Index of /rozprawy2/10058

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Matematyki Stosowanej Katedra Matematyki Dyskretnej. Rozprawa doktorska. SPECJALNE KOLOROWANIA GRAFÓW. Jakub Przybyło. Promotor: prof. dr hab. Mariusz Woźniak. Kraków 2008.

(2) Podziękowania Chciałbym wyrazić moją wdzięczność za okazaną pomoc mojemu promotorowi prof. dr. hab. Mariuszowi Woźniakowi, bez którego udziału ten doktorat nie mógłby powstać (a przynajmniej na pewno nie w obecnej postaci). Dziękuję za kierowanie moim rozwojem oraz asystowanie przy pierwszych stawianych przeze mnie krokach w głąb tajników teorii grafów, a także cenne uwagi dotyczące ciekawych zagadnień badawczych oraz sugestie skutecznych technik dowodowych. Jestem także wdzięczny za pomoc w organizacji finansowania moich badań, czego konsekwencją była możliwość częstego uczestniczenia w konferencjach krajowych i zagranicznych, poszerzenie kontaktów z innymi matematykami oraz mój naukowy rozwój. Pragnę z całego serca podziękować mojej Mamie, której niezłomna wiara i niezaprzeczalne (prze-)cenienie moich możliwości dodawało mi sił i ochoty do dalszej pracy. Moim rodzicom matematykom-chemikom dziękuję także za krople talentu w kwasie dezoksyrybonukleinowym. Szczególne podziękowania składam mojej żonie Paulinie, która jak nikt inny doświadczyła trudów tworzenia nerwowego matematyka. Jestem Ci wdzięczny za to, że nauczyłaś się spać przy zapalonym świetle, działającym komputerze, włączonym telewizorze i tłukącym się furiacie. Dziękuję Ci za miłość i wsparcie, oraz za to, że po tych wszystkich miesiącach, podczas których obserwowałaś mnie przy pracy, i tak zdecydowałaś się wyjść za mnie. Załączam także podziękowania oraz informację, iż badania zawarte w niniejszej pracy wspierane były przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach grantu promotorskiego nr N N201 389134..

(3) Spis treści 1 Wstęp 1.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kolorowania grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cele rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Rozróżnianie wierzchołków przez zbiory i multizbiory 2.1 Lasy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Kolorowanie, a pakowanie . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Kolorowanie krawędzi rozróżniające wierzchołki . . 2.1.3 Kolorowanie krawędzi rozróżniające punkty . . . . 2.2 Grafy 2-regularne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Kolorowanie, a dekompozycje . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dekompozycja grafów z rodziny Lm . . . . . . . . n 0 2.2.3 Dekompozycja grafów Ln i Ln rzędu nieparzystego . 2.2.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 3 Rozróżnianie wierzchołków przez sumy 3.1 Niedawne wyniki i ich konsekwencje . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ograniczenia liniowe ze względu na n/δ . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Dowód ograniczeń liniowych . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ograniczenie na siłę nieregularności dla grafów regularnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Rozróżnianie sąsiadów przez sumy 4.1 Przykłady rodzin grafów spełniających hipotezę 1,2 4.2 Rozróżnianie sąsiadów w Zp . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ograniczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Ograniczenie dla grafów regularnych . . . . 4.3.2 Ograniczenia dla dowolnych grafów . . . . . 4.4 Dalsze kierunki badań . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. 4 4 7 9 12 15 15 17 21 22 24 26 34 41. 43 . 47 . 50 . 51 . 55. . . . . . .. 62 64 67 70 71 74 79.

(4) Rozdział 1 Wstęp 1.1. Podstawowe definicje. W pracy zajmujemy się kolorowaniami (etykietowaniami) grafów, a jej cele są dokładniej wyszczególnione w podrozdziale 1.3. Znakomita większość pojęć oraz oznaczeń stosowanych w niniejszej rozprawie jest zgodna z książką [29] autorstwa Diestela. Niech zatem dla danego zbioru A, [A]k oznacza zbiór wszystkich jego k-elementowych podzbiorów. Zbiór A = {A1 , . . . , Ak } parami rozłącznych podzbiorów zbioru A nazywamy podziałem zbioru A, jeżeli A jest sumą mnogościową wszystkich zbiorów Ai oraz Ai 6= ∅ dla każdego i. Jeżeli A oraz b są odpowiednio zbiorem liczbowym oraz liczbą, b + A oznacza zbiór {b + a : a ∈ A}. Przedmiotem naszych badań będą przede wszystkim grafy proste, czyli uporządkowane pary postaci G = (V, E), gdzie V , nazywane zbiorem wierzchołków, jest pewnym zbiorem skończonym, a E ⊆ [V ]2 (V ∩ E = ∅) jest zbiorem krawędzi grafu G. Dla skrócenia zapisu, w dalszej części pracy przez graf rozumieć będziemy graf prosty. Wyjątek stanowi tutaj rozdział 2, gdzie oprócz grafów prostych rozważane będą także pewne pseudografy, dla których dopuszczać będziemy E ⊆ [V ]1 ∪ [V ]2 . Takie struktury będziemy także nazywać grafami we wspomnianym rozdziale. Ponadto, krawędź e = {v} ∈ E nazywać będziemy pętlą przy lub w wierzchołku v, albo pętlą przyłączoną do wierzchołka v. Pewnego typu odstępstwo od przyjętej definicji grafu występuje też i jest bliżej omówione w podrozdziale 3.2.2. Zwyczajowo, krawędź {u, v} (o końcach u i v) będziemy oznaczać przez uv lub vu (vv w przypadku pętli). Mówimy, że wierzchołek v jest incydentny z krawędzią e, gdy v ∈ e. Mając dany graf, przez E(v) oznaczać będziemy zbiór wszystkich krawędzi incydentnych w nim z wierzchołkiem v. Dwa wierzchołki u, v są sąsiednie (są sąsiadami ) w grafie G, jeżeli uv jest krawędzią.

(5) 1.1 Podstawowe definicje. 5. tego grafu. Analogicznie, krawędzie e, f , e 6= f , są sąsiednie, jeżeli e ∩ f 6= ∅. Jeżeli wszystkie wierzchołki grafu są parami sąsiednie, to nazywamy go grafem pełnym. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy przez Kn , gdzie K3 nazywamy czasem trójkątem. Z drugiej strony, wierzchołki lub krawędzie nazywamy niezależnymi w G, gdy nie są sąsiednie. Dokładniej, podzbiór wierzchołków lub krawędzi określamy niezależnym, gdy jego elementy są parami niezależne w G. Zbiór krawędzi niezależnych w grafie G = (V, E) nazywamy skojarzeniem. Nazywamy je ponadto skojarzeniem pełnym w grafie G, jeżeli składa się dokładnie z |V |/2 krawędzi. Wierzchołek lub krawędź nazywamy izolowanymi w grafie G, gdy nie mają w nim żadnych sąsiadów. Mając dany graf G, zbiór jego wierzchołków oraz krawędzi będziemy oznaczać odpowiednio przez V (G) oraz E(G) lub w skrócie po prostu V oraz E, podczas gdy |G| := |V (G)| oraz kGk := |E(G)| będziemy nazywać odpowiednio rzędem i rozmiarem grafu G. Niech X, Y będą podzbiorami zbioru V , X ∩ Y = ∅. Przez E(X, Y ) oznaczać będziemy zbiór wszystkich krawędzi danego grafu o jednym końcu w X, a drugim w Y , gdzie e(X, Y ) := |E(X, Y )|. Niech dane będą grafy G = (V, E) i G0 = (V 0 , E 0 ). Nazywamy je izomorficznymi, pisząc G ' G0 , gdy istnieje bijekcja ϕ : V → V 0 taka, że xy ∈ E ⇔ ϕ(x)ϕ(y) ∈ E 0 . Zwyczajowo będziemy utożsamiać grafy izomorficzne. Sumę dwóch grafów definiujemy jako G ∪ G0 := (V ∪ V 0 , E ∪ E 0 ), choć tego oznaczenia będziemy na ogół używać w przypadku, gdy grafy G oraz G0 są (wierzchołkowo) rozłączne, tzn. gdy V ∩ V 0 = ∅. W przeciwnym wypadku będziemy zazwyczaj pisać G.G0 (zamiast G∪G0 ) i nazywać tę sumę sklejeniem grafów G i G0 . Jeżeli E ∩ E 0 = ∅, to G i G0 nazywamy krawędziowo rozłącznymi. Jeśli V 0 ⊆ V i E 0 ⊆ E, wówczas G0 nazywamy podgrafem grafu G i piszemy G0 ⊆ G. Mniej formalnie mówimy też, że G0 zawiera się w G. Jeżeli G0 zawiera wszystkie krawędzie xy ∈ E o końcach x, y ∈ V 0 , wówczas G0 jest indukowanym podgrafem grafu G. Jeżeli U ⊆ V , wówczas podgraf indukowany grafu G o zbiorze wierzchołków U oznaczamy przez G[U ]. Podgraf G0 ⊆ G nazywamy podgrafem rozpinającym grafu G, gdy V 0 = V . Z drugiej strony, grafem rozpiętym przez dany podzbiór krawędzi E 0 ⊆ E w grafie G nazywamy podgraf G0 = (V 0 , E 0 ), gdzie V 0 składa się ze wszystkich wierzchołków należących do krawędzi ze zbioru E 0 . Grafem krawędziowym grafu G = (V, E) nazywamy z kolei graf L(G) = (V 0 , E 0 ) taki, że V 0 = E, a E 0 składa się ze wszystkich par krawędzi sąsiednich w G. Dla dowolnych zbiorów U wierzchołków oraz F krawędzi, niech G − U := G[V r U ], G − F := (V, E r F ). Analogicznie, dla F ⊆ [V ]2 (F ⊆ [V ]1 ∪ [V ]2 ), G + F := (V, E ∪ F ). Zbiór sąsiadów wierzchołka v w grafie G oznaczamy przez NG (v). Stopniem wierzchołka v, dG (v), nazywamy natomiast liczbę krawędzi incydentnych z v (gdzie pętla w v liczona jest podwójnie). W przypadku, gdy przy v nie ma pętli, dG (v) = |E(v)| = |NG (v)|. Ponadto, δ(G) := min{dG (v)|v ∈ V }.

