3.2 Ograniczenia liniowe ze względu na n/δ
3.2.2 Ograniczenie na siłę nieregularności dla grafów regu-
regularnych
Ten podrozdział poświęcimy omówieniu konstrukcji, opisanej przez autora niniejszej rozprawy w [50], dzięki której będziemy w stanie poprawić ograni-czenia z twierdzenia 3.2.2 dla grafów regularnych, patrz twierdzenie 3.2.13.
Niech Po
3 = v1vo
2v3 oznacza ścieżkę P3 = v1v2v3po usunięciu z niej środko-wego wierzchołka v2, ale bez usuwania krawędzi. Innymi słowy, jeżeli przyj-miemy P3 = (V, E) (V = {v1, v2, v3}, E = {v1v2, v2v3}), wówczas Po
3 jest parą uporządkowaną postaci (V r {v2}, E). Będziemy ją nazywać ścieżką otwartą długości 2, a vo
2 będziemy określać jako wierzchołek otwarty w Po 3. Pozostałe wierzchołki ścieżki otwartej P3o, jak i wierzchołki zwykłych ścieżek, np. P2, P3, będą nazywane wierzchołkami domkniętymi. Nadużywając nieco ogólnie przyjętej terminologii, będziemy także określać Po
3 grafem (lub pod-grafem). Ponadto, {P2, P3, P3o}-faktorem grafu G nazywać będziemy zbiór
wierzchołkowo (i krawędziowo) rozłącznych podgrafów grafu G, którego ele-menty (składowe faktora) są ścieżkami długości 1, 2 lub otwartymi ścieżkami długości 2 i rozpinają graf G, tzn. każdy wierzchołek z V (G) jest domkniętym wierzchołkiem w dokładnie jednej ze składowych faktora. Zaznaczmy, iż jeżeli dwa grafy dzielą dokładnie jeden wierzchołek, który jest otwarty w jednym lub obu z nich, wówczas są wierzchołkowo rozłączne. Przy tak postawionej definicji na przykład każda gwiazda (oprócz K1) posiada {P2, P3, Po
3}-faktor.
Niech F będzie lasem. Oznaczmy przez cF liczbę składowych, a przez
L(F ) zbiór liści lasu F i niech R(F ) = V (F ) r L(F ).
Aby poprawić stałe uzyskane przez nas w twierdzeniu 3.2.2 dla grafów re-gularnych, udoskonalimy oszacowania wynikające z użytego przez nas uprzed-nio lematu 3.1.5 z [34], który pozwalał na „rozrzucenie” wierzchołków z grup o tej samej wadze. Staranniejsza konstrukcja odpowiedzialnego za to od-wzorowania, patrz lemat 3.2.12, będzie możliwa dzięki faktowi, iż w naszym rozumowaniu będziemy posiadali dużą kontrolę nad wagami uzyskiwanymi przez poszczególne wierzchołki w pierwszej jego fazie, poprzez zastosowanie
nie probabilistycznych metod. Aby jednak skonstruować to odwzorowanie,
będziemy potrzebowali lematu 3.2.11, stwierdzającego istnienie w danych grafach {P2, P3, Po
3}-faktorów składających się z „niewielu” P3 i odpowied-nio dużej liczby Po
3. Aby je uzyskać, dowodzimy najpierw w lemacie 3.2.10 istnienia odpowiedniego lasu rozpinającego ze stosunkowo małą liczbą wierz-chołków stopnia większego niż 1 dla danego grafu G. W tym celu wykorzy-stamy poniższy probabilistyczny rezultat dotyczący liczby dominującej, który można znaleźć np. w książce Alona i Spencera.
Twierdzenie 3.2.9 (Alon, Spencer [8]) Niech G będzie grafem rzędu n oraz
niech δ(G)> 2. Wówczas
γ(G) 6 n(1 + ln(δ(G) + 1))
δ(G) + 1 . (3.12)
Lemat 3.2.10 (Przybyło [50]) W każdym grafie G istnieje las rozpinający
F składający się z drzew rzędu przynajmniej δ(G) + 1 taki, że |R(F )| 6
2γ(G) − cF.
