Podsumowanie

Wniosek 2.2.14 (Cichacz, Przybyło, Woźniak [27]) Niech G = Ca₁ ∪ . . . ∪ C_ap będzie grafem dwuregularnym parzystym i niech k będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że n := a₁ + . . . + a_p 6 kLkk. Wówczas c(G) = k, poza jednym wyjątkiem c(C₄∪ C₄) = 5, więc G spełnia hipotezę Burris i Schelpa. Dowód. Łatwo sprawdzić, że c(G) = 5 dla G = C₄ ∪ C₄ (gdyż G można spakować w M₅, ale nie w M₄), więc hipoteza 2.0.1 jest spełniona w tym przypadku. Załóżmy zatem, że graf G nie jest izomorficzny z C4∪ C₄.

Dla dowolnego k⁰, na podstawie definicji grafu L_k0 oraz faktu, iż obrazem cyklu jest w M_k0 podgraf eulerowski parzystego rozmiaru, graf G nie może być spakowany w Mk0, jeżeli n > kLk0k. Na podstawie powyższej definicji k, graf G nie może więc być spakowany w graf M_k0 dla żadnego k⁰ < k.

Z drugiej strony, na podstawie obserwacji 2.2.3, twierdzenia 2.2.6 oraz twier-dzenia 2.2.10, G może być spakowany w Mk. Zatem k jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że istnieje pakowanie grafu G w M_k, więc na podstawie (∗∗∗),

c(G) = k.

Zauważmy, iż nierówności (2.1) z hipotezy 2.0.1 sprowadzają się w naszym przypadku do założenia ^k+1₂ ^ > n. Ponadto, kLkk = k2

2 dla k parzystego,

kL_kk = ^k+1₂ ^ dla k ≡ 3(mod 4) oraz kL_kk = ^k+1₂ ^− 1 dla k ≡ 1(mod 4).

Zatem w każdym przypadku ^k₂^ < kL_kk 6 ^k+1₂ ^, co dowodzi, iż hipoteza Burris i Schelpa jest spełniona dla każdego dwuregularnego grafu parzystego.

Powyższy wniosek możemy także sformułować w postaci odpowiadającej twierdzeniom 2.2.1 oraz 2.2.2. Poniższa jego wersja wynika jedynie z rozwią-zania nierówności n6 kLkk z uwzględnieniem parzystości k.

Twierdzenie 2.2.15 (Cichacz, Przybyło, Woźniak [27]) Niech G = C_a1 ∪ . . . ∪ C_ap będzie grafem dwuregularnym parzystym rzędu n. Wówczas c(G) =

l√

2n^m− 1, jeżeli k2

2 < n 6 ^k+1₂ ^ dla jakiegoś nieparzystego k, lub c(G) =

l√

2n^m w pozostałych przypadkach, z jednym wyjątkiem c(C4∪ C₄) = 5.

Zauważmy, że poza n = 8, gdzie c(C₄∪ C₄) = 5 i c(C₈) = 4, nieregularna liczba kolorująca grafów 2-regularnych parzystych zależy wyłącznie od rzędu grafu, a nie od jego struktury. Takich „wyjątków” jest z pewnością znacz-nie więcej w przypadku pozostałych grafów dwuregularnych, na przykład

c(C₆) = 3 i c(C₃∪ C₃) = 5, czy c(C₉) = 5 i c(C₃∪ C₃∪ C₃) = 6.

Pytanie o nieregularną liczbę kolorującą dowolnych grafów dwuregular-nych pozostaje zatem otwarte. Problemem w jej wyznaczeniu jest między innymi fakt, iż droga zamknięta długości 3 w M_n nie może zawierać pętli. Innymi słowy wszystkie krawędzie trójkąta muszą mieć różne kolory w ko-lorowaniu rozróżniającym wierzchołki. Otrzymujemy zatem dodatkowe ob-ostrzenia warunków koniecznych dla pakowania, zależne od struktury grafu. Moglibyśmy jednak założyć, iż rozważając pakowania sum cykli w grafy Mn, będziemy badać dekompozycje takich maksymalnych podgrafów eulerowskich grafów M_n, które mają nie więcej pętli, niż potencjalnie może być (w su-mie) w obrazach tych cykli. Mimo jednak na przykład, że graf L₆ jest jedy-nym eulerowskim podgrafem grafu M₆ spełniającym to założenie dla ciągu

τ = (3, 3, 6, 6) (droga zamknięta długości 6 może zawierać 3 pętle w M_n), to nie istnieje realizacja tego ciągu w grafie L₆.

