4.4 Dalsze kierunki badań
Wiele zagadnień pokrewnych oraz wariantów omawianych przez nas proble-mów można znaleźć w licznych pracach, np. [1, 12, 13, 14, 16, 19, 20, 22, 33, 35, 37, 38, 41, 46, 53, 54]. Z oczywistych względów nie mogły one wszystkie zostać poruszone w niniejszej, ograniczonej objętościowo rozprawie, jakkol-wiek częścią z nich mamy zamiar się zająć w najbliższej przyszłości. Wśród podjętych problemów, których nie udało nam się w pełni rozwiązać w ni-niejszym opracowaniu, interesującym byłoby z pewnością określenie nieregu-larnej liczby kolorującej, c(G), dla wszystkich grafów dwuregularnych, czyli uzupełnienie wyników z rozdziału 2. Warto tu zatem nadmienić, iż w przy-gotowaniu jest praca, w której w pewnym sensie, czyli dla prawie wszystkich takich grafów, Cichacz i Przybyło rozwiązują ów problem.
Szczególnie ciekawym jest dla autora rozprawy kierunek badań związany z hipotezą 1,2. Jak się okazuje, o czym autor dowiedział się już po zreda-gowaniu niniejszej pracy, i w tym przypadku nastąpił ostatnio imponujący postęp. Mianowicie, Kalkowski udowodnił, iż wystarczy użyć jedynie kolo-rów 1, 2 dla wierzchołków oraz 1, 2, 3 dla krawędzi, by rozróżnić sąsiadów każdego grafu za pomocą (totalnych) wag, [43]. Jeszcze bardziej interesujące może okazać się poprawienie najlepszego dotąd wyniku związanego z hipo-tezą 1,2,3, nad czym obecnie pracują Kalkowski, Karoński i Pfender, [44]. Mimo tych najnowszych rezultatów, ciągle pewien inny ciekawy kierunek ba-dań wiąże się z hipotezą 1,2 i został zainicjowany przy okazji rozważań nad hipotezą 1,2,3 przez Bartnickiego, Grytczuka i Niwczyka [15]. Dotyczy on wy-korzystania narzędzi algebraicznych, a w szczególności znanego twierdzenia Alona, Combinatorial Nullstellensatz, patrz [7], w celu rozwiązania powyż-szych hipotez. Nie zamieszczamy jednak tutaj osiągniętych przez Przybyło i Woźniaka wyników dla przypadku pewnych prostych rodzin grafów, gdyż nie wnoszą one na razie wiele pod kątem rozwiązania całego problemu, bądź polepszenia już uzyskanych rezultatów. Zagadnienie to prowadzi jednak rów-nocześnie do nowych problemów, które roboczo można nazwać listową wer-sją zagadnień związanych z obiema hipotezami, a wynika to już ze specyfiki samego twierdzenia Combinatorial Nullstellensatz. Te nowe problemy same w sobie stanowią ciekawe wyzwanie i zagadkę.
