jednoznacznie na rozwłóknienie wektorów jednostkowych ku Sn przy warunku, że jeden punkt sfery ( biegun północny, odpowiadający centrum siły ) będzie wycięty.
Oprócz tego potok fazowy zagadnienia Keplera przechodzi, po zamianie czasu na nową zmienną, w potok geodezyjny na Sn bez wyciętego punktu. Osobliwe orbity odpowiadają przy tym okręgom, przechodzącym przez biegun północny sfery.
Dalej podajemy rozwiązanie problemu, postępując za praca [250].
A. Potok geodezyjny na sferze i zagadnienie Keplera.
a) Rozpoczniemy od opisania potoku geodezyjnego na sferze Sn, którą rozpatrujemy jako włożoną w ( n + 1)- wymiarową przestrzeń :
n
Sn = { ξ = ( ξ0 , ... , ξn ) : | ξ |2 =
Σ
ξj2 = 1 } (2.8.23)j=0
Rozpatrzmy w ( n + 1)-wymiarowej przestrzeni układ dynamiczny z hamiltonianem :
H = ½ | η |2 | ξ |2 (2.8.24)
Gdzie ξ = ( ξ0 , ... , ξn ) , η = ( η0 , ... , ηn ) – są to (n + 1)-wymiarowe wektory odpowiednio współrzędnej i pędu.
Równania ruchu takiego układu mają postać :
ξ’ = | ξ |2 η , η’ = – | η |2 ξ (2.8.25)
Prim oznacza różniczkowania po wielkości s, odgrywającej rolę czasu.
Z (2.8.25) wynika, że jeśli w początkowej chwili czasu spełnione są warunki :
| ξ | = 1 , ξ • η=
Σ
ξjηj = 0 (2.8.26)to będą one spełnione i w dalszych chwilach czasu.
Jak łatwo jednakże zauważyć, rozmaitość określona przez warunek (2.8.26) przedstawia sobą rozwłóknienie styczne TSn ku sferze Sn, a równanie (2.8.25) lub :
ξ’’ + | η |2 ξ = 0 (2.8.27)
opisuje potok geodezyjny na sferze S2 = { ξ : | ξ |2 = 1 } o energii H = ½ | η |2
Jednostkowe wektory styczne { η : η • ξ = 0 , | η |2 = 1 } tworzą powierzchnie o stałej energii H = E = ½ Aby opisać taki potok w przestrzeni Euklidesa, wykorzystamy rzutowanie stereograficzne :
xk = ξk / 1 – ξ0 , k = 1, ... , n (2.8.28)
które odwzorowuje sferę Sn z wyciętym punktem ( 1, 0, ... , 0 ) na n-wymiarową przestrzeń Euklidesa.
Rozciągnijmy takie odwzorowanie do odwzorowania rozwłóknienia stycznego w przestrzeń R2n = { (x, y) : x, y ∈ Rn } tak, aby spełniony był przy tym warunek :
n n
Σ ηµ dξµ = Σ yk dxk (2.8.29)
µ=0 k=1
Wielkości yk będziemy poszukiwali w postaci :
yk = a(ξ ,η )ηk + b(ξ, η )ξk , k = 1, 2, ... , n (2.8.30)
Z pomocą zależności (2.8.26), jak również równości :
otrzymujemy prostą odpowiedź ( można pokazać [250], że jest to jedyna możliwa forma yk ) :
yk = ( 1 – ξ0 )ηk + η0ξk (2.8.31’)
Podamy jeszcze wzory dla odwzorowania odwrotnego z przestrzeni Rn na sferę Sn :
Hamiltonian po przejściu do przestrzeni (x, y) przyjmuje postać :
Ponieważ równania Hamiltona :
x' = ∂F/∂y , y’ = – ∂F/∂x (2.8.35)
zawierają tylko pochodna funkcji F, to możemy zamienić funkcje F na dowolną funkcje G(F) przy warunku, że G’(½ ) = 1.
Dokonajmy takiej właśnie zamiany :
Wtedy równania ruchu (2.8.35) przechodzą w równania :
x' = ∂G/∂y , y’ = – ∂G/∂x (2.8.35’)
przy czym warunek F = ½ przechodzi w warunek G = 0.
Przechodząc od zmiennej s do nowej zmiennej t zgodnie z wzorem :
t =
∫
| y | ds (2.8.37)w miejsce (2.8.35’) otrzymujemy :
gdzie kropka oznacza różniczkowanie po t.