Dodatkowym utrudnieniem w przypadku cykli o nieparzystej długości była dla nas zastosowana przez nas metoda dowodzenia dekomponowalności grafów Ln, L⁰_n, oparta w dużej mierze na twierdzeniu 2.2.4, dotyczącym gra-fów dwudzielnych, w których jak wiadomo istnieją jedynie drogi zamknięte długości parzystej. Wierzymy jednak, iż zastosowanie nieco innego podej-ścia do problemu pakowania, ze specjalnym uwzględnieniem cykli długości 3, pozwoli na wyznaczenie wartości omawianego parametru dla wszystkich gra-fów 2-regularnych. Spodziewać się jednak można, iż wynik, jak i jego dowód, będą znacznie bardziej złożone niż w przypadku sum cykli parzystych. Jak na razie znany jest nam tu jedynie dokładny wynik w bardzo specyficznym przypadku, gdy G jest sumą cykli wyłącznie długości 3, patrz [4].

Rozdział 3

Rozróżnianie wierzchołków

przez sumy

W tym rozdziale zajmiemy się niezmiennikiem grafowym, który można uznać za inspirację oraz wspólne źródło wszystkich parametrów omawianych w ni-niejszej pracy doktorskiej, czyli siłą nieregularności grafu. Parametr ten zo-stał zdefiniowany w 1986 roku przez Chartranda et al. [24], a artykuły po-święcone temu zagadnieniu obejmują już listę ponad 40 tytułów, np. [5, 9, 18, 24, 28, 30, 31, 32, 34, 36, 42, 46, 47, 50, 51]. Niech zatem f będzie krawę-dziowym [k]-kolorowaniem grafu (prostego) G = (V, E). Liczbę f (e), e ∈ E, nazywać będziemy kolorem krawędzi e. Z kolei wielkość

wf(v) := ^X e∈E(v)

f (e),

którą w skrócie oznaczamy przez w(v) gdy f jest ustalone, określać będziemy jako wagę lub indukowany kolor wierzchołka v ∈ V . Mówimy, że kolorowanie

f jest nieregularne, jeżeli wagi wszystkich wierzchołków są różne.

Najmniej-sze k, dla którego istnieje nieregularne [k]-kolorowanie krawędzi grafu G na-zywamy siłą nieregularności („the irregularity strength”) grafu G i ozna-czamy przez s(G). Jeżeli takie k nie istnieje, piszemy s(G) = ∞. Łatwo zauważyć, że s(G) < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy G zawiera co najwyżej jeden izolowany wierzchołek oraz nie posiada żadnych izolowanych krawędzi. Rozważmy jednak najpierw modyfikację powyższego zagadnienia, w ra-mach której interesowałoby nas ograniczenie liczby użytych kolorów, a nie największego z nich. Wówczas taki parametr równy jest właśnie nieregularnej liczbie kolorującej, rozważanej przez nas w poprzednim rozdziale. Dokładniej rzecz ujmując c(G) równe jest najmniejszej liczbie k, dla której istnieje nie-regularne kolorowanie f : E → N krawędzi grafu G takie, że |im(f )| = k. W istocie, łatwo zauważyć, że jeżeli wierzchołki mają różne wagi

induko-wane przez kolorowanie nieregularne f , wówczas to kolorowanie tym bardziej produkuje różne multipalety dla wszystkich wierzchołków. Odwrotnie, je-żeli wszystkie wierzchołki mają przyporządkowane różne multipalety przez kolorowanie krawędziowe f , to jeśli zamiast wyjściowego zbioru k kolorów użyjemy na przykład zbioru {1, n, n², . . . , n^k−1}, n = |G|, wówczas

otrzy-mane kolorowanie będzie nieregularne. Na podstawie powyższej interpretacji otrzymujemy też, że

c(G) 6 s(G).

W rzeczywistości oryginalna definicja nieregularnej liczby kolorującej,

c(G), wygląda tak jak w powyższym akapicie i została wprowadzona w [4]

jako modyfikacja problemu związanego z z siłą nieregularności grafu. Aigner i Triesch zauważyli jednocześnie, iż zagadnienie to, na podstawie równości otrzymywanych parametrów, można rozważać w konwencji odpowiednich ko-lorowań krawędzi rozróżniających multipalety kolorów wierzchołków, co wy-korzystaliśmy w rozdziale 2.

