W zakresie pojęcia dojrzałości szkolnej zawiera się dojrzałość do uczenia się matematyki. F. Bartmiński (1991) dostrzega jednak, że w wielu pracach dotyczących dojrzałości szkolnej, zagadnienie gotowości dziecka do uczenia się matematyki nie było wyodrębniane. Wyjątek stanowią badania H. Moroza (1981), R. Więckowskiego (1981) oraz J. Sokólskiej (1985) (za: Bartmiński 1991).
Zdaniem S. Szumana (za:Reclik, 2006) dojrzałość do uczenia się matematyki można analizować w dwóch kategoriach: wrażliwości i podatności. „Wrażliwość to, jego zdaniem, zdolność do samodzielnego rozwiązywania zadań i wykorzystywania umiejętności matematycznych w sytuacjach życiowych, natomiast podatność na uczenie się matematyki jest równoznaczna z rozumowaniem w tej konwencji logicznej, w której na zajęciach w szkole przekazywane są treści matematyczne”(za: Reclik, 2006, s.175).
Z. Semadeni (za Reclik, 2006) z kolei wyróżnia trzy komponenty dojrzałości dziecka do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych. Są to:
- dojrzałość intelektualna, w szczególności dojrzałość operacyjna, symboliczna i numeryczna;
- dojrzałość motoryczno-percepcyjna, czyli sprawność manualna, koordynacja wzrokowo-ruchowa, spostrzeganie oraz
- dojrzałość emocjonalna, przejawiająca się w odporności emocjonalnej na sytuacje trudne.
Przy wyznaczaniu dojrzałości do uczenia się matematyki należy zatem wziąć pod uwagę poziom rozwoju procesów psychicznych, które dziecko angażuje w trakcie nabywania wiadomości i umiejętności matematycznych (Gruszczyk-Kolczyńska, 1992, Kurant, 2008). Jak zauważa S. Guz „warunkiem koniecznym do zrozumienia przez dziecko pojęć i opanowania operacji matematycznych jest osiągnięcie przez nie dojrzałości w zakresie operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym” (Guz,
28
2006, s.169; także Bartmiński, 1991; Dominek i Pełka-Woszko, 2004). Jest to niezbędne, gdyż – jak zaznacza Z. Krygowska (1979) pojęcia matematyczne i język matematyki są w swej naturze operacyjne.
M. Świdrak analizując dojrzałość szkolną dzieci rozpoczynających naukę w klasie pierwszej mówi o dojrzałości do liczenia, która jej zdaniem „związana jest z umiejętnością określania stosunków przestrzennych, czasowych, ilościowych, klasyfikowania przedmiotów według przeznaczenia oraz dokonywania działań dodawania i odejmowania w zakresie dziesięciu” (Świdrak, 2007, s.86; także Magda-Adamowicz, 2010).
Dojrzałość do uczenia się matematyki wymaga również wysokiego poziomu sprawności percepcyjno-motorycznych. Dużą rolę odgrywa prawidłowa koordynacja oraz dynamika procesów nerwowych, które decydują o zdolności scalania aktywności i organizowania jej w umiejętność.
Na dojrzałość emocjonalną z kolei zwraca uwagę E. Gruszczyk-Kolczyńska stwierdzając, iż „dzieci są dojrzałe do uczenia się matematyki wówczas, gdy chcą się uczyć matematyki, potrafią zrozumieć sens zależności matematycznych omawianych na lekcjach i wytrzymują napięcia, które towarzyszą rozwiązywaniu zadań matematycznych” (Gruszczyk- Kolczyńska, 1992, s.22).
