8. Analizy numeryczne
8.5. Dyskusja braku iteracji przy wyznaczaniu macierzy kowariancji
dla każdej symulacji) Spoisty (tab. 8.1) Spoisty (tab. 8.1) 0.25 0.25 = 400 = 400 1.25 = 600 = 600 2.50 = 700 = 700 7.50 = 850 = 850 0.5 0.50 = 500 = 500 2.50 = 1000 = 1000 5.00 = 1000 = 1000 15.00 = 1000 = 1000 0.75 0.75 = 800 = 800 3.75 = 1200 = 1200 7.50 = 1500 = 1500 22.50 = 1500 = 1500
8.5. Dyskusja braku iteracji przy wyznaczaniu macierzy
kowariancji
Kwestie dotyczące dokładności i efektywności algorytmu rozwijanego w ramach niniejszej rozprawy zostały poruszone we wcześniejszych rozdziałach. Przed przedstawieniem wyników analiz i omówieniem otrzymanych rezultatów należy rozważyć dodatkowe zagadnienie wpływające na dokładność obliczeń. Mianowicie, w rozdziale 5 domyślnie założono brak iteracyjnego wyznaczania postaci macierzy kowariancji; otrzymywano ją dla geometrii zniszczenia ustalonej na podstawie wyjściowych charakterystyk probabilistycznych podłoża (Krok 1 i 2, rozdział 5). Założenie braku iteracji może mieć wpływ na uzyskiwane wyniki; aby ocenić wielkość tego wpływu na otrzymane wartości średnie i odchylenia standardowe nośności podłoża, zaproponowano modyfikację metodyki przedstawionej w rozdziale 5 umożliwiającą iteracyjne wyznaczenie postaci macierzy kowariancji. Na rysunku 8.3 w czarnych ramkach przedstawiono poszczególne kroki zgodne z metodyką przedstawioną w rozdziale 5, natomiast w czerwonych ramkach ujęto dodatkowe kroki, które pozwalają na iteracyjne wyznaczenie postaci macierzy kowariancji.
150
Rysunek 8.3. Metodyka pozwalająca na iteracyjne wyznaczenie macierzy kowariancji. Szczegółowy opis w tekście.
Na podstawie metodyki z rysunku 8.3 przeprowadzono dodatkowe analizy, polegające na iteracyjnym wyznaczeniu postaci macierzy kowariancji. Procedura rozpoczyna się identycznie jak algorytm opisany w rozdziale 5 z tą różnicą, że macierz kowariancji była aktualizowana cztery razy (liczba powtórzeń j = 3), a nie jeden raz, jak przyjęto w rozdziale 5. Po ustaleniu pierwszej postaci macierzy kowariancji, uśrednieniu parametrów podłoża (Krok 3), a następnie wyznaczeniu optymalnej geometrii zniszczenia i odpowiadającej jej nośności podłoża (Krok 4), macierz kowariancji wyznacza się ponownie, tym razem dla nowej geometrii (Krok 5). W ten sposób otrzymuje się drugą macierz kowariancji, na podstawie której wyznacza się nowe
151
wartości parametrów podłoża. Następnie wyznacza się optymalną geometrię zniszczenia i odpowiadającą jej nośność podłoża (Krok 6). Kroki 5 i 6 powtarzano trzy razy. W rezultacie otrzymuje się cztery wartości nośności podłoża dla tego samego przypadku (identyczne parametry wyjściowe z Kroku 1). Całą procedurę zawartą na rysunku 8.3 powtarza się N razy. Poniżej przedstawiono wyniki dla przeprowadzonych analiz; otrzymano je dla przypadku podłoża spoistego, b = 1.0 m i przy założeniu następujących wartości skal fluktuacji: 3 = 0.25 m oraz 5 = 0.25 m; 3 = 0.25 m oraz 5 = 7.50 m; 3 = 0.50 m oraz 5 = 0.50 m; 3 = 0.50 m oraz 5 = 15.00 m; 3 = 0.75 m oraz 5 = 0.75 m; 3 = 0.75 m oraz 5 = 22.50 m.
Rysunek 8.4. Wybrane 10 realizacji spośród 1000 przeprowadzonych dla symetrycznego mechanizmu 6-blokowego; podłoże spoiste, b = 1.0 m; na osi poziomej zaznaczono numer iteracji, dla którego wyznaczona jest odpowiadająca nośność podłoża. Uwaga: oś pionowa rozpoczyna się od 375 kN/m.