(6) 1.1 Podstawowe definicje. 6. i ∆(G) := max{dG (v)|v ∈ V } nazywamy odpowiednio minimalnym i maksymalnym stopniem grafu G. Dla ustalonego grafu G będziemy też stosować skrócone oznaczenia, odpowiednio, N (v), d(v), δ i ∆. Przez dA (v), gdzie A ⊆ V , rozumieć natomiast będziemy liczność zbioru NG (v) ∩ A. Jeżeli stopnie wszystkich wierzchołków w grafie G są równe k, wówczas nazywamy go grafem k-regularnym, grafem regularnym stopnia k lub po prostu grafem regularnym, a k nazywamy stopniem grafu G. Grafy 3-regularne nazywamy potocznie kubicznymi. Zbiorem dominującym w grafie G nazywamy z kolei dowolny podzbiór D jego wierzchołków taki, że każdy wierzchołek z V (G)rD ma sąsiada w D. Rozmiar najmniejszego ze zbiorów dominujących nazywamy liczbą dominującą grafu G i oznaczamy przez γ(G). Ścieżką nazywamy niepusty graf P = (V, E), gdzie V = {v0 , v1 , . . . , vk }, E = {v0 v1 , v1 v2 , . . . , vk−1 vk }, a wierzchołki vi są parami różne. Wierzchołki v0 , vk są końcami ścieżki, a P nazywane jest ścieżką pomiędzy v0 a vk (z v0 do vk ) lub ścieżką łączącą v0 i vk . Liczbę krawędzi ścieżki nazywamy jej długością, a ścieżkę długości k oznaczamy przez Pk+1 . Jeżeli do powyższego grafu dodamy krawędź vk v0 , wówczas otrzymamy graf C = (V, E ∪ vk v0 ), zwany cyklem (długości k + 1). Cykl długości k oznaczać będziemy przez Ck . Drogą (długości k) w grafie G nazywamy z kolei niepusty naprzemienny ciąg v0 e0 v1 e1 . . . ek−1 vk wierzchołków i krawędzi grafu G taki, że ei = vi vi+1 , 0 6 i < k, są parami różne. W przypadku, gdy końce drogi się pokrywają (v0 = vk ), drogę nazywamy zamkniętą, a w przeciwnym razie, otwartą. Drogę będziemy także często utożsamiać z rozpinanym przez zbiór jej krawędzi grafem (podgrafem). Wówczas zarówno ścieżka, jak i cykl, stanowią pewien rodzaj dróg. W innych przypadkach wygodnie nam będzie odnosić się do drogi, zapisując ją po prostu jako odpowiedni ciąg wierzchołków v0 v1 . . . vk . Jednocześnie będziemy zazwyczaj utożsamiać wszystkie ciągi, które generują ten sam graf (podgraf). Drogę (a więc i odpowiednio ścieżkę oraz cykl) nazywamy parzystą, gdy jest długości parzystej, a nieparzystą w przeciwnym wypadku. Niepusty graf G nazywamy spójnym, jeżeli wszystkie pary wierzchołków połączone są ścieżką w grafie G. W przeciwnym wypadku G nazywany jest niespójnym. Każdy maksymalny podgraf spójny grafu G nazywamy jego składową. Odległością dwóch wierzchołków u, v grafu spójnego G nazywamy długość najkrótszej ścieżki łączącej u i v w G. Spójny graf G nazywamy eulerowskim, jeżeli zawiera cykl Eulera, czyli drogę zamkniętą, w której każda krawędź grafu pojawia się dokładnie raz. Jednym z najlepiej znanych twierdzeń w teorii grafów jest fakt udowodniony przez autora tego pojęcia. Twierdzenie 1.1.1 (Euler 1736) Graf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wierzchołek ma stopień parzysty. Drogi zamknięte będą przez nas więc często rozważane jako grafy eulerowskie,.

(7) 1.2 Kolorowania grafów. 7. a drogi otwarte (co można łatwo uzasadnić) jako grafy spójne, w których wszystkie wierzchołki, poza dokładnie dwoma, mają stopnie parzyste. Grafy acykliczne (nie zawierające cyklu) nazywamy lasami, a w przypadku, gdy są spójne, drzewami. Łatwo sprawdzić, iż graf spójny T jest drzewem wtedy i tylko wtedy, gdy kT k = |T | − 1. Drzewami są zatem między innymi ścieżki, natomiast lasy składające się wyłącznie z (rozłącznych) ścieżek nazywamy lasami liniowymi. Wierzchołki stopnia jeden nazywamy w drzewie liśćmi. Drzewa, których co najwyżej jeden wierzchołek nie jest liściem nazywamy gwiazdami. Czasem będziemy też wyróżniać jeden wierzchołek w drzewie i nazywać go korzeniem, a samo drzewo, ukorzenionym drzewem. Graf G = (V, E) nazywamy r-dzielnym, jeżeli istnieje podział zbioru V na r takich klas, że każda krawędź e ∈ E ma końce w dwóch różnych klasach. W przypadku, gdy r = 2, mówimy o grafach dwudzielnych i piszemy zazwyczaj G = (A, B; E), gdzie A i B są klasami podziału (tzn. A ∪ B = V , A∩B = ∅ oraz A i B są zbiorami niezależnymi w G). Jeżeli każdy wierzchołek ze zbioru A jest połączony krawędzią ze wszystkimi wierzchołkami z B, wówczas G nazywamy grafem dwudzielnym pełnym i oznaczamy go przez Km,n , gdzie m = |A| i n = |B|. Ponadto, jeżeli |A| = |B|, to określamy go jako zrównoważony. Graf, który może być przedstawiony na płaszczyźnie w taki sposób, że żadne jego dwie krawędzie się nie przecinają nazywamy grafem planarnym.. 1.2. Kolorowania grafów. Kolorowaniem wierzchołków lub kolorowaniem wierzchołkowym grafu G = (V, E) nazywamy odwzorowanie f : V → S, gdzie S jest zbiorem dostępnych kolorów. Analogicznie, odwzorowanie f : E → S nazywamy kolorowaniem krawędzi lub kolorowaniem krawędziowym, a odwzorowanie f : V ∪ E → S nazywamy kolorowaniem totalnym grafu G. Zaznaczmy, iż w żadnym z tych przypadków nie wymagamy, by wszystkie kolory były użyte, czyli by im(f ) = S, gdzie przez im(f ) rozumiemy obraz (zbiór wartości ) odwzorowania f . W przypadku, gdy |S| = k, wówczas powyższe odwzorowania nazywamy odpowiednimi k-kolorowaniami. Jeżeli będziemy chcieli dodatkowo podkreślić, że naszym zbiorem dostępnych kolorów jest właśnie S, wówczas będziemy je też nazywać odpowiednimi S-kolorowaniami. Szczególnie istotny będzie dla nas przypadek, gdy S = [k] := {1, . . . , k}, zatem przykładowo dowolne odwzorowanie g : E → {1, . . . , k} nazywać będziemy [k] − kolorowaniem krawędzi graf u G..

(8) 1.2 Kolorowania grafów. 8. Ponadto, dla v ∈ V i e ∈ E, wartość f (v) nazywać będziemy kolorem wierzchołka v, a f (e) kolorem krawędzi e. Dla danego kolorowania wierzchołków f , maksymalne jednokolorowe podzbiory zbioru V (czyli zbiory postaci f −1 (s), s ∈ S, gdzie dopuszczamy f −1 (s) = ∅) nazywać będziemy natomiast klasami kolorów. Jednym z pierwszych (o ile nie pierwszym) problemów sformułowanych przez matematyków w kontekście kolorowań jest pytanie o minimalną liczbę kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G w sposób właściwy, czyli tak, by sąsiedzi mieli przyporządkowane różne kolory. Tę liczbę nazywamy liczbą chromatyczną grafu G i oznaczamy przez χ(G). Dla każdego k > χ(G) mówimy wówczas, że G dopuszcza właściwe k-kolorowanie wierzchołkowe lub, że graf G jest zwyczajnie k-kolorowalny. Zagadnienie to wiąże się też w naturalny sposób z problemem liczby kolorów potrzebnych do pokolorowania państw na dowolnej mapie tak, by sąsiednie kraje miały różne kolory, a jego rozwiązanie, nazywane twierdzeniem o 4 kolorach, jest chyba najlepiej znanym „teoriografowym” faktem dla naukowców zajmujących się innymi działami matematyki. Twierdzenie 1.2.1 (Twierdzenie o 4 kolorach) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Jest to stosunkowo nowe twierdzenie, które przez wiele lat, przynajmniej od roku 1852, pozostawało otwartą hipotezą. Zostało ono w końcu udowodnione przy istotnym wsparciu ze strony komputera w 1976 roku przez Appela i Hakena, których dowód został później uproszczony przez Robertsona, Sandersa, Seymoura i Thomasa. Innym istotnym wynikiem dotyczącym liczby chromatycznej jest następujące twierdzenie Brooksa. Twierdzenie 1.2.2 (Brooks 1941) Jeżeli spójny graf G nie jest ani grafem pełnym, ani nieparzystym cyklem, to χ(G) 6 ∆(G). Łatwo natomiast sprawdzić, że dla grafów pełnych i cykli nieparzystych mamy χ(G) = ∆(G) + 1. Analogicznie, kolorowanie krawędziowe grafu G nazywamy właściwym, gdy sąsiednie krawędzie różnią się kolorami, a najmniejszą liczbę potrzebnych do tego kolorów nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy przez χ0 (G). Oczywistym jest zatem fakt, że χ0 (G) > ∆(G). Wizing pokazał natomiast, iż ten warunek konieczny jest także „prawie” wystarczający. Twierdzenie 1.2.3 (Wizing 1964) Dla każdego grafu G, ∆(G) 6 χ0 (G) 6 ∆(G) + 1..

(9) 1.3 Cele rozprawy. 1.3. 9. Cele rozprawy. W niniejszej rozprawie zajmować się będziemy pewnym kierunkiem badań nad ogólnie pojętym kolorowaniem (etykietowaniem) grafów, którego rozwój obserwować możemy na przestrzeni ostatniego ćwierćwiecza. Analogicznie jak powyżej i naszym celem będzie rozróżnienie wierzchołków w grafie. Aby to uczynić, będziemy jednak kolorować przede wszystkim krawędzie, a czasem i wierzchołki grafu, i w ten sposób indukować kolory samych wierzchołków. Takie indukowane kolory wierzchołków będą w zależności od rozważanego zagadnienia definiowane w różny sposób. Niech f będzie krawędziowym [k]-kolorowaniem grafu G lub (w niektórych przypadkach) totalnym [k]-kolorowaniem grafu G. Niech S(v) oznacza zbiór, a M S(v) multizbiór kolorów krawędzi incydentnych z v. Niech z kolei P w(v) = e∈E(v) f (e) oraz (w przypadku, gdy f jest kolorowaniem totalnym) P t(v) = f (v) + e∈E(v) f (e), patrz rys. 1.1 (na którym „(3)” oznacza ewentualny kolor samego wierzchołka w przypadku, gdy kolorowanie jest totalne).. Rysunek 1.1: Rozważane indukowane kolory wierzchołka v.. Rozprawa składa się z trzech zasadniczych części zawierających wyniki dotyczące różnych niezmienników grafowych, których liczne powiązania i zależności omówione są głównie na początku rozdziałów 3 i 4. Ich wspólnym źródłem jest omawiany w rozdziale 3 i obszernie analizowany w literaturze parametr zwany siłą nieregularności grafu.. Rozdział 2 poświęcony jest badaniom dotyczącym dwóch parametrów, • nieregularnej liczby kolorującej, c(G), oraz • rozróżniającego punkty indeksu chromatycznego, χ0 (G), grafu G. Są one równe najmniejszej liczbie kolorów potrzebnych do pokolorowania krawędzi grafu G tak, by dla wszystkich jego wierzchołków odpowiednio multizbiory lub zbiory kolorów incydentnych z nimi krawędzi były różne. Wyznaczamy tu dokładną wartość obu parametrów dla dwóch rodzin grafów.

