Ograniczenia dla dowolnych grafów

W tym podrozdziale wykorzystamy analogiczne do poprzedniego (tw. 3.2.5) twierdzenie Addario-Berry’ego, Dalala i Reeda o istnieniu dla danego grafu

G rozpinającego podgrafu o stopniach należących do list przypisanych

wierz-chołkom grafu G, tym razem jednak w przypadku, gdy G jest grafem dwu-dzielnym.

Twierdzenie 4.3.5 (Addario-Berry, Dalal, Reed [3]) Niech G = (X, Y ; E)

będzie grafem dwudzielnym. Dla każdego v ∈ X przyjmijmy a⁻_v = ^jd(v)₂ ^k

oraz a+

v = a⁻_v + 1, a dla każdego v ∈ Y ustalmy dowolne liczby całkowite

a⁻_v, a⁺_v takie, że a⁻_v 6^jd(v)₂ ^k6 a⁺v oraz

a⁺_v 6 min ( d(v) + a⁻_v 2 ^{+ 1, 2a} − v + 1 ) . (4.3)

Wówczas istnieje rozpinający podgraf H grafu G taki, że d_H(v) ∈ {a⁻_v, a+ v} dla wszystkich v ∈ V = X ∪ Y .

Twierdzenie to, wsparte elementami konstrukcji przedstawionej w [3], po-zwoli nam udowodnić następujące generalne ograniczenie.

Twierdzenie 4.3.6 (Przybyło, Woźniak [52]) Każdy graf dopuszcza totalne [11]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów.

Dowód. Niech G = (V, E) będzie grafem spójnym. Dla danego dowol-nego uporządkowania zbioru jego wierzchołków, v1, . . . , vn, niech F (vi) =

{v_j : v_j ∈ N (v_i), j > i} i B(v_i) = {v_j : v_j ∈ N (v_i), j < i}. Na-zwijmy te zbiory odpowiednio przednimi i tylnymi sąsiadami wierzchołka

4.3 Ograniczenia 75

|F (v_i)| > |B(v_i)| dla i 6 j}. Umieśćmy pierwsze k wierzchołków w zbiorze

V₁, a pozostałe w tymczasowym zbiorze T . Zauważmy, że k się nie zmniejsza, jeśli zmienimy uporządkowanie elementów zbioru T . Ponadto, d_T(v)6 dV1(v) dla wszystkich v ∈ T (w przeciwnym wypadku moglibyśmy przestawić v na (k + 1)-szą pozycję w uporządkowaniu, tworząc tym samym porządek z więk-szą wartością k).

Następnie powtórzmy opisaną procedurę, tym razem dla indukowanego podgrafu G[T ], by znaleźć zbiór V₂ ⊆ T oraz nowe uporządkowanie

wierz-chołków zbioru T . Usuńmy wierzchołki zbioru V₂ z tymczasowego zbioru T . Powtórzmy ten proces jeszcze dwukrotnie, by ustalić kolejno V₃, V₄oraz osta-teczne uporządkowanie wierzchołków grafu G. Pozostałe wierzchołki umie-śćmy w zbiorze V5. Zauważmy, że każdy v ∈ Vi, i = 1, 2, 3, 4, ma ściśle mniej tylnych sąsiadów w V_i niż przednich sąsiadów. Ponadto, stosując trzykrotnie obserwację z końca poprzedniego akapitu, otrzymujemy

d_V1(v)> 8dV5(v) (4.4) dla v ∈ V₅.

Rozważmy krawędzie z V₅ do V₁. Ponieważ każdy wierzchołek v ∈ V₅ ma przynajmniej 8d_V5(v) krawędzi łączących go z V₁, możemy wybrać podzbiór

E⁰ zbioru E(V5, V₁), w którym każdy v ∈ V5 ma dokładnie 8dV5(v) krawędzi łączących go z V₁. Niech B będzie grafem dwudzielnym rozpiętym przez zbiór krawędzi E⁰, patrz rys. 4.2.

Przyjmijmy f (e) = 2 dla każdej krawędzi e grafu G. Następnie przy-porządkujmy kolory ze zbioru {3, . . . , 10} wierzchołkom tak, by otrzymana (totalna) waga każdego z nich miał resztę mod 8 taką jak określona w ta-beli 4.1, w zależności od tego, do jakiego zbioru Vi należy. Zmodyfikujemy

V₁ V₂ V₃ V₄ V₅

1 3 5 7 0, 2, 4 lub 6

Tablica 4.1: Docelowe reszty mod 8 dla elementów zbiorów V_i

to kolorowanie zachowując określone reszty wag wierzchołków mod 8 oraz eliminując możliwe konflikty wewnątrz zbiorów V_i.

Analizujemy wierzchołki ze zbioru V₁∪V₂∪V₃∪V₄jeden po drugim zgodnie z ustalonym porządkiem. Dla danego wierzchołka v ∈ Vi, dopuszczamy doda-nie 8 do kolorów dowolnego zbioru przednich krawędzi (łączących go z jego przednimi sąsiadami) wierzchołka v w celu odróżnieniu jego wagi od wag jego tylnych sąsiadów z Vi. Jest to zawsze wykonalne, gdyż v ma przynaj-mniej o jednego więcej przedniego sąsiada (nie koniecznie w V_i) niż tylnych sąsiadów w V_i, patrz rys. 4.2.