Sama siła nieregularności ma także bardzo ciekawą interpretację, moty-wowaną przez jeden z najlepiej znanych faktów w teorii grafów. Mianowicie, że każdy graf prosty rzędu co najmniej 2 musi zawierać parę wierzchołków tego samego stopnia. Z drugiej strony, istnieją multigrafy nieregularne, czyli takie, w których stopień każdego wierzchołka jest inny. Przypuśćmy więc, że chcemy zwielokrotnić krawędzie grafu G tak, by stworzyć z niego multi-graf nieregularny. Wówczas s(G) równe jest najmniejszej możliwej (spośród wszystkich otrzymanych w ten sposób multigrafów nieregularnych) maksy-malnej wielokrotności krawędzi w takim multigrafie.

Dokładna wartość tego parametru znana jest m. in. dla ścieżek, gra-fów pełnych (s(Kn) = 3 dla n > 3) [24], pełnych dwudzielnych (przykła-dowo, s(K_n,n) = 3 dla n parzystych oraz s(K_n,n) = 4 dla n nieparzystych,

n > 4) [24, 31, 36], zrównoważonych grafów pełnych wielodzielnych, cykli [31],

pewnych krat [30], czy rozłącznych sum grafów pełnych [42].

Niech G będzie grafem rzędu n. Chartrand et al. udowodnili w pierwszej pracy o sile nieregularności [24], że s(G) 6 2n−3 dla wszystkich grafów spój-nych o przynajmniej trzech wierzchołkach oraz postawili hipotezę, iż wartość tego górnego ograniczenia może być poprawiona na n − 1 dla dowolnego grafu z co najwyżej jednym izolowanym wierzchołkiem oraz bez izolowanych krawędzi poza K3. W [5] Aigner i Triesch udowodnili, że dla takich grafów

s(G) 6 n−1, jeżeli G jest spójny, oraz s(G) 6 n+1 w przeciwnym wypadku.

Ich metodę udoskonalił następnie Nierhoff, by wykazać poniższy optymalny rezultat.

Twierdzenie 3.0.1 (Nierhoff [47]) Niech G będzie grafem rzędu n z co

róż-45

nym od K₃. Wówczas

s(G) 6 n − 1.

To ograniczenie jest ostre np. dla gwiazd. Powstaje naturalne pytanie, co się dzieje, jeżeli minimalny stopień grafu jest (dużo) większy niż 1? Prosty dowód przez zliczanie, patrz [24], daje np. ograniczenie od dołu

s(G) > & n + d − 1 d ' (3.1) dla wszystkich grafów d-regularnych, d > 2. Z drugiej strony, jak można przeczytać w pracy Lehela [46], Jacobson wyraził przypuszczenie, iż ⁿ_d także „prawie” wystarczy. Formułujemy je poniżej w postaci hipotezy.

Hipoteza 3.0.2 (Lehel [46] (Jacobson)) Istnieje stała absolutna c taka,

że dla dowolnego grafu regularnego G rzędu n, s(G) 6 ⁿ

d ^{+ c,} gdzie d jest stopniem grafu G (d> 2).

Badaniem tego problemu zajęli się najpierw Faudree, Jacobson, Lehel i Schelp [31]. Kontynuację tych rozważań można znaleźć w [32], gdzie Faudree i Lehel ostatecznie udowodnili jedynie prawdziwość następującego ograniczenia.

Twierdzenie 3.0.3 (Faudree, Lehel [32]) Niech G będzie grafem

d-regular-nym, d> 2, rzędu n. Wówczas

s(G) < ⁿ

2 ^{+ 9.}

Zauważmy, iż właściwie nawet jeżeli graf nie jest regularny, ale „więk-szość” jego wierzchołków jest tego samego, powiedzmy minimalnego, stop-nia δ, wówczas musimy mieć dostępne przynajmniej około ⁿ_δ kolorów, by skonstruować kolorowanie nieregularne. Ogólne ograniczenie od dołu dla do-wolnych grafów wyraża się liczbą λ(G) := ^lmax_i6jⁿⁿi+...nj+i−1

