ustalanie przez dzieci równoliczności dwóch zbiorów; posługiwanie się

Ustalenie równoliczności lub odpowiedniości wzajemnie jednoznacznej związane jest z kardynalnym aspektem liczby naturalnej (Fiedler, 1977, Wilgocka-Okoń, 1972).

W edukacji matematycznej przedszkolaków wiele uwagi poświęca się właśnie ustalaniu równoliczności. Poznanie tej relacji doprowadza dziecko do przyswojenia sobie pojęcia mocy zbioru.

Dziecku dla zrozumienia aspektu kardynalnego liczby naturalnej potrzebna jest umiejętność porównywania liczebności dwóch i więcej zbiorów oraz wnioskowania o stałości liczby elementów w zbiorze pomimo obserwowanych zmian w układzie tych elementów (stałość liczby).

H. Moroz (1982) wymienia kolejne stadia w rozwoju pojęć liczbowych u dzieci (podobnie Morawska, 1985). Najwcześniej dzieci dokonują ocen ilościowych na podstawie spostrzeżeń globalnych. Zbiór przedmiotów postrzegają jako całość, nie potrafią traktować go jako sumy pojedynczych elementów i nie badają równoliczności zbiorów. Z. Morawska (1985) nazywa to oceną liczebności „na oko”. W drugim

83

stadium dzieci, manipulując przedmiotami ustalają wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie jednego zbioru na drugi (ustawiają w pary elementy tych zbiorów).

Jednak, gdy zmieni się położenie przestrzenne badanych zbiorów, dziecko ma wątpliwości, czy zbiory nadal są równoliczne (Piaget, Szemińska, 1952; Gruszczyk-Kolczyńska, 1989). Dla małych dzieci jest ważne to, co spostrzegają – przedmioty zajmują większą powierzchnię, czyli jest ich więc więcej (są większe, rozsunięte).

Na potwierdzenie tych prawidłowości U. Oszwa (2008b) przytacza znany eksperyment J. Piageta, który dotyczył stałości ilości nieciągłych i polegał na układaniu żetonów w dwóch rzędach równolicznych z uwzględnieniem zasady przyporządkowywania jeden do jednego (też Gruszczyk-Kolczyńska, 1989,1992). Przy określaniu

„więcej/mniej” dla dzieci ważniejsza jest wielkość powierzchni, jaką one zajmują, niż wynik liczenia (Fiedler, 1977, Moroz, 1982). W języku matematycznym oznacza to, że dziecko ma problemy z uznaniem zasady niezmienności liczebności zbioru, gdy elementy zbioru zmienią swoje położenie (Fiedler, 1977; Wilgocka-Okoń, 1972).

Dziecko kieruje się oceną jakościową, a nie ilościową.

Dopiero około szóstego roku życia powstaje pojęcie stałości ilości nieciągłych, które polega na decentracji od cechy nieistotnej i jednoczesnej koncentracji na tym, co istotne dla danej treści. Dziecko niezależnie od konfiguracji elementów zbiorów, potrafi ustalić, czy są one równoliczne. Do zrozumienia tzw. niezmienników dziecko dochodzi drogą manipulacji przedmiotami, drogą porównywania ich. W miarę gromadzenia doświadczeń związanych z manipulowaniem przedmiotami oraz liczeniem dziecko zaczyna doznawać konfliktu pomiędzy tym, co widzi a efektem liczenia. Dlatego wciąż się upewnia – przelicza, przestawia obiekty. Kolejne doświadczenia z wielokrotnym przeliczaniem i obserwowaniem zmian w układzie przedmiotów powodują, że dziecko w końcu zaczyna rozumieć, że te zmiany w układzie obiektów nie mają wpływu na ich liczebność w porównywanych zbiorach (Fiedler, 1977; Moroz, 1982; Dominek i Pełka-Woszko, 2004; Kawczyńska, 2004).