Dowód. Niech G będzie grafem i niech D ⊆ V (G) będzie jego zbiorem dominującym rozmiaru γ(G). Oznaczmy Nv = {v} ∪ NG(v) dla v ∈ D i zdefiniujmy graf H taki, że V (H) = {Nv : v ∈ D} oraz NvNu ∈ E(H)
wtw gdy Nv ∩ Nu 6= ∅ i v 6= u (wówczas Nv 6= Nu, gdyż D jest naj-mniejszym zbiorem dominującym w G). Niech H1, . . . , Hm będą jego skła-dowymi, a T1, . . . , Tm ich odpowiadającymi drzewami rozpinającymi. Przyj-mijmy Gi = G[S
Nv∈V (Hi)Nv] oraz Di = D ∩ V (Gi), i = 1, . . . , m. Wówczas każdy Gi jest spójny, |Gi| > δ(G) + 1, Di jest zbiorem dominującym grafu
Gi, i = 1, . . . , m, oraz V (G1) ∪ . . . ∪ V (Gm) = V (G), D1 ∪ . . . ∪ Dm = D, patrz rys. 3.1. Pożądany las będzie się składał z odpowiednich drzew
rozpi-Rysunek 3.1: Konstrukcja lasu rozpinającego F w grafie G.
nających tych rozłącznych podgrafów Gi, które konstruujemy w następujący sposób. Wybierzmy np. G1. Kolejno dla wszystkich par u, v ∈ D1 takich, że
3.2 Ograniczenia liniowe ze względu na n/δ 57
drzewa krawędź uw (jeżeli to możliwe, tzn. jeżeli u 6= w i uw nie została już wcześniej dodana), pod warunkiem, że nie spowoduje to pojawienia się cyklu, i krawędź vw (jeżeli to możliwe), pod tym samym warunkiem. W ten sposób skonstruujemy poddrzewo grafu G1 o zbiorze wierzchołków D01 ta-kim, że D1 ⊆ D0
1 i |D01| 6 2|D1| − 1. Ponieważ D1 jest zbiorem dominującym grafu G1, możemy teraz połączyć każdy wierzchołek z V (G1) r D10 z jakimś wierzchołkiem z D1za pomocą pojedynczej krawędzi i w ten sposób stworzyć rozpinające drzewo F1 w grafie G1, dla którego |R(F1)|6 2|D1| − 1. Po
po-wtórzeniu tej konstrukcji kolejno dla wszystkich Gi, i = 1, . . . , m, otrzymamy las rozpinający F (składający się z drzew F1, . . . , Fm) grafu G, dla którego
|R(F )| 6 2γ(G) − cF.
Lemat 3.2.11 (Przybyło [50]) Niech G będzie grafem rzędu n oraz niech
δ(G) > 2. Wówczas istnieje {P2, P3, Po
3}-faktor grafu G składający się z co najwyżej δ(G)+1n P3 i z mniej niż 4γ(G) wierzchołków w składowych P2 i P3.
Dowód. Niech F będzie lasem rozpinającym grafu G z lematu 3.2.10, gdzie
F1, . . . , FcF są składowymi lasu F oraz |R(F )|6 2γ(G) − cF i |Fi| > δ(G) +
1 > 3, i = 1, . . . , cF. Przeanalizujemy kolejno drzewa F1, . . . , FcF. Niech za-tem T będzie dowolnie wybranym z nich. Wybierzmy liść u tego drzewa, gdzie NT(u) = {w}, i ustalmy go jako korzeń. Niech L0, L1, . . . , Lk będą zbiorami wierzchołków na kolejnych poziomach tego ukorzenionego drzewa, tzn. Li składa się z wierzchołków w odległości i od u. Wówczas L0 = {u},
L1 = {w} i Lk ⊆ L(T ), patrz rys. 3.2. Mówimy, że wierzchołek u1 ∈ V (T ) jest poniżej (powyżej ) wierzchołka u2 ∈ V (T ) w T , jeżeli u1 (u2) leży na ścieżce łączącej u2 (u1) z u w drzewie T oraz u1 6= u2. „Wytniemy” elementy pożąda-nego faktora z tego drzewa w następujący sposób. Przeglądamy kolejno po-ziomy wierzchołków w odwróconej kolejności, zaczynając od poziomu Lk−1. Na danym poziomie analizujemy wierzchołki jeden po drugim w dowolnej kolejności. Niech T0 := T i niech Ti oznacza drzewo, które pozostaje z Ti−1 po przeanalizowaniu kolejnego wierzchołka. W opisanej konstrukcji w mo-mencie gdy zaczynamy analizować dany wierzchołek, wszystkie wierzchołki pozostałe w drzewie powyżej tego wierzchołka są jego sąsiadami. Załóżmy teraz, że właśnie stworzyliśmy drzewo Tj, a v ∈ V (T ) jest następnym wierz-chołkiem, który będziemy analizować. Oznaczmy przez X = {x1, . . . , xp}
