Wstępny opis mechanizmu

3.2. Mechanizm wieloblokowy

3.2.1. Wstępny opis mechanizmu

W niniejszym rozdziale przedstawiono deterministyczny trójwymiarowy mechanizm zniszczenia dla stopy kwadratowej. Mechanizm został zaproponowany przez Michałowskiego (2001). Michałowski w swojej pracy podał podstawy teoretyczne sposobu wyznaczenia nośności podłoża z pominięciem skomplikowanych obliczeń energii dyssypacji na każdej z powierzchni poślizgu, zastępując je całkowaniem po obrysie mechanizmu zniszczenia na powierzchni terenu (celem było wyznaczenie zmian w objętości podczas plastycznego płynięcia). Technika wskazana przez Michałowskiego pozwala znacząco zredukować czas obliczeń potrzebny do wyznaczenia nośności podłoża. Jednakże, zaproponowana technika może być wykorzystana wyłącznie w przypadku homogenicznej warstwy gruntu. Jest to powód, dla którego autor niniejszej rozprawy nie może zastosować powyższego sposobu, w związku z czym nieodzowne jest wyprowadzenie wzorów na energię dyssypacji na wszystkich powierzchniach poślizgu. Wyznaczanie nośności i adaptacja mechanizmu trójwymiarowego na potrzeby niniejszej rozprawy jest przedstawiona odpowiednio w rozdziałach 3 i 6.

Rozważany mechanizm zniszczenia jest mechanizmem o skomplikowanej budowie; składa się ze sztywnych brył ograniczonych powierzchniami nieciągłości prędkości (powierzchniami poślizgu). W mechanizmie występują trzy główne rodzaje powierzchni: trójkąt, trapez wraz z fragmentem elipsy oraz fragment powierzchni stożkowej. Aby zbudować trójwymiarowy mechanizm zniszczenia należy skorzystać z zasad trójwymiarowej geometrii analitycznej. W ramach niniejszej pracy rozważany jest mechanizm z czterema płaszczyznami symetrii – każda z czterech stron mechanizmu jest identyczna. Ogólny zarys geometrii zniszczenia podłoża jest pokazany na rysunku 3.1. Przedstawiony tam przykład jest mechanizmem 4-blokowym (do liczby bloków, podobnie jak w przypadku płaskim, wlicza się blok znajdujący się bezpośrednio pod fundamentem). W związku z symetrią, na rysunku 3.1 przedstawiono tylko jedno z ramion mechanizmu.

40

Rysunek 3.1. Przykładowa geometria zniszczenia dla 4-blokowego trójwymiarowego mechanizmu. Szczegółowy opis zawarto w tekście.

Sztywny blok gruntu oznaczony przez „1” jest ostrosłupem, którego podstawą jest podstawa fundamentu. Wszystkie trójkąty tworzące ściany boczne ostrosłupa są przystające w związku z założeniem symetrii mechanizmu zniszczenia. Geometrie bloków „2”, „3” oraz „4” są znacznie bardziej skomplikowane. W związku z ich złożoną naturą niezbędna jest szczegółowa prezentacja sposobu, w jaki zbudowany jest mechanizm zniszczenia. W tym celu w pierwszej kolejności przedstawiono widok fundamentu (stopa kwadratowa) w określonych płaszczyznach oraz w aksonometrii (patrz rysunek 3.2). Układ współrzędnych zaznaczony kolorem czerwonym jest przyjętym przez autora globalnym układem odniesienia dla mechanizmu trójwymiarowego i będzie się pojawiał na większości prezentowanych rysunków.

Rysunek 3.2. Widok na fundament w płaszczyźnie xy oraz xz, oraz rzut aksonometryczny.

Na rysunku 3.3 pokazano ostrosłup znajdujący się bezpośrednio pod fundamentem. Trójkąt A1A2O1 jest powierzchnią nieciągłości prędkości pomiędzy blokiem „1” i „2”.

41

Rozmiar ostrosłupa pod podstawą fundamentu jest uzależniony od wartości kąta •^{. Z}

prostych zależności trygonometrycznych można wyznaczyć współrzędne punktu O1.

Rysunek 3.3. Ostrosłup poniżej podstawy fundamentu w przekroju płaszczyzną xy oraz w widoku aksonometrycznym.

Wierzchołek ostrosłupa O1 jest zarazem wierzchołkiem stożka ograniczającego kolejny blok „2”. Kąt rozwarcia stożka wynosi 2 i jego wartość wynika z warunku kinematycznej dopuszczalności mechanizmu zniszczenia. Ustawienie stożka jest zdeterminowane przez kąt – (patrz rozdział 3.2.2). Po określeniu położenia stożka znajduje się jego przecięcie wraz z płaszczyzną określoną przez kąt & ^{(patrz rysunek}

3.4). Jeśli przetniemy stożek płaszczyzną, otrzymamy w rezultacie jedną z krzywych stożkowych: okrąg, elipsę, parabolę lub hiperbolę. W niniejszej rozprawie przedmiotem rozważań będą jedynie przypadki dające elipsy (lub w szczególnym przypadku okręgi). W związku z powyższym, przecięcie stożka z płaszczyzną A1A2C1 z rysunku 3.4 jest elipsą (w szczególnym przypadku, gdy oś symetrii stożka jest prostopadła do płaszczyzny A1A2C1, przecięcie C1D1 będzie okręgiem).

