Wybrane rezultaty dotyczące oceny nośności podłoża

skończone, dla których poszukiwane są wartości prędkości w węzłach. Dopóki pole prędkości spełnia wszystkie warunki zgodnie z twierdzeniem o oszacowaniu górnym nośności granicznej, odpowiadająca mu wartość nośności jest oszacowaniem górnym (Sloan, 1989). Prace Sloana w późniejszych latach zostały rozszerzone: Lyamin i Sloan (2002a) przedstawili rozszerzenie algorytmu dla dolnego oszacowania nośności dla programowania nieliniowego. Pozwoliło to znajdować wartości nośności ograniczające prawdziwą wartość od dołu dla jednego, dwóch i trzech wymiarów w sposób efektywniejszy niż dla algorytmu opartego o programowanie liniowe. Analogiczna procedura została stworzona dla oszacowania górnego (Lyamin i Sloan, 2002b). Opracowana metoda została zastosowana w obliczeniach nośności dla przypadku dwu- i trójwymiarowego fundamentu posadowionego na gruncie idealnie spoistym (Salgado i in., 2004) oraz na piasku (Lyamin i in., 2007). Obydwie prace przedstawiają wartości współczynników nośności, kształtu i zagłębienia fundamentu. W pracy (Lyamin i in., 2007) zaproponowano jako rezultat przeprowadzonych analiz nową formułę na wyznaczenie nośności podłoża. Szczegółowa dyskusja na temat współczynnika jest zawarta m.in. w pracy (Hjiaj, i in., 2005), natomiast wpływ różnych kształtów fundamentu przedstawia praca (Yamamoto i in., 2009). Część rezultatów otrzymana poprzez powyższą metodę jest przytoczona w Rozdziale 2.6 i porównana z innymi rozwiązaniami. Metoda analizy granicznej za pomocą elementów skończonych pozwala wyznaczać dobre (tj. bliskie) oszacowania dolne i górne dla nośności granicznej.

2.5. Wybrane rezultaty dotyczące oceny nośności podłoża

Jednym z pierwszych rozwiązań dotyczących nośności podłoża dla fundamentu powierzchniowego (lub o niewielkim zagłębieniu, które nie przekracza szerokości fundamentu) jest rozwiązanie zaproponowane przez Terzaghiego (1943); opiera się ono na metodzie równowagi granicznej. Postać wyrażenia określającego nośność podana przez Terzaghiego jest przedstawiona w równaniu (2.9). Terzaghi w swoich analizach zastosował mechanizm Prandtla, natomiast geometria mechanizmu zniszczenia była nieco inna niż ta przedstawiona w rozdziale 2.2. Metodę równowagi granicznej wykorzystał także Meyerhof (1951), który przedstawił rozwiązania dla fundamentów powierzchniowych i zagłębionych. Meyerhof wykazał, że użycie klasycznego mechanizmu Prandtla do wyznaczania nośności przy dużych zagłębieniach fundamentu

28

prowadzi do znacznego przeszacowania wartości nośności. W swojej późniejszej pracy Meyerhof (1963) zaproponował następującą formułę na wartość współczynnika nośności

:

= 8 = 1; tg(1.4 ) (2.16)

Gdzie jest wartością współczynnika nośności dla naprężenia wynikającą z klasycznego mechanizmu Prandtla.

Odmiennym podejściem do analizy nośności podłoża jest metoda charakterystyk (metoda linii poślizgu). Opiera się ona na warunku wytrzymałościowym Coulomba i równaniach równowagi; w rezultacie otrzymuje się układ równań różniczkowych (Izbicki i Mróz, 1976). Wspomniany układ równań różniczkowych wspólnie z naprężeniowymi warunkami brzegowymi może być wykorzystany do analizy naprężeń w gruncie poniżej poziomu fundamentu. Metoda ta została wprowadzona do geotechniki przez Hilla (1950) i Sokołowskiego (1958); jednakże w tamtych czasach praktyczne wykorzystanie tej metody napotkało duże problemy związane z rozwiązywaniem tychże równań różniczkowych, więc jej użycie było silnie ograniczone. Rozwiązanie polega na skonstruowaniu dwóch rodzin linii poślizgu, wzdłuż których naprężenia są stałe i znane na podstawie warunków brzegowych. W ten sposób zdefiniowane linie poślizgu są nazywane charakterystykami, od których pochodzi nazwa metody. Rozwiązanie metodą charakterystyk dla ważkiego gruntu zostało zaproponowane po raz pierwszy przez Lundgrena i Mortensena (1953); w swoich analizach założyli oni brak obciążenia obok fundamentu i otrzymali jedynie wartość współczynnika dla = 30°, który wynosił = 14.8. Taki sam mechanizm zniszczenia dla kołowego fundamentu wykorzystał później Larkin (1968). Metoda Lundgrena i Mortensena została zastosowana przez Brinch Hansena i Christiansena (1969) do studiów nad wartością współczynnika . Przybliżone wyrażenie na wartość współczynnika na podstawie otrzymanych rezultatów zostało zaproponowane przez Brinch Hansena (1970) w następującej postaci:

= 1.58 = 1; tg (2.17)

Sokołowski (1958) otrzymał przybliżone rozwiązanie na wartość nośności dla ważkiego gruntu; wartości współczynnika otrzymane przez Sokołowskiego są nadal używane w

29

praktyce inżynierskiej. Inne wyrażenie na wartość w oparciu o metodę charakterystyk zostało zaproponowane przez Vesica (1970):

