3. ZDERZENIA SAMOCHODÓW – WYBRANE ZAGADNIENIA
3.1.3. Uwzględnienie szorstkości powierzchni zderzających się
poprzed-nich rozdziałach wyidealizowany przez założenie gładkości powierzchni zderza-jących się samochodów. W kolejnych fragmentach pracy [2] pokazane zostało podejście do problemu zderzenia mimośrodkowego oraz środkowego ciał o po-wierzchniach szorstkich, co przeniesiono tutaj na grunt zderzenia samochodów.
Szorstkość powierzchni wpływa na pojawienie się w obszarze kontaktu sa-mochodów stycznych sił tarcia Pt, w wyniku czego uwzględniono impuls po-wodujący zmianę pędu w kierunku stycznym do osi t (rys. 3.4):
=
∫
τWynikiem zderzenia pojazdów o powierzchniach szorstkich jest rozwiąza-nie rozwiąza-nieliniowego równania różniczkowego, które rozwiązać można tylko meto-dami przybliżonymi. Istnieje ponadto możliwość wykorzystania zasady zmien-ności pędu dwoma sposobami. Pierwszym jest tzw. rachunkowo-wykreślna me-toda, zwana metodą Routha [2], zaś drugim – metoda analityczna. W obu tych metodach wprowadzono pojęcia chwilowej prędkości ściskania i ścinania:
~ )
W ramach metody wykreślnej wprowadzono układ współrzędnych St S~n
~, , zwany układem Routha. Za jego pomocą można przedstawić stan kinematyczny samochodów w czasie zderzenia jako ruchomy punkt reprezentacyjny P (rys. 3.5) odwzorowujący ruch geometrycznego środka zderzenia. Punkt ten rozpoczyna swój ruch z początku układu, ponieważ ma zerowe współrzędne. Ruch punktu wzdłuż osi pionowej znamionuje narastanie impulsu w kierunku normalnym, zaś ruch poziomy związany jest z poślizgiem ciał. Może on odbywać się najpierw w prawo, potem w lewo, gdyż zwroty sił tarcia mogą ulec zmianie.
Gdy wzajemny nacisk i lokalne odkształcenia osiągają maksymalne warto-ści, chwilowa prędkość ściskania równa jest zeru. W układzie Routha zjawisko to opisano równaniem prostej:
~ 0
~ − =
−
nt t nn nn
S S
w α α
(3.27)zwanej prostą największego ściskania [2] przecinającej osie układu w punktach A i B, gdzie oznaczenia we wzorze omówiono w dalszej części rozdziału.
Rys. 3.5. Wykresy Routha dla zderzenia mimośrodkowego samochodów o powierzchniach szorstkich Źródło: [2].
Zderzenie bez poślizgu opisano za pomocą równania tzw. prostej bezpośli-zgowej [2]:
~ 0
~ − =
− tt t tn n
t S S
w
α α
(3.28)która, przecinając osie układu Routha w punktach C i D, tworzy z osią rzędnych kąt:
tt
arctg nt
α
β = α (3.29)
W przypadku zajścia poślizgu (w~t ≠0) zachodzi zależność S~t fS~n
= . W układzie Routha równość tę przedstawiono za pomocą prostej OL nachylonej do osi S~n
pod granicznym kątem tarcia ρ = arctgf. Prosta OL zwana jest pro-stą poślizgową [2].
Po omówieniu założeń wstępnych proces zderzenia poddano bardziej szczegółowej analizie dotyczącej zależności między kątami β i ρ (rys. 3.5).
Gdy β < ρ, tarcie nie osiąga wartości granicznej i poślizg nie jest w pełni roz-winięty (rys. 3.5a). Punkt reprezentacyjny porusza się wzdłuż prostej bezpośli-zgowej. W przypadku, kiedy β >ρ, poślizg występuje nawet po przekroczeniu punktu P1 (rys. 3.5b), z tym że zwroty chwilowych sił tarcia zmieniają się. Punkt reprezentacyjny porusza się po prostej P1E nachylonej pod granicznym kątem tarcia do osi rzędnych.
Analizując proces zderzenia pojazdów, których powierzchnie traktowane są jako szorstkie, metodą analityczną ułożono równania zderzenia, dodając do rów-nań (3.22) impuls styczny
S
t. Wartości modułów wektorów prędkości i impul-sów w dowolnej chwili zderzenia (t∈[0,τ]) również oznaczono falą.Wykorzystano przy tym chwilowe względne prędkości ścinania i ściskania (3.26).
