7. BADANIA SYMULACYJNE STATECZNOŚCI TECHNICZNEJ
7.3. Dyskusja nad odniesieniem badanych zjawisk do elementów
W celu odniesienia omawianych zjawisk do definicji stateczności technicz-nej stochastycztechnicz-nej przeprowadzono symulację manewru podwójtechnicz-nej zmiany pasa ruchu bez całkowitego powrotu na pas pierwotny, przy określonych parametrach modelu pojazdu, po czym podjęto próbę interpretacji otrzymanych wyników zgodnie z podaną definicją.
W tej części szczegółowo zwrócono uwagę na aspekt wyznaczania prawdo-podobieństwa pozostawania rozwiązania w określonym obszarze rozwiązań dopuszczalnych oraz możliwości określenia tego prawdopodobieństwa dla ruchu statecznego.
Dodatkowo zwrócono uwagę na aspekt doboru górnej granicy prawdopo-dobieństwa, dla którego w określonych warunkach można wyznaczyć ruch sta-teczny.
Badając stateczność techniczną stochastyczną, przyjęto następujące założe-nia jak wyżej, dla poprzednio omawianych wyników. Ponadto wykorzystano ten sam model pojazdu, zaś jego wybrane parametry omówiono niżej.
Dla analizy ruchu w ekstremalnych warunkach przyjęto zaburzenie położe-nia środka masy nadwozia wynikające z nierównomiernego obciążepołoże-nia. Symula-cję prowadzono dla następującej konfiguracji zaburzeń. Nadwozie pojazdu ob-ciążone kierowcą, pasażerem oraz bagażem, przy czym masy kierowcy i pasaże-ra nierówne, mk =74 kg, mp =105 kg, zaś masa bagażu mB =45 kg.Rozkład mas zaznaczono na rys. 7.35 i 7.36.
Rys. 7.35. Rozkład mas w nadwoziu modelu samochodu sportowego w widoku z góry Źródło: opracowanie własne.
Rys. 7.36. Rozkład mas w nadwoziu modelu samochodu sportowego w widoku z boku Źródło: opracowanie własne.
Na podstawie powyższych założeń wyznaczono współrzędne środka masy nadwozia, co dało następujące wyniki:
-masa całkowita nadwozia mN =1174 kg;
-współrzędne środka masy względem punktu „origo”:
1 562 m, 0 016 m 0 471 m;
c c c
x = , y = , z = ,
-wartości momentów bezwładności nadwozia względem osi przechodzących przez punkt „origo”:
-wartości momentów dewiacji nadwozia względem osi przechodzących przez punkt „origo”:
2 2 2
29 kg m 863 kg m 8 8 kg m
xy xz yz
I = ⋅ , I = ⋅ , I = , ⋅ .
W badanym modelu samochodu, podobnie jak w poprzednich przypadkach, usunięto domyślny model opony PAC89, zamieniając go na model FTIRE.
Odnosząc się do definicji stateczności technicznej stochastycznej podanej w rozdziale 6, w pierwszym kroku określono zasadność stosowania równań ru-chu modelu samochodu w postaci (5.24). Wiadomo, że do takiej postaci można sprowadzić równania ruchu modelu matematycznego, np. z postaci (7.1) – (7.4), co pokazano np. w pracy [158].
Jako że równanie (5.24) jest nieliniowe, a definicja stateczności technicznej stochastycznej przewiduje badanie ruchu obiektów o nieliniowych charaktery-stykach, można stwierdzić, że doprowadzając równania ruchu pojazdu do posta-ci (5.24), można poddać badaniu układ nieliniowy. Co więcej, równanie (5.24) zawiera elementy związane z losowością występujących wielkości zakłócają-cych ruch (składnik ξ(t) będący procesem stochastycznym). Można zatem dojść do wniosku, że definicja stateczności technicznej stochastycznej jako ca-łość zapewnia badanie modeli układów nieliniowych przy losowo występują-cych zaburzeniach.
Rozwiązania układów nieliniowych zależą od warunków początkowych, a omówione przykłady nie stanowią próby generalizowania podanej metody.
