Jawne całkowanie równań ruchu dla układów typu II i III

W niniejszym podrozdziale, postępując za pracą [95], pokażemy, ze układy typu II i III są rzutami ruchu po geodezyjnych w pewnych przestrzeniach o odpowiednio krzywiźnie ujemnej i dodatniej.

Najprostszy przypadek jednego stopnia swobody rozpatrzono w podrozdziale 1.9. Przypominamy, ze przy ruchu swobodnym cząstki na górnej gałęzi hiperboloidy :

H2 = { x : x2 = x02 – x12 – x22 = 1 , x0 > 0 } (3.5.1)

po dokonaniu rzutowania :

x → a = Arch(x0) (3.5.2)

otrzymujemy układ z hamiltonianem :

H = ½ p2 + g2 (sh(q))2 (3.5.3)

tj. układ typu II dla jednego stopnia swobody.

Analogiczne rozważania potoku geodezyjnego na sferze :

S2 = { x : x2 = x02 + x12 + x22 = 1 } (3.5.4)

prowadzą do układu typu III o hamiltonianie :

H = ½ p2 + g2 sin–2(q) , q = arccos(x0 ) (3.5.5)

Teraz przejdziemy do przypadku ogólnego. Na początku zastanowimy się nad układami typu II. W tym celu rozpatrzymy przestrzeń X–n dodatnio określonych macierzy hermitowskich rzędu n o wyznaczniku równym 1.

W takiej przestrzeni tranzytywnie działa grupa G = SL(n, C) – grupa zespolonych macierzy rzędu n o wyznaczniku równym 1. To oznacza, że dowolny punkt x ∈ X–n można sprowadzić do dowolnego innego punktu z pomocą działania grupy G, które zadane jest wzorem :

x → gxg† , x ∈ X–n , g∈ G, g† = g–’ (3.5.6)

W szczególności, jeśli wejściowym punktem przestrzeni jest macierz jednostkowa, to otrzymujemy reprezentacje dla dowolnego punktu x ∈ X–n :

x = gg† (3.5.7)

i tym samym włożenie przestrzeni X–n w grupę G. Taka reprezentacja jest niejednoznaczna – jeśli g pomnożymy prawostronnie przez element należący do grupy K ⊂ G, K = SU(n) , ( k–1 = k† ), to punkt x nie zmieni się.

To oznacza, że przestrzeń X–n jest przestrzenią ilorazową : G/K = SL(n, C)/ SU(n)

Na przestrzeni X–n istnieje metryka inwariantna względem działania grupy G (3.5.6) :

ds2 = Tr( dx • x–1dx • x–1 ) (3.5.8)

Względem takiej metryki przestrzeń X–n posiada niedodatnią krzywiznę, czym właśnie tłumaczy się znak minus w jej oznaczeniu. Łatwo wyprowadzić równanie geodezyjnej dla metryki (3.5.8) :

d/dt ( x–1x^• ) = 0 lub d/dt (x x–1 ) = 0 (3.5.9)

Zauważmy, że jeśli x(t) – jest krzywą w przestrzeni X–n, to macierze x–1(t) x^•(t) i x^•(t)x–1(t) można rozpatrywać jako dwa pola wektorowe na grupie SL(n, C). Pola te nie są, ogólnie mówiąc, polami wektorowymi na X–n Ich półsuma, jednakże będzie już polem wektorowym na X–n. Dlatego też w miejsce równania (3.5.9) będziemy rozpatrywali równanie :

d/dt ½ (x–1x^• + x^•x–1) = 0 (3.5.10)

któremu podlega geodezyjna x(t). Oczywiście, ze dowolna geodezyjna na X–n ma postać :

x(t) = b exp(2at)b† (3.5.11)

gdzie b ∈SL(n, C) , a = a† , Tr a = 0

Na przestrzeni X–n istnieje analog sferycznego układu współrzędnych. Z wykładu algebry liniowej wiadomo, że każdą macierz hermitowską możemy sprowadzić do postaci diagonalnej z pomocą przekształcenia unitarnego.

