Rozróżnianie sąsiadów w Z p

Rysunek 4.1: Konstrukcja totalnego [2]-kolorowania grafu 4-regularnego.

Jeżeli trzy z nich mają kolor 1, a co za tym idzie N (v) ∩ D₁ = ∅, przyj-mujemy f (v) = 1, skąd t(v) = 6.

Jeżeli przynajmniej dwie z nich mają kolor 2 i N (v) ∩ D₂ = ∅, wybieramy

f (v) tak, by t(v) = 8.

Ostatecznie, jeżeli przynajmniej dwie z nich mają kolor 2 i istnieje wierz-chołek y ∈ N (v) ∩ D₂, wówczas (na podstawie naszej konstrukcji) f (y) = 2,

f (yv) = 1 i v ma dokładnie jednego sąsiada, powiedzmy x, w B. Ponadto

dokładnie dwie krawędzie incydentne z v mają kolor 1. Jeżeli t(x) = 9, przy-pisujemy 1 wierzchołkowi v i otrzymujemy t(v) = 7. Z drugiej strony, jeżeli

t(x) = 7, przyjmujemy f (y) = 1, f (yv) = 2 i f (v) = 2. Wówczas waga

wierzchołka y pozostaje niezmieniona, podczas gdy t(v) = 9.

Po zastosowaniu tej procedury do wszystkich wierzchołków v z C, otrzy-mujemy kolorowanie totalne, które rozróżnia sąsiadów w grafie G.

4.2 Rozróżnianie sąsiadów w Z

Załóżmy, że zamiast wymagać by sąsiednie wierzchołki miały różne (totalne) wagi, żądamy czegoś więcej, a mianowicie by ich wagi miały różne reszty mo-dulo p dla ustalonego p ∈ N. Problem ten można wówczas w oczywisty sposób sformułować posługując się elementami i arytmetyką grupy Zp. Skoro nasze wymagania stają się ostrzejsze, ograniczenia górne otrzymane w tej zmodyfi-kowanej wersji przenoszą się na oryginalny przypadek. Niestety rozwiązanie tej wersji zagadnienia wydaje się także niezwykle ciężkie. Pewne, choć cią-gle odbiegające nieco od oczekiwanych, rezultaty możemy jednak osiągnąć rozważając pewien problem, w którym zaostrzymy nasze wymagania jeszcze

bardziej. Efekt, który uzyskamy dotyczył będzie wszystkich grafów spójnych zawierających cykl, zatem z wykluczeniem jedynie drzew, patrz twierdze-nie 4.2.3. Pierwszy pomocniczy lemat przedstawia sformułowatwierdze-nie tego pro-blemu dla przypadku, gdy G jest samym cyklem. Z pewnych względów na-tury technicznej nie będziemy dosłownie stosować notacji w arytmetyce z Zp.

Lemat 4.2.1 (Przybyło, Woźniak [52]) Niech będzie dany cykl C, liczba

na-turalna p > 3 oraz zbiór docelowych wag tv ∈ Z dla wszystkich v ∈ V (C). Wówczas dla każdego q >^jp₂^k+ 1 istnieje totalne [q]-kolorowanie f cyklu C

takie, że t_f(v) ≡ t_v (mod p) dla wszystkich v ∈ V (C).

Dowód. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy q = h := ^jp₂^k + 1. Niech

v₁, . . . , v_n będą kolejnymi wierzchołkami na cyklu C, |C| = n. Możemy zało-żyć, że tvi ∈ [3, p + 2] dla każdego i. Niech V (C) = S ∪ L, gdzie v_i ∈ S, jeżeli t_vi ∈ [3, h + 1], lub v_i ∈ L, jeżeli t_vi ∈ [h + 2, p + 2]. Oznaczmy t_vi przez s_i, jeżeli v_i ∈ S, lub przez l_i, gdy v_i ∈ L. W konstruowanym poniżej totalnym

kolorowaniu cyklu C używać będziemy jedynie kolorów 1, . . . , h. W trakcie jego tworzenia zakładać będziemy, iż krawędzie oraz wierzchołki, które nie zostały jeszcze na danym etapie pokolorowane mają tymczasowy kolor 0.