Na zakończenie pragniemy pokrótce przybliżyć jeszcze jedno zagadnienie, które w bardzo interesujący sposób wiąże się z podjętą przez nas proble-matyką. Zgodnie ze standardową notacją, patrz np. [17], niech H = (V, E ) będzie dowolnym hipergrafem i niech f : V → [k] będzie [k]-kolorowaniem jego wierzchołków. Wówczas dla S ∈ E , hf(S) :=P
v∈Sf (v) nazwiemy wagą hiperkrawędzi S. Załóżmy, że chcemy skonstruować takie [k]-kolorowanie, by
za-gadnień z rozdziału 4 łatwo tutaj zauważyć, że nie istnieje absolutna stała K, która gwarantuje nam znalezienie takiego [K]-kolorowania dla dowolnego hi-pergrafu. Wystarczy rozważyć rodzinę hipergrafów n-wierzchołkowych,
n ∈ N, o zbiorach hiperkrawędzi złożonych ze wszystkich (n −
1)-elemento-wych podzbiorów zbioru wierzchołków. Dla takich hipergrafów kolory wszyst-kich wierzchołków muszą być różne. Z drugiej jednak strony, problem zna-lezienia [k]-kolorowania krawędziowego grafu G = (V, E) rozróżniającego są-siadów jest w dosyć oczywisty sposób równoważny skonstruowaniu [k]-kolo-rowania wierzchołków pewnego hipergrafu H = (V0, E ) rozróżniającego wagi
przecinających się hiperkrawędzi, gdzie V0 = E, E = {E(v) : v ∈ V }, a to z kolei da się na pewno zrobić na podstawie twierdzenia 4.0.2, jeżeli tylko
k = 16. Analogicznie, problem totalnego kolorowania grafów rozróżniającego
sąsiadów można sprowadzić do zagadnienia kolorowania wierzchołków hiper-grafu, zmieniając jedynie E = {E(v) ∪ {v} : v ∈ V }, i tym razem wystarczą nawet kolory od 1 do 11 (tw. 4.3.6), a nawet do 3 (wynik Kalkowskiego, [43]). Łatwo jednak zauważyć, że wszystkie hipergrafy, jakie otrzymujemy w wy-niku obu tych transformacji mają ograniczony maksymalny stopień ∆(H) (czyli maksymalną liczbę hiperkrawędzi zawierających ten sam wierzchołek), i to przez 2. Co więcej, nie wszystkie hipergrafy z ∆(H) = 2 da się otrzymać z grafu za pomocą opisanych przekształceń. W świetle tych faktów bardzo ciekawe wydaje się pytanie zadane przez Grytczuka, które formułujemy po-niżej w postaci hipotezy.
Hipoteza 4.4.1 (Grytczuk) Dla każdego ∆ istnieje stała C = C(∆) taka,
że dla każdego hipergrafu H z ∆(H) = ∆ można znaleźć takie [C]-kolorowanie wierzchołków hipergrafu H, że każda para jego przecinających się hiperkra-wędzi ma różne wagi.
Wydaje się, że dla ∆ = 2 hipotezę tę da się nietrudno udowodnić korzysta-jąc z rozumowania analogicznego do konstrukcji Addario-Berry’ego, Dalala i Reeda [3]. Jednak już dla ∆ = 3 jest ona „szeroko” otwarta.
Bibliografia
[1] L. Addario-Berry, R.E.L. Aldred, K. Dalal, B.A. Reed, Vertex colouring edge
partitions, J. Combin. Theory Ser. B 94 (2005), (2), 237-244.
[2] L. Addario-Berry, K. Dalal, C. McDiarmid, B.A. Reed, A. Thomason,
Vertex-Colouring Edge-Weightings, Combinatorica 27 (2007), (1), 1-12.
[3] L. Addario-Berry, K. Dalal, B.A. Reed, Degree Constrained Subgraphs, Discrete Appl. Math. 156 (2008), (7), 1168-1174.
[4] M. Aigner, E. Triesch, Irregular Assignments and Two Problems ´a la Ringel,
Topics in Combinatorics and Graph Theory, dedicated to G. Ringel (Bodendiek, Henn, eds.) Physica Verlag Heidelberg (1990) 29-36.
[5] M. Aigner, E. Triesch, Irregular assignments of trees and forests, SIAM J. Discrete Math. 3 (1990), (4), 439-449.
[6] M. Aigner, E. Triesch, Zs. Tuza, Irregular assignments and
vertex-distinguishing edge-colorings of graphs, Combinatorics ’90, GAETA (1990), Ann.
Discrete Math. 52 (1992) 1-9.
[7] N. Alon, Combinatorial Nullstellensatz, Combin. Probab. Comput. 8 (1999) 7-29.
[8] N. Alon, J.H. Spencer, The Probabilistic Method, Second edition, John Wiley and Sons, Inc., New York (2000).