Niech x(t) – będzie dowolną krzywą w X–n. Wtedy :

x(t) = U(t) exp[ 2αQ(t)] U†(t) (3.5.12)

gdzie U(t) ∈ K = SU(n) – „zmienna kątowa”, Q(t) – macierz diagonalna diag (q1(t) , ... , qn(t) ) ( Σqj = 0 ) – rzutowanie sferyczne, α - parametr.

Dla takiej parametryzacji x(t) słuszna jest zależność :

½ (x–1x^• + x^•x–1) = 2αULU† (3.5.13)

tak, ze równanie (3.5.10) jest równoważne równaniu Laxa :

iL^• = [ M, L ] (3.5.16)

Załóżmy teraz, ze mamy parę macierzy L(t), M(t), związanych zależnością (3.5.14) i spełniających równanie Laxa (3.5.16).

Niech u(t) – będzie rozwiązaniem równania u^• = iuM i niech x(t) będzie określone przez równanie (3.5.12). Wtedy x(t) spełnia równanie (3.5.10) i dlatego jest geodezyjną.

Łatwo sprawdzić, że para Laxa (3.1.6), (3.1.7) dla układu typu II z x(ξ) = α cth(αξ) spełnia równanie (3.5.14). Teraz powinniśmy określić geodezyjne stowarzyszone z parą Laxa. Bez ograniczenia ogólności możemy założyć, że macierz b jest diagonalna, a zatem u(0) = I, zatem z (3.5.11) i (3.5.13) znajdujemy :

W ten sposób dochodzimy do statycznego wyniku : rozwiązania q(t) równań ruchu dla układów typu II są logarytmami wartości własnych macierzy x(t) = b exp(2at)b†, gdzie macierze b, a zadane są wzorami (3.5.17) i (3.5.18).

Szczególny wybór geodezyjnych, które są rzutowane na potok dla układów typu II, ma prosta mechaniczna interpretacje.

Zachowany „moment pędu” względem działania grupy SU(n) zadany jest wzorem :

µ = i[ x–1, x^• ] (3.5.19)

Dla geodezyjnej (3.5.11) otrzymujemy :

µ = 2i( b–1ab – bab–1 ) (3.5.20)

i dla szczególnego przypadku a, b o postaci (3.5.17) – (3.5.18) µ przyjmuje postać :

µ = 4α2g( e ⊗ e – I ) , e = ( 1, ... , 1 ) (3.5.21) ( porównaj z wzorem (3.3.10)).

Taka wartość „momentu pędu” jest bardzo szczególna : ( n–1) wartości własnych macierzy µ pokrywa się ze sobą.

Własność ta jest charakterystyczna dla geodezyjnych, które są rzutowane na trajektorie układów typu II.

Zauważmy, że SU(n)- orbita Oµ przechodząca przez µ, posiada minimalny (niezerowy) wymiar pośród wszystkich orbit grupy SU(n) : dim Oµ = 2( n – 1). Fakt ten jest ważny dla analizy redukcji hamiltonowskiej omawianej w podrozdziale 3.7.

Zauważmy również, że wzory dla jawnych rozwiązań układów typu III otrzymujemy poprzez zamianę parametru α na iα. Jednakże pouczające będzie wskazanie na związek takich rozwiązań z potokiem geodezyjnym na grupie unitarnej SU(n).

Grupa ta znajduje się w podwójnej odpowiedniości przestrzenią X–n. Taka dwoistość dla szerokiej klasy przestrzeni została ustanowiona przez E. Cartana. Czystym jej przejawem jest związek pomiędzy geometriami – hiperboliczną i sferyczną, innym jej przejawem jest związek pomiędzy wzorami dla układów typu II i III.

Grupa SU(n)jest przestrzenia Riemanna o dodatniej krzywiźnie o metryce (3.5.8) i geodezyjne dla takiej metryki możemy prosto obliczyć tak jak miało to miejsce dla przestrzeni X–n. Dlatego też wszystkie analizy w tym przypadku mogą być powtórzone.

W przypadku jednego stopnia swobody przestrzenie X–2 i SU(2) są odpowiednio trójwymiarową hiperboloidą i trójwymiarową sferą. Na początku niniejszego rozdziału zrealizowaliśmy układy z jednym stopniem swobody na dwuwymiarowej hiperboloidzie i dwuwymiarowej sferze. W istocie układy o jednym stopniu swobody można realizować na hiperboloidach i sferach o dowolnych wymiarach.