(10) 1.3 Cele rozprawy. 10. niespójnych, lasów liniowych (twierdzenia 2.1.2, 2.1.4 i wnioski 2.1.3, 2.1.5) oraz pewnej podrodziny grafów dwuregularnych (wniosek 2.2.14 i twierdzenie 2.2.15), potwierdzając tym samym dla nich prawdziwość hipotezy Burris i Schelpa (hipoteza 2.0.1). Rozwiązania tych problemów opierają się na przetransformowaniu ich najpierw na zagadnienia pakowania oraz dekompozycji grafów, a następnie dosyć obszernej analizie tych nowych zagadnień. Znaczne skrócenie naszego rozumowania uzyskujemy dzięki wykorzystaniu stworzonych przez autora niniejszej rozprawy programów komputerowych1 do analizy początkowych kroków w dowodach indukcyjnych.. Rozdział 3 obejmuje analizę niezmienników grafowych zwanych • siłą nieregularności, s(G), oraz • totalną (wierzchołkową) siłą nieregularności, tvs(G), grafu G. Pierwszy z nich równy jest najmniejszej liczbie k, dla której istnieje [k]-kolorowanie krawędzi grafu G takie, że wszystkie wierzchołki mają tym razem różne sumy w(v), a drugi zdefiniowany jest analogicznie, lecz przy użyciu kolorowań totalnych oraz sum t(v). Najistotniejszymi wynikami w tej części pracy są dosyć zwięźle udowodnione twierdzenia o istnieniu liniowych ze względu na n/δ górnych ograniczeń na wartości tych parametrów (twierdzenia 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 i 3.2.4), które poprawiają różne dotychczasowe wyniki w tym zakresie. Wykorzystując między innymi znane oszacowania na liczbę dominującą grafu poprawiamy następnie osiągnięty rezultat w przypadku siły nieregularności grafów regularnych (twierdzenie 3.2.13), przybliżając się tym samym do udowodnienia hipotezy Jacobsona (hipoteza 3.0.2).. Rozdział 4 poświęcony jest analizie zupełnie nowego zagadnienia oraz • parametru, który definiowany jest tak jak totalna siła nieregularności, z tą różnicą, iż wymagamy by jedynie sąsiednie wierzchołki miały różne odpowiednie sumy. Nawiązując do analogicznego problemu w przypadku kolorowań krawędziowych (oraz znanej hipotezy 1,2,3 ), formułujemy hipotezę, którą roboczo nazywać będziemy hipotezą 1,2, i przedstawiamy szerokie spektrum związanych z nią rezultatów. Obejmują one zarówno wyniki dokładne dla różnych rodzin 1. Programy te dołączone są do niniejszej rozprawy na płycie CD..

(11) 1.3 Cele rozprawy. 11. grafów (np. twierdzenia 4.1.3, 4.1.4), jak i ograniczenia z góry (z których najważniejsze zawarte jest w twierdzeniu 4.3.6), ze szczególnym uwzględnieniem grafów regularnych (tw. 4.3.4), czy też zależności odpowiedniego parametru od χ (tw. 4.3.1) lub ∆ (tw. 4.3.7)..

(12) Rozdział 2 Rozróżnianie wierzchołków przez zbiory i multizbiory Niech będzie dane kolorowanie krawędziowe f grafu (prostego) G = (V, E). Dla danego wierzchołka v ∈ V , oznaczmy przez Sf (v) (lub S(v), gdy f jest ustalone) zbiór kolorów krawędzi incydentnych z v i nazwijmy go paletą kolorów wierzchołka v. Kolorowanie f nazywamy rozróżniającym punkty, jeżeli Sf (u) 6= Sf (v) dla każdej pary różnych wierzchołków u, v ∈ V . Zauważmy, że takie kolorowanie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy graf zawiera co najwyżej jeden izolowany wierzchołek oraz nie posiada żadnych izolowanych krawędzi (wystarczy wówczas pokolorować każdą krawędź inną barwą). Najmniejsze k, dla którego istnieje rozróżniające punkty k-kolorowanie krawędzi grafu G nazywamy wówczas rozróżniającym punkty indeksem chromatycznym („the point-distinguishing chromatic index”) grafu G i oznaczamy przez χ0 (G). Dla pozostałych grafów przyjmujemy χ0 (G) = ∞. Parametr χ0 wprowadzony został w pracy [39] Harary’ego i Plantholta z 1985 roku. Autorzy wyznaczyli w niej między innymi jego wartość dla pewnych klas spójnych grafów, jak ścieżki, cykle, czy grafy pełne. Znaleźli także pewne ograniczenia w przypadku grafów dwudzielnych pełnych. Ten kierunek badań był kontynuowany w serii artykułów. Zagaglia Salvi ustaliła ostatecznie w [56] dokładną wartość rozróżniającego punkty indeksu chromatycznego dla zrównoważonych grafów dwudzielnych pełnych, Kn,n . Kolorowanie f krawędzi grafu G = (V, E) indukuje także nieco inne kolorowanie wierzchołkowe, które było przedmiotem jeszcze szerszych i bardziej zróżnicowanych badań niż powyższe. A mianowicie, dla danego wierzchołka v ∈ V oznaczmy przez M Sf (v) (lub M S(v), gdy f jest ustalone) multizbiór kolorów krawędzi incydentnych z v i nazwijmy go multipaletą kolorów.

(13) 13. wierzchołka v. Kolorowanie f nazywamy rozróżniającym wierzchołki, jeżeli M Sf (u) 6= M Sf (v) dla każdej pary różnych wierzchołków u, v ∈ V . Jeżeli da się tak pokolorować krawędzie danego grafu G, wówczas najmniejsze k, dla którego istnieje rozróżniające wierzchołki k-kolorowanie krawędziowe grafu G nazywamy nieregularną liczbą kolorującą („the irregular coloring number”) grafu G i oznaczamy przez c(G). Dla pozostałych grafów przyjmujemy c(G) = ∞. Analogicznie jak powyżej, łatwo zauważyć, że c(G) < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy graf G zawiera co najwyżej jeden izolowany wierzchołek oraz nie posiada żadnych izolowanych krawędzi. Nieregularna liczba kolorująca została zdefiniowana przez Aignera i Triescha w pracy [4] z 1990 roku jako modyfikacja parametru zwanego siłą nieregularności grafu, któremu z kolei poświęcony jest następny rozdział (rozdz. 3) niniejszej rozprawy. Aigner i Triesch wyznaczyli jednocześnie wartość nieregularnej liczby kolorującej dla wybranych rodzin grafów spójnych, jak grafy pełne, dwudzielne pełne, cykle, czy ścieżki. Ustalili także ogólne ograniczenie c(G) 6 |G| − 1 dla wszystkich grafów z c(G) < ∞, z jednym wyjątkiem c(K3 ) = 3. Dla przypadku drzew bez wierzchołków stopnia 2 udowodnili też, iż wartość parametru c(G) równa jest naturalnemu ograniczeniu od dołu, czyli liczbie liści. Ponadto zajęli się analizą nieskomplikowanych rodzin grafów niespójnych o jednolitej strukturze, takich jak sumy ścieżek o jednakowej ustalonej długości oraz sumy jednakowych cykli. Osiągnięte przez nich wyniki wiążą się bezpośrednio z rezultatami niniejszej rozprawy i wspominamy o nich w kolejnych podrozdziałach. Kontynuację tych rozważań można także znaleźć w pracy [6] Aignera, Triescha i Tuzy z roku 1992, w której autorzy pokazali m. in., iż dla grafów k-regularnych, 1 c(G) 6 Cn k , gdzie C jest stałą zależną wyłącznie od k (k > 1). W szczególności nawiązujemy do ich wyniku dla grafów 2-regularnych (patrz tw. 2.2.1) w podrozdziale 2.2. Nieregularna liczba kolorująca była także szeroko badana w pracy doktorskiej [21] Burris, gdzie znaleźć można zarówno dokładną jej wartość dla pewnych rodzin grafów spójnych, jak i ograniczenia ze szczególnym uwzględnieniem drzew oraz grafów regularnych. Niech nd (nd (G)) oznacza liczbę wierzchołków stopnia d w grafie G. Zauważmy, iż jeżeli istnieje rozróżniające wierzchołki k-kolorowanie krawędzi grafu G, wówczas na podstawie standardowego wzoru kombinatorycznego.

(14) 14. na liczbę różnych multizbiorów danego rozmiaru otrzymujemy !. k+d−1 > nd d. (2.1). dla każdego d > 1. Burris w swojej pracy doktorskiej [21] sformułowała nawet wraz z Schelpem następującą hipotezę, którą możemy określić jako hipotezę typu Wizinga. Hipoteza 2.0.1 (Burris [21]) Niech G będzie grafem z co najwyżej jednym izolowanym wierzchołkiem oraz bez izolowanych krawędzi i niech k będzie k+d−1 minimalną liczbą naturalną taką, że > nd (G) dla 1 6 d 6 ∆(G). d Wówczas c(G) = k lub k + 1. Hipoteza ta w ogólnym przypadku uważana jest za bardzo trudną do rozstrzygnięcia. Zwróćmy uwagę, iż analogicznie, ponieważ wierzchołek stopnia d w grafie G może mieć przypisaną paletę składającą się z co najwyżej d kolorów, nierówność !. !. !. k k k + + ... + > n1 + n2 + . . . + nd 1 2 d. (2.2). musi być spełniona dla 1 6 d 6 ∆, jeżeli istnieje rozróżniające punkty k-kolorowanie krawędzi grafu G. Jak się okazuje badając oba powyższe parametry (patrz np. [4]), wyników dotyczących rodzin grafów spójnych często nie da się łatwo uogólnić na przypadek ich niespójnych odpowiedników, nawet składających się z rozłącznych kopii przedstawicieli tej samej rodziny. My przeanalizujemy dwie obszerne klasy takich grafów, a mianowicie lasy liniowe (czyli rozłączne sumy ścieżek) oraz parzyste grafy dwuregularne (rozłączne sumy cykli parzystych). Wyznaczymy dla nich dokładne wartości parametrów c i χ0 , pokazując, iż pewne proste warunki konieczne są także wystarczające dla utworzenia odpowiednich kolorowań, i jednocześnie weryfikując dla nich prawdziwość hipotezy Burris i Schelpa (hipoteza 2.0.1). W obu przypadkach wykorzystamy podobnie jak autorzy [4, 39] związek omawianych zagadnień z pakowaniem (lub dekompozycją) odpowiednich grafów w pewne pseudografy. W dowodach indukcyjnych pierwsze kroki poparte zostaną analizą numeryczną za pomocą stworzonych przez autora niniejszej pracy programów komputerowych. Programy te dołączone są do rozprawy i stanowią jej integralną część. Rezultaty.