Zauważmy najpierw, że jeżeli |L| jest parzyste, to możemy łatwo znaleźć wymagane kolorowanie. W tym celu wystarczy użyć jedynie liczb 1 oraz h jako kolorów krawędzi. Rozpoczynamy przyjmując f (v_nv₁) = 1, a następnie przypisujemy 1 lub h do kolejnych krawędzi cyklu jedna po drugiej, w ten sposób, by dwie krawędzie incydentne z v_i miały te same kolory, jeżeli v_i ∈ S,

lub różne w przeciwnym wypadku. W konsekwencji reszty (mod p) otrzyma-nych na tym etapie (totalotrzyma-nych) wag wierzchołków z S należą do zbioru {1, 2} (w zależności od parzystości p), podczas gdy dla wierzchołków z L równe są

h+1. Łatwo zatem dokończyć konstrukcję pożądanego kolorowania używając

liczb ze zbioru [h] jako kolorów wierzchołków cyklu C.

Niech więc |L| będzie nieparzyste i załóżmy najpierw, że jakiś wierzchołek z L, powiedzmy v₂, ma obu sąsiadów (v₁ i v₃) w zbiorze S. Jeżeli

s₁− 2 + s₃− 2 > l2− h, (4.1)

to istnieją s⁰₁ ∈ [1, s₁− 2], s0

3 ∈ [1, s₃− 2] takie, że s0

1+ s⁰₃ = l₂− h. Przyjmijmy f (v₁v₂) = s⁰₁, f (v₂) = h oraz f (v₂v₃) = s⁰₃, by otrzymać t_f(v₂) = l₂. Następ-nie połóżmy f (v_nv₁) = f (v₃v₄) = 1 (v_nv₁ = v₃v₄ jeżeli C = C₃). Ponieważ liczba wierzchołków z L, które nie mają ustalonych ostatecznych wag jest parzysta, stosujemy to samo rozumowanie co w powyższym drugim akapicie

4.2 Rozróżnianie sąsiadów w Zp 69

dowodu (przypisując kolory 1 lub h do pozostałych krawędzi cyklu, a na-stępnie ustalając kolory wierzchołków), by otrzymać pożądane kolorowanie. Z drugiej strony, jeżeli

p + s₁− 2h + p + s₃− 2h 6 l2− 1, (4.2) wówczas istnieją s⁰₁ ∈ [p + s1 − 2h, h], s0

3 ∈ [p + s3 − 2h, h] takie, że s⁰₁+ s⁰₃ = l₂− 1. Analogicznie jak wyżej podstawiamy f (v₁v₂) = s⁰₁, f (v₂) = 1 oraz f (v₂v₃) = s⁰₃, by otrzymać t_f(v₂) = l₂. Następnie wystarczy przyjąć

f (vnv₁) = f (v₃v₄) = h i ponownie zastosować metodę z drugiego akapitu do-wodu, by dokończyć konstrukcję kolorowania. Łatwo sprawdzić, że wszystkie użyte kolory należą do zbioru [h], i że jedna z nierówności (4.1), (4.2) musi być spełniona, jeżeli tylko h> 2.

Ostatecznie możemy zatem założyć, że |L| jest nieparzyste i L zawiera dwa, powiedzmy v₂, v₃, kolejne wierzchołki cyklu. Załóżmy bez straty ogól-ności, że l₂ 6 l3. Wówczas h + l₂− l₃, l₃− h − 1 ∈ [h], więc wystarczy przyjąć f (v₁v₂) = 1, f (v₂) = h + l₂− l₃, f (v₂v₃) = l₃− h − 1, f (v₃) = 1 i f (v₃v₄) = h, by otrzymać t_f(v₂) = l₂ i t_f(v₃) = l₃. Tym razem nieparzysta liczba wierz-chołków z L nie ma jeszcze ustalonych ostatecznych wag. Jednakże dzięki kolorom przyjętym dla v₁v₂ i v₃v₄, po raz kolejny możemy dokończyć naszą konstrukcję analogicznie jak w drugim akapicie.

