Formalne postawienie zadania doboru pracowników i kierunki jego rozwiązywania

Dla kaŜdego z n etatów, naleŜących do zbioru S:

S = {s1, s2, s3, …, sn}, (20) dla n – oznaczającego skończoną liczbę stanowisk, która w danym przedsiębiorstwie moŜe podlegać zarówno dekrementacji, jak i inkrementacji, pod warunkiem, Ŝe S ∉Φ, moŜe zostać wyznaczony i określony zbiór macierzy stanowiskowych w postaci kryteriów selekcji, z uwzględnieniem zarówno tych wymaganych, jak i poŜądanych.

Definiując problem kryterialnego doboru pracowników musimy rozwaŜyć równieŜ zbiór m kandydatów (zewnętrznych lub pracowników firmy – w przypadku rekrutacji wewnętrznej), charakteryzujących się odpowiednimi kwalifikacjami, doświadczeniem, umiejętnościami, kompetencjami oraz cechami indywidualnymi, który moŜemy zapisać następująco:

K = {k1, k2, k3, …, km}, (21) gdzie:

m >= 1 – w przypadku rekrutacji zewnętrznej, dla skończonego m

Dla tak zdefiniowanych niepustych zbiorów rozłącznych będą zatem istnieć asocjacje odwzorowane przez krawędzie incydentne do ich wierzchołków. Oznacza to, Ŝe kaŜda krawędź, ze zbioru krawędzi E, w nowoutworzonym grafie G(S, K, E) będzie łączyć wierzchołek zbioru K z dowolnym wierzchołkiem zbioru S, stanowiąc w ten sposób graf zwany grafem dwudzielnym, co moŜemy teŜ przedstawić jako:

E ⊆S x K (22)

Utworzony graf nieskierowany G(V, E) dla:

V = S ∪K (23)

oraz

K S k1 k2 k3 k4 k5 k6 s1 s2 s3 s4

będzie posiadać wszystkie krawędzie z E poprowadzone pomiędzy dwoma zbiorami rozłącznymi S i K, oraz parzyste cykle, wyznaczając w ten sposób symboliczną macierz sąsiedztwa A(G) o rozmiarze S x K:

A(G) =    ∈ ∈ ∈ przypadku przeciwnym w K j S s E k s gdy e_sk , 0 , , ) , ( , , (25)

Tak zdefiniowana macierz sąsiedztwa wierzchołków rozwaŜanej relacji binarnej da nam macierzą symetryczną, stąd juŜ czas potrzebny do przejrzenia dostępnego zbioru krawędzi, to czas proporcjonalny do kwadratu liczby wierzchołków takiego grafu.

Rysunek 4 – Graf dwudzielny dla zbioru S zawierającego n-etatów i zbioru K złoŜonego z m-kandydatów, gdzie n=4 i m=6.

RozwaŜany problem optymalizacyjny dotyczy jednak obsadzenia w taki sposób wakatów w przedsiębiorstwie, aby moŜna było uzyskać jak najlepszy zbiór wynikowy. Oznacza to zatem, Ŝe od budowanego systemu decyzyjnego oczekuje się nie tylko wskazania właściwej macierzy rozwiązań, w postaci listy kandydatów odpowiadających załoŜonym kryteriom, ale równieŜ zbioru rozwiązań zapewniającego obsadę jak największej liczby stanowisk w firmie. Dlatego teŜ uzyskanie wyniku dla tak sformułowanego zadania kombinatorycznego, nawet w przypadku istnienia tylko jednego kryterium selekcji¹ będzie związane ze złoŜonością obliczeniową wynoszącą co najmniej O(N⁴).

