DOS(E0)dE0 (6.14)
Dystrybuanta zmiennej losowej, której odpowiednikiem w tym przypadku jest energia E0
, jest ci¡gªa oraz niemalej¡ca [117, 118]. Zmienna losowa (energia E0
) jest wystarczaj¡co dokªadnie opisana przez jej dystrybuant¦ DDOS(E) [117, 118, 119].
Cz¦sto w celu zbadania wªa±ciwo±ci rozkªadu zmiennej losowej, jak i do porównania rozkªadów ze sob¡, korzystnie jest poda¢ tzw. wska¹niki poªo»enia. Jednym z tych wska¹-ników jest mediana (EM e), czyli taka warto±¢ zmiennej losowej, w tym przypadku energii E, dla której dystrybuanta DDOS(E) wynosi 0.5 warto±ci maksymalnej [117, 118, 119]. Median¦ Eme mo»na traktowa¢ jako szeroko±¢ poªówkow¡ Γ podpasma. Trudno byªoby wyznaczy¢ podobn¡ wielko±¢ posªuguj¡c si¦ tylko wysoce nieregularn¡ funkcj¡ DOS(E).
Celem dokªadnej analizy ró»nych rozkªadów zmiennej losowej oblicza si¦ równie» wska¹-niki zmienno±ci, asymetrii oraz skupienia. Wska¹wska¹-nikiem zmienno±ci zmiennej losowej nazy-wa si¦ wyra»enie okre±lone wzorem [117, 118, 119]:
v = σ
Es. (6.15)
Natomiast wska¹nikiem asymetrii zmiennej losowej nazywa si¦ wyra»enie [117, 118, 119]: γ = µ3
σ3 (6.16)
gdzie µ3 jest momentem centralnym rz¦du trzeciego. Wska¹nikiem skupienia zmiennej lo-sowej nazywa si¦ wyra»enie [117, 118, 119]:
β = µ4
σ4 (6.17)
gdzie µ4 jest momentem centralnym rz¦du czwartego.
6.3 G¦sto±ci stanów i dystrybuanty
Seria Y (F e1−xCox)2
Rysunek 6.1 podaje przykªadowo caªkowite funkcje DOS ↑ i DOS ↓ dla podsieci M zwi¡zku Y F e2 [146]. Podane s¡ równie» funkcje DOS ↑ i DOS ↓ dla Y i F e. Prawa cz¦±¢ rysunku podaje odpowiednie dystrybuanty DDOS ↑ i DDOS ↓ dla caªego zwi¡zku i dla poszczególnych skªadników. Warto tu nadmieni¢, »e dla metali przej±ciowych DOS ↑ i DDOS ↑odpowiada podpasmu mniejszo±ciowemu, natomiast DOS ↓ i DDOS ↓ odpowia-da podpasmu wi¦kszo±ciowemu. Na rysunku zaznaczono E↑
s, E↓ s, E↑ M e, E↓ M e, Γ↑, Γ↓, σ↑, σ↓ oraz σ↑ 0, σ↓
0. Energie ±rednie elektronów w podpasmach E↓ s i E↑
s liczono odpowiednio wg wzorów 6.8 i 6.9.
Rysunki 6.2 - 6.9 przedstawiaj¡ g¦sto±ci stanów elektronowych DOS(E) oraz dystry-buanty DDOS(E) dla pozostaªych zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 [146]. Do oblicze« ze wzgl¦dów praktycznych wybrano nieco inne skªady zwi¡zków (nieco inne warto±ci x) w porównaniu ze skªadami eksperymentalnymi.
Obliczone g¦sto±ci stanó w elektrono wyc h DOS (lew a strona) i ic h dystrybuan ty DDOS (pra w a strona) dla zwi¡zku Y F e2 . Strzaªk a w gór¦ ada po dpasm u mniejszo±cio wym, a strzaªk a w dóª po dpasm u wi¦k sz o±ci ow em u.
Rys. 6.2: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (F e0.875Co0.125)2.
Rys. 6.3: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (F e0.75Co0.25)2.
Rys. 6.4: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (F e0.625Co0.375)2.
Rys. 6.6: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (F e0.375Co0.625)2.
Rys. 6.7: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (F e0.25Co0.75)2.
