10. Analiza otrzymanych rezultatów
10.1. Ława fundamentowa
10.1.3. Założenie stałej macierzy kowariancji
Wpływ założenia o stałej macierzy kowariancji został przedyskutowany w pracy Puły i Chwały (2015) w odniesieniu do mechanizmu Prandtla, w kontekście wartości
173
wskaźników niezawodności oraz przy uśrednianiu dokonywanym wzdłuż spirali logarytmicznej BC. W celu dokładniejszego przeanalizowania wpływu założenia stałej macierzy kowariancji przeprowadzono obliczenia dla wybranych przypadków, tj. mechanizmu Prandtla przy następujących wartościach skal fluktuacji: 3 = 0.25 m i
5 = 0.25 m; 3 = 0.25 m i 5 = 7.50 m; 3 = 0.75 m i 5 = 0.75 m oraz 3 = 0.75 m i 5 = 22.50 m. Analogiczne analizy zostały przeprowadzone przy założeniu symetrycznego 6-blokowego mechanizmu zniszczenia. Otrzymane rezultaty zamieszczono w załączniku J. W tabelach 10.1 i 10.2 zestawiono otrzymane wartości średnie i odchylenia standardowe nośności przy założeniu indywidualnej macierzy kowariancji (zgodnie z metodyką podaną w rozdziale 5) i stałej macierzy kowariancji (macierz kowariancji wyznaczona przez przyjęcie wartości oczekiwanych parametrów wytrzymałościowych).
Tabela 10.1. Porównanie wartości średnich nośności przy założeniu stałej i indywidualnej macierzy kowariancji, mechanizm Prandtla, podłoże spoiste, b = 1.0 m. Pogrubiono wartości większe.
Wartości średnie nośności [kN/m]
Skala fluktuacji ( 3/ 5) [m] 0.25/0.25 0.25/7.5 0.75/0.75 0.75/22.5 Uśrednianie wzdłuż spirali BC Indywidualna macierz kowariancji 453.4 456.0 455.5 459.8 Stała macierz kowariancji 453.6 456.5 455.9 460.4
Uśrednianie po obszarze ABC
Indywidualna macierz
kowariancji 452.4 453.4 455.2 457.6 Stała macierz kowariancji 453.1 453.9 456.5 458.0
Tabela 10.2. Porównanie odchyleń standardowych nośności przy założeniu stałej i indywidualnej macierzy kowariancji, mechanizm Prandtla, podłoże spoiste, b = 1.0 m. Pogrubiono wartości większe.
Odchylenia standardowe nośności [kN/m]
Skala fluktuacji ( 3/ 5) [m] 0.25/0.25 0.25/7.5 0.75/0.75 0.75/22.5 Uśrednianie wzdłuż spirali BC Indywidualna macierz kowariancji 35.827 70.531 59.717 97.063 Stała macierz kowariancji 36.039 71.246 60.424 97.922
Uśrednianie po obszarze ABC
Indywidualna macierz
kowariancji 28.443 45.347 61.779 80.912 Stała macierz kowariancji 28.849 49.152 62.943 83.233
Zgodnie z tabelami 10.1 i 10.2, w przypadku stałej macierzy kowariancji obserwuje się większe wartości średnie i odchylenia standardowe nośności podłoża niż przy indywidualnej macierzy kowariancji. Otrzymane różnice są niewielkie w szerokim zakresie wartości skal fluktuacji (w analizie wybrano przypadki graniczne, tj. 5 = 3 i 5 = 30 3). W tabelach 10.3 i 10.4 przedstawiono porównanie minimalnych i
174
maksymalnych wartości nośności podłoża otrzymanych w symulacjach Monte Carlo przy założeniu mechanizmu Prandtla. Podobnie jak poprzednio, w tabelach pogrubiono wartości większe.