(15) 2.1 Lasy liniowe. 15. dotyczące lasów liniowych opisane są w pracy Cichacz i Przybyło [25], a wyniki związane z grafami dwuregularnymi pochodzą z prac Cichacz, Przybyło i Woźniaka [26, 27]. Część uzyskanych przez nas rezultatów inspirowana jest przez analogiczne wyniki pochodzące z prac dotyczących tak zwanej silnej liczby kolorującej („the strong coloring number”) grafu G, χ0s (G), która definiowana jest tak jak c(G) (lub równoważnie χ0 (G)), z jednym dodatkowym założeniem, iż kolorowanie krawędzi musi być właściwe, patrz np. praca [11] autorstwa Balistera, Bollobása i Schelpa. Łatwo zauważyć tu też, że c(G) 6 χ0 (G) 6 χ0s (G). (2.3). dla dowolnego grafu G.. 2.1. Lasy liniowe. W tym rozdziale zajmować się będziemy lasami liniowymi, czyli grafami postaci G = Pl1 +2 ∪ . . . ∪ Plp +2 , dla których zakładać będziemy, że li > 1 dla i = 1, . . . , p. Wykluczenie izolowanych krawędzi i wierzchołków wynika z faktu, że interesujące są dla nas jedynie grafy z c(G) < ∞ (χ0 (G) < ∞), a obecność lub brak pojedynczego izolowanego wierzchołka nie wpływa na kolorowanie.. 2.1.1. Kolorowanie, a pakowanie. Załóżmy, że mamy dane rozróżniające wierzchołki [n]-kolorowanie f krawędzi pewnego lasu liniowego G = Pl1 +2 ∪. . .∪Plp +2 , li > 1. Następnie stwórzmy graf (a właściwie pseudograf) kolorów dla tego pokolorowanego grafu w następujący sposób. Niech [n] będzie zbiorem jego wierzchołków, i niech dwa kolory z [n] będą połączone krawędzią w grafie kolorów wtedy i tylko wtedy, gdy jakieś krawędzie o tych kolorach sąsiadują ze sobą w grafie G. Zauważmy, że w naszym grafie kolorów mogą zatem występować pętle. Jest tak, gdy w jakimś wierzchołku w grafie G spotykają się dwie jednokolorowe krawędzie. Zwróćmy ponadto uwagę, że krawędzie (oraz pętle) w grafie kolorów odpowiadają paletom kolorów wierzchołków stopnia 2 z grafu G, a ponieważ kolorowanie f rozróżnia wierzchołki, zatem multipalety (więc i palety) są różne dla różnych wierzchołków stopnia 2 grafu G, to nie występują w naszym grafie kolorów krawędzie ani pętle wielokrotne (więc nie mamy do czynienia z multigrafem). W konsekwencji nasz graf kolorów jest zatem pewnym podgrafem.

(16) 2.1 Lasy liniowe. 16. • pseudografu powstałego z Kn przez doklejenie pojedynczych pętli do wszystkich jego wierzchołków, który będziemy oznaczać przez Mn . Przyjmujemy tu konwencję, iż wszystkie pseudografy, które mogą być utworzone z grafów poprzez doklejenie pojedynczych pętli w niektórych wierzchołkach będziemy w niniejszym rozdziale nazywać po prostu grafami. Zwróćmy uwagę, iż trawersując kolejne krawędzie dowolnej ścieżki z lasu liniowego G i łącząc krawędziami kolejno napotkane kolory, otrzymamy pewną drogę w naszym grafie kolorów. Graf kolorów jest zatem sumą (lub sklejeniem) takich dróg odpowiadających kolejnym ścieżkom z G. Ponadto, skoro f jest kolorowaniem rozróżniającym wierzchołki, a zatem (multi-)palety kolorów muszą być różne także dla wierzchołków stopnia 1, to wszystkie 2p końce ścieżek z G muszą być incydentne z krawędziami różnych kolorów. W konsekwencji, wszystkie wspomniane powyżej drogi muszą mieć różne końce w grafie kolorów, co w szczególności oznacza, iż są drogami otwartymi. Takie trawersowanie kolejnych ścieżek grafu G możemy równie dobrze, analogicznie jak autorzy [4], zapisać w konwencji pakowania. Niech zatem G1 = (V1 , E1 ) i G2 = (V2 , E2 ) będą grafami (gdzie dopuszczać będziemy, iż G2 ma dodatkowe pojedyncze pętle w niektórych wierzchołkach). Pakowaniem grafu G1 w G2 nazywamy odwzorowanie F : V1 → V2 takie, że xy ∈ E1 implikuje F (x)F (y) ∈ E2 i indukowane odwzorowanie na krawędziach xy 7→ F (x)F (y) jest iniekcją z E1 do E2 . Podgraf G0 = (V 0 , E 0 ) grafu G2 taki, że V 0 = {F (v) : v ∈ V1 }, E 0 = {F (u)F (v) : uv ∈ E1 } nazywać będziemy obrazem (poprzez to pakowanie) grafu G1 w G2 . Zwróćmy uwagę, że nie wymagamy, by odwzorowanie F było iniektywne na wierzchołkach, więc jeśli G1 zawiera ścieżkę, jej obrazem w G2 może być droga. Przy tak postawionej definicji, nasz graf kolorów jest po prostu obrazem pakowania F grafu krawędziowego L(G) = Pl1 +1 ∪. . .∪Plp +1 w graf Mn , gdzie F (e) = f (e) dla e ∈ E. Oczywistym jest też, iż odwrotnie, mając dane pakowanie grafu L(G) w Mn przyporządkowujące końcowi każdej ścieżki inny wierzchołek, to jednocześnie otrzymujemy kolorowanie krawędzi rozróżniające wierzchołki grafu G, patrz przykład z rys. 2.1. Na podstawie opisanej równoważności pomiędzy kolorowaniem, a pakowaniem, otrzymujemy zatem, że w przypadku grafów będących rozłącznymi sumami ścieżek, c(G) jest równe najmniejszemu n, dla którego istnieje pako − wanie graf u L(G) w Mn przyporządkowujące końcowi każdej (∗) ścieżki inny wierzchołek. Rozumując analogicznie, patrz też [39], problem kolorowania krawędziowego rozróżniającego punkty może być sprowadzony do niemal takiego samego jak.

(17) 2.1 Lasy liniowe. 17. Rysunek 2.1: Pakowanie F grafu L(G) w M6 , gdzie F (e1 ) = 1, F (e3 ) = 2 i F (e7 ) = 6.. powyżej zagadnienia pakowania, z jedną dodatkową restrykcją, która wynika z faktu, iż paleta (w odróżnieniu od multipalet) kolorów wierzchołka stopnia 1 może być równa palecie kolorów wierzchołka stopnia 2. Mianowicie musimy założyć, że dla każdego końca ścieżki z L(G), jeżeli przyporządkowany jest mu wierzchołek v ∈ V (Mn ), wówczas pętla przy v nie pojawia się w obrazie naszego pakowania. (∗∗). (czyli nie może na przykład zaistnieć taka sytuacja jak w przykładzie z rys. 2.1, gdzie F (e9 ) = 5 = F (e8 )). W obu przypadkach wykażemy, że oczywiste warunki konieczne istnienia pakowania rozważanych grafów krawędziowych są także wystarczające.. 2.1.2. Kolorowanie krawędzi rozróżniające wierzchołki. Poniżej przedstawiamy dowód twierdzenia (tw. 2.1.2), z którego wynika dokładna wartość parametru c(G) dla wszystkich lasów liniowych. Nasze rozumowanie jest analogiczne do zastosowanego przez Balistera, Bollobása i Schelpa [11] w przypadku silnej liczby kolorującej grafu. Wykorzystamy też poniższy wynik autorstwa Balistera dotyczący tego parametru, który pozwala wyznaczyć dokładną wartość χ0s dla wszystkich grafów dwuregularnych. Twierdzenie 2.1.1 (Balister [10]) Niech suma P. Pp. ai, ai > 3, będzie równa 6 ai 6 n2 − n2 , gdy n jest pa, jeżeli n jest nieparzyste, lub rzyste. Wówczas możemy zapisać pewien podgraf grafu Kn jako krawędziowo rozłączną sumę dróg zamkniętych A1 , . . . , Ap długości odpowiednio a1 , . . . , ap . n 2. n 2. − n2 −2. p i=1. i=1.

(18) 2.1 Lasy liniowe. 18. Twierdzenie 2.1.2 (Cichacz, Przybyło [25]) Następujące warunki są koS nieczne i wystarczające, by istniało pakowanie grafu pi=1 Pli +1 , li > 1, przyporządkowujące końcom ścieżek Pli +1 różne wierzchołki w Mn : (1◦ ). L6. (2◦ ). L6. . . n+1 2 n+1 2. − 2r ,. jeżeli r (lub n) jest parzyste,. − p,. jeżeli r (lub n) jest nieparzyste,. gdzie n = 2p + r, r > 0, oraz L = wystarczy.. Pp. i=1 li . W szczególności, L 6. n 2. zawsze. Dowód. Najpierw dowodzimy, że sformułowane warunki są konieczne. Oczywistym jest, że nie możemy spakować ścieżek o łącznej długości L więkn+1 szej niż rozmiar grafu Mn , 2 . Ponadto, jeżeli graf G0 jest obrazem opisanego pakowania w Mn , wówczas składa się on z p dróg otwartych, których końce tworzą zbiór 2p różnych wierzchołków o nieparzystych stopniach w G0 . Pozostałe r wierzchołków ma parzyste stopnie w G0 . Zatem jeżeli r jest nieparzyste (stąd n jest nieparzyste i stopnie wszystkich wierzchołków w Mn są parzyste), musimy usunąć przynajmniej p krawędzi z Mn , by otrzymać G0 . Analogicznie, jeżeli r jest parzyste (stąd n jest także parzyste i stopnie wszystkich wierzchołków w Mn są nieparzyste), potrzebujemy usunąć przynajmniej 2r krawędzi z Mn , by otrzymać G0 . Wystarczalność warunków udowodnimy stosując indukcję ze względu na n. Przypadki dla n 6 9 zostały zweryfikowane za pomocą stworzonego przez autora rozprawy programu komputerowego1 . Załóżmy zatem, że n > 10 i niech l1 > l2 > . . . > lp . Jeżeli wszystkie jścieżki są długości 1, wówczas teza jest k n oczywista, gdyż w Mn istnieje zbiór 2 > p niezależnych krawędzi. Możemy zatem założyć, że l1 > 2. Rozważmy najpierw przypadek, gdy p = 1. Jeżeli n jest nieparzyste (pan+1 n+1 rzyste) i l1 = 2 − 1 (l1 = 2 − n2 + 1), wystarczy usunąć jedną krawędź z eulerowskiego grafu Mn ( n2 − 1 niezależnych krawędzi z Mn), by stworzyć n+1 pożądaną drogę otwartą. Jeżeli l1 = 2 − 1 − q (l1 = n+1 − n2 + 1 − q), 2 gdzie 1 6 q 6 n, wystarczy usunąć q pętli z otrzymanej powyżej drogi. Ostan tecznie, jeżeli l1 6 2 − 2 (l1 6 n2 − n2 ) oraz l1 > 4, najpierw znajdujemy drogę zamkniętą A długości l1 − 1 w Kn na podstawie twierdzenia 2.1.1. Na podstawie spójności Kn , musi istnieć krawędź uv ∈ E(Kn ), która nie 1 Program c pakowalnosc grafu G.exe wraz z kodem źródłowym oraz innymi niezbędnymi plikami dołączone są do niniejszej rozprawy na płycie CD - patrz ..\lasy liniowe\Pakowanie c\..