Lemat 4.2.2 (Przybyło, Woźniak [52]) Niech będzie dany graf spójny G,

liczba naturalna p > 3 oraz zbiór docelowych wag tv ∈ Z dla wszystkich v ∈ V (G). Wówczas dla dowolnego q >^jp₂^k+1 istnieje totalne [q]-kolorowanie

f grafu G takie, że t_f(v) ≡ t_v (mod p) dla każdego, poza ewentualnie jednym

dowolnie ustalonym, v ∈ V (G).

Dowód. Ustalmy dowolny wierzchołek u ∈ V (G), w którym oczekiwany wa-runek może nie być spełniony. By skonstruować pożądane kolorowanie uży-jemy liczb ze zbioru {1, . . . , q} w następujący sposób. Przypiszmy najpierw kolor 1 wszystkim krawędziom i wierzchołkom grafu G. Jeżeli indukowane kolorowanie wierzchołków nie spełnia tezy, tzn. istnieje v ∈ V (G) r{u} z nie-właściwą resztą mod p, ustalamy dowolną ścieżkę łączącą v i u w G. Ponieważ

q > ^jp₂^k+ 1, to modyfikując odpowiednio kolory wierzchołka v oraz incydent-nej z nim krawędzi tej ścieżki, możemy łatwo uzyskać t_f(v) ≡ t_v (mod p) dla otrzymanego kolorowania f . Następnie kontynuujemy trawersowanie ścieżki, w każdym kroku modyfikując, jeżeli to konieczne, kolor kolejnego wierzchołka i jednej, następującej po nim krawędzi tak, by indukowane ko-lory (wagi) wszystkich, poza ewentualnie u, wierzchołków na ścieżce miały

właściwe reszty mod p. Zauważmy, że w trakcie tego procesu nie zmieniamy wag wierzchołków, które nie należą do danej ścieżki. Jeżeli otrzymane kolo-rowanie nie spełnia tezy, kontynuujemy opisaną procedurę z kolejnymi wierz-chołkami v (v 6= u), aż do skutku.

Twierdzenie 4.2.3 (Przybyło, Woźniak [52]) Niech będzie dany graf spójny

G, który nie jest drzewem, liczba naturalna p > 3 oraz zbiór docelowych wag t_v ∈ Z dla wszystkich v ∈ V (G). Wówczas dla każdego q > ^jp

2

k

+ 1 istnieje

totalne [q]-kolorowanie f grafu G takie, że t_f(v) ≡ t_v (mod p) dla wszystkich

v ∈ V (G).

Dowód. Niech q > ^jp₂^k+ 1. Ponieważ G nie jest drzewem, możemy usta-lić jego podgraf C, który formuje cykl w grafie G. Niech u będzie dowolnie wybranym wierzchołkiem na tym cyklu. Na podstawie lematu 4.2.2 możemy znaleźć takie totalne [q]-kolorowanie grafu G, że otrzymane (totalne) wagi wszystkich, poza ewentualnie u, wierzchołków mają wymagane reszty. Na-stępnie przypisujemy tymczasowy kolor 0 wszystkim krawędziom i wierzchoł-kom cyklu C. Oznaczmy otrzymane kolorowanie przez g i niech s_v = t_g(v) dla v ∈ V (C). Aby otrzymać pożądane kolorowanie, wystarczy teraz za-stosować lemat 4.2.1 do grafu C z docelowymi wagami (resztami) tv − s_v

dla każdego wierzchołka v cyklu C.