Tabela 10.3. Porównanie minimalnych wartości nośności przy założeniu stałej i indywidualnej macierzy kowariancji, mechanizm Prandtla, podłoże spoiste, b = 1.0 m. Pogrubiono wartości większe.
Wartości minimalne nośności
Skala fluktuacji ( 3/ 5) 0.25/0.25 0.25/7.5 0.75/0.75 0.75/22.5 Uśrednianie wzdłuż spirali BC Indywidualna macierz kowariancji 332.9 258.2 277.5 217.2 Stała macierz kowariancji 338.8 262.6 285.0 218.5
Uśrednianie po obszarze ABC
Indywidualna macierz
kowariancji 352.4 305.1 276.1 239.8 Stała macierz kowariancji 362.1 300.7 283.2 233.2 Tabela 10.4. Porównanie maksymalnych wartości nośności przy założeniu stałej i indywidualnej macierzy kowariancji, mechanizm Prandtla, podłoże spoiste, b = 1.0 m. Pogrubiono wartości większe.
Wartości maksymalne nośności
Skala fluktuacji ( 3/ 5) 0.25/0.25 0.25/7.5 0.75/0.75 0.75/22.5 Uśrednianie wzdłuż spirali BC Indywidualna macierz kowariancji 613.6 902.2 789.0 1265.2 Stała macierz kowariancji 624.0 943.7 823.1 1312.7
Uśrednianie po obszarze ABC
Indywidualna macierz
kowariancji 554.5 679.7 804.5 857.5 Stała macierz kowariancji 582.3 700.6 831.2 1002.4
W większości przypadków wyższe wartości minimalne nośności podłoża otrzymuje się przy założeniu stałej macierzy kowariancji. Jednakże, w dwóch przypadkach przy uśrednianiu po obszarze ABC otrzymano wartości mniejsze (przypadki te dotyczą dużych wartości poziomych skal fluktuacji; może to być efekt silniejszej korelacji pomiędzy wartościami parametrów przy dokonywaniu uśrednień po obszarze ABC). W przypadku wartości maksymalnych nośności podłoża, większe wartości otrzymuje się wyłącznie przy rozpatrzeniu stałej macierzy kowariancji. Powyżej opisane zjawisko można jakościowo wytłumaczyć w następujący sposób: załóżmy, że w drodze procesu symulacyjnego otrzymujemy małą wartość kąta tarcia wewnętrznego, a co za tym idzie -otrzymujemy mały rozmiar geometrii zniszczenia. Geometria ta odpowiada za (względnie) małe wartości uśrednień, co oznacza, że małe wartości kąta tarcia wewnętrznego (lub spójności) są słabiej „ściągane” w kierunku wartości oczekiwanej (poprzez procedurę uśredniania). W przypadku stałej macierzy kowariancji (która jest wyznaczona dla oczekiwanych wartości parametrów wytrzymałościowych podłoża),
175
„ściągnięcie” małej wartości parametru podłoża w kierunku wartości oczekiwanej (poprzez procedurę uśredniania) będzie większe niż przy indywidualnie wyznaczonej macierzy kowariancji. Powyższe przekłada się na większą wartość nośności przy zastosowaniu stałej macierzy kowariancji. Dlatego też, w przypadku stałej macierzy kowariancji minimalne wartości nośności podłoża powinny być większe niż przy indywidualnej macierzy kowariancji. Analogiczne zjawisko obserwuje się przy maksymalnych wartościach nośności podłoża, tj. przy dużych wartościach kąta tarcia wewnętrznego (przy zastosowaniu indywidualnej macierzy kowariancji) uśrednienia parametrów wytrzymałościowych gruntu wyznacza się przy względnie dużej geometrii zniszczenia (co skutkuje większymi uśrednieniami). Z tego względu stała wartość macierzy kowariancji prowadzi do większych maksymalnych wartości nośności podłoża, co zostało zaobserwowane.
