Reprezentacja Laxa dla układów wielocząstkowych

Rozdział 3 Układy wielocząstkowe.

W tej części pracy będziemy rozpatrywali w pełni całkowalne układy n oddziałujących cząstek w standardowej przestrzeni konfiguracyjnej Rn

Takie układy opisywane są przez hamiltoniany o postaci :

W przestrzeniach dwu- i więcej wymiarowych znany jest tylko jeden w pełni całkowalny układ takiego typu – układ n-oddziałujących oscylatorów :

v(q) = ½ ω2q2

Układ ten jednakże po wprowadzeniu współrzędnych Jakobiego sprowadza się do układu (n– 1) cząstek, poruszających się niezależnie w ogólnym potencjale oscylatorowym.

Dla przypadku jednowymiarowego tj. dla przypadku n binarnie oddziałujących cząstek na prostej, w ostatnich latach ujawniono szereg w pełni całkowalnych układów, które omówimy szczegółowo w niniejszym rozdziale.

Wszystkie takie układy związane są z algebrami Liego i posiadają one wysoką ukryta symetrię. Symetria ta jest właśnie powodem ich całkowalności. W przedstawieniu materiału kierowaliśmy się pracami [28, 42, 43, 60].

3.1 Reprezentacja Laxa dla układów wielocząstkowych.

Rozpatrzmy układ n cząstek o jednostkowej masie, znajdujących się na prostej i oddziałujących binarnie wzajemnie.

Układ taki opisywany jest hamiltonianem o postaci :

Spróbujemy teraz dobrać potencjał v(q) tak, aby rozpatrywany układ posiadał dodatkowe całki ruchu. W tym celu, będziemy kierowali się pracami [252, 133] i metodą Laxa [233].

Załóżmy iż udało się nam znaleźć parę macierzy L i M, zależnych od zmiennych dynamicznych p i q ( tzw. parę Laxa ) tak, że równania Hamiltona :

q^• j = ∂H/∂pj , p^•j = – ∂H/∂qj (3.1.2)

są równoważne zależności macierzowej :

iL^• = [ M, L ] (3.1.3)

Taka formę zapisu równań ruchu będziemy nazywali reprezentacją Laxa ( zobacz podrozdział 1.10) Z (3.1.3) wynika, że macierz L(t) podlega przekształceniu podobieństwa :

L(t) = U(t) L(0)u–1(t) , M = iu^• u–1 (3.1.4)

Jeśli przy tym M jest macierzą hermitowską, to macierz u jest unitarna : u–1 = u†

Zatem, wartości własne macierzy L(t) nie są zależne od czasu tj. są całkami ruchu, lub innymi słowy – macierz L(t) z upływem czasu doznaje transformacji izospektralnej. Przy tym w charakterze całek ruchu często bywa dogodnie wykorzystywać nie wartości własne L(t), a symetryczne ich funkcje, np. wielkości :

Ik = k–1Tr(Lk ) (3.1.5)

Jeśli z pomocą takiej metody uda się znaleźć n funkcjonalnie niezależnych całek ruchu i pokazać, że wszystkie one znajdują się w inwolucji, to rozpatrywany układ jest w pełni całkowalny.

Postępując za [133] dla macierzy L i M wykorzystamy następujący ansatz :

gdzie x(q), y(q), z(q) – jest trójką niezależnych funkcji.

Podstawiając L i M do równania Laxa (3.1.3) i wymagając, aby takie równanie było równoważne równaniom Hamiltona, otrzymamy jawne wyrażenie dla funkcji y(q) :

y(q) = – x’(q) (3.1.8)

oraz równanie funkcjonalne dla funkcji x(ξ) I z (ξ) :

x(ξ) x’(η) – x(η)x’(ξ) = x(ξ + η )[ z(ξ) – z(η)] (3.1.9)

Przy tym energia potencjalna v(ξ) zadana jest wzorem :

v(ξ)= – x(ξ)x(–ξ) + const. (3.1.10)

Równanie funkcjonalne (3.1.9) zostało rozwiązane w szeregu prac [101, 255, 134] ( zobacz również Dodatek C ) Okazuje się, że :

z(ξ) = x’’(ξ)/ 2x(ξ) (3.1.11)

Przy dodatkowym założeniu x(–ξ) = –x(ξ) otrzymujemy następujące rozwiązania :

sn( . ), cn( . ), dn( . ) – funkcje eliptyczne Jakobiego [4].