(19) 2.1 Lasy liniowe. 19. należy do tej drogi, a której wierzchołek u leży na drodze A. Doklejając tę krawędź do A otrzymujemy drogę otwartą długości l1 . Jeżeli l1 6 3, teza jest oczywista. Niech zatem p > 2 oraz l0 := l1 + l2 − 2. Ponieważ l1 > 2, to l0 > 1. Załóżmy najpierw, że suma długości ścieżek jest stosunkowo mała, tak by p−1 ścieżek długości l0 , l3 , l4 , . . . , lp spełniało założenia twierdzenia dla Mn−2 . S Wówczas pakujemy Pl0 +1 ∪ pi=3 Pli +1 w Mn−2 (Mn z usuniętymi dwoma wierzchołkami, powiedzmy a i b) z indukcji. Niech u i v będą końcami drogi długości l0 w Mn−2 i niech u0 będzie takim wierzchołkiem tej drogi, że odległość wzdłuż tej drogi między u a u0 wynosi l1 − 1 (więc odległość wzdłuż tej drogi między v a u0 jest równa l2 − 1), patrz rys. 2.2. Wówczas, doklejając kra-. Rysunek 2.2: Pakowanie w Mn dla „małej” sumy długości ścieżek. wędź u0 a do części tej drogi pomiędzy u a u0 , otrzymujemy drogę długości l1 o końcach u, a, a doklejając krawędź bu0 do reszty drogi długości l0 , otrzymujemy drogę długości l2 o końcach v, b. W ten sposób uzyskujemy pożądane pakowanie. Załóżmy więc teraz, że suma długości ścieżek jest stosunkowo duża, tak by długości l0 , l3 , l4 , . . . , lp nie spełniały założeń twierdzenia dla Mn−2 (n > 10). Wówczas jednak łatwo można sprawdzić, że długość przynajmniej jednej ścieżki, l1 , l2 , . . . , lp−1 lub lp , musi przekraczać 7, więc l1 > 8 oraz l0 − 6 > 1. Pomniejszmy najpierw l0 o 6, jeżeli n jest nieparzyste, lub o 5, gdy n jest parzyste. Następnie kontynuujmy zmniejszanie li , i > 3, oraz tego co zostało z l0 o wielokrotności czwórki, aż zredukujemy wszystkie te długości do co najwyżej 4 lub aż zmniejszymy te długości w sumie (wliczając początkową redukcję o 6 lub 5) o 2n−4, jeżeli n jest nieparzyste, lub o 2n−3, jeżeli n jest parzyste. Oznaczmy te zredukowane długości przez l00 , l30 , . . . , lp0 (li0 > 1). Wówczas suma ścieżek o tych długościach spełnia założenia twierdzenia dla Mn−2 (skoro mamy teraz p − 1 ścieżek, r pozostaje niezmienione). Wynika to z faktu, że n > 10 i albo ścieżki są długości co najwyżej 4, albo suma ich długości jest mniejsza od sumy długości ich oryginalnych odpowiedników, l1 + . . . + lp , (spełniających założenia twierdzenia dla Mn ) o 2n − 2, jeżeli n jest nieparzyste, lub o 2n − 1, jeżeli n jest parzyste. Możemy zatem.

(20) 2.1 Lasy liniowe. 20. spakować graf Pl00 +1 ∪ pi=3 Pli0 +1 w Mn−2 z indukcji. Załóżmy, że graf Mn−2 został stworzony z grafu Mn poprzez usunięcie wierzchołków a oraz b i niech droga długości l00 ma końce u i v w Mn−2 . Ustalmy wierzchołek u0 , który jest w odległości co najwyżej l1 − 6 od u i w odległości nie większej niż l2 − 1 od v wzdłuż tej drogi, oraz którego owa odległość od v przystaje do (l2 −1) mod 2. Jest to możliwe, gdyż l00 6 (l1 − 6) + (l2 − 1) oraz l00 > 1. Następnie użyjemy wszystkich (poza ab, jeżeli n jest nieparzyste) krawędzi (i pętli) incydentnych z a lub b, by uzupełnić drogi tak, aby stanowiły poszukiwane pakowanie. Na początek dla każdej ścieżki Pli +1 , i > 3, której długość została zredukowana, ustalmy koniec vi drogi długości li0 w Mn−2 , różny od u0 . Następnie, l −l0 −2 dla kolejnych z tych ścieżek, wybierzmy dla każdej ki := i 2i (czyli nieparzystą liczbę) różnych ścieżek długości 2 postaci axij b, j = 1, . . . , ki , gdzie wierzchołek xij ∈ V (Mn−2 ) jest różny od u0 i wszystkich vi , patrz rys. 2.3. Łącząc te ścieżki z krawędziami vi a, vi b oraz drogami długości li0 otrzymuS. Rysunek 2.3: Pakowanie w Mn dla „dużej” sumy długości ścieżek. jemy drogi długości li w Mn z tymi samymi końcami co odpowiadające im drogi długości li0 w Mn−2 , i > 3. Teraz wystarczy skonstruować w Mn drogi odpowiadające ścieżkom Pl1 +1 i Pl2 +1 . Drogę długości l2 tworzymy sklejając część drogi długości l00 pomiędzy v a u0 z krawędzią u0 a i z odpowiednią liczbą pozostałych ścieżek długości 2 pomiędzy a i b. Otrzymana droga ma końce v oraz a lub b. Podobnie konstruujemy drogę długości l1 , sklejając kolejno część drogi długości l00 pomiędzy u a u0 z krawędzią u0 b, następnie z pętlą przy b, jedną z pozostałych ścieżek długości 2 pomiędzy a i b, pętlą przy a oraz odpowiednią liczbą pozostałych ścieżek długości 2 pomiędzy a i b. Jeżeli n jest parzyste, doklejamy dodatkowo na końcu krawędź ab do tej drogi. W konsekwencji, otrzymana droga długości l1 ma końce u oraz a lub b, różne (ponieważ l2 + l1 = l00 + 1 + 7 + 4t, jeżeli n jest nieparzyste, lub l2 + l1 = l00 + 1 + 6 + 4t w przeciwnym wypadku, t > 0) od końców drogi.

(21) 2.1 Lasy liniowe. 21. długości l2 . Zauważmy, że jeżeli G = pi=1 Pli +2 , gdzie L = pi=1 li , nierówność (2.1) przyjmuje dla d = 1 postać: k > 2p. Oznacza to zatem konieczność użycia przynajmniej tylu kolorów, ile jest końców ścieżek. Analogicznie, ponieważ w G jest dokładnie L wierzchołków stopnia 2, otrzymujemy z nierówności (2.1): k+1 > L dla d = 2. Na podstawie (∗) wykazaliśmy zatem poprzez twier2 dzenie 2.1.2, że hipoteza 2.0.1 jest prawdziwa dla lasów liniowych. S. P. Wniosek 2.1.3 (Cichacz, Przybyło [25]) Niech G będzie wierzchołkowo rozłączną sumą ścieżek długości przynajmniej 2. Niech k będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że n1 (G) 6 k oraz n2 (G) 6 k+1 . Wówczas c(G) = k lub 2 k + 1.. 2.1.3. Kolorowanie krawędzi rozróżniające punkty. Załóżmy ponownie, iż graf G = Pl1 +2 ∪ . . . ∪ Plp +2 , gdzie L = pi=1 li , jest sumą p ścieżek długości przynajmniej 2. Przyjmując kolejno d = 1 orazd =2 w powyższej nierówności (2.2), otrzymujemy: 2p 6 k i |G| = 2p + L 6 k+1 . 2 Następujące twierdzenie o pakowaniu rozwiązuje na podstawie (∗) oraz (∗∗) problem rozróżniającego punkty indeksu chromatycznego w przypadku lasów liniowych. P. Twierdzenie 2.1.4 (Cichacz, Przybyło [25]) Następujące warunki są koS nieczne i wystarczające, by istniało pakowanie grafu pi=1 Pli +1 , li > 1, przyporządkowujące końcom ścieżek Pli +1 różne wierzchołki w Mn , takie, że pętle przy obrazach końców tych ścieżek nie należą do obrazu pakowania: (1◦ ) L = ◦. (2 ) L 6 ◦. (3 ) L 6. . n lub L 2 n+1 − 2r 2 n+1 −p 2. 6. n 2. − 3,. jeżeli r = 0,. − 2p,. jeżeli r (lub n) jest parzyste (r > 0),. − 2p,. jeżeli r (lub n) jest nieparzyste,. gdzie n = 2p + r, r > 0, oraz L = zawsze wystarczy.. Pp. i=1 li .. W szczególności, L 6. n 2. − 2p. Dowód. Twierdzenie to nie wynika bezpośrednio z twierdzenia 2.1.2. Wystarczy jednak dokonać pewnych modyfikacji w dowodzie twierdzenia 2.1.2,.

(22) 2.2 Grafy 2-regularne. 22. by uzyskać sformułowany powyżej rezultat. W prezentowanym rozumowaniu ograniczymy się zatem do nakreślenia tych zmian. Przypadki dla n 6 9 zostały ponownie zweryfikowane za pomocą programu komputerowego2 napisanego w tym celu przez autora rozprawy. Załóżmy zatem, że n > 10. Konieczność warunków może być potwierdzona przez niemal identyczne rozumowanie jak to w dowodzie twierdzenia 2.1.2. Dodatkowy czynnik „−2p” w powyższych nierównościach (2◦ ) i (3◦ ) odpowiada 2p pętlom, które nie mogą występować w obrazie pakowania, patrz (∗∗), podczas gdy dla r = 0 n n+1 (zatem n = 2p i 2 = 2 − 2p) potrzebujemy usunąć przynajmniej trzy lub żadnej krawędzi (nie będącej pętlą) z grafu Mn , aby wszystkie wierzchołki miały nieparzyste stopnie w otrzymanym obrazie pakowania. Jeżeli chodzi o wystarczalność sformułowanych warunków, dla p = 1 usuwamy jedynie dwie pętle na końcach drogi długości l1 = n+1 − 1 2 . . (l1 = n+1 − n2 +1, jeżeli n jest parzyste) opisanej na początku odpowiedniego 2 akapitu. Reszta pozostaje (prawie) taka sama. Niech więc p > 2. Jeżeli ścieżki długości l0 , l3 , l4 , . . . , lp spełniają założenia twierdzenia dla Mn−2 , dowód się nie zmienia. Załóżmy zatem, że tak nie jest. Główna różnica w pozostałej części argumentacji polega na tym, że początkowo redukujemy l0 o 4 (zamiast o 6), jeżeli n jest nieparzyste, lub o 3 (zamiast o 5), jeżeli n jest parzyste (wystarczy, że l1 > 6). Analogicznie, redukujemy długości ścieżek w sumie o nie więcej niż 2n − 6 (zamiast 2n − 4), jeżeli n jest nieparzyste, lub 2n − 5 (zamiast 2n − 3), jeżeli n jest parzyste. Następnie, ustalając wierzchołek u0 na drodze długości l00 , wymagamy by jego odległość wzdłuż drogi od u nie przekraczała l1 − 4 (zamiast l1 − 6). Ostatecznie, konstruując na końcu dowodu drogę długości l1 , pomijamy pętle przy a i b. Wniosek 2.1.5 (Cichacz, Przybyło [25]) Niech G będzie wierzchołkowo rozłączną sumą ścieżek długości przynajmniej 2. Niech k będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że n1 (G) 6 k oraz n1 (G) + n2 (G) 6 k + k2 . Wówczas χ0 (G) = k lub k + 1.. 2.2. Grafy 2-regularne. Zajmiemy się teraz grafami dwuregularnymi, czyli grafami postaci G = Ca1 ∪ . . . ∪ Cap , gdzie Cai są (wierzchołkowo) rozłącznymi cyklami od2. Program chi 0 pakowalnosc grafu G.exe wraz z kodem źródłowym oraz innymi niezbędnymi plikami dołączone są do niniejszej rozprawy na płycie CD - patrz ..\lasy liniowe\Pakowanie chi 0\..