1

K S k1 k2 k3 k4 k5 k6 s1 s2 s3 s4

Uwzględniając jako główne kryterium tylko wyznaczoną odpowiednio wartość dopasowania kandydata do kaŜdego stanowiska w firmie, otrzymamy graf dwudzielny

G(S, K, E), z krawędziami posiadającymi przypisaną wagę w. Przy idealistycznym

załoŜeniu, Ŝe nigdy nie będzie on stanowił kliki dwudzielnej najlepsze rozwiązanie deterministyczne powyŜszego problemu będzie związane z algorytmem wyznaczania drzewa rozpinającego o maksymalnej sumie wag [74, 77]. Nie będzie tak jednak w przypadku A(G) zawsze róŜnego od 0, gdy

(

∀v1∈K,v2∈S

)(

v1v2 ∈E

)

, w postaci n x m krawędzi. Wówczas poszukiwanym rozwiązaniem stanie się skojarzenie o maksymalnej mocy i posiadające maksymalną wagę, przy załoŜeniu, Ŝe skojarzenie w grafie G(V, E) to oznaczony jako M podzbiór krawędzi (M⊆E), taki, Ŝe dla wszystkich wierzchołków v∈V

istnieje co najwyŜej jedna krawędź z podzbioru M, incydentna z v. Tak więc w zdefiniowanym w ten sposób grafie wystarczy znaleźć zatem skojarzenie M, zgodne z relacją:

|M| ≥ |M’|, (26) gdzie:

M – oznacza maksymalne skojarzenie w grafie, M’ – kaŜde inne skojarzenie

Rysunek 5 – Maksymalne skojarzenie w rozwaŜanym grafie dwudzielnym, wyznaczone poprzez podzbiór M = {{k1, s1}, { k2, s4}, { k3, s2}, { k5, s3}}

min(|K A| |A(G)|)

K

A − +

⊂ (27) gdzie:

A – określa wierzchołki, będące sąsiadami w grafie G, dla zbioru sąsiedztwa A(G)

W takim przypadku moŜliwa jest implementacja wzorcowej metody Forda-Fulkersona [74] lub jej modyfikacji [74, 77], a więc zastosowanie algorytmu zwracającego wyniki w czasie wielomianowo zaleŜnym od |V| i |E|, przy złoŜoności równej lub bliskiej (w zaleŜności od modyfikacji algorytmu wzorcowego) O(N⁴).

Czy moŜna jednak skutecznie podjąć właściwą decyzję bez wygenerowania ujemnego sprzęŜenia zwrotnego posługując się tylko pojedynczym lub wyizolowanym kryterium decyzyjnym? Przeprowadzona juŜ w 3-cim rozdziale niniejszej pracy analiza takiego sposobu postępowania wykazała, Ŝe nie, poniewaŜ przy uwzględnieniu nawet najbardziej optymistycznego przypadku [12, 21, 34, 41] współczynnik trafności wyniesie co najwyŜej 0,11. Poza tym pojawi się tutaj równieŜ inny problem, związany z pytaniem w jaki sposób naleŜy wskazywać to najwaŜniejsze dla danego stanowiska kryterium. Wiadomo bowiem, Ŝe nawet jeśli wykonamy róŜnorodne zestawienia [21, 59, 73] cech poŜądanych u pracowników juŜ zatrudnionych, to trudno tutaj będzie doszukać się wyraźnych i jednoznacznych wskazań, poza zgodnością z panującą w danym momencie modą na jakąś cechę, Ŝe ma ona bezpośredni i stały związek z odnoszonym sukcesem zawodowym na konkretnym stanowisku w firmie. Tego faktu nie zmienią nawet tak popularne obecnie publikacje, propagujące „sprawdzone” i „skuteczne” metody na łatwe osiąganie sukcesu zawodowego. TakŜe propozycja zastosowania jako kryterium uśrednionej lub zagregowanej wartości, z wykorzystaniem wielu badanych i oczekiwanych współczynników, w postaci cech (na przykład kompetencyjnych) nie moŜe w Ŝadnym wypadku stać się predykatem powodzenia na tym polu. MoŜna bowiem w prosty sposób, stosując profil kompetencyjny dla danego stanowiska zsumować wartość róŜnicy pomiędzy wartością zbadaną, a oczekiwaną, ale uwzględnienie prognozowanej wydajności dla kaŜdego z dostępnych stanowisk w przedsiębiorstwie wyznaczy juŜ za kaŜdym razem dla tych samych kompetencji i kandydatów inne wagi. W praktyce więc moŜe okazać się,

Ŝe tak wskazani kandydaci będą duŜo bardziej wydajniejsi na innych stanowiskach, o czasami nawet większej i bardziej kluczowej roli dla ostatecznej kondycji firmy, a na te obsadzane obecnie juŜ dawno właściwe osoby odrzuciliśmy.