j

om

(gdzie n_k oznacza liczbę wierzchołków stopnia k w grafie G), patrz np. [30]. Cieka-wostką jest, że dla wielu przebadanych już klas spójnych grafów prawdziwą wartością siły nieregularności okazywała się liczba λ(G) lub λ(G) + 1, co su-gerowało, że λ(G) jest w istocie z dokładnością do stałej addytywnej równe

sile nieregularności dla grafów spójnych. Zaprzeczenie tego przypuszczenia można znaleźć w pracy [18] z 2004 roku, gdzie Bohman i Kravitz wskazują rodzinę drzew, dla których λ(T ) = n₁, podczas gdy ich siła nieregularności zmierza do ¹¹⁻

√ 5 8 n₁.

Intrygujące pozostają jednak wciąż liczne problemy związane z siłą niere-gularności grafów, nie koniecznie regularnych. Poniższy, obok wielu innych, można znaleźć w przeglądowej pracy Lehela.

Problem 3.0.4 (Lehel [46]) Znajdź najmniejszą liczbę rzeczywistą α = α(d)

taką, że s(G)6 αn, jeżeli n jest dostatecznie duże, dla każdego grafu G rzędu

n nie zawierającego wierzchołków stopnia mniejszego niż d.

Podobne jak powyższe pytania oraz analogiczne ograniczenia powstają w przypadku wprowadzonej niedawno przez Baˇcę et al. [9] następującej „to-talnej” modyfikacji omawianego parametru. Niech f będzie totalnym [k]-kolorowaniem grafu G = (V, E), gdzie liczby f (e), f (v), dla e ∈ E, v ∈ V , nazywać będziemy odpowiednio kolorem krawędzi e oraz kolorem wierzchołka

v, a wielkość

t_f(v) := f (v) + ^X e∈E(v)

f (e),

(t(v) dla ustalonego f ) nosi nazwę totalnej wagi lub indukowanego totalnego

koloru wierzchołka v ∈ V , albo po prostu tak jak poprzednio wagi lub indu-kowanego koloru wierzchołka. Mówimy, że kolorowanie totalne f jest nieregu-larne, jeżeli (totalne) wagi wszystkich wierzchołków są różne. Najmniejsze k,

dla którego istnieje nieregularne totalne [k]-kolorowanie grafu G nazywamy totalną (wierzchołkową) siłą nieregularności („the total vertex

irregula-rity strength”) grafu G i oznaczamy przez tvs(G). Łatwo zauważyć, że totalna

siła nieregularności jest dobrze określona (skończona) dla wszystkich grafów. Ponadto, tvs(G)> & n + d d + 1 '

dla grafów d-regularnych, patrz [9]. W tej samej pracy autorzy udowodnili także kilka innych prostych ograniczeń. Między innymi ^l_∆+1^n+δm 6 tvs(G) 6

n + ∆ − 2δ + 1 dla wszystkich grafów i tvs(G) 6 n − 1 −^j_∆+1^n−2k dla grafów bez izolowanych wierzchołków i krawędzi. Ponadto, co łatwo zauważyć,

3.1 Niedawne wyniki i ich konsekwencje 47

W tym rozdziale udowodnimy nowe ograniczenia górne na s(G) i tvs(G), liniowe ze względu na ⁿ_δ (jak w hipotezie 3.0.2). Poprawią one zatem wy-nik Nierhoffa (tw. 3.0.1) dla grafów z δ dostatecznie dużym oraz stano-wić będą nawiązanie do powyższego problemu 3.0.4. Dla grafów regularnych stałe w otrzymanej funkcji liniowej będą znacznie lepsze niż w ogólnym przy-padku. Tym samym poprawimy (w większości przypadków) twierdzenie 3.0.3 Faudree’ego i Lehela. W następnym podrozdziale przypominamy ostatnie rezultaty dotyczące ograniczeń na s(G) i przedstawiamy ich konsekwencje dla tvs(G). Nasze główne wyniki umieszczone są w drugim podrozdziale. Ni-niejszy rozdział oparty jest na dwóch artykułach autora rozprawy [50, 51].

3.1 Niedawne wyniki i ich konsekwencje

Duży krok naprzód w badaniach nad siłą nieregularności został uczyniony w pracy [34] z 2002 roku przez Friezego, Goulda, Karońskiego i Pfendera.