Pokazano jedynie przykłady możliwości symulacji modeli nieliniowych dla konkretnych przypadków, dla których zmiana warunków początkowych może dać inne wyniki.
Jednak aby móc poprawnie zastosować omawianą definicję w badaniu dy-namiki modeli samochodów, należy spełnić kilka dodatkowych warunków.
Pierwszym z nich jest uniknięcie bifurkacji, czyli co najmniej podwójnego rozwiązania rozpatrywanego układu nieliniowego. W teorii zagadnień nielinio-wych można spotkać przypadki, gdzie występują dwa lub więcej rozwiązań tego samego układu, co może dać mylący obraz odpowiedzi układu na zaburzenia w określonych warunkach. W tej sytuacji niezbędne jest wykazanie istnienia pochodnej i całkowalności, szczególnie dla funkcji opisujących zaburzenia wy-stępujące losowo. Całkowalność procesu stochastycznego opisana warunkiem (5.25) zapewnia możliwość analizy ruchu pojazdu w aspekcie badania
statecz-ności na podstawie otrzymanej trajektorii ruchu, natomiast kryterium Lipschitza (5.26) zapewnia istnienie pochodnej funkcji opisującej losowo występujące za-burzenia pochodzące od drogi.
Kryterium Lipschitza może być odniesione do zagadnień prezentowanych w pracy [270], dotyczących istnienia pochodnych funkcji. Należy przy tym określić, jak procesy X i η mają się do zmiennych zaznaczonych dla krzywej (rys. 7.37). Ponieważ na rysunku występują zmienne x oraz x’, które przyjmują określone wartości, zatem dla procesów X i η również można przyjąć, że w okre-ślonych chwilach przyjmują określone wartości. Zatem w efekcie warunek (5.26) zapewnia odpowiednie nachylenie realizacji procesu X względem procesu η, który stanowi swego rodzaju gwarancję istnienia pochodnej w przedziale od X1 do X2.
Rys. 7.37. Graficzna interpretacja kryterium Lipschitza dla funkcji f(x) Źródło: opracowanie własne.
Ponadto ważne jest, aby proces stochastyczny opisujący nierówności na-wierzchni posiadał cechę:
-stacjonarności (niezmienności w czasie), ponieważ, jak wiadomo, droga nie zmienia się w czasie, a nierówności na niej występujące są położone w loso-wo rozmieszczonych, nieruchomych względem określonego, również nieru-chomego układu odniesienia;
-globalnej ergodyczności polegającej na tym, że wartość średnia wysokości nierówności i ich funkcja korelacji jest równa dla różnych realizacji procesu, co zapewnia możliwość prowadzenia analiz na podstawie jednej realizacji.
Bez dwóch ww. cech niemożliwa byłaby analiza ruchu modelu samochodu na podstawie jednej realizacji procesu stochastycznego opisującego losowo wy-stępujące nierówności, co jest istotne z punktu widzenia zaburzeń pochodzących od drogi. Analizowany model pojazdu posiada, jak wcześniej wspomniano, nie-liniowe charakterystyki elementów zawieszenia, co i tak uniemożliwia generali-zowanie otrzymanych wyników na zbiór modeli o podobnych cechach. Jednak co do drogi, to zapewnienie ww. warunków umożliwia analizę wielu modeli na drodze o tych samych cechach nierówności.
Kolejnym, istotnym z punktu widzenia analizy układów nieliniowych czyn-nikiem, jest określenie warunków początkowych (zbiór ω w definicji stateczno-ści technicznej stochastycznej, początkowa prędkość postępowa itp.) oraz zbiór dopuszczalnych rozwiązań (Ω), tzn. obszar, gdzie przebywająca trajektoria roz-wiązania uważana jest za stateczną.
Ostatnim warunkiem jest określenie znaczenia liczby ε, czyli zakresu praw-dopodobieństwa, z którym rozwiązanie, pozostające w przyjętym obszarze, mo-że stanowić ilościowy miernik stateczności całego układu. Zgodnie z zasadą ruchu środka masy w ciałach quasi-sztywnych, analizowany jest ruch punktu reprezentacyjnego, do którego należy odnieść cały układ.