(23) 2.2 Grafy 2-regularne. 23. powiednich długości. Ponieważ w tym przypadku wartości parametrów c(G) oraz χ0 (G) pokrywają się, skupimy się na wyznaczaniu pierwszego z nich. Problem ten pojawia się już w pracy [4] Aignera i Triescha. Autorzy rozwiązują go jednak jedynie w przypadku, gdy wszystkie cykle są długości 3. Dla cykli długości 4 z kolei, dokładne rozwiązanie osiągają jedynie dla przypadków, gdy jest ich co najwyżej 17, a następnie formułują przypuszczenie, iż (także) dla dowolnie dużo licznej sumy takich cykli parametr c(G) równy jest pewnemu naturalnemu ograniczeniu od dołu. Między innymi potwierdzenie tego faktu wynika z głównego wyniku przedstawionego w tym podrozdziale (tw. 2.2.15). W przypadku ogólnym następujące ograniczenie górne zostało w kolejnej pracy ustalone przez Aignera, Triescha i Tuzę.. Twierdzenie 2.2.1 (Aigner, Triesch, Tuza [6]) Niech G = Ca1 ∪ . . . ∪ Cap P będzie grafem 2-regularnym rzędu n = pi=1 ai . Wówczas 9 √ c(G) 6 √ n. 2. Zostało ono następnie poprawione przez Wittmanna.. Twierdzenie 2.2.2 (Wittman [55]) Niech G = Ca1 ∪. . .∪Cap będzie grafem P 2-regularnym rzędu n = pi=1 ai . Wówczas √ c(G) 6 2n + O(1).. Ten wynik jest najlepszym możliwym rezultatem, pomijając stałą addytywną. My wyznaczymy dokładną wartość parametru c(G) w przypadku, gdy G jest grafem dwuregularnym parzystym, czyli składa się wyłącznie z cykli parzystych (o parzystej długości). Zweryfikujemy tym samym prawdziwość hipotezy Burris i Schelpa dla tej rodziny grafów. Należy tu też wspomnieć, iż analogiczny problem dla grafów 2-regularnych (niekoniecznie parzystych) rozważany był także ze względu na parametr χ0s (G), a jego rozwiązanie wynika z cytowanego już wcześniej twierdzenia 2.1.1, które Balister udowodnił w 2001 roku w niemal 40-stronicowej pracy [10]..

(24) 2.2 Grafy 2-regularne. 2.2.1. 24. Kolorowanie, a dekompozycje. Niech G = Ca1 ∪ . . . ∪ Cap będzie grafem dwuregularnym parzystym, zatem ai są parzyste i ai > 4. Zauważmy, iż w tym przypadku L(G) ' G. Rozumując zatem analogicznie (patrz też [4]) jak dla lasów liniowych, wartość parametru c(G) jest dla graf ów dwuregularnych równa najmniejszemu n, dla którego istnieje pakowanie graf u G w graf Mn .. (∗ ∗ ∗). Zauważmy, że obrazem cyklu parzystego w grafie Mn jest parzysta droga zamknięta. Obrazem pakowania grafu 2-regularnego parzystego będzie zatem graf eulerowski (lub suma grafów eulerowskich) parzystego rozmiaru. Niech zatem dla n > 3, • Ln oznacza największy (względem rozmiaru) eulerowski podgraf grafu Mn o rozmiarze parzystym. Podobnie jak dla sum ścieżek, wykażemy, że odpowiednie pakowanie w Mn istnieje, jeżeli tylko spełnione są (pewne) warunki konieczne, czyli jeżeli suma długości cykli, a1 + . . . + ap , nie przekracza rozmiaru grafu Ln . Okaże się, iż w tym celu wystarczy jedynie przeanalizować odpowiednie zagadnienie dotyczące dekompozycji grafu Ln oraz pewnego eulerowskiego podgrafu grafu Mn o rozmiarze kLn k − 2 na parzyste drogi zamknięte. Zdefiniujmy więc • L0n jako Ln z usuniętymi dwiema pętlami przy dwóch niesąsiednich wierzchołkach, jeżeli takie istnieją, lub przy dwóch dowolnych wierzchołkach w przeciwnym razie (na podstawie definicji grafu Ln muszą w nim występować pętle, gdyż ich obecność lub brak nie wpływa na parzystość stopnia wierzchołka). Powiemy, że graf G0 może być (krawędziowo rozłącznie) zdekomponowany lub że jest dekomponowalny (rozkładalny) na drogi zamknięte długości a1 , . . . , ap , jeżeli w G0 istnieją krawędziowo rozłączne podgrafy eulerowskie A1 , . . . , Ap rozmiaru odpowiednio a1 , . . . , ap , których sklejenie (suma) jest równa grafowi G0 . W poniższych rozważaniach ciąg τ = (a1 , . . . , ap ), ai > 4, ai - parzyste, nazywać będziemy dopuszczalnym dla grafu G0 , jeżeli a1 + . . . + ap = kG0 k. Ponadto, jeżeli graf G0 może być zdekomponowany na drogi zamknięte A1 , . . . , Ap długości odpowiednio a1 , . . . , ap , wówczas ciąg τ będziemy nazywać ciągiem realizowalnym w G0 , a ciąg (A1 , . . . , Ap ) będzie nosił nazwę G0 -realizacji ciągu τ lub realizacji ciągu τ w G0 . Wówczas drogę zamkniętą Ai nazywać będziemy realizacją ai w G0 . Należy zaznaczyć, iż.

(25) 2.2 Grafy 2-regularne. 25. jeżeli tylko nie jest to podkreślone, nie wymagamy by ciąg τ był monotoniczny, natomiast zwyczajowo będziemy utożsamiać ciągi składające się z tej samej liczby odpowiednich elementów, czyli permutacje tego samego ciągu. Powiemy także, że graf G0 jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte parzystych długości, jeżeli każdy ciąg dopuszczalny dla G0 jest w nim także realizowalny. Poniższa obserwacja dowodzi, iż wystarczy się zająć problemem dowolnej rozkładalności grafów Ln oraz L0n , aby wykazać, że oczywisty warunek konieczny jest także wystarczający dla istnienia pakowania grafu G w Mn . Obserwacja 2.2.3 Niech G = Ca1 ∪ . . . ∪ Cap będzie grafem dwuregularnym parzystym takim, że a1 + . . . + ap 6 kLn k. Jeżeli grafy Ln oraz L0n są dowolnie rozkładalne na drogi zamknięte parzystych długości, wówczas istnieje pakowanie grafu G w graf Mn . Dowód. Niech l = a1 + . . . + ap . Jeżeli l = kLn k lub l = kL0n k, wówczas ciąg τ = (a1 , . . . , ap ) jest realizowalny odpowiednio w grafie Ln lub L0n na podstawie ich dowolnej rozkładalności. W przeciwnym wypadku, czyli gdy l 6 kLn k − 4, analogicznie istnieje realizacja ciągu τ 0 = (a1 , . . . , ap , kLn k − l) w Ln . Ponieważ Ln oraz L0n są podgrafami grafu Mn , otrzymujemy poszukiwane pakowanie.. W kolejnych dwóch podrozdziałach zajmujemy się więc zagadnieniem dekompozycji grafów. Poniższe twierdzenia znajdą zastosowanie w naszym rozumowaniu. Twierdzenie 2.2.4 (Horˇ nák, Woźniak [40]) Jeżeli a, b są parzystymi liczP bami naturalnymi, pi=1 ai = a·b, i istnieją w Ka,b drogi zamknięte długości ai dla i = 1, . . . , p, wówczas Ka,b może być zdekomponowany na drogi zamknięte długości a1 , a2 , . . . , ap . Zwróćmy uwagę, że K2,b zawiera wyłącznie drogi zamknięte długości 4i, gdzie i = 1, 2, . . . , 2b , podczas gdy Ka,b , dla a, b > 4, zawiera drogi zamknięte długości 2j, gdzie j = 2, 3, . . . , ab−4 , ab , patrz [40]. 2 2 Twierdzenie 2.2.5 (Chou, Fu, Huang [23]) Graf G może być zdekomponowany na p kopii cyklu C4 , q kopii cyklu C6 i r kopii cyklu C8 dla każdej.

(26) 2.2 Grafy 2-regularne. 26. trójki p, q, r liczb naturalnych takich, że 4p + 6q + 8r = kGk, w następujących dwóch przypadkach: 1. G = Ka,b , jeżeli a > 4, b > 6 i a, b są parzyste. 2. G = Ka,a − I, jeżeli a jest nieparzyste, a I oznacza skojarzenie pełne w Ka,a .. Zauważmy, że jeżeli n jest liczbą parzystą, wówczas, zgodnie z definicją, Ln jest po prostu grafem, który powstaje z Kn po usunięciu skojarzenia pełnego i dołączeniu pojedynczej pętli do każdego wierzchołka, natomiast L0n powstaje z Ln przez usunięcie pętli przy dwóch niesąsiednich wierzchołkach, patrz rys. 2.4. Pierwszą część rozwiązania postawionego powyżej problemu stanowi następujące twierdzenie. Twierdzenie 2.2.6 (Cichacz, Przybyło, Woźniak [26]) Grafy Ln i L0n dla parzystych n są dowolnie rozkładalne na drogi zamknięte parzystych długości, poza n = 4 (i τ = (4, 4)). Nie będziemy jednak przedstawiać dowodu tego twierdzenia, który można znaleźć w [26]. Zastosowane w nim rozumowanie jest natomiast podobne do rozważań przedstawionych w następnym podrozdziale (dotyczących przypadku dla nieparzystego n), a samo twierdzenie stanowi w gruncie rzeczy specyficzny podprzypadek twierdzenia 2.2.7 z podrozdziału 2.2.2 (choć należy zaznaczyć, iż przy jego dowodzeniu korzystamy ze znajomości twierdzenia 2.2.6). Powyższe twierdzenie 2.2.6 zawęża jednocześnie nasze rozważania do grafów Ln i L0n o n nieparzystych. Zauważmy, że dla takich n graf Ln jest równy grafowi Mn , jeżeli n ≡ 3(mod 4), lub grafowi Mn z usuniętą jedną pętlą w pozostałych przypadkach. Graf L0n powstaje z kolei z Ln poprzez usunięcie dowolnej pary pętli, patrz rys. 2.4. W celu wykazania, iż grafy Ln oraz L0n (n - nieparzyste) są dowolnie rozkładalne na drogi zamknięte parzystych długości, udowodnimy najpierw ten fakt dla innej rodziny grafów, opisanej w następnym podrozdziale.. 2.2.2. Dekompozycja grafów z rodziny Lm n. Niech dla parzystych liczb m, n, 0 6 m 6 n, zbiór.