Jeśli nie nakładać warunków x(–ξ) = –x(ξ), to można otrzymać ogólniejsze rozwiązanie [85] :

( σ, ζ - sigma- dzeta – funkcje Weierstrassa )

zależne tylko od dodatkowego parametru, ale prowadzące do tej samej energii potencjalnej v(ξ).

Z (3.1.12) otrzymujemy wyrażenie dla energii potencjalnej v(ξ) :

gdzie P(ξ) = P( ξ, ω1, ω2 ) – funkcja Weierstrassa podwójnie periodyczna funkcja zmiennej zespolonej ξ o okresach 2ω1i 2ω2 posiadająca biegun drugiego rzędu w punktach 2( mω1 + nω2 ) [4].

Zauważmy, że jeśli jeden z okresów dąży do nieskończoności, to z potencjału typu IV otrzymamy potencjał typu II i III.

Potencjał typu I otrzymamy jeśli oba okresy dążą do nieskończoności. W ten sposób, układ typu IV jest układem o najogólniejszej postaci. Jednakże układy typu I, II, III posiadają szereg szczególnych własności i powinny być rozpatrywane osobno.

Zauważmy również, że jeśli zamienimy a na ia w potencjale typu III, to otrzymamy potencjał typu II, a jeśli przyjmiemy a = 0, to dochodzimy do układu typu I. Dalej, zauważmy, że dla układów typu I i II mamy do czynienia z ruchem nieskończonym, a dla układów typu III, IV ruch jest skończony.

Z wyrażenia (3.1.14) dla potencjału v(ξ) widać, że potencjały typu I – IV są osobliwe przy qk = qj. Dlatego porządek cząstek w procesie ruchu nie może się zmieniać i możemy przyjąć, że qk < qj przy j < k.

Zatem, w przypadkach I i II przestrzeń konfiguracyjna jest stożkiem Λ zadanym przez nierówność :

qj – qj+1 > 0 , j = 1, … , n – 1 (3.1.15)

i równość Σqj = 0

Dla układów typu III, IV przestrzeń konfiguracyjna przedstawia sobą wielobok wypukły Λa (sympleks ), określony przez warunki :

gdzie d – okres rzeczywisty funkcji v(ξ).

Przestrzenie konfiguracyjne Λ, Λa dla n = 3 stanową wnętrze kąta 1/3 π i trójkąta :

Dalej zauważmy, że na mocy periodyczności potencjału v(ξ) w przypadkach III i IV mamy do czynienia z układem n cząstek na okręgu.

Zatem, dla układów typu I – IV ( zobacz (3.1.14)) funkcje x(q), y(q) i z(q) są znane. Zatem, macierze L i M również są znane i zgodnie z wzorem (3.1.15) możemy otrzymać n całek ruchu I1, ... , In

Łatwo zauważyć, że wszystkie one są funkcjonalnie niezależne.

Niewielka modyfikacja tej metody [262] pozwala rozpatrzyć również układy z potencjałami o postaci :

v(ξ) = ξ2 + ω2ξ2 (3.1.17)

które będziemy nazywali potencjałami typu V. Takie układy posiadają ruch skończony, a przestrzeń konfiguracyjna jest taka sama jak dla układów typu I i II ( zobacz (3.1.15))

Jak pokazano w pracy [262] równania ruchu układu hamiltonowskiego (3.1.1) z takim potencjałem są równoważne równaniom macierzowym :

iL^•± = [ M, L± ] ± ωL± (3.1.18)

gdzie macierze L± mają postać :

L± = L ± iωQ (3.1.19)

Q = diag ( q1, ... , qn ) (3.1.20)

Macierze L, M zadane są wzorami, odpowiednio (3.1.6) i (3.1.7) z x(q) = q–1 Dowód tego faktu wykorzystuje zależność :

[ Q, M ] = X , Xjk = g( 1 – δjk ) x( qj – qk ) (3.1.21)

Z (3.1.18) wynika, że wielkości :

Bk± = (1/k) Tr(L± )k (3.1.22)

nie są już dalej całkami ruchu, jednakże zależą one w prosty sposób od czasu :

Bk±(t) = Bk±(0) exp( –/+ ikωt) (3.1.23)

Zauważmy, że przy ω ≠ 0 określają one całkowicie ewolucje układu. Wielkości te są w istocie symetrycznymi wymiernymi funkcjami pj , pk - wyrażając pj i qk poprzez Bk+ i Bł– oraz wykorzystując zależność (3.1.23) otrzymujemy jawne wyrażenia dla pj(t) i qł(t).