Jeśli w~t ≠0, to podczas zderzenia samochody ślizgają się po sobie. Pełny poślizg występuje przy tarciu w pełni rozwiniętym. Przyjęto zatem, że:
n
t fS
S~ = ~ (3.31)
gdzie f jest dynamicznym współczynnikiem tarcia, a wektor impulsu styczne-go ma zwrot przeciwny do wektora prędkości poślizgu. W razie braku wystąpienia poślizgu:
Dalej, analizując metodę Routha, rozpisano sześć równań zgodnie z zasadą zmiany pędu i krętu względem geometrycznego środka zderzenia. Po wyelimi-nowaniu prędkości chwilowych v~ oraz ω~ we wzorach (3.30) otrzymano:
n o hipotezę Newtona oraz wzór (3.31).
W pracy [2] zostało również poddane analizie zderzenie, w którym uwzględniono problem restytucji prędkości stycznych. Dla analizy zderzenia pojazdów przyjęto, że podczas jego trwania, oprócz występowania tzw. od-kształceń objętościowych bryły nadwozia, zachodzą także tzw. odkształcenia postaciowe [2], które są związane z naprężeniami powstałymi w kierunku stycz-nym do płaszczyzny zderzenia, występującymi na powierzchniach samochodów będących w kontakcie. Analogicznie do hipotezy Newtona podano wzór na współczynnik restytucji prędkości stycznych [2]:
t t
w w'
θ
= (3.35)gdzie względna prędkość styczna w zderzeniu bezpoślizgowym została opisana wzorem:
natomiast względna prędkość normalna:
n umożliwia wyznaczenie wartości impulsów stycznego i normalnego:
2
Rozwiązanie powyższego zagadnienia, za pomocą którego można przed-stawić opis zderzenia samochodów o powierzchniach szorstkich, wymaga zna-jomości trzech współczynników: dynamicznego współczynnika tarcia f, współ-czynnika restytucji dla prędkości normalnych R oraz stycznych
θ
. Stan kine-matyczny po zderzeniu opisano wzorami (3.39).,
W przypadku zderzenia środkowego samochodów o powierzchniach szorstkich współrzędne w kierunku stycznym t1 =t2 =0. We wzorach dotyczą-cych zderzenia mimośrodkowego należy za pracą [2] podstawić:
2
W tym przypadku prosta największego ściskania (w~n =0) leży równolegle do osi odciętych (rys. 3.6). Prosta bezpoślizgowa jest natomiast położona równo-legle do osi rzędnych.
Rys. 3.6. Wykresy Routha dla zderzenia środkowego samochodów o powierzchniach szorstkich dla ρ > ρn oraz ρ < ρn
Źródło: [2].
Odcinek OP3 dzieli wykres na dwa obszary, w których punkt reprezenta-cyjny zakreśla inny tor. Współczynnik tarcia dla prostej przechodzącej przez punkty O oraz P3 przyjmuje wartość gdzie
µ
– kąt zderzenia (kąt, pod jakim wektor prędkości względnej nachylonyjest w chwili początkowej do normalnej zderzenia [2]).
Funkcję, jaką pełni prosta OP3 zinterpretowano jako zależność kąta zde-rzenia od kąta tarcia. Graniczna wartość kąta zdezde-rzenia µ= µρ. Dla µ>µρ występuje zderzenie z poślizgiem, zaś dla µ<µρ – zderzenie bez poślizgu.
Graniczny kąt zderzenia opisano zależnością:
α α ρ
impulsów na końcu zderzenia opisano równaniami:2
Po podstawieniu wzorów (3.44) do wzorów na prędkości końcowe zderze-nia mimośrodkowego samochodów o powierzchzderze-niach szorstkich wyliczyć moż-na prędkości ciał po zderzeniu bezpoślizgowym.
Zderzenie z poślizgiem ma miejsce, gdy ρ<ρµ lub µ>µρ. Trajektoria ru-chu punktu reprezentacyjnego przecina prostą największego ściskania, a następ-nie prostą bezpoślizgową. Proces zderzenia odbywa się przy pełnym poślizgu,
Jak wynika z przeprowadzonej analizy, proces zderzenia samochodów można matematycznie przedstawić za pomocą opisów zaprezentowanych powy-żej. Najbardziej zbliżony do warunków rzeczywistych wydaje się opis mimo-środkowego zderzenia pojazdów z wykorzystaniem restytucji prędkości stycz-nych. Oczywiście jego stosowanie wiąże się ze znajomością dodatkowych współczynników, jednak wydaje się, że takie przedstawienie omawianych zja-wisk może przynieść najbardziej dokładne wyniki. W rozdziale 3.3 przedstawio-no analizę porównawczą wyników obliczeń z wykorzystaniem restytucji prędko-ści stycznych dla wybranych rodzajów zderzeń samochodów w zestawieniu z wynikami otrzymanymi w symulacjach komputerowych.