(27) 2.2 Grafy 2-regularne. 27. Rysunek 2.4: Przykłady grafów Ln i L0n .. • Lm n oznacza rodzinę wszystkich grafów, jakie możemy otrzymać z Kn poprzez usunięcie pełnego skojarzenia oraz dołączenie pojedynczych pętli do m jego wierzchołków. Zauważmy, że Ln ∈ Lnn , a ponadto (z dokładnością do izomorfizmu) jest jedynym reprezentantem tej rodziny. Podobnie Kn po usunięciu pełnego skojarzenia jest jedynym przedstawicielem rodziny L0n . W pozostałych przypadkach jednak (2 6 m 6 n − 2) istnieje więcej nieizomorficznych reprezentantów danej rodziny. Od teraz zatem pisząc Lm n , będziemy zazwyczaj mieli na myśli m dowolnego reprezentanta rodziny Ln . Ten podrozdział poświęcony jest udowodnieniu następującego uogólnienia (rozszerzenia) twierdzenia 2.2.6. Twierdzenie 2.2.7 (Cichacz, Przybyło, Woźniak [27]) Niech m, n będą dom wolnymi liczbami parzystymi, 0 6 m 6 n. Każdy graf Lm n ∈ Ln jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte parzystych długości, poza przypadkiem n = 4 i m = 4. Zanim jednak przedstawimy dowód powyższego twierdzenia 2.2.7, będziemy potrzebowali jeszcze kilku definicji i lematów. Niech zatem x będzie dowolnym wierzchołkiem grafu Lm n (m, n - parzyste). Jedyny wierzchołek tego grafu nie będący sąsiadem wierzchołka x będziemy oznaczać przez x0 , więc (x0 )0 = x. Powiemy, że x jest typu pierwszego, jeżeli ani przy x, ani przy x0 nie ma pętli, oraz że jest typu trzeciego, jeżeli przy obu tych wierzchołkach występują pętle. Analogicznie, x jest typu drugiego lub czwartego, jeżeli odpowiednio tylko przy x0 lub tylko przy x jest pętla. W każdym z przypadków będziemy odpowiednio oznaczać t(x) = i, gdzie i = 1, 3, 2, 4, patrz rysunek 2.5. Łatwo zauważyć, że typ wierzchołka x0 wyznaczony jest jednoznacznie przez typ wierzchołka x i odwrotnie, gdyż t(x) = 1 = t(x0 ) lub t(x) = 3 = t(x0 ) lub {t(x), t(x0 )} = {2, 4}..

(28) 2.2 Grafy 2-regularne. 28. Rysunek 2.5: Typy wierzchołka x.. Ponieważ dla m = 0 twierdzenie 2.2.7 wynika z twierdzenia 2.1.1, a dla m = n z twierdzenia 2.2.6, wystarczy że rozpatrzymy przypadek, gdy 2 6 m 6 n − 2. Wówczas jednak graf Lm n zawiera indukowany podgraf izomorficzny z H1 lub H2 z rysunku 2.6. Wynika to z faktu, że muszą wtedy istnieć wierzchołki x, x0 , y, y 0 ∈ V (Lm n ) takie, że t(x) = t(y) = 2 lub t(x) = 1 i t(y) = 3. Zauważmy, że H1 i H2 są jedynymi (z dokładnością do izo-. Rysunek 2.6: H1 i H2 . morfizmu) reprezentantami rodziny L24 . Możemy zatem stwierdzić, że istm−2 nieją L24 ∈ L24 (L24 ' H1 lub L24 ' H2 ) oraz Lm−2 n−4 ∈ Ln−4 takie, że m−2 2 Lm n = (L4 .K4,n−4 ).Ln−4 . Oznaczmy więc przez • Rn rodzinę grafów postaci L24 .K4,n−4 , gdzie zbiór wierzchołków grafu L24 ∈ L24 pokrywa się ze zbiorem podziału rozmiaru 4 w grafie K4,n−4 . Dowolnego przedstawiciela tej rodziny oznaczać będziemy przez Rn , patrz rysunek 2.7. Ogólna idea naszego indukcyjnego dowodu twierdzenia 2.2.7 polega na 0 00 przedstawieniu wyjściowego grafu G = Lm n jako sumy (sklejenia) G .G dwóch grafów oraz podziale danego dopuszczalnego ciągu τ = (a1 , . . . , ap ) na dwa ciągi τ 0 = (a1 , . . . , ai ), τ 00 = (ai+1 , . . . , ap ), dopuszczalne odpowiednio dla G0 , G00 , a następnie dekompozycji każdego z dwóch grafów z osobna. W tym celu, skoro 2 6 m 6 n − 2, możemy przyjąć G0 = Rn i G00 = Lm−2 n−4 . Jeżeli dodatkowo m > 4, wówczas możemy też podstawić G0 = Rn .L2 i G00 = Lm−4 n−4 ,.

(29) 2.2 Grafy 2-regularne. 29. m−2 m−4 Rysunek 2.7: Lm n jako Rn .Ln−4 oraz jako (Rn .L2 ).Ln−4 .. gdzie Rn .L2 oznacza graf otrzymany z Rn ∈ Rn przez doklejenie pojedynczych pętli do dwóch wierzchołków ze zbioru podziału rozmiaru n−4 w grafie K4,n−4 tworzącym Rn . Wówczas dekomponujemy G00 na podstawie indukcji, a G0 na podstawie jednego z dwóch poniższych lematów. Nie zawsze jednak możemy podzielić τ na τ 0 i τ 00 w opisany sposób. Wówczas rozdzielamy jedną z liczb ai = a0i + a00i i szukamy realizacji ciągów τ10 = (a1 , . . . , ai−1 , a0i ) i τ100 = (a00i , ai+1 , . . . , ap ) odpowiednio w G0 i G00 , a na końcu sklejamy drogi zamknięte długości a0i i a00i , by stworzyć drogę zamkniętą długości ai . To jest z kolei możliwe, jeżeli droga zamknięta długości a0i zawiera przynajmniej jeden wierzchołek ze zbioru podziału rozmiaru n−4 w grafie K4,n−4 tworzącym Rn , patrz rysunek 2.7. Przez ar11 · ar22 · . . . · arss będziemy w skrócie oznaczać ciąg (a1 , . . . , a1 , |. {z r1. }. a2 , . . . , a2 , . . . , as , . . . , as ). Ponadto, jeżeli ri = 1 dla jakiegoś i, wówczas bę|. {z r2. }. |. {z rs. }. dziemy opuszczać ri w tej skróconej notacji. Lemat 2.2.8 (Cichacz, Przybyło, Woźniak [27]) Każdy graf Rn ∈ Rn , gdzie n > 8, jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte parzystych długości. Ponadto, jeżeli τ = (a1 , . . . , ap ) jest ciągiem dopuszczalnym dla Rn i aj ∈ / {4, 8} lub aj1 , aj2 = 8 dla pewnych j, j1 , j2 > 1 (j1 6= j2 ), wówczas istnieje taka Rn − realizacja ciągu τ , że droga zamknięta długości a1 zawiera się w grafie K4,n−4 tworzącym Rn . Dowód. Niech τ = (a1 , . . . , ap ) będzie ciągiem dopuszczalnym dla Rn i niech al będzie elementem tego ciągu różnym od 4 i 8 o możliwie największym indeksie. Taki element musi istnieć, gdyż kRn k ≡ 2 (mod 4). Na podstawie twierdzenia 2.2.4, możemy znaleźć realizację ciągu τ1 = (a1 , a2 , . . . , al −.

(30) 2.2 Grafy 2-regularne. 30. 6, . . . , ap ) w K4,n−4 (w szczególności al − 6 może być równe 0). Wówczas, sklejając drogę zamkniętą długości al − 6 z L24 , otrzymujemy realizację ciągu τ w Rn , zatem każdy ciąg dopuszczalny jest także realizowalny w Rn . Ponadto, jeżeli tylko l > 1, co zachodzi gdy istnieje aj ∈ / {4, 8}, j > 1, wówczas droga zamknięta długości a1 zawiera się w grafie K4,n−4 tworzącym Rn . Aby natomiast osiągnąć analogiczny efekt w przypadku, gdy (bez straty ogólności) a2 = a3 = 8, najpierw znajdujemy realizację ciągu τ2 = (a1 , a2 − 2, a3 − 4, a4 , . . . , ap ) w K4,n−4 na podstawie twierdzenia 2.2.4, a następnie sklejamy (po ewentualnej permutacji wierzchołków grafu K4,n−4 ) drogę zamkniętą długości a2 −2 z dwiema pętlami z L24 , a drogę zamkniętą długości a3 − 4 z resztą grafu L24 .. Zauważmy, iż na podstawie powyższego lematu, jeżeli τ = (a1 , . . . , ap ) jest ciągiem dopuszczalnym dla Rn , n > 8, i aj ∈ / {4, 8} lub aj1 , aj2 = 8 dla pewnych j, j1 , j2 > 1 (j1 6= j2 ), wówczas istnieje taka Rn -realizacja ciągu τ , że droga zamknięta długości a1 zawiera przynajmniej jeden wierzchołek ze zbioru podziału rozmiaru n − 4 w grafie K4,n−4 tworzącym Rn . Ponieważ kL24 k = 6, jest tak także w oczywisty sposób, gdy a1 > 8.. Lemat 2.2.9 (Cichacz, Przybyło, Woźniak [27]) Jeżeli τ = (a1 , . . . , ap ) jest ciągiem dopuszczalnym dla G = Rn .L2 , gdzie Rn ∈ Rn i n > 8, wówczas τ jest także G-realizowalny, chyba że τ = 4r dla jakiegoś r ∈ N. Dowód. Jeżeli jakiś element ciągu τ , powiedzmy a1 , jest większy bądź równy 12, wówczas znajdujemy realizację ciągu τ1 = (a1 − 8, a2 , . . . , ap ) w K4,n−4 na podstawie twierdzenia 2.2.4, a następnie sklejamy drogę zamkniętą długości a1 − 8 z L24 oraz L2 . Analogicznie, jeżeli istnieją dwa elementy ciągu τ , powiedzmy a1 , a2 , które nie są podzielne przez 4, wówczas znajdujemy realizację ciągu τ2 = (a1 − 2, a2 − 6, a3 , . . . , ap ) w K4,n−4 , a następnie sklejamy drogę zamkniętą długości a1 − 2 z dwiema pętlami L2 , a drogę zamkniętą długości a2 − 6 z L24 . W obu przypadkach konieczna może być permutacja wierzchołków grafu K4,n−4 . Ponieważ kGk ≡ 0 (mod 4), możemy zatem założyć, że aj ∈ {4, 8} dla wszystkich j oraz a1 = 8 (ponieważ τ 6= 4r ). Wówczas znajdujemy realizację ciągu τ3 = (a1 − 4, a2 − 4, a3 , . . . , ap ) w K4,n−4 na podstawie twierdzenia 2.2.4 (w szczególności możemy otrzymać a2 − 4 = 0), a następnie sklejamy drogę zamkniętą długości a1 − 4 z L2 oraz dwiema pętlami z L24 , a drogę zamkniętą długości a2 − 4 z tym co zostanie z L24 . Ponownie konieczna może być permutacja wierzchołków w grafie K4,n−4 ..