W omawianym przypadku badania stateczności modelu pojazdu wykorzy-stano manewr niepełnej podwójnej zmiany pasa ruchu, gdzie na jego końcu po-jazd znalazł się mniej więcej w środku szerokości jednopasmowej jezdni. Symu-lację przeprowadzono dla prędkości 120 km/h, odzwierciedlając konieczność nagłej reakcji na pojawiającą się przeszkodę na drodze, przy jednoczesnym przekroczeniu dopuszczalnej prędkości jazdy.
Symulację prowadzono w środowisku MSC Adams/Car w dwóch konfigu-racjach:
-pojazd obciążony kierowcą, pasażerem o nierównych masach oraz bagażem (rys. 7.35 i 7.36), na równej i suchej nawierzchni;
-pojazd obciążony kierowcą, pasażerem o nierównych masach oraz bagażem, na nawierzchni oblodzonej o losowo występujących nierównościach.
W trakcie manewru pojazd pokonał odległość około 580 m w linii prostej.
Uzyskane dwie trajektorie dla opisywanego przypadku przedstawiono na rys. 7.38.
W omawianym przypadku za zbiór ω przyjęto określoną szerokość pasa ru-chu, na której powinien znajdować się pojazd w momencie rozpoczynania ma-newru. Uwzględniono całkowitą szerokość pojazdu naniesioną na szerokość pasa ruchu. Przyjęto, że w omawianym przypadku pas ruchu ma szerokość rów-ną około 3 m.
Zbiór dopuszczalnych rozwiązań Ω zawierający część trajektorii związaną z przedziałem drogi, na którym odbywa się symulowany manewr, należy od-nieść do całkowitej szerokości nawierzchni (obu pasów ruchu), ponieważ, jak wspomniano uprzednio, otrzymane trajektorie przedstawiają ruch środka masy.
W każdym punkcie trajektorii, szczególnie w punktach obrazujących największe poprzeczne przemieszczenie, należałoby mieć również na uwadze całą szerokość pojazdu. Przyjęto, że szerokość drogi w całości wynosi 6 m, przy czym mowa tu o drodze jednopasmowej, dwukierunkowej. Szerokość pojazdu wynosi 1,9 m.
Dokonując oceny jakościowej, zaobserwowano, że trajektoria dla ruchu pojazdu po nawierzchni gładkiej mieściła się w obszarze stateczności, zaś krzywa dla nawierzchni nierównej i oblodzonej wykraczała poza ten obszar.
-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600
droga (m)
przemieszczenie poprzeczne (m)
nawierzchnia sucha nawierzchnia oblodzona
Rys. 7.38. Przemieszczenie poprzeczne modelu samochodu w funkcji drogi dla nadwozia obcią-żonego kierowcą, pasażerem i bagażem na obu rodzajach nawierzchni
Źródło: opracowanie własne.
Na rys. 7.39 przedstawiono schematycznie dopuszczalne warunki pozosta-wiania pojazdu w określonym pasie drogi. Niech L będzie całkowitą szeroko-ścią, którą w ramach obu pasów jezdni może zajmować pojazd w trakcie wyko-nywania manewru, zaś L1 stanowi szerokość, w jakiej może zmieścić się punkt reprezentacyjny (tu, środek masy).
Rys. 7.39. Warunki pozostania w określonym pasie drogi, który można uznać za stateczny Źródło: opracowanie własne.
Jeśli zatem przyjąć szerokość pasa ruchu równą jak wyżej, to przy danej szerokości pojazdu (1,9 m) trajektoria środka masy jako punktu reprezentacyj-nego może przebiegać dla ruchu stateczreprezentacyj-nego w pasie drogi o szerokości około 4 m. Jednak w obu przypadkach trajektoria przebiega w pasie szerszym niż 4 m.
Wywnioskowano zatem, że analizowany model dla przyjętych warunków na nawierzchni suchej poruszał się na granicy stateczności, a dla nawierzchni oblo-dzonej tę granicę przekroczył.