Wyniki otrzymane w analizie niezawodnościowej w oparciu o mechanizm Prandtla (Puła i Chwała, 2015) wskazywały na niewiele niższe wartości wskaźników niezawodności przy założeniu indywidualnej macierzy kowariancji. Oszacowanie wartości wskaźników niezawodności zgodnie z podejściem opisanym w rozdziale 7, przy założeniu globalnego współczynnika bezpieczeństwa F = 1.6, prowadzi do wartości podanych w tabeli 10.5. Tabela 10.5 przedstawia wartości wskaźników niezawodności otrzymane przy uśrednianiu wzdłuż spirali BC.
Tabela 10.5. Porównanie wartości wskaźnika niezawodności przy założeniu stałej i indywidualnej macierzy kowariancji – mechanizm Prandtla, podłoże spoiste, b = 1.0 m, obliczenia przeprowadzono dla globalnego współczynnika bezpieczeństwa F = 1.6.
Wskaźniki niezawodności Skala fluktuacji ( 3/ 5) 0.25/0.25 0.25/7.5 0.75/0.75 0.75/22.5 Uśrednianie wzdłuż spirali BC Indywidualna macierz kowariancji 5.9923 3.1230 3.6447 2.3612 Stała macierz kowariancji 5.9928 3.1169 3.6417 2.3170
Przypadek ten przeanalizowano celowo, aby porównać wartości wskaźników niezawodności z wynikami otrzymanymi w pracy Puły i Chwały (2015). Okazuje się, że pomimo małych różnic otrzymane rezultaty wskazują na odwrotne zachowanie się wskaźników niezawodności w stosunku do wcześniejszych analiz. Prowadzenie obliczeń przy nieco innych parametrach zadania (niż we wspomnianej pracy) nie jest przyczyną zaobserwowanej sytuacji. Otrzymane różnice wynikają bezpośrednio z charakteru szacowania prawdopodobieństwa awarii. W pracy Puły i Chwały (2015)
176
prawdopodobieństwa awarii były wyznaczane bezpośrednio z symulacji Monte Carlo (ich liczba w odniesieniu do pojedynczego zagadnienia była znacznie większa niż w niniejszej rozprawie), dlatego omówiony wcześniej efekt zawyżania minimalnych wartości nośności przy założeniu stałej macierzy kowariancji skutkował wyższymi wskaźnikami niezawodności (w porównaniu z macierzą indywidualną). Szacując wartość wskaźników niezawodności wprost z wygenerowanych danych w przypadku 3 = 0.75 m i 5 = 22.5 m, otrzymuje się (dla F =1.6) odpowiednio: 2.57 przy indywidualnej macierzy kowariancji oraz 2.60 przy stałej macierzy kowariancji (odpowiednio 40 oraz 37 realizacji prowadzących do awarii przy liczbie symulacji N = 8000). Powyższy przykład ilustruje efekt zawyżenia wartości prawdopodobieństwa awarii poprzez podejście przyjęte w niniejszej rozprawie. Podejście to opiera się o dopasowanie teoretycznego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa, co w przypadku długiego ogona po stronie dużych wartości nośności podłoża powoduje otrzymanie minimalnie większych wartości odchyleń standardowych nośności przy stałej macierzy kowariancji (w porównaniu z indywidualną); w związku z tym otrzymuje się nieznacznie mniejsze wskaźniki niezawodności w przypadku stałej macierzy kowariancji. Efekt ten przedstawiono na rysunku 10.13, gdzie pokazano liczbę wygenerowanych wartości nośności niższych od wartości granicznej (dzieląc tę liczbę przez całkowitą liczbę symulacji otrzymuje się prawdopodobieństwo awarii); dane przedstawione na rysunku 10.13 dotyczą przypadku izotropowego, tj. 3 = 5 = 0.75 m. Rysunek 10.13 wskazuje jednoznacznie na większe prawdopodobieństwo awarii przy macierzy kowariancji wyznaczanej indywidualnie (w kontrze do wartości wskaźników niezawodności z tabeli 10.5). W ogólności, opisany efekt ma większy wpływ w sytuacji, gdy prawdopodobieństwo awarii wyznacza się na podstawie niewielkiej liczby symulacji prowadzących do awarii. Jest to możliwa przyczyna wyjaśniająca rezultaty uzyskane w pracy Puły i Chwały (2015), tzn. opisany we wspomnianej pracy wzrost różnicy w wartościach wskaźników niezawodności przy większych ich wartościach (dla większych szerokości fundamentu), może wynikać z proporcjonalnie mniejszej liczby symulacji prowadzących do awarii przy większych wartościach wskaźników niezawodności.