Na rysunku 8.4 przedstawiono 10 wybranych wartości nośności otrzymanych w kolejnych krokach iteracyjnych(przykład dotyczy 3 = 0.50 m oraz 5 = 15.00 m). Na podstawie rysunku można zaobserwować, że nośność podłoża dla pojedynczych realizacji nie zmienia się w szerokim zakresie, a różnice między trzecią a czwartą iteracją praktycznie nie występują. W związku z tym, z punktu widzenia otrzymania pojedynczej wartości nośności wykonanie trzeciej iteracji jest wystarczające, aby zachodziła stabilizacja pojedynczych wartości średnich. Rysunek 8.5 prezentuje zachowanie się wartości średnich nośności podłoża (dla każdego zagadnienia przeprowadzono N = 1000 symulacji). W przypadku wartości średnich nośności obserwuje się ich wzrost między pierwszą a drugą iteracją postaci macierzy kowariancji i stabilizację dla trzeciej i czwartej iteracji. Wzrost między pierwszą a drugą iteracją wynosi przeciętnie ok. 1%. Niemniej
152
jednak, dla przypadku izotropowego ( 3 = 0.25 m oraz 5 = 0.25 m) otrzymane wartości średnie są praktycznie takie same. Na kolejnym rysunku (rys. 8.6) przedstawiono zachowanie się wartości odchyleń standardowych nośności podłoża; w ogólności wartości te rosną dla kolejnych iteracji. W przypadku pionowych skal fluktuacji wynoszących 0.25 m odchylenia standardowe nośności podłoża pozostają na takim samym poziomie, a większe różnice obserwuje się przy założeniu 3 = 0.50 m i
3 = 0.75 m (maksymalnie 3%, z jednym wyjątkiem, którym jest przypadek izotropowy dla 3 = 0.75 m, gdzie różnica między pierwszą a czwartą iteracją wynosi ok. 8%).
Rysunek 8.5. Wartości średnie nośności podłoża dla kolejnych iteracji postaci macierzy kowariancji. Linią przerywaną zaznaczono przypadek anizotropowy ( 5 = 30 3), linią ciągłą przypadek izotropowy
153 Rysunek 8.6. Odchylenia standardowe nośności podłoża dla kolejnych iteracji postaci macierzy kowariancji. Linią przerywaną zaznaczono przypadek anizotropowy ( 5 = 30 3), linią ciągłą przypadek
izotropowy ( 5 = 3). Opis w tekście.
Analogiczne obliczenia jak przedstawione na rysunkach 8.5 i 8.6 przeprowadzono przy założeniu podłoża idealnie spoistego. Otrzymane w ten sposób rezultaty wskazują na bardzo podobne zachowanie się wartości średnich i odchyleń standardowych nośności (dla kolejnych iteracji) jak w przypadku podłoża typu c – . Co więcej, podobnie jak we wcześniejszych analizach, największe różnice zaobserwowano w przypadku izotropowym ( 5 = 3 = 0.75 m). Powyższe analizy są próbą oceny wpływu założenia jednokrotnej lub wielokrotnej iteracji macierzy kowariancji na wartości średnie i odchylenia standardowe nośności podłoża otrzymane poprzez zastosowanie metodyki zaproponowanej w rozprawie. Na podstawie przeprowadzonych analiz pokazano, że wykonanie obliczeń w oparciu o jednokrotne wyznaczenie postaci macierzy kowariancji prowadzi do zmniejszenia wartości średnich o ok. 1% oraz zmniejszenia wartości odchyleń standardowych średnio o ok. 2% (względem kolejnych iteracji). W jednym przypadku (tj. podłoże izotropowe 5 = 3 = 0.75 m) zaobserwowano większe różnice. Na podstawie powyższych analiz można stwierdzić, że przyjęcie dwukrotnej iteracji postaci macierzy kowariancji niweluje większą część wspomnianych wyżej wpływów. Pomimo tego, w związku z ograniczonym wpływem omawianego zagadnienia na otrzymane wartości średnie i odchylenia standardowe nośności podłoża, wszystkie obliczenia zaprezentowane w dalszej części rozprawy oparto na jednokrotnym wyznaczeniu postaci macierzy kowariancji. Decyzję tę uzasadnia się znacznie większym wpływem niepewności w wyznaczaniu wartości skal fluktuacji (na ocenę losowej
154
nośności podłoża) w porównaniu z wpływem ilości iteracji przy wyznaczaniu macierzy kowariancji. Niemniej jednak rezultaty powyższych analiz wskazują, że poprzez wykonanie podwójnej iteracji postaci macierzy kowariancji, efekt wpływu omawianego zagadnienia może zostać praktycznie wyeliminowany.