Według wspomnianej E. Gruszczyk-Kolczyńskiej na dojrzałość matematyczną składają się następujące umiejętności i funkcje:
1. dziecięce liczenie, czyli zdolność i gotowość do liczenia, a w szczególności:
a. sprawność w przeliczaniu obiektów na poziomie ikonicznym, symbolicznym i werbalnym;
b. zdolność do rozróżniania liczenia błędnego od poprawnego oraz dodawania i odejmowania w zakresie 10 – na palcach lub pamięciowo;
c. umiejętność porównywania, gdzie jest więcej, a gdzie mniej;
2. operacyjne rozumowanie na poziomie konkretnym dotyczące:
a. zdolności uznawania zasady stałości ilości nieciągłych, przejawiającej się uznawaniem równoliczności zbiorów, mimo dokonanej zmiany w układzie poszczególnych elementów;
b. zdolności do porządkowania serii w kolejności rosnącej lub malejącej;
3. zdolność do funkcjonowania na poziomie symbolicznym i ikonicznym bez
29
konieczności odwoływania się do poziomu enaktywnego i działań praktycznych w odniesieniu do:
a. pojęć matematycznych (aspekt językowo-symboliczny);
b. działań arytmetycznych (formuła arytmetyczna i jej przekształcenie);
c. schematów graficznych (grafy strzałkowe, drzewka, tabelki);
4. dojrzałość emocjonalna na sytuacje trudne, przejawiająca się w:
a. samodzielności i chęci do rozwiązywania zadań;
b. odporności na sytuacje problemowe;
5. prawidłowy rozwój sprawności manualnej, percepcji spostrzegania oraz koordynacji wzrokowo-ruchowej (Gruszczyk-Kolczyńska, 1989, 1992; Kawczyńska, 2004; Oszwa, 2008; Wiatrowska i Dmochowska, 2013; Reclik, 2006).
Podobne stanowisko zajmuje U. Oszwa (2008c), która mówi o dwóch aspektach dojrzałości szkolnej: pedagogicznym i psychologicznym.
Aspekt pierwszy – pedagogiczny dotyczy opanowania przez dziecko podstawowych wiadomości o figurach geometrycznych, nabycia umiejętności liczenia, wykonywania działań arytmetycznych oraz dokonywania obliczeń. A. Klim-Klimaszewska dodaje, że
„dziecko rozpoczynające naukę w klasie I powinno posiadać umiejętność uzasadniania, wnioskowania, wiązania przyczyn ze skutkami, porządkowania wiadomości i operowania nimi samodzielnie. To bowiem stanowi podstawę do przyszłego myślenia abstrakcyjnego, niezbędnego do uczenia się matematyki” (Klim-Klimaszewska, 2005, s.112).
Aspekt psychologiczny dojrzałości szkolnej obejmuje natomiast „ umiejętności radzenia sobie w sytuacjach problemowych, przezwyciężania i pokonywania niepowodzeń, adekwatnego reagowania na porażkę i wyciągania wniosków z popełnianych błędów oraz odpowiedniego poziomu odporności emocjonalnej” (Oszwa, 2008c, s.8). Autorka wlicza do niego również poziom funkcjonowania dziecka w zakresie procesów poznawczych, takich jak percepcja wzrokowa oraz wzrokowo-przestrzenna, kompetencje językowe, analityczno-syntetyczne, uwaga czy pamięć. R. Dominek i A. Pełka-Woszko (2004) wskazują jeszcze jeden element dojrzałości psychicznej do uczenia się matematyki, jakim jest odpowiedni poziom decentracji. Chodzi o to, by dziecko potrafiło koncentrować się jednocześnie na kilku aspektach spostrzeganej sytuacji np. na kolorze, wielkości położeniu oraz przejawia gotowość w zakresie odwracalności w myśleniu i działaniu, umie powrócić (myślami) do punktu wyjścia.
30
Poziom przygotowania dziecka przedszkolnego do przyswajania pojęć i kształtowania umiejętności matematycznych oraz jego uwarunkowania były przedmiotem badań F. Bartmińskiego (1991). Autor twierdzi, że już w wieku 6 lat ponad ⅓ dzieci osiąga taki poziom dojrzałości do uczenia się matematyki, który zapewnia im powodzenie szkolne w tym zakresie. Ponadto okazało się, że ani płeć, ani system wcześniejszej opieki wychowawczo-edukacyjnej czy środowisko lokalne nie wpływają w istotny sposób na dojrzałość dzieci do edukacji matematycznej w szkole.