Rysunek 3.4. Lokalizacja pierwszej powierzchni stożkowej i jej przecięcie z płaszczyzną zdeterminowaną przez kąt _&.

42

Na rysunku 3.5 przedstawiono elipsę C1D1 w widoku aksonometrycznym. Dodatkowo, na rysunku 3.5 pokazano linie styczności (O1L11 i O1L12) pomiędzy powierzchnią stożkową a płaszczyznami wyznaczonymi przez punkty A1O1L11 oraz A1O1L12. Aby wyznaczyć położenie tej linii, należy rozwiązać nieliniowe równanie przedstawione w rozdziale 3.1.2.

Rysunek 3.5. Elipsa C1D1 jako rezultat przecięcia powierzchni A2A1C1 z powierzchnią stożkową. Punkty L11 i L12 wynikają z przecięcia się linii styczności O1L11 i O1L12 z elipsą C1D1.

W celu określenia geometrii kolejnego sztywnego bloku, należy ustalić położenie następnej powierzchni stożkowej, której wierzchołek oznaczymy przez O2. W związku z koniecznością zapewnienia kinematycznej dopuszczalności mechanizmu zniszczenia i zapewnienia koincydencji geometrii dwóch sąsiadujących bloków, położenie kolejnej powierzchni stożkowej jest zdefiniowane jednoznacznie. Geometria przekroju C1D1 musi być taka sama dla bloku „3”, jak dla bloku „2”. Aby spełnić ten wymóg, kąty ∡D1O1C1

oraz ∡D1O2C1 muszą być równe (patrz rysunek 3.6). Położenie wierzchołka kolejnej powierzchni stożkowej O2 może być wyznaczone jako odbicie lustrzane położenia O1

względem prostej prostopadłej do powierzchni wyznaczonej przez kąt & ^{i przechodzącej}

przez geometryczny środek elipsy C1D1. Sytuację prezentuje rysunek 3.6. Gdy pozycja nowej powierzchni stożkowej jest już ustalona, należy wyznaczyć jej przecięcie z płaszczyzną zdefiniowaną przez kąt [^{. W przypadku bloku „3”, część stożka znajdująca}

się poza obszarem wyznaczonym przez płaszczyzny określone przez kąty & ⁱ [ ^jest

43 Rysunek 3.6. Wyznaczenie trzeciego sztywnego bloku, oznaczonego jako “3”. Zgodnie z koniecznością

spełnienia warunku kinematycznej dopuszczalności, kąt ∡D1O1C1 jest równy kątowi∡D1O2C1. Z kolei kąt _[ określa rozmiar sztywnego bloku. Przecięcie C2D2 jest elipsą.

W sposób analogiczny wyznacza się geometrię czwartego bloku „4”. Ostateczny wynik przedstawia rysunek 3.7. Elipsa C3D3 znajduje się na powierzchni terenu i wspólnie z liniami stycznymi do niej, tworzy kształt mechanizmu zniszczenia na powierzchni terenu. Rozmiar mechanizmu zniszczenia zależy od wartości kąta tarcia wewnętrznego. Dla większych wartości otrzymuje się większy rozmiar mechanizmu zniszczenia. Przykładowe kształty geometrii zniszczenia na powierzchni terenu przedstawia rysunek 3.8.

Rysunek 3.7. Wyznaczenie czwartego bloku (analogicznie do sytuacji przedstawionej na rysunku 3.6). Przecięcie powierzchni stożkowej z powierzchnią terenu C3D3 jest elipsą.

44

Rysunek 3.8. Rozmiar geometrii zniszczenia na powierzchni terenu zależy silnie od wartości kąta tarcia wewnętrznego. Z powodu założenia symetrii jedynie jedna z czterech części mechanizmu zniszczenia jest

zawarta na rysunku. Grunt znajdujący się poza zaznaczonym obszarem pozostaje w spoczynku.

Zapewnienie kinematycznej dopuszczalności mechanizmu zniszczenia wymaga, aby wektory nieciągłości prędkości były nachylone do powierzchni poślizgu pod kątem równym wartości kąta tarcia wewnętrznego . Pomimo trójwymiarowej geometrii zniszczenia, wektory prędkości są zlokalizowane w jednej płaszczyźnie (otrzymuje się to poprzez zadanie rozwartości powierzchni stożkowych jako 2 ). Wskutek tego, otrzymany hodograf prędkości dla przypadku trójwymiarowej geometrii zniszczenia wygląda analogicznie jak dla zagadnienia dwuwymiarowego (patrz rysunek 3.9). Jak zasygnalizowano wcześniej, na potrzeby niniejszej rozprawy niezbędne jest umożliwienie wyznaczania dyssypacji energii na wszystkich powierzchniach poślizgu (podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym), natomiast formuła na nośność wyznaczaną w powyższy sposób podana jest w rozdziale 6.

Rysunek 3.9. a) Przykładowy przekrój przez trójwymiarowy mechanizm zniszczenia oraz b) hodograf prędkości dla 5-blokowego mechanizmu zniszczenia. Wektory nieciągłości prędkości znajdują się na

45