Rysunek 4.2: Konstrukcja totalnego [11]-kolorowania grafu G.

Po przejściu przez wszystkie wierzchołki z V₁ ∪ V₂ ∪ V₃ ∪ V₄, otrzymu-jemy f (e) ∈ {2, 10}, f (v) ∈ {3, . . . , 10} dla każdej krawędzi e i każdego wierzchołka v grafu G, podczas gdy reszty (mod 8) indukowanych kolorów pozostają takie jak określone w tabeli 4.1. Ponadto, dowolni dwaj sąsie-dzi z V₁ ∪ V₂ ∪ V₃ ∪ V₄ mają różne indukowane kolory (wagi). W naszym ostatnim kroku zmodyfikujemy kolory krawędzi grafu B, by rozróżnić sąsied-nie wierzchołki wewnątrz V₅. Najpierw zastosujemy twierdzenie 4.3.5, gdzie

X = V₁∩ V (B) i Y = V₅ ∩ V (B), by określić odpowiedni podgraf H grafu B. Następnie dla każdej krawędzi e grafu B dodamy 1 do jej koloru, jeżeli e ∈ E(H), lub odejmiemy 1 w przeciwnym wypadku (możemy to zrobić, gdyż f (e) ∈ {2, 10}). Na końcu zmodyfikujemy jeszcze nieco kolory wierzchołków

z V₁tak, by ich wagi powróciły do wartości poprzedzających ten ostatni krok. Zdefiniujmy {a⁻_v, a+

v} dla każdego v ∈ X przyjmując a−

v = ^jdB(v) 2

k

oraz

a⁺_v = a⁻_v + 1. Następnie ustalmy {a⁻_v, a⁺_v} dla każdego wierzchołka z Y w

na-stępujący sposób. Analizujemy wierzchołki zbioru Y w dowolnej kolejności. Jeden po drugim, dla każdego v ∈ Y wybieramy a⁻_v ∈ [^dB(v)

4 ,^dB(v) 2 ] (za-uważmy, że ten przedział ma końce całkowitoliczbowe, ponieważ wartość

d_B(v) jest podzielna przez 8) i przyjmujemy a+

v = a⁻_v + ^dB(v)

4 + 1. Doko-nujemy jednak wyboru w taki sposób, by mieć pewność, że dla wszystkich uprzednio przeanalizowanych sąsiadów u ∈ V5 wierzchołka v, dla każdego

a_v ∈ {a− v, a+

v} i każdego a_u ∈ {a− u, a+

u} zachodzi t(v) + a_v − (d_B(v) − a_v) 6=

t(u) + a_u − (d_B(u) − a_u), gdzie przez t(v), t(u) rozumiemy aktualne wagi wierzchołków v, u (a t(v) + av − (dB(v) − av) jest wagą, jaką będzie miał

4.3 Ograniczenia 77

wierzchołek v po zakończeniu naszego ostatniego kroku). Jest to możliwe, gdyż każdy uprzednio przeanalizowany sąsiad wierzchołka v może uniemoż-liwiać co najwyżej dwa wybory a⁻_v, a mamy dostępne dokładnie 2d_V5(v) + 1 potencjalne możliwości.

Taki wybór stopni a⁻_v, a⁺_v spełnia założenia twierdzenia 4.3.5. Rzeczy-wiście, jest to jasne dla wierzchołków ze zbioru X. Także bez wątpliwości

a⁻_v 6^jdB(v) 2

k

6 a+

v dla każdego v ∈ Y . Pozostaje więc wykazać, że dla wszyst-kich v ∈ Y nierówność (4.3) jest spełniona. Ponieważ zatem a⁻_v 6 ^dB(v)

2 , to a+ v = a⁻_v + ^dB(v) 4 + 1 = ^dB(v) 4 + ^a−v 2 + ^a−v 2 + 1 6 ^dB(v) 2 + ^a−v 2 + 1, a ponieważ dB(v) 4 6 a⁻v, to a+ v = a⁻_v +^dB(v) 4 + 16 2a⁻v + 1. Na podstawie twierdzenia 4.3.5 istnieje więc taki podgraf H grafu B, że po dokonaniu uprzednio opisanych modyfikacji kolorów krawędzi grafu B, wszystkie sąsiednie wierzchołki w V5 mają różne wagi. Zauważmy, że te modyfikacje mogą wpłynąć na wagi wierz-chołków z V₁, zwiększając niektóre z nich o 1 lub 2, czy też zmniejszając inne o 1 (w zależności od parzystości dB(v) oraz wyboru a⁻_v lub a⁺_v). Wówczas jednak, dla każdego takiego v ∈ V₁ (ponieważ 3 6 f (v) 6 10) równowa-żymy tę zmianę odpowiednio odejmując 1 lub 2, albo dodając 1 do koloru wierzchołka, f (v).