Również E. Gruszczyk-Kolczyńska (1989) dowodzi, że dojrzałość do uczenia się matematyki osiągają wcześniej lub później wszystkie dzieci pozostające w normie intelektualnej. Jednakże zdaniem autorki szczególnie ważne jest, aby to nastąpiło przed rozpoczęciem nauki w klasie I, gdyż w przeciwnej sytuacji, mogą wystąpić zaburzenia, a nawet zablokowanie procesu uczenia się matematyki.
31
II. Podstawy dziecięcej matematyki
1. Charakterystyka właściwości rozwojowych dziecka w wieku przedszkolnym w kontekście nabywania kompetencji matematycznych
Edukacja matematyczna dziecka w wieku przedszkolnym jest ściśle związana się z intensywnym rozwojem myślenia, kształtowaniem się odporności emocjonalnej oraz nabywaniem nowych kompetencji podczas praktycznej działalności zabawowej.
Dla dydaktyków matematyki szczególnie interesujące są teorie wyjaśniające proces tworzenia i rozwoju pojęć u dzieci. Psycholodzy, pedagodzy i dydaktycy oraz metodycy matematyki zastanawiają się, w jaki sposób nabywane i rozwijane są umiejętności liczenia, jakie procesy i funkcje są konieczne do prawidłowego ich rozwoju i czy są jakieś specyficzne procesy psychiczne odpowiedzialne za rozwój umiejętności matematycznych.
W odpowiedzi na te problemy U. Oszwa (2006) przytacza wyniki badań i obserwacji J. Piageta, E. Gruszczyk-Kolczyńskiej oraz B. Butterwortha.
W piagetowskiej teorii rozwoju intelektualnego wyróżnia się cztery stadia następujące jedne po drugim w określonym porządku u każdego dziecka:
1. stadium inteligencji praktycznej, sensoryczno-motorycznej (stadium sensomotoryczne) trwające do około drugiego roku życia;
2. stadium inteligencji przedoperacyjnej (stadium przedoperacyjne) od 2 do 6 - 7 lat;
3. stadium inteligencji konkretno-operacyjnej (stadium operacji konkretnych) od 6 - 7 lat do 11 - 12 lat, czyli okres nauczania początkowego w szkole;
4. stadium inteligencji formalno-operacyjnej (stadium operacji formalnych), rozwijające się od 11 - 12 lat do dorosłości (za: Siwek, 1998).
Dziecko przedszkolne jest zatem w okresie wyobrażeń przedoperacyjnych, czyli
„nie odróżnia procesu przekształceń przedmiotów od czynności manipulacyjnych, nie łączy rezultatu tych czynności z dokonywanymi przekształceniami, nie wraca do punktu wyjściowego, lecz ujmuje rezultat tych czynności jako nowe statyczne konfiguracje (Tyborowska, 1969, s.236). K. Kotlarski (1990) zauważa również, że „w stadium przedoperacyjnym dzieci nie potrafią wykonać wewnętrznych operacji umysłowych, które umożliwiają połączenie przeciwstawnych czynności w jedną całość. Czynność zewnętrzna wykonywana jest zawsze na przedmiotach i łączy się ze spostrzeganiem”
(Kotlarski, 1990, s.28).
32
Przykładem rozumowania dziecka w wieku przedszkolnym jest ocenianie liczebności zbioru według powierzchni, jaką zajmuje. Również stosunki czasowe i przestrzenne ujmowane są łącznie i bez zróżnicowania. J. Piaget zauważa, że „czas istnieje dla dziecka jakby wewnątrz ruchu i stanowi zaledwie jedną z jego właściwości przestrzennych - polegających na zmianach pozycji przedmiotu, który się porusza” (za:
Tyborowska, 1969, s.236).