zbiór sąsiadów wierzchołka v w Tj, które są powyżej v w Tj (więc X składa się wyłącznie z liści drzewa Tj). Następnie odetnijmyj|X|2 kścieżek otwartych
Po
3 postaci xlvoxl+1 z Tj (usuwając wierzchołki xl, xl+1 oraz krawędzie xlv, xl+1v z Tj) jedna po drugiej i dołączmy je jako kolejne elementy konstruowa-nego faktora. Jeżeli |X| było nieparzyste, to pozostał w drzewie jeszcze jeden
wierzchołek z X, powiedzmy xp. Wówczas odcinamy krawędź xpv (i usuwamy
krawędź łączącą v z jego sąsiadem poniżej) i dołączamy ją jako P2 do faktora, patrz rys. 3.2. Jedyny wyjątek do tej ostatniej zasady pojawia się, gdy v = w
Rysunek 3.2: Wycinanie elementów {P2, P3, P3o}-faktora z drzewa T .
(i |T | jest nieparzyste), kiedy zamiast xpw, dodajemy P3 = xpwu do faktora.
Zgodnie z konstrukcją, każdy P2 i każdy P3 stworzonego {P2, P3, Po 3
}-faktora drzewa T musi zawierać przynajmniej jeden wierzchołek z R(T ). Ponieważ w tym faktorze jest co najwyżej jedno P3, te P2 i P3 mogą zawierać najwyżej 2|R(T )| + 1 wierzchołków. Powtarzając tę konstrukcję dla wszyst-kich Fi, stworzymy {P2, P3, Po
3}-faktor grafu G z co najwyżej
X
16i6cF
(2|R(Fi)| + 1) = 2|R(F )| + cF 6 2(2γ(G) − cF) + cF < 4γ(G)
wierzchołkami w elementach P2 i P3, oraz składający się z najwyżej cF ście-żek P3. Skoro |Fi| > δ(G) + 1 dla i = 1, . . . , cF, to cF 6 δ(G)+1n .
Lemat 3.2.12 (Przybyło [50]) Niech G będzie d-regularnym grafem rzędu n,
d > 25, i niech L =n−l4n d
m
, . . . ,l4ndmo. Wówczas istnieje takie L-kolorowa-nie g krawędzi grafu G, że otrzymane wagi wierzchołków należą do L i żadna z tych wag nie pojawia się więcej niż ld8m razy (mg 6ld8m).
Dowód. Niech G będzie d-regularnym grafem rzędu n, d > 25, i niech
L+ = n1, . . . ,l4ndmo, więc |L+| = l4n d
m
3.2 Ograniczenia liniowe ze względu na n/δ 59
{P2, P3, Po
3}-faktor grafu G, który spełnia tezę lematu 3.2.11. Niech A, B, C będą odpowiednio zbiorami ścieżek P2, P3, P3o z tego faktora. Oznaczmy
a := |A|, b := |B| i c := |C|, więc 2a+3b+2c = n. Na podstawie lematu 3.2.11, b 6 d+1n oraz 2a + 3b6 4γ(G). Stąd, na podstawie (3.12), c > n 2 − 2γ(G) > n 2 − 2n(1 + ln(d + 1)) d + 1 . (3.13) Zauważmy, że f (d) := 1 2− 21 + ln(d + 1) d + 1 − 4 d > 0, (3.14) ponieważ f jest funkcją rosnącą dla d > 0 oraz f (25) > 0 (f (25) ≈ 0, 012). Na podstawie (3.13), (3.14) oraz faktu, że c jest całkowite otrzymujemy więc, że c > 4n d . (3.15)
Przyjmijmy g(e) = 0 dla każdej krawędzi e grafu G, która nie należy do żadnej składowej faktora. Następnie kolejno przyporządkujmy kolory wszystkim krawędziom faktora, gdzie za każdym razem gdy pokolorujemy krawędzie jakiejś składowej, ustalimy też ostateczną wagę jej domkniętych wierzchołków. Aby to zapewnić, dla każdej ścieżki otwartej P3o z C jej dwie krawędzie muszą otrzymać parę kolorów (j, −j) ∈ L × L, by waga otwartego (środkowego) wierzchołka pozostała niezmieniona.