Rys. 6.8: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (F e0.125Co0.875)2.
Rys. 6.9: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y Co2.
Seria Y (Co1−xN ix)2
Rysunki 6.10 - 6.16 przedstawiaj¡ g¦sto±ci stanów elektronowych DOS(E) oraz dystry-buanty DDOS(E) dla zwi¡zków serii Y (Co1−xN ix)2. Przeprowadzono obliczenia struktur elektronowych przy u»yciu metody FLAPW dla przykªadowych zwi¡zków: Y (Co0.875N i0.125)2, Y (Co0.625N i0.375)2, Y (Co0.5N i0.5)2, Y (Co0.375N i0.625)2, Y (Co0.25N i0.75)2, Y (Co0.125N i0.875)2, Y N i2 [146] wykorzystuj¡c pakiet obliczeniowy WIEN2k [137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144]. Do oblicze« ze wzgl¦dów praktycznych wybrano nieco inne skªady zwi¡zków (nieco inne warto±ci x) w porównaniu ze skªadami eksperymentalnymi.
Rys. 6.10: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybu-anty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (Co0.875N i0.125)2. Strzaªka w gór¦ odpowiada podpasmu mniejszo±ciowym a strzaªka w dóª podpasmu wi¦kszo±ciowemu.
Rys. 6.11: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (Co0.625N i0.375)2.
Rys. 6.12: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (Co0.5N i0.5)2.
Rys. 6.14: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (Co0.25N i0.75)2.
Rys. 6.15: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y (Co0.125N i0.875)2.
Rys. 6.16: Obliczone g¦sto±ci stanów elektronowych DOS (lewa strona) i ich dystrybuanty DDOS (prawa strona) dla zwi¡zku Y Ni2.
Charakterystyki liczbowe rozkªadów
Rysunek 6.17 przedstawia zale»no±¢ energii Eme, dla której dystrybuanta danego roz-kªadu elektronów 3d wynosi poªow¦ warto±ci maksymalnej, dla atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Rys. 6.17: Zale»no±¢ energii Eme, dla której dystrybuanta danego rozkªadu elektronów 3d wynosi poªow¦ warto±ci maksymalnej dla atomów »elaza, kobaltu niklu oraz itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2. Wniosek 6.3.1 Median¦ energii EM emo»na potraktowa¢ jako póªszeroko±¢ Γ podpasma 3d (b¡d¹ 4d).
Wniosek 6.3.2 Pasmo 3d (b¡d¹ 4d) jest scharakteryzowane przez dwie póªszeroko±ci: póª-szeroko±¢ Γ↓ podpasma wi¦kszo±ciowego 3d (4d) oraz póªszeroko±¢ Γ↑ podpasma mniejszo-±ciowego 3d (4d).
Wniosek 6.3.3 W przypadku F e, Co i Y póªszeroko±¢ pasma mniejszo±ciowego jest znacz-nie mznacz-niejsza ni» póªszeroko±¢ podpasma wi¦kszo±ciowego. W przypadku Ni póªszeroko±ci s¡ praktycznie takie same.
Rysunek 6.18 przedstawia zale»no±¢ odchylenia standardowego σ energii elektronów 3d wzgl¦dem energii ±redniej podpasm 3d atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elektronów 4d itru dla podpasm 4d od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2. Odchylenie standardowe σ liczono wzgl¦dem Es dla podpasma wi¦k-szo±ciowego i mniejwi¦k-szo±ciowego wg wzorów 6.10 i 6.11.
Rys. 6.18: Zale»no±¢ odchylenia standardowego σ energii elektronów 3d wzgl¦dem energii ±redniej podpasm 3d atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elektronów 4d itru dla podpasm 4d od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2. Wniosek 6.3.4 Odchylenia standardowe σ podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego 3d»elaza rosn¡, gdy ±rednia liczba n elektronów 3d zwi¦ksza si¦.
Wniosek 6.3.5 Odchylenia standardowe σ podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego 3dniklu praktycznie nie zmieniaj¡ si¦, przy czym odchylenie standardowe podpasma wi¦k-szo±ciowego jest nieco wi¦ksze ni» podpasma mniejwi¦k-szo±ciowego. Dla warto±ci n bliskiej 7 odchylenia standardowe podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego s¡ praktycznie ta-kie same.