[9] M. Baˇca, S. Jendroˇl, M. Miller, J. Ryan, On irregular total labellings, Discrete Math. 307 (2007), (11-12), 1378-1388.
[10] P.N. Balister, Packing Circuits into Kn, Combin. Probab. Comput. 10 (2001) 463-499.
[11] P.N. Balister, B. Bollob´as, R.H. Schelp, Vertex distinguishing edge colorings
of graphs with 4(G) = 2, Discrete Math. 252 (2002) 17-29.
[12] P.N. Balister, E. Gy˝ori, J. Lehel, R.H. Schelp, Adjacent Vertex Distinguishing
Edge-Colorings, SIAM J. Discrete Math. 21 (2007), (1), 237-250.
[13] P.N. Balister, A. Kostochka, Hao Li, R.H. Schelp, Balanced edge colorings, J. Combin. Theory Ser. B 90 (2004) 3-20.
[14] P.N. Balister, O.M Riordan, R.H. Schelp, Vertex-Distinguishing Edge
[15] T. Bartnicki, J. Grytczuk, S. Niwczyk, Weight Choosability of Graphs, J. Graph Theory, praca przyjęta.
[16] C. Bazgan, A. Harkat-Benhamdine, Hao Li, M. Woźniak, On the
Vertex-Distinguishing Proper Edge-Colorings of Graphs, J. Combin. Theory Ser. B 75
(1999) 288-301.
[17] C. Berge, Graphs and Hypergraphs, North-Holland, London (1973).
[18] T. Bohman, D. Kravitz, On the Irregularity Strength of Trees, J. Graph The-ory 45 (2004), (4), 241-254.
[19] S. Brandt, J. Miˇskuf, D. Rautenbach, Edge Irregular Total Labellings for
Gra-phs of Linear Size, manuskrypt.
[20] S. Brandt, D. Rautenbach, M. Stiebitz, Edge colouring by total labellings, manuskrypt.
[21] A.C. Burris, Vertex-distinguishing edge-colorings, praca doktorska, Memphis (1993).
[22] A.C. Burris, R.H. Schelp, Vertex-Distinguishing Proper Edge-Colorings, J. Graph Theory 26 (1997), (2), 73-82.
[23] Chou Chao-Chih, Fu Chin-Mei, Huang Wen-Chung, Decomposition of Km,n
into short cycles, Discrete Math. 197/198 (1999) 195-203.
[24] G. Chartrand, M.S. Jacobson, J. Lehel, O.R. Oellermann, S. Ruiz, F. Saba,
Irregular networks. Proc. of the 250th Anniversary Conf. on Graph Theory, Fort
Wayne, Indiana (1986).
[25] S. Cichacz, J. Przybyło, Vertex-distinguishing edge-colorings of linear forests, Preprint MD 027 (2007), http://www.ii.uj.edu.pl/preMD/index.php. [26] S. Cichacz, J. Przybyło, M. Woźniak, Decompositions of pseudographs into
closed trails of even sizes, Discrete Math., praca przyjęta.
[27] S. Cichacz, J. Przybyło, M. Woźniak, Irregular edge-colorings of sums of cycles
of even lengths, Australas. J. Combin. 40 (2008) 41-56.
[28] B. Cuckler, F. Lazebnik, Irregularity Strength of Dense Graphs, J. Graph Theory. 58 (2008) , (4), 299-313.
[29] R. Diestel, Graph Theory, Electronic Edition 2005, Springer, New York (2005).
[30] J.H. Dinitz, D.K. Garnick, A. Gy´arf´as, On the Irregularity Strength of the
m × n Grid, J. Graph Theory 16 (1992), (4), 355-374.
[31] R. Faudree, M.S. Jacobson, J. Lehel, R. Schelp, Irregular networks, regular
graphs and integer matrices with distinct row and column sums, Discrete Math.
76 (1989) 223-240.