Najpierw zajmiemy się grafami z B. Jeżeli b jest nieparzyste (w szcze-gólności b = 1), kolorujemy krawędzie pierwszej ścieżki P3 za pomocą 1 i −1, więc ustalamy wagi jej trzech (domkniętych) wierzchołków jako 1, 0 i −1. Następnie jedna po drugiej, na przemian przypisujemy parę kolorów
l n 2d m + i, 2l2dnm+ ioraz−ln 2d m − i, −2ln 2d m − i, i = 0, 1, 2, . . ., parze kra-wędzi kolejnych ścieżek P3 (aż do wyczerpania wszystkich składowych z B). W ten sposób wierzchołki danego P3 uzyskają wagil2dnm+i, 2l2dnm+i, 3l2dnm+ 2i lub −l2dnm− i, −2ln d m − i, −3ln 2d m
− 2i. Zauważmy, że dla b > 2 mamy n 2d > 1 2 n d + 1 > 1 2b > 1, (3.16)
a w konsekwencji l2dnm> 2. Ponadto, ponieważ 2 n 2d > n d > n d + 1 > b,
to i nie przekroczy wartościl2dnm−1. Dlatego ustalone dotychczas wagi
także, iż jeżeli u ∈ U to −u ∈ U . Ostatecznie, na podstawie (3.16), dla b > 2, 3 n 2d + 2 n 2d − 1 6 5 n 2d + 1 − 2 = 5 2 n d + 3 < 4 n d 6 4n d ,
więc (dla dowolnego b) U ⊆ L.
Teraz kolorujemy krawędzie pewnej części grafów z C. Kolejno, dla skła-dowych P3oz C, przyporządkowujemy kolory (i, −i) parom ich krawędzi (usta-lając wagi ich domkniętych wierzchołków jako i oraz −i) albo dla wszystkich
i ∈ U ∩ L+, jeżeli ld8m jest parzyste, albo dla wszystkich i ∈ L+
r U , jeżeli
l
d 8
m
jest nieparzyste (na podstawie (3.15) jest wystarczająco dużo elementów w C). W ten sposób dokładnie każda liczba z L r {0} może od teraz ciągle być „użyta” parzystą ilość razy jako waga wierzchołka (tak by w sumie nie przekroczyć krotności ld8m), podczas gdy wszystkie składowe z B i część z C mają już ustalone kolory.
Teraz kolorujemy kolejno wszystkie P2 z A. Najpierw na przemian przy-pisujemy kolory 1 i −1 krawędziom z A (każdorazowo ustalając wagę dwóch wierzchołków jako 1 lub −1) dopóty, dopóki nie spowoduje to, iż będziemy mieli więcej niżld8mwierzchołków z ustaloną wagą 1 (zatem też najwyżejld8m wierzchołków z wagą −1). Następnie, analogicznie, naprzemiennie przypo-rządkowujemy kolory 2 i −2 krawędziom z A dopóty, dopóki nie spowoduje to, iż będziemy mieli więcej niżld8mwierzchołków o wadze 2. Proces ten kon-tynuujemy (z 3, 4, . . .), aż wszystkie krawędzie z A mają przypisane kolory.
W tym momencie i jest ustaloną wagą dla tej samej liczby wierzchołków co −i dla i ∈ L+, z jednym możliwym wyjątkiem - dla nieparzystego a, kiedy dla jednego j ∈ L+ o dwa więcej wierzchołki mają wagę j (niż −j). Dlatego łatwo możemy dokończyć kolorowanie elementów z C. Wystarczy że kolejno dla pozostałych grafów z C będziemy przypisywać pary kolorów (i, −i), i ∈ L+, parom ich krawędzi tak długo, jak to możliwe, tzn. póki nie spowoduje to, iż liczba wierzchołków z ustaloną wagą i będzie większa niżld8m dla jakiegoś i ∈ L+ i pod warunkiem, że pozostał w C jeszcze jakiś element bez przypisanych kolorów. Na końcu, albo wszystkie krawędzie grafu G będą już miały przypisane kolory, a otrzymane kolorowanie będzie spełniało tezę lematu, albo ciągle pozostaną jakieś składowe w zbiorze C bez przypisanych kolorów. W drugim przypadku jednak, na podstawie przeprowadzonej kon-strukcji, przynajmniej 2l4ndm ld8m− 2 > n − 2 wierzchołków będzie musiało
mieć już ustalone wagi (gdzie powyższe „−2” może się pojawić jedynie, gdy
a jest nieparzyste). Oznacza to, że co najwyżej jedno P3o z C nie ma przy-porządkowanych kolorów. Możemy zatem nadać kolor 0 jego krawędziom, ustalając jednocześnie wagi dwóch pozostałych wierzchołków jako 0. W ten sposób nie więcej niż 3 wierzchołki (razem z co najwyżej jednym z pierwszej
3.2 Ograniczenia liniowe ze względu na n/δ 61
części dowodu dotyczącej B) będą miały wagi 0. Ponieważ ld8m > 3, kon-strukcja jest skończona.