Wniosek 6.3.6 Odchylenia standardowe σ podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego 3dkobaltu w ogólno±ci rosn¡, gdy ±rednia liczba n elektronów 3d zwi¦ksza si¦, za wyj¡tkiem obszaru o niewielkiej zawartosci kobaltu.
Wniosek 6.3.7 Odchylenia standardowe σ podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego 3d itru rosn¡, gdy ±rednia liczba n elektronów 3d zwi¦ksza si¦, za wyj¡tkiem odchylenia
Rysunek 6.19 przedstawia zale»no±¢ wska¹nika zmienno±ci v rozkªadu elektronów 3d »e-laza, kobaltu, niklu oraz elektronów 4d itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2 wyra»onego wzorem 6.15.
Rys. 6.19: Zale»no±¢ wska¹nika zmienno±ci v rozkªadu elektronów 3d dla atomów »elaza, kobaltu oraz elektronów 4d itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Wniosek 6.3.8 Stosownie do wzorów 6.15, 6.12 i 6.8 lub 6.13 i 6.9 wska¹nik zmienno±ci charakteryzuje pewien rozrzut energetyczny elektronów 3d (b¡d¹ 4d) wzgl¦dem warto±ci ±redniej energii podpasma wi¦kszo±ciowego lub analogicznie mniejszo±ciowego.
Wniosek 6.3.9 Wska¹nik zmienno±ci v wykazuje zmian¦ nachylenia dla ró»nych pierwiast-ków przy ró»nych warto±ciach n. Zwi¡zane to jest przypuszczalnie z przechodzeniem po-szczególnych pierwiastków 3d (4d) lub ±rednio podsieci M (R) ze stanu ferromagnetyka silnego do stanu ferromagnetyka sªabego.
Rysunek 6.20 przedstawia zale»no±¢ wska¹nika asymetrii γ rozkªadu elektronów 3d atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elektronów 4d itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2oraz Y (Co1−xN ix)2. Stosownie do wzorów 6.4, 6.5, 6.10, 6.11 oraz 6.16 wska¹nik γ charakteryzuje asymetri¦ rozkªadu DOS(E) wzgl¦dem energii Es.
Rys. 6.20: Zale»no±¢ wska¹nika asymetrii γ rozkªadu elektronów 3d dla atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elektronów 4d itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Wniosek 6.3.10 W ogólno±ci wska¹nik asymetrii γ rozkªadu g¦sto±ci prawdopodobie«stwa DOS(E) dla elektronów 3d (4d) wzgl¦dem ±redniej energii Es ro±nie b¡d¹ maleje; ró»nie dla ró»nych pierwiastków i ró»nych podpasm.
Wniosek 6.3.11 Ujemne warto±ci wska¹ników asymetrii γ oznaczaj¡, »e g¦sto±ci prawdo-podobie«stwa DOS(E) s¡ bardziej rozci¡gni¦te w lewo od energii ±redniej Es (≡ Ec) (w kierunku ni»szych energii).
Rysunek 6.21 przedstawia zale»no±¢ wska¹nika skupienia β rozkªadu DOS(E) elektro-nów 3d atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elektroelektro-nów 4d itru od n ±redniej liczby elek-tronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2. Stosownie do wzorów 6.4, 6.5, 6.10, 6.11 oraz 6.17 wska¹nik β charakteryzuje skupienie rozkªadu DOS(E) wokóª energii Es
Rys. 6.21: Zale»no±¢ wska¹nika skupienia β rozkªadu DOS(E) elektronów 3d dla atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elektronów 4d itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡z-ków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Wniosek 6.3.12 Wska¹niki skupienia β podpasm mniejszo±ciowych »elaza i kobaltu malej¡ co oznacza, »e pasma te staj¡ si¦ bardziej rozci¡gni¦te (szersze).
Wniosek 6.3.13 Wska¹niki skupienia β podpasm wi¦kszo±ciowych »elaza i kobaltu prak-tycznie nie zmieniaj¡ si¦ co znacza, »e pasma te prakprak-tycznie nie zmieniaj¡ swojego ksztaªtu, lub ten ksztaªt zmieniaj¡ jedynie nieznacznie.