Przyjęcie obszarów warunków początkowych oraz dopuszczalnych rozwią-zań (tu określona szerokości drogi) ma kluczowe znaczenie dla badania statecz-ności, a konkretnie dla znalezienia prawdopodobieństwa przebywania rozwiąza-nia w określonym obszarze postrzeganym jako stateczny. Istotne wydaje się również określenie parametrów drogi, dla jakiej stateczność jest badana.
Chcąc zbadać stateczność techniczną stochastyczną modelu pojazdu omó-wionego w rozdziale 7, podczas wykonywania manewru niepełnej podwójnej zmiany pasa ruchu wybrano wycinek trajektorii od 170 do 420 m drogi, gdzie nastąpiło omijanie hipotetycznej przeszkody. Za zbiór Ω przyjęto określoną szerokość jezdni, którą podzielono na 15 klas [K1; K15], co 0,1 m (rys. 7.40) w zakresie przemieszczenia poprzecznego. Na osi przemieszczenia poprzeczne-go zaznaczono klasy należące do zbioru Ω.
Częstości zdarzeń liczono dla obszaru omijania przeszkody [170 m; 410 m]
dla kroku drogi co 20 m, co dało 12 podprzedziałów.
3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00 5,10
170 190 210 230 250 270 290 310 330 350 370 390 410
w ycinek drogi (m )
K1:K15 (m)
nawierzchnia sucha nawierzchnia oblodzona
Rys. 7.40. Wybrany wycinek trajektorii dla omijania przeszkody z podziałem na klasy [K1;K15]
Źródło: opracowanie własne.
Do wyznaczenia częstości zdarzeń przebywania rozwiązania w określonej klasie wykorzystano, jak poprzednio, wzór (7.6). Otrzymane wartości częstości zdarzeń przedstawiono w tab. 7.10 i 7.11.
Tabela 7.10. Częstości zdarzeń wystąpienia rozwiązania w określonej klasie przyjętego obszaru Ω, dla nawierzchni suchej i gładkiej
Klasa NKj W(Kj)
1 0 0
2 1 0,077
3 0 0
4 4 0,308
5 6 0,462
6 0 0
7 1 0,077
8 1 0,077
9 0 0
10 0 0
11 0 0
12 0 0
13 0 0
14 0 0
15 0 0
Źródło: opracowanie własne.
Tabela 7.11. Częstości zdarzeń wystąpienia rozwiązania w określonej klasie przyjętego obszaru Ω, dla nawierzchni nierównej i oblodzonej
Klasa NKj W(Kj)
1 1 0,077
2 1 0,077
3 2 0,154
4 1 0,077
5 0 0,000
6 0 0,000
7 1 0,077
8 0 0,000
9 1 0,077
10 1 0,077
11 0 0,000
12 1 0,077
13 1 0,077
14 2 0,154
15 1 0,077
Źródło: opracowanie własne.
Badania stateczności technicznej stochastycznej modelu samochodu doko-nano, porównując trajektorie ruchu oraz częstości zdarzeń występowania warto-ści odchylenia od położenia nominalnego. Za położenie nominalne przyjęto trajektorię ruchu pojazdu po gładkiej i suchej nawierzchni (krzywa oznaczona cienką linią).
Za obszar dopuszczalnych rozwiązań przyjęto szerokość dwóch pasów ru-chu równych około 6 m. Zgodnie z rys. 7.39 przyjęto, że ruch stateczny zacho-dzi, kiedy środek masy modelu samochodu o określonej szerokości nadwozia nie wykracza poza określoną odległość od linii środkowej dzielącej drogę na dwa pasy ruchu (połowa szerokości L1).
Maksymalne wartości amplitud trajektorii samochodu z zaburzonym poło-żeniem środka masy dla nawierzchni suchej są w pobliżu granicy stateczności, zaś dla ruchu na drodze oblodzonej trajektoria wykracza poza przyjęty obszar stateczności. W tabelach 7.10 oraz 7.11 pokazano zestawienie częstości zdarzeń dla ruchu na nawierzchni gładkiej i suchej oraz nierównej i oblodzonej. Istotne różnice występują w klasach 3, 4, 5 oraz 14.
