla a = 4 5 °:
c,nin= J '
a,J-Jeżeli rzut ma dosięgnąć miejsca, położonego na poziomej w od
ległości a, to musi być:
sin 2 a = ^c- 1 czyli c2 == T sin 2 «•
4/< . l / S i
Mamy też: tga = -- , a trwanie rzutu . = ; / / — ,
0 n a V 0 \
z czego możemy wyznaczyć A.
3. Ruch ciała rzuconego (z uwzględnieniem oporu powietrza).
Znakowanie, jak w 2. Co do wielkości k, patrz str. 196.
Kąt a przyjmujemy tak małym, że zamiast długości tuku możemy jako wartość przybliżoną podstawić jego rzut poziomy.
W takim razie w chwili t będzie:
7.2 i H
* i
V--V i
k-2 0 0 Dział drugi. — Mechanika.
Dla wierzchołka toru jest:
x' =
| | 1 ln ( x i p ) ; : (i' 1 v' jak w '2-}
Pocisk padnie na poziom O X w odległości a, jeżeli go rzucimy pod kątem oc, który da się wyznaczyć ze wzoru:
f -3a
■ a ( ~W 2 O
sin 2 a = -- — \e — a —
2 gc-a 1?
4. Potencyał.
Jeżeli składowe A', Y", Z sił działających na punkt materyalny, rozłożone w kierunkach trzech osi spółrzędnych, są takiemi funkeya- mi spółrzędnych r, y, z danego punktu, że można je wyrazić jako częściowe pochodne względem x, y i z pewnej funkcyi U = f { x y z ) , czyli jeżeli można wyrazić:
x - l E r - l E y — O Ł
d x ’ dy ' dz 1
to funkeya U otrzymuje miano poteneyalu.
Wobec tego praca A, wykonana przy dowolnem poruszeniu, będzie:
U,
A = f d A = j ‘(X-dx-+- Y ■ dy-\-Z ■ dz) — f d U = Ux — U0l
"’■ot tło* *1i Uo
albo też według str. 195 przyrost energii kinetycznej:
L t — L2 = ‘/2 m V — y2 m = IĄ — IJ0.
Równanie U = f ( x y s ) = II, , względnie ¿1— ll0, jest równaniem powierzchni, którą nazywamy powierzchnią równych poteneyalów lub krócej równią.
Siła, działająca na jakikolwiek punkt, jest zawsze prostopadłą do równi, przez punkt ten przechodzącej. Siła składowa w dowolnym kierunku równa się częściowej pochodnej funkcyi U względem tegoż kierunku.
Jeżeli punkt materyalny przechodzi dowolną drogą z jednej równi na drugą, to wykonywa on zawsze jednę i tę samą pracę, to znaczy:
nabywa lub traci jednakową ilość energii kinetycznej. Dopóki punkt poruszający się pozostaje w tej samej równi, nie wykonywa on ża
dnej pracy i porusza się jednostajnie.
Potencyał istnieje zawsze, gdy np. siłą działającą jest przyciąga
nie lub odpychanie przez stały punkt 0, będące funkcyą odległości r od tegoż punktu.
Jeżeli P = f ( r ) jest siłą, skierowaną ku 0, to:
U -- ~ J f (r ) d r .
1’otencyał istnieje również i wtedy, gdy siła P, działająca na punkt materyalny, jest wypadkową wielu sił Pt , 1J., , z których każda posiada swój potencyał Ult U* . . . . Wówczas:
u = U, (i = 1, 2, 3 -- ).
T rzy k ła d . Dla punktu o inasio m, położonego po za kulą ziemską, w odległości £ od jej środka, gdy r jest promieniem kuli ziemskiej będzie:
m g r 5
111. Dynamika cial sztywnych. 2 0 1 '
5. Zasada prędkości polowych.
Gdy punkt materyalny porusza się w płaszczyznic (patrz rys. 133), to w każdej chwili moment siły P, działającej na masę m poruszają
cego się punktu, względem dowolnego punktu O płaszczyzny, równa się prędkości, z jaką rośnie moment wielkości rozpędu względem te
goż punktu O:
„ _ d (m v r ) Rys. 133.' Itys. 134.
dt ' ,
Jeżeli pole (rys. 134), zakreślone
przez promień wodzący Om, oznaczy- ^ 7~*~
my przez f , to jego różniczka będzie: ' t a!
v • d t • r V
f ~ 2 ’
d f d (m v r) <1- f a zatem: m v r = 2 m — ■ , a ■— ■dt ’ =--- = dt 2 m dO•
(lJ- nazywa się prędkością połową, nazywa się przyspieszeniem połowem.
Twierdzenie wstępne możemy zatem wyrazić odmiennie:
Pa — 2m -yĄ, d tl ’
t. zn. moment siły równa się przyspieszeniu polowemu, pomnożonemu przez 2 m.
Dla ruchu ośrodkowego, dla którego siła przechodzi zawsze przez stały punkt O, moment siły względem tego punktu jest zerem, gdyż a = 0, a zatem:
P . = i,y „ : g = 0.
Przyspieszenie polowe równa się natenczas zeru, prędkość połowa jest zatem stała; w równych odstępach czasu zakreśla promień wo
dzący równe pola. (Dla ruchu planet twierdzenie to stanowi drugie prawo Keplera).
Rozszerzenie zasady prędkości potowych na cały system mas patrz str. 207. Objaśnienia i twierdzenia, podane na str. 162 i nast., za
trzymują pod względem treści swoje znaczenie, jeżeli w nich sity za
stąpimy stale prędkościami, przyspieszeniami, albo wielkościami rozpędu.
c. Krępowany ruch punktu materyalnego.