= 2.08 = 1; tg (2.18)

Booker (1969) otrzymał wartości górnego oszacowania wartości współczynnika i przedstawił wyniki na diagramach. Przybliżenie tych wyników funkcjami (dla szorstkiej i gładkiej podstawy fundamentu) zostało podane przez Poulosa i in. (2001) w postaci następujących wyrażeń:

szorstka: = 0.1045exp(9.6 ) (2.19)

gładka: = 0.0663exp(9.3 ) (2.20)

Metoda charakterystyk była również stosowana do fundamentów kołowych przez Boltona i Lau (1991), przy założeniu mechanizmów Hilla i Prandtla. Dokładne wartości nośności na podstawie metody charakterystyk zostały wyznaczone przez Martina (2005), który zaproponował następujące wyrażenie na wartość współczynnika :

= 8 = 1; tg(1.32 ) (2.21)

Zmiany wartości wraz ze zmianami kąta tarcia Š pomiędzy fundamentem a gruntem zostały przedstawione w pracy Kumara (2009). Kumar pokazał, że potrzeba uwzględnienia kąta Š wynika z jego dużego wpływu na wartość współczynnika , natomiast wartości oraz pozostają praktycznie niezależne od wartości Š.

Kolejnym podejściem obliczeniowym jest oszacowanie górne nośności, które zostało przedstawione dokładniej w poprzednich rozdziałach. Oszacowanie górne jest bezpośrednio związane ze stowarzyszonym prawem plastycznego płynięcia, ponieważ tylko dla stowarzyszonego prawa plastycznego płynięcia można udowodnić twierdzenia o ocenie górnej i dolnej obciążenia granicznego. Jednakże, metoda obliczeń dla niestowarzyszonych praw plastycznego płynięcia została zasugerowana przez Dreshera i Detornay’a (1993). Mechanizm wieloblokowy dla szorstkiej podstawy fundamentu zaproponowany przez Michałowskiego (1997) został omówiony w rozdziale 2.3. Michałowski dla gładkiej podstawy fundamentu zaproponował mechanizm wieloblokowy typu Hilla. Podobny mechanizm zaproponował Soubra (1998) i

30

zastosował go do analiz statycznych i sejsmicznych nośności podłoża. Wang i in. (2001) zasugerowali użycie mechanizmu składającego się z czworokątów oraz pokazali, że porównanie wielkości mechanizmów zniszczenia przy uwzględnieniu ciężaru gruntu i przy założeniu gruntu nieważkiego prowadzi do mniejszych mechanizmów zniszczenia w przypadku gruntów ważkich. Analogiczne obserwacje są przedstawione w rozdziale 6. Zhu (2000) zaproponował rozwiązanie opierające się na równoważności analizy stanów granicznych i równowagi granicznej, otrzymując także wartości współczynnika . Jak podano w poprzednim rozdziale, analiza graniczna za pomocą elementów skończonych pozwala znajdować ograniczenia górne i dolne wartości nośności. Przy zastosowaniu tej metody Hjiaj i in. (2005) wyznaczyli wartości współczynnika , licząc wartość średnią z oszacowania górnego i dolnego; do uzyskanych wyników aproksymowali następującą postać funkcji:

= exp ‹¹₆(B + 3B[tg )Œ (tg( ))^[•Ž (2.22)

Przybliżone wartości współczynników nośności mogą być wyznaczane także przy zastosowaniu metody elementów skończonych. Jedna z pierwszych ocen wartości współczynnika została opublikowana przez Griffithsa (1982) i dotyczyła gruntu niespoistego z uwzględnieniem ciężaru własnego oraz = 0. W późniejszej pracy Frydmana i Burda (1997) wpływ wartości kąta tarcia wewnętrznego na wartość nośności był wyznaczany na podstawie metody różnic skończonych i metody elementów skończonych. Rozwiązania otrzymane poprzez metodę elementów skończonych nie mogą być rozpatrywane jako dolne lub górne oszacowania nośności; górne oszacowanie wymaga spełnienia prawa płynięcia w każdym punkcie rozważanego ciała (więcej informacji na ten temat można znaleźć m.in. w pracy Hjiaj i in. (2005)).

Twierdzenie o oszacowaniu górnym nośności zostało wykorzystane w metodzie optymalizacji układu nieciągłości (discontinuity layout optimization, DLO), która została zaproponowana przez Smitha i Gilberta (2007) dla przypadku dwuwymiarowego oraz Hawhsbee i in. (2013) w przypadku trójwymiarowym. Metoda opiera się na poszukiwaniu najlepszej konfiguracji potencjalnych linii poślizgu, którą znajduje się w drodze optymalizacji dla ustalonej siatki punktów węzłowych. Metoda ta została zastosowana w komercyjnym programie LimitState GEO (2016), pozwalającym na rozpatrywanie różnych zagadnień geotechnicznych (posadowienie, stateczność zboczy).

31

W związku z użyciem w programie metody DLO, a tym samym otrzymaniu górnych oszacowań nośności (zgodnie z teorią nośności granicznej), program znalazł zastosowanie w procesie walidacji rezultatów, np. w pracy Gourveneca i Mana (2011). Metoda DLO znajduje coraz szersze zastosowanie w ostatnich latach, w szczególności dotyczy to skomplikowanych geometrii oraz posadowienia fundamentów w pobliżu zboczy, np. Leshchinsky (2015), Zhou i in. (2018).