Twierdzenie 3.2.13 (Przybyło [50]) Niech G będzie d-regularnym grafem
rzędu n bez izolowanych wierzchołków i krawędzi. Wówczas s(G) < 16n
d + 6.
Dowód. Niech G = (V, E) będzie d-regularnym grafem, d > 2, rzędu n (więc
d < n).
Załóżmy najpierw, że d6 25. Wówczas na podstawie twierdzenia 3.0.3,
s(G) < n 2 + 9 = nd + 18d 2d = = 32n + 12d 2d + n(d − 26) + 6(d − n) 2d < 16 n d + 6.
Niech zatem d > 25. Wówczas na podstawie lematu 3.2.12 istnieje takie kolorowanie g krawędzi grafu G liczbami ze zbioru L = n−l4n
d
m
, . . . ,l4ndmo, że otrzymane wagi wszystkich wierzchołków należą do L i żadna z nich nie pojawia się więcej niż ld8m razy. Niech V1, . . . , Vdd
8e będzie podziałem
zbioru V takim, że wg(u) 6= wg(v) jeżeli u, v ∈ Vi i u 6= v, i = 1, . . . ,ld8m. Niech A = Ad będzie zbiorem (δ = d = ∆) λ = ld4m kolejnych liczb całkowitych z wniosku 3.2.6 i niech a będzie najmniejszą liczbą w zbio-rze A. Na podstawie wniosku 3.2.6 istnieje taki podgraf H grafu G, że
dH(v) ∈ {a + 2i − 2, a + 2i − 1, a + 2i + λ − 1, a + 2i + λ} dla v ∈ Vi,
i = 1, . . . ,ld 8
m
, co oznacza, że stopnie w podgrafie H wierzchołków z róż-nych zbiorów podziału są różne (bo a + 2ld8m − 1 < a + 2 + λ − 1).
Je-żeli zatem skonstruujemy nowe kolorowanie krawędziowe f grafu G przy-porządkowując kolor 3l4ndm+ 2 wszystkim krawędziom podgrafu H, a ko-lor l4ndm + 1 wszystkim pozostałym krawędziom grafu G, to ponieważ G jest regularny, wagi dowolnych dwóch wierzchołków będą albo różniły się o przynajmniej 3l4ndm+ 2−l4n
d
m
+ 1= 2l4ndm+ 1, albo będą równe (co będzie oznaczało, iż należą do tego samego zbioru podziału Vi). Ponadto,
f : E → nl4ndm+ 1, 3l4ndm+ 2oi g : E → L. Łatwo zatem sprawdzić, iż kolo-rowanie (f +g) : E →n1, . . . , 4l4ndm+ 2ojest nieregularne, a w konsekwencji
s(G) 6 4 4n d + 2 < 16n d + 6.
Rozróżnianie sąsiadów przez
sumy
Problemy dotyczące rozróżniania wierzchołków w grafie za pomocą sum ewo-luowały na przestrzeni ostatnich lat także w innym kierunku. W pracy [45], opublikowanej w 2004 roku, Karoński, Łuczak i Thomason zaproponowali rozważenie analogicznego do siły nieregularności parametru, lecz przy założe-niu, że rozróżnianie wierzchołków ma jedynie zasięg lokalny, tzn., iż wyłącznie wierzchołki sąsiednie mają mieć różne wagi.