J. Piaget w swej teorii dotyczącej rozwoju poznawczego i inteligencji operacyjnej podaje, że pojęcie liczby i umiejętności arytmetyczne budowane są na bazie podstawowych zdolności. Wśród nich wymienia:
- zdolność rozumienia zasady przechodniości, - świadomość stałości,
- zdolność oderwania się od fizycznych cech przeliczanych obiektów (za: Oszwa, 2006).
H. Siwek (1998) transferuje stadia rozwoju intelektualnego wyróżnione przez J. Piageta na poziomy myślenia matematycznego opracowane przez P. van Hiele a w oparciu o bogate doświadczenia w nauczaniu matematyki. P. van Hiele opisuje każdy z etapów „poprzez działania, jakie są dostępne uczniowi na danym poziomie, struktury myślenia i aktywności matematyczne towarzyszące tym działaniom oraz język, coraz bardziej ścisły i poprawny pod względem matematycznym” (za:
Siwek, 1998, s.36). Autor mówi kolejno o poziomie: wzrokowym, opisowym i logicznym, które zdaniem H. Siwek (1998) należy traktować jako odpowiedniki stadium inteligencji przedoperacyjnej, stadium inteligencji konkretno-operacyjnej oraz stadium inteligencji formalno-operacyjnej odnoszącej się do teorii rozwoju intelektualnego J. Piageta.
Bardzo ważną z punktu widzenia nabywania przez dziecko kompetencji matematycznych jest teoria amerykańskiego psychologa J. S. Brunera (za: Gruszczyk- Kolczyńska i Zielińska, 2004). W teorii rozwoju umysłowego człowieka autor wymienia trzy systemy reprezentacji, które bazują na działaniu, wyobrażeniach oraz na mowie. Reprezentacje te nazywa:
- „enaktywną – są to ubiegłe zdarzenia, które mogą być reprezentowane w umyśle w formie schematów ruchowych,
- ikoniczną – są to zdarzenia reprezentowane w formie syntetycznych obrazów,
33
- symboliczną – reprezentowanie sensu zdarzeń za pomocą słów lub innych symboli”
(za: Gruszczyk-Kolczyńska i Zielińska, 2004, s.134; także Kawczyńska, 2004).
D. Wood (2006) wyjaśnia, że reprezentacje enaktywne są zbliżone pojęciowo do piagetowskiej inteligencji praktycznej. „Na przykład dziecko, które potrafi pogrupować zestawy obiektów zgodnie z jednym lub kilkoma kryteriami, takimi jak, powiedzmy, rozmiar, kolor czy kształt, wykazuje enaktywnie określony poziom pojmowania pojęcia klasyfikacji. Jeśli dzieci mogą sobie wyobrazić lub też narysować obrazki, które przedstawiają wynik serii działań, to wtedy używają one reprezentacji ikonicznych” (Wood, 2006, s.210). Jednakże autor wskazuje również na rozbieżności w poglądach J. Piageta i J. S. Brunera w kwestii wieku dziecka, w którym dostępne są mu różne sposoby reprezentacji. „Co za tym idzie, tam, gdzie teoria J. Piageta przewiduje, że dzieci będą w stanie wykonywać zadania zakładające użycie abstrakcyjnych, hipotetycznych twierdzeń czy algebraicznego zapisu dopiero po osiągnięciu stadium operacji formalnych, J. S. Bruner dla odmiany twierdzi, że dużo młodsze dzieci są w stanie nauczyć się zarówno wykonywania, jak i rozumienia tego typu działań intelektualnych pod warunkiem otrzymania właściwej instrukcji”(Wood, 2006, s.210)
W interpretacji H. Siwek (1998) trzy reprezentacje J. S. Brunera występują we wszystkich poziomach wyznaczonych przez P. van Hiele`a, a tym samym także w każdym stadium rozwojowym J. Piageta. Autorka pokazuje na przykładach konkretnych treści matematycznych możliwości przechodzenia przez dziecko drogi od reprezentacji enaktywnej poprzez ikoniczną do symbolicznej.