Twierdzenie 3.1.1 (Frieze, Gould, Karoński, Pfender [34]) Niech G będzie

grafem rzędu n bez izolowanych wierzchołków i krawędzi.

(a) Jeżeli ∆6^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k , to s(G)6 7n(¹_δ +_∆¹), (b) Jeżeli ^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k + 16 ∆ 6^jn¹2 k , to s(G)6 60ⁿ_δ, (c) Jeżeli ∆>^jn¹2 k

+ 1, δ> d6 log ne, to s(G) 6 336(log n)ⁿ_δ.

Podobne twierdzenie, lecz z lepszymi stałymi, jest prawdziwe w przypadku grafów regularnych.

Twierdzenie 3.1.2 (Frieze, Gould, Karoński, Pfender [34]) Niech G będzie

d-regularnym grafem rzędu n bez izolowanych wierzchołków i krawędzi.

(a) Jeżeli d6^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k , to s(G)6 10ⁿ_d + 1, (b) Jeżeli ^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k + 16 d 6^jn¹2 k , to s(G)6 48ⁿ_d+ 1, (c) Jeżeli d>^jn¹2 k + 1, to s(G) 6 240(log n)ⁿ_d + 1.

Te bardzo ciekawe wyniki zostały ostatnio uzupełnione (i poprawione w przy-padku „gęstych” grafów) przez Cucklera i Lazebnika.

Twierdzenie 3.1.3 (Cuckler, Lazebnik [28]) Niech G będzie grafem rzędu

n bez izolowanych wierzchołków i krawędzi.

(a) Jeżeli δ > 10n³4 log¹4 n, to s(G) 6 48ⁿ_δ + 6.

(b) Jeżeli G jest d-regularny, d> 10⁴3n²3 log¹3 n, to s(G) 6 48ⁿ_d + 6.

Niech f będzie [k]-kolorowaniem krawędzi grafu G. By udowodnić prosty lemat, który jest kluczowy w naszych rozważaniach nad totalną siłą nieregu-larności, zdefiniujmy:

m_f := max

X⊆V (G){|X| : w_f(u) = w_f(v) dla wszystkich u, v ∈ X}.

Zauważmy, iż kolorowanie f jest nieregularne wtedy i tylko wtedy, gdy m_f = 1. Logiczną wydaje się zatem chęć skonstruowania na początek takiego kolorowania krawędziowego f , by m_f było jak najmniejsze. Wówczas grupy wierzchołków o tej samej wadze będą stosunkowo niewielkie (i nie zmieni się to, jeżeli odwzorowanie f pomnożymy przez dowolną stałą). Jedynym co nam zatem pozostanie będzie „porozrzucanie”wierzchołków z da-nej grupy (za pomocą dookreślenia ich kolorów) w ten sposób, by wszystkie one uzyskały różne totalne wagi, które jednocześnie nie będą pokrywać się z totalnymi wagami wierzchołków z pozostałych grup. Realizację tego pro-cesu stanowi poniższy lemat.

Lemat 3.1.4 (Przybyło [51]) Niech f będzie [k]-kolorowaniem krawędzi

gra-fu G, k > 2. Wówczas istnieje nieregularne totalne [(k−1)mf+1]-kolorowanie

grafu G, jeżeli G jest grafem regularnym, lub nieregularne totalne

[km_f]-kolorowanie grafu G w pozostałych przypadkach.

Dowód. Niech G = (V, E). Dla każdego wierzchołka v ∈ V oznaczmy jego

wagową klasę jako

Cv = {u ∈ V : wf(u) = wf(v)}.

Zauważmy, że |C_v| 6 mf dla każdego v. Zdefiniujmy nowe kolorowanie

g : E → {m_f, . . . , km_f}, gdzie g(e) := m_f· f (e). Teraz wystarczy zdefiniować

wartości g na V , by stworzyć zeń kolorowanie totalne. Zwróćmy najpierw uwagę, iż wagowe klasy wierzchołków dla g pozostały takie same jak dla f oraz w_g(u) − w_g(v) = 0 lub |w_g(u) − w_g(v)|> mf dla każdej pary u, v ∈ V . Dlatego dla każdej klasy wagowej, powiedzmy C = {v1, . . . , v_t} (t 6 mf), wy-starczy przyporządkować g(v_i) = i dla i = 1, . . . , t. Łatwo sprawdzić, że takie totalne kolorowanie jest nieregularne.