Ustalanie równoliczności jest ściśle związane z rozwojem rozumowania operacyjnego na poziomie konkretnym, z czynnościami wykonywanymi bezpośrednio na przedmiotach (Burtowy, 1992a). E. Gruszczyk-Kolczyńska uważa, że uznawanie przez dziecko stałości ilości nieciągłych jest pierwszym przejawem pojawienia się w jego rozumowaniu operacji konkretnych. „Na tym poziomie rozumowania dziecko potrafi skupić się na samej czynności przyporządkowania i oderwać ją od cech

84

jakościowych przedmiotów, którymi manipuluje. Dlatego obserwowane zmiany, np.

w układzie rozpatrywanych obiektów, nie mają wpływu na sąd dotyczący ilości.

Dziecko jest także zdolne do przegrupowania w wyobraźni przedmiotów i tym samym łatwiej mu je porównywać, porządkować lub przyporządkować” (Gruszczyk-Kolczyńska, 1989, s.55; także Kawczyńska, 2004). Potrafi skupić się na dwóch zbiorach jednocześnie i porównać ich liczebność, abstrahując od koloru, wielkości i ułożenia.

M. Fiedler (1983) zaznacza, że bardzo ważną rolę w kształtowaniu pojęcia równoliczności odgrywają doświadczenia własne dziecka, zwłaszcza, gdy porównywane dwa zbiory równoliczne różnią się jakością elementów, ich układem lub zajmowaną powierzchnią. Podobne stanowisko zajmują R. Dominek i A. Pełka-Woszko stwierdzając jednoznacznie, że „pojęcia stałości nie można dziecka nauczyć! Pojęcie stałości jest pojęciem operacyjnym (czynnościowym). Dziecko może je przyswoić jedynie w działaniu” (Dominek i Pełka-Woszko, 2004, s.27).

Liczebność zbiorów można porównać stosując dwie metody:

- poprzez przeliczenie elementów każdego zbioru i porównanie liczebników określających liczebność obu zbiorów;

- poprzez ustawienie obiektów w pary tak, aby na tej podstawie ustalić: tu i tu jest tyle samo, tu jest więcej (Fiedler, 1977; Kolczyńska, 1992; Gruszczyk-Kolczyńska i Zielińska, 2004; Kawczyńska, 2004; Oszwa, 2008b; Kamińska, 2012).

Stosując pierwszy sposób, który E. Gruszczyk-Kolczyńska (1992) ocenia jako mniej dojrzały, dzieci nie mogą mieć wątpliwości, co do tego, że ostatni z wymienianych liczebników określa liczebność każdego rozpatrywanego zbioru. Muszą zapamiętać ostatnie wymieniane liczebniki, a potem – już bez liczenia – porównać je, zdecydować:

w porównywanych zbiorach jest tyle samo elementów lub w jednym jest ich więcej, a w drugim mniej.

Przy ustalaniu równoliczności poprzez ustawianie w pary dzieci muszą być przekonane, że zmiana układu elementów (przesunięcie ich, położenie jednego na drugim itp.) nie ma wpływu na ich liczebność (Oszwa, 2008b). Ponadto dziecko musi umieć skupić uwagę na dwóch zbiorach jednocześnie, znać sposób układania w pary i konsekwentnie go stosować (każdemu elementowi jednego zbioru przyporządkowywać dokładnie jeden element drugiego zbioru). I chociaż taka metoda porównywania liczebności zbiorów nie wymaga umiejętności liczenia, to koniecznymi

85

są spore kompetencje dziecka, które musi prawidłowo zinterioryzować czynność przyporządkowywania.

W wyniku takiego sposobu porównywania kształtuje się obok pojęcia zbiorów równolicznych także pojęcie zbiorów nierównolicznych wyrażanych słownie „jest mniej niż”, „jest więcej niż” (Fiedler, 1977).

E. Gruszczyk-Kolczyńska na podstawie własnych badań podkreśla, że dzieci preferowały przeliczanie elementów, a „zbyt rzadko stosowały w życiu układanie w pary, aby swobodnie posługiwać się tą metodą” (Gruszczyk-Kolczyńska, 1992, s.33).