Chcąc odnieść wyniki badań do definicji stateczności technicznej stocha-stycznej, należy uprzednio określić prawdopodobieństwo znalezienia się rozwią-zania w określonej klasie obszaru dopuszczalnych rozwiązań, a następnie po-wiązać z nim parametr Ω wykorzystany we wzorze (5.27).
Przyjęto, że prawdopodobieństwo wystąpienia rozwiązania w określonej klasie jest związane z częstościami wyznaczonymi w tab. 7.10 i 7.11. W obu tabelach suma częstości zdarzeń równa jest 1, zatem stosując wzór:
Kj j
Kj
W ( K ) N
= N
∑
(7.7)gdzie:
W(Kj) – częstość wystąpienia rozwiązania w j-tej klasie;
NKj – liczba zdarzeń w j-tej klasie;
∑
NKj – suma zdarzeń rozwiązania we wszystkich klasach, można na podstawie częstości wyznaczyć prawdopodobieństwo.Następnie, jeżeli szerokość obszaru Ω podzieloną na 15 klas potraktować jako obszar, w którym trajektoria jako całość przebywa z prawdopodobieństwem równym 1, to dzięki parametrowi Ω można zawęzić obszar dopuszczalnych roz-wiązań do szerokości, w jakiej powinna zmieścić się trajektoria pojazdu statecz-nego, nie zmieniając jednocześnie samego obszaru Ω, a jedynie dopasowując obszar stateczny do określonych wymogów. Należy przyjąć parametr Ω, odej-mując od całego obszaru szerokości drogi (Ω) tyle klas, ile zgodnie z wyżej przyjętymi zasadami odpowiada obszarowi niestatecznemu.
Dla prezentowanego przypadku parametr Ω powinien zatem przyjąć war-tość odpowiadającą ośmiu dolnym klasom [K1:K8], zajętym przez trajektorię otrzymaną dla ruchu modelu po suchej i gładkiej nawierzchni, czyli
8 0 53 15 ,
ε = = , a prawdopodobieństwo ze wzoru (5) odpowiednio
1 15 8 0 47
P= − =ε 15− = , .
Jak wynika z prezentowanych rozważań, prawdopodobieństwo zmieszcze-nia się całej trajektorii w obszarze statecznym powinno dla omawianego przy-padku być większe bądź równe 0,47, co dla trajektorii ruchu pojazdu po suchej nawierzchni jest spełnione. Dla trajektorii, która biegłaby bliżej osi drogi praw-dopodobieństwo to byłoby znacząco większe niż 0,47. Dla trajektorii ruchu po drodze oblodzonej i nierównej prawdopodobieństwo znalezienia się w obszarze statecznym (odejmując 14 klas) jest bliskie zeru.
Na podstawie symulacji ruchu pojazdu w programie Adams/Car otrzymano trajektorie ruchu w dwu różnych warunkach drogowych. Badania wykazały, że niewielkie na pozór zaburzenie położenia środka masy może mieć tym większy wpływ na stateczność techniczną stochastyczną ruchu samochodu, im gorsze panują warunki drogowe.
Dodatkowo dla pojazdów samochodowych poddanych naprawie powypad-kowej na podstawie badania stateczności możliwe byłoby wnioskowanie o do-puszczeniu do dalszej eksploatacji. Badanie takie mogłoby polegać na analizie ruchu modelu pojazdu z odpowiednio przyjętymi parametrami masowo-bez-władnościowymi.
Pokazano również sposób wykorzystania definicji stateczności technicznej stochastycznej w badaniu modeli matematycznych obiektów technicznych w różnych warunkach ruchu. Jej uniwersalność może zapewnić badanie w róż-nych środowiskach (nie tylko w przypadku pojazdów drogowych). Największą zaletą prezentowanej metody jest możliwość analizy otrzymanych wyników na podstawie uzyskanych trajektorii (ocena jakościowa) oraz porównania ich ze statecznością dla rzeczywistych obiektów (podrozdział 7.4).
7.4. Porównanie wyników symulacji ze statecznością wg normy ISO