Ograniczenie dla grafów regularnych

Na podstawie opisanych dotychczas rozważań wiemy, że hipoteza 1,2 jest na pewno spełniona dla grafów regularnych stopnia co najwyżej 4. Już do-wód tego faktu dla grafów 4-regularnych obejmuje dosyć szczegółową ana-lizę kilku przypadków. Próba jego uogólnienia dla wyższych stopni wydaje się na pierwszy rzut oka beznadziejna. Wykorzystując wniosek 3.2.6, który znalazł już swoje zastosowanie w rozdziale 3, wykażemy natomiast w twier-dzeniu 4.3.4, iż zbiór kolorów {1, . . . , 7} (zamiast {1, 2}) jest wystarczający dla grafów regularnych dowolnego stopnia.

Skończony ciąg liczb (b₁, . . . , b_l) będziemy nazywać blokiem ciągu (a₁, . . . , a_k) wtw gdy istnieje 0 6 j 6 k − l takie, że bi = a_j+i dla i = 1, . . . , l. Naj-pierw udowodnimy dwa pomocnicze lematy.

Lemat 4.3.2 (Przybyło [48]) Niech s = (a₁, . . . , a_k) będzie ciągiem

nieujem-nych liczb całkowitych takich, że a1+ . . . + ak6 k. Wówczas istnieje element

a_j = 0 tego ciągu taki, że a_j−1+ a_j+1 6 3 (gdzie a0, a_k+1 := 0), chyba że s

składa się wyłącznie z bloków (1, 0, 3, 0, 1) oraz (1, . . . , 1).

Dowód. Ciągi składające się z bloków (1, 0, 3, 0, 1) oraz (1, . . . , 1) (które mogą się nakładać) będziemy nazywać zakazanymi. Ponieważ lemat jest oczy-wisty dla k 6 3 i łatwy do zweryfikowania dla k = 4, zakładamy, iż k > 5 i dowodzimy go przez indukcję. Przypuśćmy, że istnieje kontrprzykład, czyli (nie zakazany) ciąg s = (a1, . . . , ak) taki, że a1 + . . . + ak 6 k oraz dla każdego elementu a_i = 0, a_i−1+ a_i+1 > 4. Jeżeli jakieś jego dwa kolejne ele-menty a_r, a_r+1 są oba dodatnie lub oba równe 0, wówczas przynajmniej jeden z ciągów (a1, . . . , ar) lub (ar+1, . . . , ak) nie jest zakazany i spełnia założenia lematu. Zatem na podstawie założenia indukcyjnego istnieje element a_j = 0 taki, że a_j−1+ a_j+1 6 3, sprzeczność.

Możemy zatem założyć, że co drugi element ciągu s jest dodatni, a co drugi równy 0. Niech a_t będzie drugim w kolejności zerowym elementem ciągu s (więc t = 3 lub t = 4). Dla pierwszego zerowego elementu ciągu,

a_t−2, musi zatem zachodzić a_t−3 + a_t−1 > 4, więc a1 + . . . + a_t > 4, t 6 4. W konsekwencji ciąg (a_t+1, . . . , a_k) spełnia założenia lematu (i nie jest zaka-zany), co na podstawie indukcji prowadzi do sprzeczności.

Lemat 4.3.3 (Przybyło [48]) Niech G będzie spójnym grafem k-regularnym,

który nie jest ani cyklem, ani grafem pełnym. Wówczas istnieje właściwe wierzchołkowe k-kolorowanie grafu G o klasach kolorów V₁, . . . , V_k takich, że d_Vi(v)6 3 dla każdego v ∈ Vi−1, i = 2, . . . , k.

Dowód. Na podstawie twierdzenia Brooksa graf G jest k-kolorowalny. Wy-bierzmy zatem takie właściwe wierzchołkowe k-kolorowanie i takie uporząd-kowanie klas kolorów V₁, . . . , V_k, które minimalizuje sumę Pk

l=2e(V_l−1, V_l). Pokażemy, że spełnia ono tezę.

Załóżmy, że tak nie jest, czyli istnieją 2 6 i 6 k oraz v ∈ Vi−1 takie, że d_Vi(v) > 4. Oznaczmy al := d_Vl(v) dla l = 1, . . . , k (a₀, a_k+1 := 0). Wów-czas a_i > 4 (ai−1 = 0) i, skoro G jest k-regularny, a₁+. . .+a_k = k. Na podsta-wie lematu 4.3.2 istnieje zatem 16 j 6 k takie, że aj = 0 oraz aj−1+aj+1 6 3, więc d_Vj(v) = 0 i możemy przesunąć (przekolorować) v z V_i−1do V_j, a w kon-sekwencji jednocześnie zredukować minimalizowaną sumę o przynajmniej 4, zwiększając ją o nie więcej niż 3 (ponieważ v ma co najwyżej 3 sąsiadów w V_j−1∪ V_j+1), sprzeczność.

Twierdzenie 4.3.4 (Przybyło [48]) Każdy graf regularny dopuszcza totalne [7]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów.

Dowód. Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem k-regularnym. Na pod-stawie obserwacji 4.1.2 możemy założyć, że G nie jest grafem pełnym, a co za tym idzie, na podstawie wniosku 4.3.1 (i twierdzenia Brooksa) możemy przy-jąć, iż k > 14. Na podstawie lematu 4.3.3 istnieje właściwe wierzchołkowe

k-kolorowanie grafu G o klasach kolorów V₁, . . . , V_k takich, że d_V4i(v) 6 3 dla każdego v ∈ V_4(i−1), i = 2, . . . ,^jk₄^k (wystarczy przenumerować niektóre klasy kolorów z lematu 4.3.3). Ta własność przyda nam się w drugiej części dowodu.