Formalnie rzecz ujmując, korzystając z oznaczeń z poprzedniego roz-działu, krawędziowe [k]-kolorowanie f grafu G = (V, E) nazywamy
rozróżnia-jącym sąsiadów (lub kolorurozróżnia-jącym wierzchołki, patrz [3]), jeżeli wf(u) 6= wf(v) dla każdej pary sąsiadów u, v w tym grafie. Jeżeli takie kolorowanie istnieje, wówczas mówimy, że G dopuszcza [k]-kolorowanie krawędziowe rozróżnia-jące sąsiadów. Dla potrzeb tej pracy doktorskiej, najmniejsze k, dla którego
G dopuszcza [k]-kolorowanie krawędziowe rozróżniające sąsiadów oznaczać
będziemy, jako lokalny odpowiednik parametru s(G), przez ls(G). W przy-padku, gdy takie k nie istnieje, będziemy pisać ls(G) = ∞. Zauważmy, że ls(G) < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy graf G nie zawiera izolowanej krawędzi. Karoński, Łuczak i Thomason sformułowali zaskakującą i piękną hipotezę, którą w dalszej części pracy będziemy potocznie nazywać hipotezą 1,2,3. Hipoteza 4.0.1 (Karoński, Łuczak, Thomason [45]) Każdy graf, który
nie zawiera izolowanej krawędzi dopuszcza [3]-kolorowanie krawędziowe roz-różniające sąsiadów.
Gdyby okazała się ona prawdziwa, oznaczałoby to, iż nie tylko parametr ls jest ograniczony przez absolutną stałą w klasie wszystkich grafów bez izo-lowanych krawędzi, co jest oczywistą nieprawdą w przypadku parametru s, ale też że sąsiadów w każdym takim grafie możemy rozróżnić przez sumy
63
używając jedynie zbioru kolorów {1, 2, 3} na krawędziach. Autorom hipotezy nie udało się w pełni wykazać żadnego z tych przypuszczeń, za wyjątkiem pewnych klas grafów, jak grafy 3-kolorowalne (czy pełne), dla których hipo-teza 1,2,3 okazała się prawdziwa. Udowodnili oni jednak, iż skończony zbiór kolorów będących liczbami rzeczywistymi jest zawsze wystarczający. Przeło-mem w badaniach nad tym problePrzeło-mem był wynik Addario-Berry’ego, Dalala, McDiarmida, Reeda i Thomasona [2], którym udało się ostatecznie pokazać, iż parametr ls jest rzeczywiście skończony, a wystarczający jest zbiór kolorów
{1, . . . , 30}. Najlepszym znanym rezultatem legitymują się obecnie
Addario-Berry, Dalal i Reed.
Twierdzenie 4.0.2 (Addario-Berry, Dalal, Reed [3]) Każdy graf, który
nie zawiera izolowanej krawędzi dopuszcza [16]-kolorowanie krawędziowe roz-różniające sąsiadów.
Przedmiotem niniejszego rozdziału będzie zagadnienie zaproponowane niedawno przez Przybyło i Woźniaka [52], stanowiące „totalny” odpowiednik omawianego powyżej problemu związanego z hipotezą 1,2,3. Jak się okaże, i z tym zagadnieniem będzie się wiązała bardzo ciekawa hipoteza. Analogicz-nie jak wyżej, totalne [k]-kolorowaAnalogicz-nie f grafu G nazywamy rozróżniającym
sąsiadów (lub kolorującym wierzchołki ), jeżeli tf(u) 6= tf(v) dla każdej pary
sąsiadów u, v w tym grafie. Jeżeli takie kolorowanie istnieje, wówczas
mó-wimy, że G dopuszcza totalne [k]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów. Łatwo zauważyć, że tym razem dla każdego grafu G istnieje takie k, że G dopuszcza totalne [k]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów. Najmniejsze z nich będziemy oznaczać przez lts(G). Zwróćmy ponadto uwagę, iż jeżeli graf G dopuszcza krawędziowe [k]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów, to dopuszcza też totalne [k]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów (wystarczy przypisać kolor 1 wszyst-kim wierzchołkom), zatem
lts(G)6 ls(G).
W konsekwencji otrzymujemy, iż lts(G) 6 16 dla wszystkich grafów oraz lts(G) 6 3 dla grafów 3-kolorowalnych (lub wszystkich, jeżeli hipoteza 1,2,3 jest prawdziwa).