Dzieci w późnej fazie wieku przedszkolnego mają jeszcze kłopoty z ustalaniem równoliczności oraz określaniem, w którym zbiorze jest więcej. J. Piaget uważa, że dopiero dziecko 7-letnie może prawidłowo określać w różnych sytuacjach równoliczność dwóch zbiorów (za: Burtowy, 1992a). Trudności wielu dzieci w określaniu stosunków ilościowych potwierdzają także badania H. Moroza (1982) oraz A. Białej (za: Burtowy, 1992a).

Ustalanie równoliczności zbiorów, a przez to zrozumienie procesu liczenia wiąże się ze zrozumieniem znaczenia liczby porządkowej (Fiedler, 1977). H. Siwek twierdzi, że „w aspekcie porządkowym zwracamy uwagę na to, który z kolei element danego zbioru jest w danej chwili rozpatrywany. Ustawiając w szeregu przedmioty, porządkując je i numerując, dziecko odpowiada na pytanie: Który z kolei?” (Siwek, 2005, s.24).

A. Szemińska wskazuje jednoznacznie „prawidłowe ukształtowanie pojęcie liczby wymaga (…) rozumienia związku między liczbą (określającą liczebność zbioru) a jej miejscem w uporządkowanym ciągu liczb. Dlatego liczebniki kardynalne i porządkowe powinny kształtować się u dziecka jednocześnie” (Szemińska, 1981, s.177).

Do pojęcia aspektu porządkowego liczby naturalnej niezbędne jest rozumowanie operacyjne na poziomie konkretnym, które pozwala dzieciom porządkować elementy w serie według określonej narastającej lub malejącej cechy oraz określać miejsce danego elementu w takiej serii. Taki sposób rozumowania kształtuje się powoli, począwszy od narodzin dziecka, a być może nawet wcześniej (Gruszczyk-Kolczyńska, 2009b). Dziecięce rozumowanie podąża za manipulacją; wykonywane czynności i rozumowanie wzajemnie się przeplatają: „to zamysł wyznacza przebieg czynności, to znów czynność wyprzedza rozumowanie” (Gruszczyk-Kolczyńska, 2009b, s.242).

86

Przechodzenie z poziomu manipulowania przedmiotami na poziom rozumowania operacyjnego jest możliwe dzięki mechanizmowi interioryzacji (Gruszczyk-Kolczyńska, 2009b). Trwa dość długo, wymaga dużego wysiłku intelektualnego dziecka i zawsze bazuje na jego osobistych doświadczeniach.

Zdaniem M. Fiedler dziecko 6-letnie jest psychicznie gotowe do zrozumienia, że miejsce danej liczby w ciągu liczb naturalnych wyznacza liczebnik porządkowy (Fiedler, 1977).

Niestety praktyka szkolna pokazuje, że takie operacje sprawiają dużo kłopotów nie tylko dziecku przedszkolnemu, lecz także uczniom niższych klas szkoły podstawowej.

M. Burtowy podaje: „dzieci budujące schody z klocków, potrafią przeliczyć stopnie, posługując się liczebnikami porządkowymi. Natomiast wyjaśnienie, że będąc na czwartym schodku lalka przeszła trzy schodki, a będąc na szóstym pięć itp. sprawia dzieciom trudność” (Burtowy, 1992a, s.243, też Szemińska, 1981).

Dlatego tak ważne jest, aby nauczyciel w przedszkolu organizował dzieciom doświadczenia w ustawianiu obiektów w rzędzie lub szeregu, numerowaniu ich, określaniu miejsca wybranego obiektu w tak uporządkowanych szeregach. Wiele przykładów takich ćwiczeń z dziećmi przedszkolnymi podaje M. Fiedler (1977) oraz M. Skura, która uważa wręcz, że aspekt porządkowy liczby to „punkt wyjścia do tworzenia w umysłach dzieci syntezy ważniejszych aspektów liczby naturalnej, w następnej kolejności łączymy go z aspektem kardynalnym, symbolicznym i arytmetycznym”(Skura, 2009, s.257).

2.4. Rozróżnianie przez dzieci lewej i prawej strony, określanie kierunków