Z (3.1.18) łatwo znaleźć również i całki ruchu. Przykładowo, macierze :

L1 = L+L– , L2 = L–L+ (3.1.24)

Spełniają standardowe równanie Laxa :

iLj = [ M, Lj ] , j = 1, 2 (3.1.25)

Zatem, wartości własne macierzy Lj lub, co jest dla nas bardziej dogodne wielkości Tr( Ljk ), są całkami ruchu. Można również pokazać, że wielkości e znajdują się w inwolucji.

Zauważmy również, że hamiltonian (3.1.1) o energii potencjalnej (3.1.17) w układzie środka masy ( Σqj = 0 ) przyjmuje postać :

gdzie v(q) = q–2 , w(q) = ( n – 1)q2

a zatem opisuje on układ n oddziałujących cząstek w polu zewnętrznym.

Postępując za [108, 204] pokażemy teraz, że dla szeregu takich układów reprezentacja Laxa istnieje :

L~^• = [ L~ ,M~ ] (3.1.27)

gdzie macierze L~ ,M~ mają postać :

a L, M – są macierzami o postaci (3.1.6) i (3.1.7), Q, S – macierze diagonalne rzędu n :

Qjk = Q(qj )δjk , Sjk = S(qj )δjk (3.1.29)

Z (3.1.27) wynika, że macierze L I Q powinny spełniać równania :

gdzie { , } oznacza antykomutator macierzy.

Stąd łatwo otrzymać, że :

W’(ξ) = 2Q(ξ)S(ξ) (3.1.31)

Przyjmując, że macierze L ,M mają postać (3.1.6) i (3.1.7) z równań (3.1.30) otrzymujemy :

Podstawiając (3.1.33) do (3.1.32), otrzymujemy równanie funkcjonalne dla funkcji Q i x :

Przy dodatkowym założeniu, że funkcja x(ξ) – jest to funkcja postaci I – IV ( zobacz (3.1.12)), oprócz starych rozwiązań otrzymujemy jeszcze rozwiązania o postaci :

gdzie a, α, β, γ, δ - dowolne stałe.

Stąd wynika, że jeśli funkcje v, w mają postać :

to układy o hamiltonianie (3.1.26) posiadają reprezentacje Laxa i mają n funkcjonalnie niezależnych całek ruchu :

Można również pokazać [205], że jeśli :

w(ξ) = Q(ξ) (3.1.41)

i równania (3.1.34) są spełnione, to para macierzy rzędu n × n :

spełnia równanie Laxa.

Zatem, układ o postaci (3.1.26) przy :

v(ξ) = g2a2 sh–2(aξ) , w(ξ) = γ ch(2aξ + δ ) (3.1.43)

również dopuszcza reprezentacje Laxa i posiada n niezależnych całek ruchu :

Zauważmy, że szczególnym przypadkiem takiego układu przy δ → ∞, γeδ → const. jest układ Adlera [108] : v(ξ) = g2a2 sh–2(aξ) , w(ξ) = γ exp(2aξ ) (3.1.45) dla którego w pracy [108] dowiedziono pełnej całkowalności.

Dalsze uogólnienie tych wyników podano w pracy [206], gdzie pokazano, że układy o postaci (3.1.26) o hamiltonianie określonym przez parę funkcji :

dopuszczają reprezentacje Laxa z macierzami L~~ i M~~ rzędu 4n o postaci :

gdzie macierze L i M mają postać (3.1.28), a R~ i T~ – są to macierze diagonalne rzędu 2n × 2n :

Przy tym Q, R spełniają równanie (3.1.34) i

w(ξ) = ½ ( Q2(ξ) + R2(ξ)) + const. (3.1.50)

Można pokazać, że istnieją rozwiązania odpowiednich równań funkcjonalnych o postaci :

co daje nam potencjał o postaci (3.1.46), (3.1.47).

Zauważmy również, że w pracy [206] z użyciem metody z pracy [263] ( zobacz następny podrozdział ) dowiedziono inwolutywności całek ruchu rozpatrywanych układów, a zatem dowiedziono ich pełnej całkowalności. Inny dowód inwolutywności takich całek ruchu podano w pracy [309].