3.1 Niedawne wyniki i ich konsekwencje 49

Dodatkowo, jeżeli G jest grafem d-regularnym, możemy zmodyfikować

g, obniżając jego wartość g(e) o m_f − 1 dla każdego e ∈ E. W ten

spo-sób obniżymy totalną wagę każdego wierzchołka o dokładnie tyle samo, czyli o d(m_f−1), zatem otrzymamy nieregularne totalne [(k−1)m_f+1]-kolorowanie grafu G.

Analogiczna zależność nie jest tak oczywista w przypadku kolorowania sa-mych krawędzi. W pracy [34] została jednak opisana znacznie bardziej skom-plikowana konstrukcja odwzorowania g, wykorzystująca faktory grafów skła-dające się z uogólnionych k-gwiazd, dzięki której wiadomo, że „nieco” (około trzykrotnie) więcej kolorów wystarczy też w przypadku kolorowania krawę-dziowego.

Lemat 3.1.5 (Frieze, Gould, Karoński, Pfender [34]) Niech G będzie grafem

bez izolowanych wierzchołków i krawędzi, i niech f będzie [k]-kolorowaniem krawędzi grafu G. Wówczas istnieje nieregularne [(3k −1)m_f+1]-kolorowanie

krawędzi grafu G, jeżeli G jest grafem regularnym, lub nieregularne

[(3k + 1)m_f]-kolorowanie krawędzi grafu G w pozostałych przypadkach.

Twierdzenia 3.1.1 i 3.1.2 są zatem konsekwencją następujących lematów uzy-skanych w pracy [34] przy użyciu narzędzi probabilistycznych.

Lemat 3.1.6 (Frieze, Gould, Karoński, Pfender [34]) Niech G będzie grafem,

δ > 1. Jeżeli ∆ 6 (_{ln n}ⁿ )¹4, to istnieje f : E(G) → {1, 2} takie, że m_f 6 ⁿ_δ+_∆ⁿ.

Lemat 3.1.7 (Frieze, Gould, Karoński, Pfender [34]) Niech G będzie grafem,

δ > 1. Jeżeli ∆ 6 n¹2, to istnieje f : E(G) → {1, 2, 3} takie, że m_f 6 6ⁿ_δ.

Lemat 3.1.8 (Frieze, Gould, Karoński, Pfender [34]) Niech G będzie

gra-fem. Jeżeli n > 10 oraz δ > 10 log n, to istnieje f : E(G) → {1, 2} takie,

że m_f 6 48(log n)ⁿ_δ.

Jeżeli teraz rozważymy totalną siłę nieregularności w świetle powyższych trzech lematów, wówczas natychmiast otrzymujemy na podstawie lematu 3.1.4 następujące dwa rezultaty.

Twierdzenie 3.1.9 (Przybyło [51]) Niech G będzie grafem rzędu n bez izo-lowanych wierzchołków. (a) Jeżeli ∆6^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k , to tvs(G)6 2n(1 δ + 1 ∆), (b) Jeżeli ^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k + 16 ∆ 6^jn¹2 k , to tvs(G)6 18ⁿ_δ, (c) Jeżeli ∆>^jn¹2 k

+ 1, δ> d10 log ne, to tvs(G) 6 96(log n)ⁿ_δ.

Twierdzenie 3.1.10 (Przybyło [51]) Niech G będzie d-regularnym grafem

rzędu n bez izolowanych wierzchołków.

(a) Jeżeli d6^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k , to tvs(G)6 2ⁿ_d + 1, (b) Jeżeli ^j(_{ln n}ⁿ )¹4 k + 16 d 6^jn¹2 k , to tvs(G)6 12ⁿ_d + 1, (c) Jeżeli d>^jn¹2 k + 1, to tvs(G)6 48(log n)ⁿ_d + 1.

Zauważmy jednak, że powyższe twierdzenia nie gwarantują istnienia ogól-nego (dla dowologól-nego δ) liniowego ze względu na ⁿ_δ górnego ograniczenia ani na s(G) ani na tvs(G), nawet jeżeli rozważymy wyłącznie grafy regularne, patrz podpunkt (c) w twierdzeniach 3.1.1, 3.1.2, 3.1.9 i 3.1.10 (występuje tam dodatkowy czynnik log n).

W dokumencie Index of /rozprawy2/10058 (Stron 41-50)