Niech λ =^lk₄^m, więc 4λ> k i λ >^jk₄^k. Ponieważ δ(G) = k = ∆(G), niech

A = A_k będzie zbiorem λ kolejnych liczb całkowitych z wniosku 3.2.6 i niech

a będzie najmniejszą liczbą w zbiorze A. Oznaczmy c := k + 4a + 4 oraz s_i := c + i, b_i := c + 4(λ + 1) + i.

4.3 Ograniczenia 73

Niech L_i = {s_i, b_i} będzie zbiorem dopuszczalnych (totalnych) wag dla

wierz-chołków ze zbioru V_i, i = 1, . . . , k. W pierwszej części dowodu skonstruujemy totalne [8]-kolorowanie takie, że t(v) ∈ L_i dla każdego v ∈ V_i, i = 1, . . . , k. Dzięki temu, ponieważ s₁ < . . . < s_k < b₁ < . . . < b_k, kolorowanie to będzie rozróżniało sąsiadów w grafie G. W istocie użyjemy jednak jedynie kolorów 1 i 5 na krawędziach grafu. To pozwoli nam w drugiej części rozumowania zredukować kolory niektórych wierzchołków oraz podwyższyć je dla wybra-nych krawędzi tak, by f (e) ∈ {1, 2, 5, 6} i 1 6 f (v) 6 7 dla wszystkich

e ∈ E i v ∈ V , oraz tak, by listy dopuszczalnych wag pozostały

niezmie-nione dla wszystkich klas kolorów, poza tymi postaci V_4j, j = 1, . . .^jk₄^k, dla których dopuścimy listy L⁰_4j = {s_4j− 4, s_4j, b_4j − 4, b_4j} zamiast L_4j. Po-nieważ s_4j − 4 = s_4(j−1) i b_4j − 4 = b_4(j−1), wagi wierzchołków ze zbiorów

V_4j, j = 1, . . .^jk₄^k, będą musiały zostać zaprojektowane uważnie, tak aby kolorowanie pozostało rozróżniającym sąsiadów. Zauważmy w szczególności, że s₄−4 < s₁ i s_k < b₄−4 < b₁, więc dopuszczenie samego zbioru L⁰₄ (zamiast

L₄) nie spowoduje żadnych nowych konfliktów.

Przyporządkujmy na początek kolor 1 wszystkim krawędziom oraz tym-czasowy kolor 0 wierzchołkom grafu G. W tym momencie liczba k jest wagą każdego wierzchołka. Następnie dla każdego wierzchołka v ∈ V_4j+l,

j = 0, . . . , λ − 1, l = 1, . . . , 4, przyjmijmy av = a + j, gdzie a + j ∈ A. Na podstawie wniosku 3.2.6 istnieje podgraf rozpinający H grafu G taki, że d_H(v) ∈ {a_v, a_v+ 1, a_v+ λ + 1, a_v+ λ + 2} dla wszystkich v ∈ V . Dodajmy teraz 4 do koloru każdej krawędzi tego podgrafu H (wówczas f (e) ∈ {1, 5} dla e ∈ E). W wyniku tej modyfikacji, dla każdego wierzchołka v ∈ V_4j+l otrzymujemy t(v) ∈ {k+4a_v, k+4(a_v+1), k+4(a_v+λ+1), k+4(a_v+λ+2)} =

{s4j+l− 4 − l, s4j+l− l, b4j+l− 4 − l, s4j+l− l}. Stąd, przyjmując dla każdego

kolejnego wierzchołka odpowiednio f (v) = l + 4 lub l, otrzymujemy t(v) ∈ L_i oraz 1 6 f (v) 6 8 dla wszystkich v ∈ Vi, i = 1, . . . , k, co kończy pierwszą część konstrukcji.

Zauważmy, że f (v) może być równe 8 tylko dla wierzchołków z V_4j,

j = 1, . . . ,^jk₄^k. Obniżymy kolory tych wierzchołków w następujący sposób. Przeglądamy zbiory postaci V_4j jeden po drugim w odwrotnej kolejności, zaczynając od V₄bk

4c i kończąc na V4. Dla ustalonego V_4j analizujemy jego wierzchołki w dowolnej kolejności i dla danego v ∈ V_4j dokonujemy zmian jedynie gdy f (v) = 8. Mianowicie, jeżeli v ma jakiegokolwiek sąsiada w zbio-rze V_4(j−1), wybieramy w sposób dowolny jednego z tych sąsiadów (oznaczmy go przez u) i zmniejszamy kolory wierzchołków u oraz v o 1 (jest to za każdym razem możliwe, gdyż u ma co najwyżej 3 sąsiadów w V_4j, a miał kolor 4 lub 8 po pierwszej części konstrukcji) oraz dodajemy 1 do koloru krawędzi uv (ustalając go jako 2 lub 6). Zauważmy, że te modyfikacje nie

zmieniają wag wierzchołków u i v. Z drugiej strony, jeżeli v nie ma sąsiada w V_4(j−1) (lub j = 1), redukujemy kolor (więc i wagę) wierzchołka v o 4, skąd

t(v) ∈ L⁰_4j. Ponieważ v nie ma sąsiadów w V_4(j−1) (dla j > 1) oraz s₄−4 < s₁,

s_k< b₄− 4 < b₁, żaden konflikt nie zostanie wytworzony. Po przeanalizowa-niu i dokonaprzeanalizowa-niu modyfikacji dla wszystkich opisanych wierzchołków, otrzy-mujemy totalne [7]-kolorowanie rozróżniające sąsiadów w grafie G.