177 Rysunek 10.13. Różnice w liczbie wygenerowanych nośności podłoża dla określonej wartości granicznej
(oś pozioma). Rysunek przedstawia dane uzyskane w przypadku mechanizmu Prandtla, uśredniania wzdłuż spirali BC, 3= 5 = 0.75 m.
Na rysunku 10.14 przedstawiono wyniki uzyskane przy założeniu 6-blokowego symetrycznego mechanizmu zniszczenia. W przypadkach anizotropowych zaobserwowano (rys. 10.14a) wyższe wartości średnie nośności przy stałej macierzy kowariancji, a w przypadku izotropowym otrzymano niższe wartości średnie nośności dla stałej macierzy kowariancji. Zaobserwowane różnice są niewielkie, ich maksymalne wartości wynoszą ok. 1%. Odchylenia standardowe nośności przyjmują większe wartości przy założeniu stałej macierzy kowariancji. Otrzymane rezultaty pokrywają się z otrzymanymi w przypadku mechanizmu Prandtla. Wartości średnie nośności podłoża otrzymane poprzez zastosowanie stałej macierzy kowariancji nie wykazują efektu najgorszego przypadku, który jest widoczny przy indywidualnej macierzy kowariancji. Patrząc na otrzymane wartości minimalne nośności (załącznik J), nie można jednoznacznie stwierdzić, które z podejść daje wyższe ich oszacowania; natomiast w przypadku maksymalnych wartości nośności stała macierz kowariancji skutkuje wyższymi ich oszacowaniami. Efekt ten przekłada się na większe odchylenia standardowe nośności w przypadku stałej macierzy kowariancji (rysunek 10.14b).
178
Rysunek 10.14. Porównanie wartości średnich i odchyleń standardowych nośności przy założeniu stałej i indywidualnej macierzy kowariancji w przypadku 6-blokowego symetrycznego mechanizmu zniszczenia,
podłoże spoiste, b = 1.0 m.
Podsumowując, zaobserwowane różnice dla podejść opartych na zastosowaniu stałej macierzy kowariancji oraz indywidualnej macierzy kowariancji mają istotne znaczenie przy zrozumieniu procesu kryjącego się za uśrednianiem parametrów po liniach poślizgu oraz wpływem uśredniania na otrzymane rezultaty. Wpływ założenia o stałości macierzy kowariancji na otrzymane nośności podłoża rośnie wraz ze wzrostem kąta tarcia wewnętrznego (oraz odchylenia standardowego opisującego ten parametr), co wynika z większych różnic w rozmiarach geometrii zniszczenia. Wpływ ten powinien być pomijalny dla podłoża idealnie spoistego i w przypadku bardzo małych wartości kąta tarcia wewnętrznego. Przeprowadzone analizy pokazują, że koncepcję stałej macierzy kowariancji można zastosować do celów praktycznych; dzieje się tak z uwagi na stosunkowo niewielkie różnice, których wpływ na otrzymywane rezultaty jest znacznie niższy niż niektóre pozostałe czynniki (wpływające na ocenę losowej nośności podłoża), jak chociażby dokładność w oszacowaniu wartości skal fluktuacji (Pieczyńska-Kozłowska i in., 2017).
179