Hipoteza 4.0.3 (Przybyło, Woźniak [52]) Każdy graf dopuszcza totalne [2]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów.
W powyższej hipotezie, zwanej hipotezą 1,2, zadajemy sobie zatem pyta-nie, czy w przypadku kolorowania totalnego nie możemy ograniczyć zbioru kolorów niezbędnych do rozróżnienia sąsiednich wierzchołków w grafie przez
sumy do zbioru {1, 2}. Jest to prawda dla pewnych klas grafów, które zostaną omówione w poniższym podrozdziale. Następnie rozważymy pomocniczy pro-blem dotyczący rozróżniania sum sąsiadów względem dodawania w Zp, by w ostatnim podrozdziale udowodnić ogólne górne ograniczenia, ze szczegól-nym uwzględnieniem grafów regularnych oraz zależności omawianego para-metru od liczby chromatycznej, czy maksymalnego stopnia grafu.
Warto przedtem jednak wspomnieć, iż także zagadnienia omawiane przez nas szczegółowo w rozdziale 2 były rozważane w wersji lokalnej. Przykładem może tu być problem zaproponowany przez Addario-Berry’ego, Aldreda, Da-lala i Reeda, gdzie kolorowanie krawędzi grafu G miało indukować rozróżnie-nie sąsiadów poprzez multipalety przyległych do nich kolorów. W [1] zostało pokazane, iż do takiego celu wystarczą już 4 kolory dla każdego grafu bez izo-lowanych krawędzi, a nawet 3, jeżeli minimalny stopień wierzchołka w grafie jest równy przynajmniej 1000. Innym pokrewnym zagadnieniom poświęcone są prace [12, 37, 38].
Ponieważ w tym rozdziale chcemy rozróżniać jedynie wierzchołki sąsied-nie, wystarczy rozważyć grafy zawierające tylko jedną składową. Będziemy więc zwykle zakładać, iż G jest grafem spójnym. Przedstawione przez nas poniżej wyniki pochodzą głównie z pracy Przybyło i Woźniaka [52], a także, w przypadku podrozdziału 4.3.1 i końca podrozdziału 4.3.2, z prac autora niniejszej rozprawy, odpowiednio, [48] i [49].
4.1 Przykłady rodzin grafów spełniających
hi-potezę 1,2
Oczywistym przykładem (niepustej) rodziny grafów spełniających hipotezę 1,2 (jak i hipotezę 1,2,3) jest zbiór grafów, w których każda para sąsiadów ma różne stopnie. Dla nich i tylko dla nich lts(G) = 1. Zaskakująco łatwo można jednak też udowodnić prawdziwość hipotezy 1,2 dla następującej klasy gra-fów.
Obserwacja 4.1.1 (Przybyło, Woźniak [52]) Każdy graf dwudzielny
dopusz-cza totalne [2]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów.
Dowód. Wystarczy najpierw przypisać kolory 1 lub 2 krawędziom grafu w dowolny sposób, a następnie nadać kolory wierzchołkom tak, by otrzy-mane (totalne) wagi wierzchołków z jednego zbioru podziału były parzyste, a z drugiego nieparzyste.
4.1 Przykłady rodzin grafów spełniających hipotezę 1,2 65
W dalszej części pracy wykażemy, że wartość parametru lts(G) może być ograniczona przez funkcję liczby chromatycznej grafu, patrz wniosek 4.3.1. Następny rezultat obrazuje natomiast, że ten parametr wcale nie musi zależeć od χ(G), bez względu na to jak duża jest liczba chromatyczna grafu. Mimo iż poniższa obserwacja wynika z [9], zamieszczamy nasz dowód dla utrzymania spójności pracy.
Obserwacja 4.1.2 (Przybyło, Woźniak [52]) Każdy graf pełny dopuszcza
to-talne [2]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów.
Dowód. Dla K2wystarczy przyporządkować kolor 1 krawędzi, a parze wierz-chołków dwie różne liczby, 1 i 2. Wówczas (totalne) wagi wierzwierz-chołków także są różne i wynoszą 2 i 3. Następnie stosujemy indukcję ze względu na n, by udowodnić, że wystarczy użyć kolorów 1, 2 dla krawędzi i wierzchołków grafu
Kn w celu uzyskania jako wag wierzchołków n kolejnych liczb naturalnych, albo od n do 2n − 1, albo od n + 1 do 2n.