Docelowym poziomem rozumowania dziecka jest kształtowanie się i organizowanie operacji konkretnych. „Są to działania przeprowadzone tylko w umyśle, charakteryzujące się stosunkowo dużym stopniem uogólniania, tworzące całościowe systemy, które dają się odwracać i składać” (Gruszczyk-Kolczyńska, 1989, s.55). E. Gruszczyk-Kolczyńska (1989) uważa, iż jest to konieczny warunek, aby dziecko przyswoiło pojęcie liczby naturalnej, opanowało cztery działania matematyczne oraz rozwiązywało zadania tekstowe.
A. Szemińska (1981) z kolei dokonuje ciekawych porównań sposobów myślenia dziecka na poziomie przedoperacyjnym i w późniejszym stadium ukształtowanych już operacji konkretnych w zakresie rozwiązywania zadań z przekształceniami (np.
przelewanie płynów z różnych naczyń), wnioskowania i klasyfikowania. Autorka
34
podsumowuje, że dopiero, gdy dziecko osiągnie poziom operacji konkretnych, wtedy zrozumie kardynalny aspekt liczby, będzie umiało porównywać liczebność zbiorów oraz określi różnice między nimi, będzie także rozumiało sens zadań tekstowych.
Na tym poziomie rozumowania dziecko ustala równoliczność zbiorów bez konieczności manipulowania przedmiotami i abstrahując od cech jakościowych, czyli odkrywa zasadę niezmienności (też Bruner, 1978). E. Gruszczyk-Kolczyńska przestrzega jednak, iż „pojawienie się tych możliwości poznawczych w rozumowaniu dziecka nie oznacza, że może je ono stosować we wszystkich kategoriach przestrzenno-czasowych”
(Gruszczyk-Kolczyńska, 1989, s.56). Okazuje się, że stałość masy uznają dopiero siedmio-, ośmiolatkowie, a najpóźniej rozumowanie operacyjne pojawia się w obrębie jednostek czasu (za: Gruszczyk-Kolczyńska, 1989).
A. Szemińska dostrzega znaczącą rolę w procesie przechodzenia od myślenia przedoperacyjnego do operacji konkretnych własnej aktywności dziecka, rozmaitych czynności manipulacyjnych przez nie wykonywanych. Autorka dodaje, że „dla rozwoju myślenia jest szczególnie ważne, aby czynności dziecka były wykonywane świadomie i skierowane na określony cel (Szemińska, 1981, s.124). Podobne stanowisko zajmuje E. Gruszczyk-Kolczyńska, wyjaśniając, że „natura dojrzałości psychicznej do uczenia się matematyki jest taka, iż nie można jej ukształtować u dzieci ani przez pokazywanie i powtarzanie wzorów zachowania, ani przez wyjaśnianie. To, co składa się na taką dojrzałość, dziecko musi samodzielnie zdobyć, odkryć i wypróbować (Gruszczyk- Kolczyńska, 1989, s.112).
Bardzo ważne znaczenie dla rozwoju procesów poznawczych ma zabawa, która
„w wieku przedszkolnym stopniowo staje się bogatsza w treść, bardziej zorganizowana i zbiorowa (Tyborowska, 1969, s.237). Dzięki aktywności zabawowej wzbogacają i różnicują się uczucia dziecka, jego zasób wiadomości, słownictwo i sprawność ruchowa, a także kształcą się uczucia moralne, estetyczne i społeczne. Ponadto poprzez zabawę dziecko poznaje otaczający świat, uczy się go rozumieć, doskonali się jego sprawność manualna, koordynacja wzrokowo-ruchowa oraz myślenie przyczynowo-skutkowe. Wraz z tym rozwijają się zainteresowania i wola dziecka.
Pod koniec wieku przedszkolnego pojawia się zaciekawienie zjawiskami przyrodniczymi, chęć zrozumienia ich przebiegu i coraz większa potrzeba rozumienia, wyjaśniania związków między obserwowanymi zjawiskami. Te właściwości sprzyjają -
35
zdaniem A. Szemińskiej (1981), rozpoczęciu systematycznego rozwijania myślenia i kształtowania pojęć matematycznych.