Zauważmy, że reszty (mod 8) wag wierzchołków z V₅ pozostają takie, jak określone w tabeli 4.1 (są parzyste), oraz że f (v), f (e) ∈ {1, . . . , 11} dla wszystkich v ∈ V i wszystkich e ∈ E. Otrzymujemy zatem totalne [11]-kolorowanie f , które rozróżnia sąsiadów w grafie G.

Uogólnienie powyższej konstrukcji pozwala także wykazać następującą obserwację, której dowód omówimy nieco skrótowo i w oparciu o powyższe rozumowanie. Dokładnie został on opisany przez autora rozprawy w [49].

Twierdzenie 4.3.7 (Przybyło [49]) Niech dla danego grafu G, ∆(G) < 2j. Wówczas lts(G) 6 j + 1.

Dowód. Wystarczy przeprowadzić konstrukcję podobnie jak w dwóch pierw-szych akapitach dowodu twierdzenia 4.3.6, z tą zmianą, że jej pierwszą część powtarzamy (j − 1)-krotnie, zamiast 4-krotnie, tworząc odpowiednie zbiory

V₁, . . . , V_j−1 oraz związane z nimi uporządkowanie wierzchołków. Pozostałe wierzchołki umieszczamy w zbiorze V_j. Dla wszystkich wierzchołków v ∈ V_j otrzymamy wówczas analogicznie jak w przypadku powyższej nierówności (4.4),

dla i = 1, . . . , j − 1. Przyjmijmy f (e) = 1 dla wszystkich e ∈ E(G), a na-stępnie dla każdego wierzchołka v ∈ V_i, i = 1, . . . , j, ustalmy jego kolor

f (v) ∈ {1, . . . , j} tak, by t(v) ≡ i (mod j). Takie reszty mod j wag

wierz-chołków zostaną przez nas utrzymane do końca konstrukcji. Rozumując da-lej analogicznie jak w poprzednim dowodzie, rozróżniamy następnie koda-lejne wierzchołki z V₁∪ . . . ∪ V_i−1 od ich tylnych sąsiadów. W tym celu dodajemy w odpowiedni sposób j (zamiast 8) do kolorów niektórych przednich krawędzi (ustalając ten kolor jako j + 1) incydentnych z analizowanymi wierzchołkami. Po zakończeniu tego kroku, pozostaje nam zatem tylko rozróżnić wierzchołki wewnątrz V_j. Zauważmy jednak, iż ∆(G[V_j]) 6 1. W istocie, gdyby istniał

v ∈ V_j taki, że d_Vj(v) = d> 2, wówczas na podstawie (4.5),

d_G(v)> d + d + 2d + 4d + . . . + 2^j−2d = 2^j−1d > 2^j,

co jest sprzeczne z przyjętym założeniem. Graf G[V_j] składa się zatem z izo-lowanych krawędzi i wierzchołków. Wystarczy więc rozważyć sytuację, gdy dla danej krawędzi uv tego grafu, t(u) = t(v). Załóżmy, że dla aktualnego w tym momencie kolorowania f , f (u) = a, f (v) = b (f (uv) = 1), gdzie

a > b. Mamy zatem f (u) + f (uv) = a + 1, f (v) + f (uv) = b + 1 oraz a, b ∈ [j].

Stwórzmy nowe kolorowanie g, przyjmując g(u) = 1, g(uv) = a, g(v) = b−a+

j + 1 ∈ [j + 1] oraz pozostawiając kolory pozostałych wierzchołków i krawędzi

bez zmian. Wówczas g(u)+g(uv) = a+1, g(v)+g(uv) = b+1+j, co oznacza, że reszty mod j wag u i v pozostały niezmienione, t_g(u) 6= t_g(v), a wagi pozo-stałych wierzchołków też nie uległy zmianie. Po analogicznym przeanalizowa-niu wszystkich krawędzi grafu G[Vj] otrzymujemy totalne [j + 1]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów w grafie G.

W konsekwencji, lts(G)6 blog2∆c + 2. Wiemy zatem, iż liczby od 1 do 4 są wystarczające dla rozwiązania naszego problemu, jeżeli tylko ∆ < 8, do 5, gdy ∆ < 16, a do 6, gdy ∆ < 32, co przykładowo poprawia nasze osza-cowanie lts(G) 6 7 dla grafów regularnych (tw. 4.3.4), jeżeli stopień grafu jest nie większy niż 31. Kolejne ograniczenia otrzymujemy dla wyższych po-tęg liczby 2, gdzie ostatnim istotnym, ze względu na twierdzenie 4.3.6, jest fakt, iż lts(G) 6 10 dla grafów z ∆ < 512. Stanowi to też subiektywnie ciekawe nawiązanie do wspomnianego wyniku Addario-Berry’ego, Aldreda, Dalala i Reeda [1], gdzie sąsiedzi rozróżniani są przez multipalety przyle-głych kolorów, a poprawienie ogólnego ograniczenia otrzymuje się dla grafów z δ > 1000.