Na koniec zauważmy, że przy G = 0 :
tak, że ostatecznie otrzymujemy układ z hamiltonianem (2.8.39), w którym przyjmując p = – x, q = y dochodzimy do hamiltonianu zagadnienia Keplera :
W wyniku tego wszystkiego, pokazaliśmy, że przekształcenia (2.8.28), (2.8.31) i (2.8.37) odwzorowują rozwłóknienie jednostkowych wektorów stycznych do sfery w 2n-wymiarową przestrzeń fazową , a okręgi wielkie sfery Sn – w elipsy keplerowskie na powierzchni stałej energii H =E = – ½.
Do tej pory wykluczaliśmy z analiz biegun północny sfery ξ = ( 1, 0, ... , 0 ). Teraz możemy go przeanalizować. Przy tym geodezyjne przechodzące przez biegun północny, przekształcają się w zdegenerowane orbity, odpowiadające spadkowi cząstki do początku współrzędnych. Jeśli chcemy opisać potok fazowy w pobliżu punktu osobliwego q = 0,
odpowiadającemu biegunowi północnemu sfery to musimy wykonać przekształcenie :
przeprowadzające biegun północny w biegun południowy. Takiemu przekształceniu odpowiada następujące przekształcenie w przestrzeni (p, q) :
q → | p |2 q – 2(p • q )p , p → p / | p |2 (2.8.42)
które jak zauważono w pracy [250] wykorzystywane było już w teorii Zundmanna.
Zauważmy iż przy takim przekształceniu orbity keplerowskie przechodzą w orbity keplerowskie. Oprócz tego, stany osobliwe układu ( | p | = ∞ , q =0 ) przekształcają się w stany p = 0 , | q | = 2.
Zauważmy dalej, ze ogólny przypadek dowolnej ujemnej energii E = – 1/2p2 można łatwo sprowadzić do rozpatrzonego przypadku E = – ½ poprzez zamianę zmiennych :
q → ρ2q , p → ρ–1p , t → ρ3t
Z powyższego obrazu geometrycznego od razu otrzymujemy również zależność współrzędnych i pędów od czasu.
Na mocy inwariantności względem obrotów wokół osi ξ0 możemy przyjąć, że ruch następuje w trójwymiarowej przestrzeni ( ξ0 , ξ1, ξ2 ) : ξ3 = ξ4 = ... = ξn = 0
Ruch następuje po okręgu wielkim, kąt pomiędzy płaszczyzną zawierającą taki okrąg i płaszczyzną równikową ξ0 = 0 oznaczymy jako α. Wtedy przy odpowiednim wyborze początku odmierzania wielkości s otrzymujemy :
Po dokonaniu rzutowania stereograficznego i zamiany xj = –pj , yj = qj otrzymujemy :
Zatem, wektor p = ( p1, p2 ) opisuje okrąg, a wektor q = (q1, q2 ) opisuje elipsę z ekscentrysą :
ε = sin(α) (2.8.45)
sparametryzowaną anomalią ekscentryczną s [250].
W celu otrzymania zależności pomiędzy t i s zauważmy, że :
| y | = | q | = 1 – sin(α)cos(s) = 1 – ε cos(s) (2.8.46)
a zatem :
t =
∫
| y | ds = s – ε sin(s) (2.8.47)W ten sposób, podana procedura regularyzacyjna automatycznie prowadzi do równania Keplera.
Na koniec zauważmy, że przy ε = 1 równanie Keplera przyjmuje postać :
t = s – sin(s) ≈ 1/6 s3 – … (2.8.48)
skąd widać, że współrzędne orbity w pobliżu osobliwości są funkcjami analitycznymi wielkości t1/3
Dalej zauważymy dwie prace, mające związek z rozpatrywanym zagadnieniem. W pracy [124] z użyciem metody Mosera przeanalizowano również przypadki E > 0 i E = 0, które sprowadzają się do analizy potoków geodezyjnych na
hiperboloidzie i w przestrzeni Euklidesa. W pracy [227] rozpatrzono zależność pomiędzy metodami regularyzacji z prac [228] i [250] dla trójwymiarowego zagadnienia Keplera.
Zauważmy również, że jeśli wziąć wszystkie stany zagadnienia Keplera ( dla uproszczenia przy n = 3 ), to taka przestrzeń będzie naturalnie izomorficzna przestrzeni T*0S3 tj. podprzestrzeni w T*S3 , składającej się z niezerowych wektorów stycznych do sfery S3. Okazuje się, że taka przestrzeń jest przestrzenia jednorodną – działa na niej tranzytywnie grupa SO(4,2), przy czym robi to jak grupa dyfeomorfizmów symplektycznych T*0S3 ( tj. takie przekształcenia zachowują standardową strukturę symplektyczna tej przestrzeni ). Przy tym T*S3 jest izomorficzna orbicie o najmniejszym wymiarze – sześciowymiarowej orbicie reprezentacji kodołączonej grupy SO(4, 2).