Załóżmy, że mamy dane takie kolorowanie dla Kn−1. Skonstruujmy graf
Kn przez dodanie nowego wierzchołka v i połączenie go krawędziami z wierz-chołkami naszego Kn−1. Zauważmy, iż wagi wierzchołków grafu Kn−1 leżą w przedziale [n − 1, 2n − 2]. Jeżeli największa z nich jest równa 2n − 3, wówczas przyporządkowujemy kolor 2 wierzchołkowi v oraz wszystkim in-cydentnym z nim krawędziom. W konsekwencji n wierzchołków grafu Kn otrzyma różne wagi z przedziału [n + 1, 2n]. Analogicznie, jeżeli największa waga wierzchołka z Kn−1 wynosiła 2n − 2, wystarczy przyporządkować 1 wierzchołkowi v oraz incydentnym z nim krawędziom.
Teza powyższej obserwacji oznacza zatem, iż lts(Kn) = 2, jeżeli tylko
n > 1. Znacznie „ciekawszej” rodziny grafów dotyczy natomiast poniższe
twierdzenie. Jego dowód zostanie jednak omówiony w dalszej części pracy, gdyż jest ono konsekwencją ogólniejszego rezultatu (wniosek 4.3.1), dowodowi którego z kolei poświęcone są rozważania całego następnego podrozdziału 4.2.
Twierdzenie 4.1.3 (Przybyło, Woźniak [52]) Niech G będzie grafem
oraz niech χ(G) 6 3. Wówczas G dopuszcza totalne [2]-kolorowanie
Hipoteza 1,2, podobnie jak hipoteza 1,2,3, jest więc spełniona dla grafów 3-kolorowalnych. W konsekwencji, na podstawie twierdzenia Brooksa, jest ona też prawdziwa na przykład dla grafów kubicznych, dla których otrzy-mujemy lts(G) = 2. Jako ostatni przykład omówimy zatem grafy regularne stopnia o 1 wyższego, dla których liczba chromatyczna może przekraczać 3 (nie tylko dla grafu pełnego), a mimo to wartość parametru lts się nie zmienia.
Twierdzenie 4.1.4 (Przybyło, Woźniak [52]) Każdy graf 4-regularny
do-puszcza totalne [2]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów.
Dowód. Niech G będzie spójnym grafem 4-regularnym. Jeżeli G ' K5 lub
χ(G) 6 3, wówczas teza wynika odpowiednio z obserwacji 4.1.2 lub
twier-dzenia 4.1.3. Na podstawie twiertwier-dzenia Brooksa możemy zatem założyć, że
χ(G) = 4. Wybierzmy takie właściwe 4-kolorowanie wierzchołków grafu G, by
otrzymane klasy kolorów A, B, C, D spełniały następujące założenia. Klasa A jest maksymalna ze względu na inkluzję, klasa B jest maksymalna ze względu na inkluzję po wyłączeniu wierzchołków klasy A, oraz klasa C jest maksy-malna ze względu na inkluzję po wyłączeniu klas A i B. W konsekwencji każdy wierzchołek z B ∪ C ∪ D ma przynajmniej jednego sąsiada w A, każdy wierzchołek z C ∪ D ma przynajmniej jednego sąsiada w B, a każdy wierz-chołek z D ma przynajmniej jednego sąsiada w C. Niech D = D1 ∪ D2, gdzie v ∈ Di, jeżeli v ma dokładnie i sąsiadów w A. Szukane kolorowanie f definiujemy w następujący sposób.
Przypiszmy 2 wszystkim krawędziom z E(A, B ∪ C ∪ D), 1 wszystkim krawędziom z E(D, B ∪ C), 2 wszystkim wierzchołkom z A ∪ D2 oraz 1 wierzchołkom z D1. W ten sposób jedynie indukowany podgraf G[B ∪ C] nie ma nadanych kolorów, podczas gdy t(v) = 10, jeżeli v ∈ A, t(v) = 6, jeżeli v ∈ D1, lub t(v) = 8, jeżeli v ∈ D2. Następnie dla każdej krawędzi
bc ∈ E(B, C), gdzie c ∈ C, przypisujemy jej kolor 2, jeżeli c ma sąsiada
w D1, lub 1 w przeciwnym wypadku. W następnym kroku ustalamy kolor każdego wierzchołka b z B tak, by jego (totalna) waga była nieparzysta.