o cechach przestrzennie zmiennych
Aby realizacja celów postawionych na początku niniejszej rozprawy była możliwa, niezbędne jest zaproponowanie metodyki, która umożliwi połączenie mechanizmów zniszczenia podłoża z procedurą optymalizacyjną oraz elementami teorii pól losowych. Opracowana metodyka poprzez użycie kinematycznych mechanizmów zniszczenia prowadzi do oceny górnej nośności podłoża. Uwzględnia się opis parametrów wytrzymałościowych gruntu za pomocą pól losowych. Poprzez aplikację teorii uśrednień lokalnych Vanmarcke’a, dyskretyzuje się wartości pola losowego do zmiennych losowych odpowiadających poszczególnym liniom lub powierzchniom poślizgu, które wynikają z mechanizmu zniszczenia. Proponowana metodyka ma charakter uniwersalny i może być zastosowana do szerszej klasy problemów geotechnicznych, a w szczególności tam, gdzie korzysta się z mechanizmów zniszczenia (zgodnie z twierdzeniem o ocenie górnej obciążenia granicznego), a więc np. do zagadnień stateczności skarp. Jednakże, aplikacja metodyki do określonego zagadnienia nie odbywa się wprost i wymaga wcześniejszych prac teoretycznych (np. wyprowadzenia wyrażeń całkowych określających wartości współczynników macierzy kowariancji). W pierwszej kolejności dla zdefiniowanego zagadnienia należy wybrać mechanizm zniszczenia. W niniejszej rozprawie w przypadku ławy fundamentowej (płaski stan odkształcenia) rozważono mechanizm Prandtla, mechanizm wieloblokowy symetryczny i mechanizm wieloblokowy niesymetryczny oraz w przypadku stopy fundamentowej - mechanizm trójwymiarowy. Wyżej wspomniane mechanizmy przed zastosowaniem muszą zostać zmodyfikowane tak, aby umożliwić wyznaczenie nośności podłoża dla różnych wartości parametrów wytrzymałościowych na poszczególnych liniach lub
66
powierzchniach poślizgu (pierwotnie mechanizmy te były stosowane wyłącznie w analizach deterministycznych). Modyfikacje, które przeprowadzono na potrzeby rozprawy, są nieodzownym elementem pozwalającym na zastosowanie opracowanej metodyki. Przedstawiono je w rozdziale 6. W przypadku mechanizmu Prandtla geometria zniszczenia zdeterminowana jest wyłącznie przez wartość kąta tarcia wewnętrznego. Z tego powodu dla mechanizmu Prandtla założono, że geometria zniszczenia zależy od pojedynczej wartości kąta tarcia wewnętrznego (szczegóły w rozdziale 6.1). Inna sytuacja ma miejsce dla mechanizmu wieloblokowego, gdzie poprzez modyfikację kątów i długości linii poślizgu można zoptymalizować geometrię zniszczenia przy założeniu rożnych wartości parametrów wytrzymałościowych na poszczególnych liniach poślizgu (po uwzględnieniu ciężaru objętościowego na kształt geometrii ma wpływ nie tylko wartość kąta tarcia wewnętrznego). Adaptację mechanizmu wieloblokowego przedstawiono w rozdziale 6.2. W przypadku mechanizmu trójwymiarowego geometria jest optymalizowana podobnie jak dla mechanizmu wieloblokowego dwuwymiarowego, z tą różnicą, że geometria trójwymiarowa wskutek ograniczeń związanych z kinematyczną dopuszczalnością ma mniej stopni swobody, tj. parametrów, względem których wartości można modyfikować. Opis adaptacji mechanizmu trójwymiarowego do potrzeb rozprawy przedstawiono w rozdziale 6.3. Zgodnie z powyższymi informacjami, mechanizm dwuwymiarowy wieloblokowy oraz mechanizm trójwymiarowy wymagają zastosowania procedury optymalizacyjnej; taka procedura została zaproponowana przez autora i omówiona w rozdziale 6. Metodyka opiera się m.in. na teorii lokalnych uśrednień Vanmarcke’a. Naturalnym wyborem obszarów, względem których dokonuje się uśrednień parametrów wytrzymałościowych podłoża, jak zasygnalizowano wcześniej, są linie lub powierzchnie poślizgu w danym mechanizmie zniszczenia. Takie podejście po raz pierwszy zostało wykorzystane przez Pułę (2004, 2007) dla mechanizmu Prandtla. Wyprowadzenie wzorów na współczynniki macierzy kowariancji (dla zmiennych losowych otrzymanych w drodze uśredniania) jest stosunkowo proste dla mechanizmu dwuwymiarowego i skomplikowane w przypadku trójwymiarowym. Na podstawie macierzy kowariancji na każdej linii poślizgu wyznacza się nowe wartości parametrów wytrzymałościowych (po uśrednieniu); w tym celu do każdego zagadnienia dostosowuje się algorytm zaproponowany w pracy Puły i Chwały (2015). Dla nowo otrzymanych wartości parametrów, poprzez procedurę optymalizacyjną, wyznacza się optymalną geometrię i odpowiadającą jej nośność podłoża. Jako podsumowanie, poniżej przedstawiono pięć głównych kroków proponowanej metodyki oceny nośności podłoża.