Na zakończenie niniejszego podrozdziału, postępując za pracą [310], scałkujemy jawnie równania ruchu układów z hamiltonianem :

W pierwszej kolejności zauważmy, że dla równań ruchu takiego układu możemy zapisać uogólnioną reprezentacje Laxa :

Różniczkując po czasie macierz exp(2Q), otrzymujemy :

Dogodnie będzie teraz wprowadzić macierze :

L± = L ± C (3.5.28)

Spełniające zależność :

L+ exp(2Q) = exp(2Q) L– , L+ – L– = 2C (3.5.29)

i równania typu równań Laxa :

Aby uprościć takie równania, wprowadzimy macierze :

Y = U–1exp(2Q)U , Z± = U–1L± U (3.5.32)

Gdzie macierz U – jest to macierz będąca rozwiązaniem równania różniczkowego :

U^•(t) = MU(t) (3.5.33)

Z warunkiem początkowym :

U(t =0 ) = I (3.5.34)

Teraz dla macierzy Y i Z± otrzymujemy równania różniczkowe :

Z^•± = –4αY2 , Y^• = 2Z+Y = 2YZ– (3.5.35)

Równania te można scałkować w ten sam sposób, jaki był wykorzystany w pracy [108] dla potencjału w(x) = exp(2x).

Z równań (3.5.35) wynika, że :

skąd otrzymujemy :

indeks 0 oznacza tutaj iż wartości macierzy brane są przy t = 0.

Teraz podstawiając do (3.5.37) wyrażenie dla αY2 z (3.5.35) i wykorzystując fakt, że 2C = L+ – L– oraz U–1CU = C ( co wynika z [ M, C ] = 0 ) otrzymujemy macierzowe równanie Riccatiego :

2(Z– )2 – Z^•– = 4W0 – 4CZ– (3.5.38)

Równanie to można zlinearyzować z pomocą podstawienia :

Z– = – ½ P^•P–1 (3.5.39)

Gdzie macierz P(t) jest macierzą odwracalną rzędu n × n.

Dokładnie, otrzymujemy :

P^•• = 8W0P + 4CP^• (3.5.40)

lub, w oznaczeniach blokowych :

Zauważmy, że mamy dowolność w wyborze macierzy początkowej P(0), ponieważ równanie (3.5.38) powinno spełniać tylko jeden warunek początkowy :

Z–(0) = L0–

Dogodnie jest wybrać P(0) = I, tak, że P^•(0) = –2L0– i wtedy rozwiązanie równania (3.5.41) ma postać :

Zatem, wielkości exp(4qj(t)) można znaleźć jako wartości własne macierzy :

gdzie macierze P(t) i P^•(t) możemy znaleźć z równania (3.5.42).

Dalsza analiza rozpatrywanego układu dla przypadku α > 0 ( przypadek α < 0 rozpatruje się analogicznie ) jest analogiczna do analizy przeprowadzonej w pracy [108] i daje następujące wyniki :

Asymptotyczne wartości pędów pk( ±∞ ) cząstek są całkami ruchu. Przy tym :

λk = pk( ±∞ ) = –pk(–∞) , λ1 < λ2 < ... < λn < 0 (3.5.44) a asymptotyka qj(t) , pk(t) ma postać ( przy t → ±∞ ) :

qj(t ) = ± λjt + αj± + O(t–1 ) , pk = ± λk + O(t–2 ) (3.5.45)

tj. asymptotycznie cząstki zachowują się jak cząstki swobodne.

W rozpatrywanym przypadku mamy dwie macierze, podlegające deformacji izospektralnej. Są to :

dla której :

W^• = [ M, W ] (3.5.47)

I macierz :

spełniająca równanie :

Wielkości :

Ik = (1/k) Tr( Wk ) , k = 1, ... , n (3.5.50)

Reprezentują n funkcjonalnie niezależnych całek ruchu i łatwo pokazać, ze wszystkie one znajdują się w inwolucji.