Taki izomorfizm jest wykorzystywany przy tzw. kwantowaniu geometrycznym zagadnienia Keplera [258] ( opis działania grupy SO(4, 2) w przestrzeni fazowej podano w pracy [124] )
Uwaga. [2]
Niech płaszczyzna (x, y) – będzie płaszczyzną konfiguracyjną zagadnienia Keplera o hamiltonianie : H = ½ ( px3 + py3 ) – (1/r ) , r = sqrt( x2 + y2 )
Rozpatrzmy w przestrzeni (x, y, z ) stożek z2 = (x2 + y2 ) oraz rodzinę wpisanych w niego paraboloid obrotowych z = ( ( x2 + y2 ) / 4α ) + α , α - parametr
Dokonajmy rzutowania przestrzeni (x, y, z ) na płaszczyznę (x, y) wzdłuż osi z. Wtedy można pokazać, że :
a) trajektorie zagadnienia Keplera – są to rzuty płaskich przekrojów stożka ( w szczególności, wierzchołek stożka – jest to ognisko rzutów jego przekrojów płaskich )
b) Trajektorie o jednakowych wartościach energii całkowitej, to projekcje przekrojów stożka, płaszczyznami, stycznymi do jednej i tej samej paraboloidy.
c) trajektorie o jednakowej wartości momentu pędu, to projekcje przekrojów stożka płaszczyznami, przechodzącymi przez jeden i ten sam punkt osi z.
2.9 Ruch w newtonowskim i jednorodnym polu.
Rozpatrzmy najprostszy przypadek ruchu płaskiego, opisywanego przez hamiltonian :
H = ½ ( p13 + p23 ) – U(q1, q2 ) , U(q ) = –(α/r ) + βq1 (2.9.1)
Zauważmy w pierwszej kolejności, że przy β→ 0 takie zagadnienie można rozpatrywać jako zaburzenie zagadnienia Keplera, przy czym zaburzenie jest inwariantne względem zamiany q2 → – q2. Dlatego jeśli zagadnienia takie dopuszcza dodatkową całkę ruchu, to powinna ona przy takiej zamianie przechodzić w składową A1= ( ł × p )1 + α q1/ r – wektora Laplace’a. I w istocie, nasze zagadnienie dopuszcza kwadratową całkę ruchu, o postaci :
I = A1 + ½ βq22 , I = – ł p2 + (αq1/r ) + ½ βq22 (2.9.2)
Stąd wynika, że równania ruchu mogą być scałkowane z użyciem metody rozdzielenia zmiennych z jednym z czterech układów współrzędnych, rozpatrzonych w podrozdziale 2.3. Łatwo zauważyć, że w danym przypadku dla należy przejść do współrzędnych parabolicznych :
ξ = ½ ( r + q1) , η = ½ ( r – q1) (2.9.3)
skąd :
r = ξ + η , q1 = ξ – η , q2 = 2 sqrt(ξη ) (2.9.4)
Hamiltonian H w nowych zmiennych przyjmuje postać :
Zatem, omawiany układ ma postać układu Liouville’a i jego całkowanie można przeprowadzić w sposób standardowy, w wyniku czego otrzymujemy równania :
Całkując równania (2.9.6) otrzymujemy wyrażenia dla ξ(s) i η(s) wyrażone poprzez funkcje Weierstrassa P(x).
Zauważmy iż przy β = 0 powracamy do zagadnienia Keplera, które może być rozwiązane z użyciem metody rozdzielenia zmiennych, zarówno we współrzędnych biegunowych, parabolicznych oraz eliptycznych.
2.10 Ruch w polu dwóch centrów newtonowskich.
Dalej ograniczymy się do rozpatrzenia najprostszego przypadku ruchu płaskiego ( Euler 1790 [164], Lagrange [229] ) Hamiltonian w takim przypadku ma postać :
- są odległościami do przyciągających centrów.
W rozpatrywanym przypadku mamy również dodatkową, kwadratową po pędach całkę ruchu, uogólniającą składową wektora Laplace’a A1 dla jednego centrum – a mianowicie :
Dla scałkowania równania ruchu przejdziemy do współrzędnych eliptycznych :
ξ = ½ ( r1 + r2 ) , η = ½ ( r2 – r1) (2.10.4)
skąd :
Hamiltonian (2.10.1) ma teraz standardową postać :
Całkując równania ruchu z użyciem metody rozdzielenia zmiennych otrzymujemy :
Całkując równania (2.10.8), otrzymujemy wyrażenia dla ξ(s) i η(s) wyrażone poprzez funkcje eliptyczne.
Szczegółową analizę jakościową takiego ruchu można znaleźć w książce [38].
************************************************************************************************