67
Krok 1. Wygenerowanie niezależnych wartości parametrów
wytrzymałościowych gruntu dla każdej z linii/powierzchni poślizgu w mechanizmie zniszczenia (na podstawie wstępnych charakterystyk probabilistycznych).
Krok 2. Optymalizacja mechanizmu zniszczenia dla parametrów
wytrzymałościowych z Kroku 1.
Krok 3. Wyznaczenie macierzy kowariancji dla geometrii zniszczenia z Kroku 2 i obliczenie nowych (uśrednionych) wartości parametrów wytrzymałościowych na podstawie parametrów z Kroku 1 oraz macierzy kowariancji.
Krok 4. Optymalizacja mechanizmu zniszczenia dla parametrów
wytrzymałościowych z Kroku 3. Wyznaczenie nośności podłoża.
Krok 5. Powtórzenie Kroków 1, 2, 3 i 4 N razy. N jest liczbą symulacji Monte Carlo dla danego zagadnienia.
Wstępne charakterystyki probabilistyczne (Krok 1) otrzymuje się bezpośrednio na podstawie badań laboratoryjnych lub polowych i dotyczą one „punktowego” zachowania się danego parametru podłoża. W rozprawie za pomocą pól losowych opisuje się wartości kąta tarcia wewnętrznego oraz spójności; są to parametry mające największy wpływ na nośność podłoża. Wartości wygenerowane w Kroku 1 są względem siebie niezależne, a ich liczba jest równa liczbie linii poślizgu Ê w rozważanym mechanizmie; oznaczmy je następująco: &, …, " oraz &, …, ", Ê zależy od liczby bloków.
Dwuwymiarowy wieloblokowy mechanizm zniszczenia oraz mechanizm trójwymiarowy wymagają efektywnej procedury optymalizacyjnej w celu znajdywania optymalnych geometrii zniszczenia. W związku z relatywnie dużą liczbą parametrów, względem których będzie przebiegać optymalizacja, powyższe zagadnienia należy zaliczyć do grupy zagadnień wieloparametrowych. Rozmiar zadania zależy od liczby bloków i zwiększa się wraz z jej wzrostem (analogiczna zależność zachodzi w przypadku linii lub powierzchni poślizgu). W związku z powyższym, niezbędna jest efektywna
68
metoda optymalizacyjna pozwalająca możliwie dokładnie znajdować kształt geometrii, dla której otrzymuje się najniższe oszacowanie nośności. W rozprawie autor zdecydował zastosować metodę wyżarzania (simulated annealing) (Kirkpatrick i in., 1983; Kirkpatrick, 1984). Metoda wyżarzania jest metodą stochastycznej optymalizacji i jest dedykowana znajdowaniu przybliżonej wartości globalnego ekstremum danej funkcji. W ramach metody wyżarzania proces symulacyjny jest kontrolowany przez tzw. prawdopodobieństwo akceptacji gorszej wartości, które w ogólności spada w trakcie procesu symulacyjnego. Dopuszczenie tymczasowego przyjęcia gorszego rozwiązania pozwala ominąć lokalne ekstrema. W niniejszej rozprawie wykorzystano prawdopodobieństwo akceptacji gorszego rozwiązania dane równaniem (5.1).