Rysunek 6.22 przedstawia zale»no±¢ odchylenia standardowego σ0 energii elektronów 3d wzgl¦dem energii Fermiego dla podpasm 3d atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elek-tronów 4d itru od n ±redniej liczby elekelek-tronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2. Odchylenie standardowe σ0 liczono wzgl¦dem EF (w rzeczywisto±ci wzgl¦-dem zera) dla podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego wg wzorów 6.12 i 6.13.
Rys. 6.22: Zale»no±¢ odchylenia standardowego σ0 energii elektronów 3d wzgl¦dem energii Fermiego dla podpasm 3d atomów »elaza, kobaltu, niklu oraz elektronów 4d itru od n ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Wniosek 6.3.14 Dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 odchylenia standardowe σ0energii elek-tronów podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego 3d »elaza wzgl¦dem energii Fermiego rosn¡, gdy kobaltu przybywa, przy czym dla podpasma wi¦kszo±ciowego obserwuje si¦ nie-wielkie zaªamanie w obszarze n=6.5.
Wniosek 6.3.15 Odchylenia standardowe σ0energii elektronów podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego 3d kobaltu najpierw wyra¹nie rosn¡ wraz ze zwi¦kszaniem si¦ liczby n, osi¡gaj¡ maksimum w obszarze n = 6.3 a nast¦pnie σ0 dla podpasma mniejszo±ciowego prawie si¦ nie zmienia a dla podpasma wi¦kszo±ciowego maleje.
Wniosek 6.3.16 Odchylenia standardowe σ0energii elektronów podpasma wi¦kszo±ciowego i mniejszo±ciowego 3d niklu zmieniaj¡ si¦ nieznacznie, s¡ porównywalne i ró»nica mi¦dzy nimi maleje, gdy niklu przybywa w zwi¡zkach serii Y (Co1−xN ix)2.
Wniosek 6.3.17 Odchylenia standardowe σ0 energii elektronów podpasma mniejszo±ciowe-go 4d itru wyra¹nie ro±n¡ wraz ze wzrostem zawarto±ci kobaltu, za± dla podpasma wi¦kszo-±ciowego σ0 najpierw ro±nie, osi¡ga maksimum w obszarze n = 6.4, a nast¦pnie nieznacznie maleje.
Dystrybuanty
Rysunki 6.23 i 6.24 przedstawiaj¡ dystrybuanty rozkªadu elektronów 4d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓ oraz mniejszo±ciowych ↑ itru wzgl¦dem ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Rys. 6.23: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 4d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓ itru od ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Rys. 6.24: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 4d dla podpasm mniejszo±cio-wych ↑ itru od ±redniej liczby elektro-nów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Rysunki 6.25 i 6.26 przedstawiaj¡ dystrybuanty rozkªadu elektronów 3d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓ oraz mniejszo±ciowych ↑ kobaltu wzgl¦dem ±redniej liczby elektronów 3ddla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Rys. 6.25: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 3d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓ kobaltu od ±redniej liczby elektro-nów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Rys. 6.26: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 3d dla podpasm mniejszo±cio-wych ↑ kobaltu wraz od ±redniej licz-by elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2 oraz Y (Co1−xN ix)2.
Rysunki 6.27 i 6.28 przedstawiaj¡ dystybuanty rozkªadu elektronów 3d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓ oraz mniejszo±ciowych ↑ »elaza wzgl¦dem ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2.
Rys. 6.27: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 3d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓»elaza od ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2.
Rys. 6.28: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 3d dla podpasm mniejszo-±ciowych ↑ »elaza od ±redniej licz-by elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (F e1−xCox)2.
Rysunki 6.29 i 6.30 przedstawiaj¡ dystybuanty rozkªadu elektronów 3d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓ oraz mniejszo±ciowych ↑ niklu wzgl¦dem ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (Co1−xN ix)2.
Rys. 6.29: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 3d dla podpasm wi¦kszo±ciowych ↓ niklu od ±redniej liczby elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (Co1−xN ix)2.
Rys. 6.30: Dystrybuanty rozkªadu elek-tronów 3d dla podpasm mniejszo-±ciowych ↑ niklu od ±redniej licz-by elektronów 3d dla zwi¡zków serii Y (Co1−xN ix)2.