[32] R.J. Faudree, J. Lehel, Bound on the Irregularity Strength of Regular
Gra-phs, Colloq Math Soc Jańos Bolyai, 52, Combinatorics, Eger North Holland,
BIBLIOGRAFIA 83
[33] O. Frank, F. Harary, M. Plantholt, The line-distinguishing chromatic number
of a graph, Ars Combin. 14 (1982) 241-252.
[34] A. Frieze, R.J. Gould, M. Karoński, F. Pfender, On Graph Irregularity
Strength, J. Graph Theory 41 (2002), (2), 120-137.
[35] J.A. Gallian, A Survey: Recent Results, Conjectures and Open Problems in
Labeling Graphs, J. Graph Theory 13 (1989), (4), 491-504.
[36] A. Gy´arf´as, The irregularity strength of Km,m is 4 for odd m, Discrete Math.
71 (1998) 273-274.
[37] E. Gy˝ori, M. Horˇn ak, C. Palmer, M. Woźniak, General
neighbour-distinguishing index of a graph, Discrete Math. 308 (2008), (5-6), 827-831.
[38] E. Gy˝ori, C. Palmer, A new type of edge-derived vertex coloring, Discrete Math., praca przyjęta.
[39] F. Harary, M. Plantholt, The point-distinguishing chromatic index, Graphs and applications, Proc. 1st Symp. Graph theory, Boulder/Colo. 1982 (1985) 147-162.
[40] M. Horˇn´ak, M. Woźniak, Decomposition of complete bipartite even graphs into
closed trails, Czechoslovak Math. J. 128 (2003) 127-134.
[41] M.S. Jacobson, E. Kubicka, G. Kubicki, Consecutive Labelings for Graphs. Pa-pers in honour of Stephen T. Hedetniemi. J. Combin. Math. Combin. Comput. 31 (1999) 207-217.
[42] S. Jendroˇl, M. Tk´aˇc, Zs. Tuza, The irregularity strength and cost of the union
of cliques. Selected papers in honour of Paul Erd˝os on the occasion of his 80th birthday (Keszthely, 1993), Discrete Math. 150 (1996), (1-3), 179-186.
[43] M. Kalkowski, przekaz ustny (2008).
[44] M. Kalkowski, M. Karoński, F. Pfender, przekaz ustny (2008).
[45] M. Karoński, T. Łuczak, A. Thomason, Edge weights and vertex colours, J. Combin. Theory Ser. B 91 (2004) 151-157.
[46] J. Lehel, Facts and Quests on Degree Irregular Assignments, Graph Theory, Combinatorics and Applications, Willey, New York (1991) 765-782.
[47] T. Nierhoff, A tight bound on the irregularity strength of graphs, SIAM J. Discrete Math. 13 (2000), (3), 313-323.
[48] J. Przybyło, A note on neighbour-distinguishing regular graphs
total-weighting, Electron. J. Combin. 15 (2008), (1), ]N35.
[49] J. Przybyło, A note on the neighbour-distinguishing total-weightings of graphs
with low maximum degree, manuskrypt.
[50] J. Przybyło, Irregularity strength of regular graphs, Electron. J. Combin. 15 (2008), (1), ]R82.
[51] J. Przybyło, Linear bound on the irregularity strength and the total vertex
irregularity strength of graphs, SIAM J. Discrete Math., praca przyjęta.
[52] J. Przybyło, M. Woźniak, 1,2 Conjecture, II, Preprint MD 026 (2007), http://www.ii.uj.edu.pl/preMD/index.php.
[53] J. Skowronek-Kaziów, 1,2 Conjecture - the multiplicative version, Inf. Process. Lett. 107 (2008), (3-4), 93-95.
[54] J. Skowronek-Kaziów, Product vertex-colourings edge-weightings, manu-skrypt.
[55] P. Wittmann, Vertex-distinguishing edge-colorings of 2-regular graphs, Di-screte Appl. Math. 79 (1997) 265-277.
[56] N. Zagaglia Salvi, On the value of the point-distinguishing chromatic index of