= exp j = :‚&
! l
(5.1)
Gdzie jest aktualną wartością funkcji celu, :‚& jest wartością funkcji celu w ostatniej
symulacji. Parametr ! jest tzw. aktualną „temperaturą” i wpływa on na zmniejszanie
prawdopodobieństwa wraz z kolejnymi krokami procesu symulacyjnego. Podczas procesu symulacyjnego wartość ! jest redukowana przez parameter –. Proces ten, z uwagi na historyczne konotacje, nazywa się procesem schładzania. Pod koniec procesu symulacyjnego wartości są praktycznie równe zeru, w związku z czym metoda sprowadza się do prostej metody gradientowej (wyłącznie lepsze rozwiązanie jest akceptowane). Niestety metody wyżarzania nie można zastosować wprost do danego zagadnienia, lecz należy ją wcześniej dostosować i wytestować. W związku z tym jej aplikacja wymaga opracowania unikalnej procedury. Taka procedura została zaproponowana przez autora niezależnie w przypadku dwuwymiarowego wieloblokowego mechanizmu zniszczenia oraz w przypadku mechanizmu trójwymiarowego rozważanego w niniejszej rozprawie. Zastosowanie metody wyżarzania wymaga także wcześniejszego ustalenia wartości parametrów kontrolujących proces symulacyjny (ich wartości powinny być dobrane indywidualnie do danego zagadnienia, jednak w literaturze można znaleźć pewne ogólne wytyczne pozwalające na wyznaczenie tych wartości, np. Cohn i Fielding (1999) lub Ben-Ameur (2004)). Ustalenie parametrów kontrolujących proces symulacyjny podano w rozdziałach 6.2 oraz 6.3.
W Kroku 3 w oparciu o wyprowadzone wyrażenia całkowe wyznacza się postać macierzy kowariancji. Nowe parametry gruntu (po uśrednieniu) wyznacza się poprzez dostosowany algorytm zaproponowany w pracy Puły i Chwały (2015). Postacie
69
algorytmu dostosowane do rozpatrywanych zagadnień przestawiono w dalszych częściach rozprawy. Jako rezultat uśredniania otrzymuje się nowe wartości parametrów wytrzymałościowych (%&, …, %") oraz ( &̅ , …, "̅ ), gdzie m oznacza liczbę linii poślizgu dla określonego mechanizmu zniszczenia. Nowe parametry charakteryzują się zredukowanymi wartościami wariancji oraz są wzajemnie skorelowane, zgodnie z macierzą kowariancji.
Cztery pierwsze kroki są powtarzane N razy. Liczba powtórzeń całej procedury powinna zapewnić zakładaną dokładność (np. w oszacowaniu wartości średniej nośności podłoża). W ogólności, liczba N zależy od charakteru danego zagadnienia; dla różnych współczynników zmienności - aby zapewnić podobny poziom dokładności - należy przeprowadzić odpowiednią liczbę symulacji (liczba ta jest większa w przypadku większych współczynników zmienności). W związku z różnymi czasami obliczeń dla pojedynczych symulacji, liczba N musi być ustalona jako kompromis pomiędzy oczekiwaną dokładnością a czasem obliczeń. Zagadnienia teoretyczne związane z ustaleniem liczby N przedstawiono w rozdziale 7.
Podejście przedstawione w niniejszym rozdziale wymaga wyznaczenia postaci macierzy kowariancji indywidualnie dla każdej symulacji (macierz ta w dalszych częściach rozprawy zwana jest także indywidualną macierzą kowariancji). Jednakże efektywność zaproponowanej metodyki można znacznie zwiększyć poprzez jednorazowe wyznaczenie macierzy kowariancji dla danego zagadnienia (tzw. stała macierz kowariancji). Stałą macierz kowariancji wyznacza się na podstawie oczekiwanych wartości parametrów wytrzymałościowych podłoża i zadanych wartości skal fluktuacji – macierz jest wyznaczona jeden raz i nie zmienia się w trakcie symulacji. W rozdziałach 8, 9 i 10 przedstawiono wyniki analiz przeprowadzonych przy założeniu stałej macierzy kowariancji, przedstawiono tam też więcej szczegółów.
70