RozwaŜając zatem zadanie doboru pracowników w przedsiębiorstwie w kontekście jego optymalizacji oraz posiadając scharakteryzowany wcześniej zbiór cech, tworzący macierz kryteriów dla kaŜdego stanowiska w przedsiębiorstwie (a więc zbiór uwzględniający wartości, stanowiące oczekiwany profil kompetencyjny stanowiska, wymagane kwalifikacje oraz doświadczenie), a takŜe dysponując zbiorem cech wartościujących kandydatów, nawet tylko w postaci dostarczanych w procesie rekrutacji dokumentów aplikacyjnych oraz kwestionariuszy osobowych, stwierdzić moŜemy, Ŝe najwłaściwszym podejściem do tak zdefiniowanego problemu będzie wyznaczenie dla kaŜdego z n kandydatów macierzy, wskazującej na stopień posiadania lub spełnienia kaŜdej z x cech oraz macierzy definiującej, które z tych cech są poŜądane (i w jakim stopniu) na kaŜdym z m dostępnych stanowisk. Koncepcja ta wymaga zatem zdefiniowania nowego zbioru C, reprezentującego cechy (kryteria) doboru pracowników:

C = {c1, c2, c3, …, cx}, (28) gdzie:

x - jest liczbą rozwaŜanych cech a warunek x > 1– reprezentuje fakt, Ŝe bierzemy pod

uwagę wielokryterialny dobór pracowników

Pomiędzy tym zbiorem, a zbiorem kandydatów (oznaczonym jako K) oraz zbiorem stanowisk (oznaczonym jako S) będą istniały zaś odpowiednie relacje (w postaci zbioru krawędzi E) utworzone przez wcześniej zdefiniowaną macierz wartości cech posiadanych oraz macierz wartości cech oczekiwanych, tworząc w ten sposób graf G = (K, C, S, E), który moŜna podzielić na trzy zbiory rozłączne. Graf ten, zwany grafem trójdzielnym będzie posiadać właściwości takie, Ŝe:

E ⊆S x C x K (29) oraz

V = S ∪ C ∪K (30)

przy załoŜeniu, Ŝe:

S ∩C = Φ i K ∩C = Φ (31)

W związku z tym dla grafu V(G) =

U

3 ... 1 ∈

i

_{u,v V(G)} i ∈

∀ {u, v} ∉ E(G) (32)

Rysunek 6 – Przykładowy graf trójdzielny utworzony przez asocjacje pomiędzy elementami zbioru K (kandydatów) i zbioru C (cech – kryteriów) oraz pomiędzy elementami zbioru C i zbioru S (stanowisk). Krawędzie o wadze 0 zostały zlikwidowane.

Otrzymany graf trójdzielny, będący odwzorowaniem problemu wskazania dla jak największej liczby stanowisk tylko kandydatów spełniających minimalne oczekiwania wyklucza implementację deterministycznego algorytmu dla drzewa rozpinającego, a takŜe skojarzenia o maksymalnej liczności. Nie oznacza to jednak, Ŝe nie są znane algorytmy i metody rozwiązania tego problemu kombinatorycznego. JeŜeli bowiem graf ten zostanie przekształcony w sieć przepływową, posiadającą źródło z oraz ujście u, to tak zdefiniowany problem optymalizacji dyskretnej będzie moŜna sprowadzić do problemu wyznaczania maksymalnego przepływu o maksymalnym zysku (wzorcowo – minimalnym koszcie) [74, 76, 77], który przewiduje, Ŝe przepływ f_ij w sieci po jej łukach (z załoŜeniem,

Ŝe mogą one posiadać takŜe wagę ujemną) związany jest z najmniejszym nieujemnym kosztem d_ij, czyli największym zyskiem przesyłania określonej jednostki przepływu. MoŜna to zatem zapisać jako funkcję celu w następujący sposób:

F(x) = min _ij j i ij f d

∑

) , ( , (33)

przy uwzględnieniu ograniczeń, w postaci: K C k1 k2 k3 k4 k5 k6 c2 c3 c4 S s1 s2 s3 s4 c5 c6 c1

0≤ f_ij ≤ p_ij, (34)

gdzie p_ij – oznacza przepustowość łuku, incydentnego z wierzchołkami i, j

∑

−

∑

=Φ i iz i zi f f , (35)

dla Φ - określonego jako maksymalny przepływ w sieci, zawierającej równieŜ

wyróŜniony wierzchołek u, reprezentujący odpływ, dla którego:

∑

−

∑

=−Φ i iu i ui f f , (36)

Dla pozostałych zaś wierzchołków j, będących wierzchołkami pośrednimi prawdziwa

będzie zaleŜność: 0 = −

∑

∑

i ij i ji f f , (37)

Rysunek 7 – Konstrukcja sieci przepływowej S(H) ze źródłem z i ujściem u dla grafu trójdzielnego H = <K, C, S, E>. K C k1 k2 k3 k4 k5 k6 c2 c3 c4 S s1 s2 s3 s4 c5 c6 c1 z u

Z analizy powyŜszego zapisu wynika zatem, Ŝe metoda polegająca na przesyłaniu przepływu Φ wzdłuŜ drogi o maksymalnym zysku (najmniejszym koszcie) wyznaczy rozwiązanie optymalne, jeŜeli przepustowości wszystkich łuków na tej drodze będą równe co najmniej Φ. W kaŜdym innym przypadku przepływ będzie związany z drogami o mniejszym zysku. ZaleŜność ta daje więc moŜliwość znalezienia najtańszej moŜliwej drogi (drogi o największym zysku) z węzła z do węzła u, tak aby następnie moŜna było przesłać tą drogą moŜliwie najwięcej jednostek przepływu. Warunkiem stopu jest moment osiągnięcia przepływu o wartości Φ. JeŜeli w wyniku obliczeń dostaniemy inną wartość, to biorąc pod uwagę dotychczas znaleziony przepływ fij naleŜy zmodyfikować dotychczasową sieć G do sieci powiększającej G^*, posiadającej taką samą strukturę, a róŜniącej się jedynie zmodyfikowanymi przepustowościami pij oraz kosztami dij, tak, Ŝe jeśli łuk (j, i) w sieci będzie posiadał niezerowy przepływ fji, to łuk (i, j)o przepustowości

fij będzie uŜyteczny w przeciwnym kierunku:

p_ij = f_ij, jeŜeli f_ij > 0 (38)

Koszt związany z tym łukiem będzie wtedy równy –d_ij, poniewaŜ łuk (i, j) będzie potrzebny tylko po to, aby moŜna było zredukować przepływ, co moŜemy zapisać:

dij^* = -d_ij, jeŜeli f_ij > 0 (39) Analogicznie więc, jeŜeli przepływ f_ij wzdłuŜ łuku (i, j) będzie mniejszy od jego przepustowości, to będziemy mogli dokonać nim dodatkowego przepływu, pod warunkiem, Ŝe:

pij^* = pij - fij, jeŜeli fij = 0 oraz pij > fij (40)

Osiągnięty w takim przypadku koszt dla dodatkowo przesyłanej jednostki będzie równieŜ dalej taki sam i wyniesie:

W związku z tym, Ŝe nasycone łuki nie będą juŜ uŜyteczne do przesyłania jednostkowego, moŜemy równieŜ przyjąć, Ŝe:

pij^* = pij - fij = 0, dij^* = ∞, dla fij = pij oraz fji =0 (42) W tak zmodyfikowanej sieci będziemy więc mogli znaleźć drogę z wierzchołka u do wierzchołka z i przesłać nią moŜliwie najwięcej. Krok ten będzie powtarzany iteracyjnie, dotąd aŜ otrzymamy przepływ o wartości Φ, lub aŜ Φ przekroczy wartość maksymalnego przepływu w sieci, co będzie równoznaczne z brakiem drogi z węzła z do węzła u.

4.3. Dyskusja własności grafowej metody doboru pracowników jako problemu

W dokumencie Index of /rozprawy2/10165 (Stron 74-82)