(31) 2.2 Grafy 2-regularne. 31. Dowód twierdzenia 2.2.7. Przypadki dla n 6 10 zostały sprawdzone za pomocą stworzonego przez autora rozprawy programu komputerowego3 . Zakładamy zatem, że n > 12, n > m > 0, m, n - parzyste, i dowodzimy twierdzenie przez indukcję ze względu na n. m Niech G = Lm n , G = (V, E), będzie dowolnym grafem z rodziny Ln i niech τ = (a1 , . . . , ap ) będzie ciągiem dopuszczalnym dla G. Ponieważ przypadki m = 0 i m = n wynikają z twierdzeń 2.1.1 oraz 2.2.6, możemy założyć, że 2 6 m 6 n − 2. Oznaczmy si := a1 + a2 + . . . + ai dla i = 1, . . . , p (s0 := 0). Załóżmy najpierw, że τ = 4p . Jeżeli istnieje wierzchołek x ∈ V taki, że m m t(x) = 1, wówczas G = K2,n−2 .Lm n−2 dla pewnego grafu Ln−2 ∈ Ln−2 , gdzie jeden ze zbiorów podziału w grafie K2,n−2 jest równy {x, x0 }. Możemy zatem zdekomponować oddzielnie grafy K2,n−2 i Lm n−2 na drogi zamknięte długości 4 na podstawie odpowiednio twierdzenia 2.2.4 i indukcji. Załóżmy więc, że nie istnieje w grafie G wierzchołek typu pierwszego, zatem m > n2 . Wówczas, ponieważ m jest liczbą parzystą nie większą niż n − 2, albo istnieją wierzchołki x, y, z ∈ V takie, że t(x) = 3 i t(y) = 2 = t(z), albo t(u) ∈ {2, 4} dla każdego wierzchołka u ∈ V . W pierwszym przypadku, G = (L46 .K6,n−6 ).Lm−4 n−6 , gdzie V (L46 ) = {x, x0 , y, y 0 , z, z 0 }. W konsekwencji możemy zdekomponować graf K6,n−6 na drogi zamknięte długości 4 na podstawie twierdzenia 2.2.4, a pozostałe dwa grafy z indukcji. W drugim natomiast przypadku, gdy t(u) ∈ {2, 4} dla każdego u ∈ V (G), otrzymujemy m = n2 i kGk = n(n−1) . Z drugiej strony, 2 p skoro ciąg τ = 4 jest dopuszczalny dla G, to kGk ≡ 0 (mod 4). W konsekwencji n ≡ 0 (mod 8) i G = (L48 .K8,n−8 ).Lm−4 n−8 , zatem możemy jak wyżej zdekomponować te trzy grafy oddzielnie na drogi zamknięte długości 4. Od teraz zakładamy bez straty ogólności, że ciąg τ jest nierosnący, czyli a1 > a2 > . . . > ap , oraz że nie jest postaci 4p . Niech ponadto G = Rn .Lm−2 n−4 , m−2 m−2 gdzie Rn ∈ Rn , Ln−4 ∈ Ln−4 i s := kRn k. Przypadek 1: Dla jakiegoś i, si = s. Wówczas możemy znaleźć realizację ciągu τ1 = (a1 , . . . , ai ) w Rn na podstawie lematu 2.2.8, a następnie zdekomponować Lm−2 n−4 na drogi zamknięte długości ai+1 , . . . , ap na podstawie założenia indukcyjnego. 3. Program Dekomponowalnosc grafu G.exe wraz z kodem źródłowym oraz innymi niezbędnymi plikami dołączone są do niniejszej rozprawy na płycie CD - patrz ..\grafy 2-regularne\..

(32) 2.2 Grafy 2-regularne. 32. Przypadek 2: Dla jakiegoś i, si−1 6 s − 4 i si > s + 4. Niech τ2 = (a1 , . . . , ai−1 , a0i ) i τ3 = (a00i , ai+1 , . . . , ap ), gdzie a0i = s − si−1 > 4 oraz a00i = ai − a0i > 4. Skoro ai > 8 i ciąg τ jest nierosnący, to aj > 8 dla wszystkich j < i. Zatem na podstawie lematu 2.2.8 możemy znaleźć taką realizację ciągu τ2 w Rn = L24 .K4,n−4 , że droga zamknięta długości a0i zawiera przynajmniej jeden wierzchołek ze zbioru podziału rozmiaru n − 4 w grafie K4,n−4 . Ponadto, na podstawie założenia indukcyjnego możemy znaleźć realizację ciągu τ3 w grafie Lm−2 n−4 . Wówczas wystarczy dokonać odpowiedniej permutacji wierzchołków grafu K4,n−4 tak, by drogi zamknięte długości a0i i a00i łączyły się w jakimś wierzchołku, tworząc drogę zamkniętą długości ai . Przypadek 3: Dla jakiegoś i, si = s + 2. Jeżeli m > 4, to G = G1 .Lm−4 n−4 , gdzie G1 = Rn .L2 . Wówczas kG1 k = s + 2 i ciąg τ1 = (a1 , . . . , ai ) nie jest postaci 4r (ponieważ nierosnący ciąg τ nie jest takiej postaci). Możemy zatem znaleźć realizację ciągu τ1 w G1 na podstawie lematu 2.2.9 oraz realizację pozostałych elementów ciągu τ w Lm−4 n−4 z induk2 cji. Załóżmy zatem, że m = 2. Wówczas G = G2 .Ln−4 , gdzie G2 = L04 .K4,n−4 i kG2 k = si − 4. Jeżeli a1 > 12, wówczas znajdujemy realizację ciągów τ2 = (a1 − 8, a2 , . . . , ai ) i τ3 = (4, ai+1 , . . . , ap ) w K4,n−4 i L2n−4 na podstawie odpowiednio twierdzenia 2.2.4 i indukcji, a następnie sklejamy drogę zamkniętą długości a1 − 8 z podgrafem L04 oraz drogą zamkniętą długości 4 z podgrafu L2n−4 , by utworzyć drogę długości a1 . Analogicznie, jeżeli istnieją i1 , i2 6 i takie, że ai1 , ai2 6= 6, wówczas znajdujemy K4,n−4 -realizację ciągu τ1 z elementami ai1 , ai2 podmienionymi (lub usuniętymi) na ai1 − 4, ai2 − 4 oraz L2n−4 -realizację ciągu τ3 . Następnie wystarczy skleić drogi zamknięte długości ai1 − 4, ai2 − 4 odpowiednio z L04 i drogą zamkniętą długości 4 z podgrafu L2n−4 . W rezultacie możemy założyć, że τ1 = 6i lub τ1 = 8 · 6i−1 lub τ1 = 10 · 6i−1 lub τ1 = 6i−1 · 4 (zatem a2 = a3 = 6). Jeżeli tp = 4, wtedy wystarczy znaleźć realizację ciągu τ4 = (a1 , ap , a4 , . . . , ai ) w K4,n−4 na podstawie twierdzenia 2.2.4, gdyż wówczas G = (L24 .K4,n−4 ).L0n−4 , gdzie L24 jest drogą zamkniętą długości a3 , i możemy znaleźć realizację pozostałych elementów ciągu τ w L0n−4 z indukcji. Dlatego, ponieważ ciąg τ jest nierosnący, możemy założyć, że prawie wszystkie jego elementy (poza co najwyżej jednym) są równe 6. Wówczas jednak G = (L06 .K6,n−6 ).L2n−6 , gdzie L06 oraz K6,n−6 są dekomponowalne na drogi zamknięte długości 6, a istnienie L2n−6 -realizacji pozostałych elementów ciągu τ wynika z indukcji. Przypadek 4: Dla jakiegoś i, si = s − 2. Wówczas, jeżeli ap = 4, to si + ap = s + 2 i kontynuujemy dowód tak jak w przypadku 3. Możemy zatem założyć, że aj > 6 dla wszystkich j oraz si + ap > s + 4. Jeżeli ponadto a1 > ap , wówczas si − a1 + ap 6 s − 4 i postę-.

(33) 2.2 Grafy 2-regularne. 33. pujemy tak jak w przypadku 2. Pozostaje zatem rozpatrzyć przypadek, gdy τ = tr oraz t > 6. Przypadek 4.1: τ = 6p . Najpierw znajdujemy na podstawie indukcji realizację ciągu 6p−i−1 ·4 w Lm−2 n−4 , gdzie drogę zamkniętą długości 4 oznaczamy przez A01 = v1 . . . v4 v1 . Następnie znajdujemy realizację ciągu 8 · 6i−1 w Rn = L24 .K4,n−4 , przyjmując L24 za jedną drogę długości 6 i dekomponując K4,n−4 na i − 2 kopii C6 i jeden C8 na podstawie twierdzenia 2.2.5. Możemy założyć, że C8 = w1 . . . w8 w1 , gdzie w1 = v1 i w5 = v3 (wystarczy spermutować wierzchołki grafu K4,n−4 ). Sklejenie takich A01 i C8 może być wówczas łatwo zdekomponowane na dwa cykle długości 6, mianowicie w1 w2 w3 w4 w5 v4 w1 i w1 v2 w5 w6 w7 w8 w1 , patrz rysunek 2.8. W rezultacie otrzymujemy realizację ciągu 6p w G.. Rysunek 2.8: Przecinające się drogi.. Przypadek 4.2: τ = tp i t > 8. Jak wyżej, najpierw znajdujemy realizację ciągu tp−i−1 · (t − 2) w Lm−2 n−4 , gdzie A01 = v1 . . . vt−2 v1 jest drogą zamkniętą długości t−2. Następnie na podstawie lematu 2.2.8 znajdujemy taką realizację ciągu (t + 2) · ti−1 w Rn = L24 .K4,n−4 , że droga zamknięta A02 = w1 . . . wt+2 w1 długości t + 2 jest podgrafem grafu K4,n−4 (lub jest równa całemu Rn ). Ponieważ t + 2 > 10, droga A02 zawiera przynajmniej 3 wierzchołki ze zbioru podziału rozmiaru n − 4 w grafie K4,n−4 i możemy założyć, że w1 , w5 są różnymi takimi wierzchołkami. Ponadto, ponieważ możemy spermutować wierzchołki grafu K4,n−4 , załóżmy, że v1 = w1 i v3 = w5 . Wówczas sklejenie takich A01 i A02 , analogicznie jak w powyższym podprzypadku 4.1, może być zdekomponowane na dwie drogi zamknięte długości t, patrz rysunek 2.8..