################################################################################
Układy całkowalne mechaniki klasycznej i algebry Liego
A. M. Perelomow
Tytuł oryginału : „Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли”
Moskwa Nauka 1990
************************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2014
Ostatnia modyfikacja : 2014-07-10 Tłumaczenie całości książki (bez rozdziału 5 i bez dodatków ).
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wstęp ogólny
Jako tekst wstępny polecam tekst pt. :
Układy Hamiltonowskie i zagadnienie ich całkowalności
Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne ).
MK – mechanika klasyczna MQ – mechanika kwantowa NP – nawias Poissona
rr – równań różniczkowych, równanie różniczkowe
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
************************************************************************************************
Przedsłowie (* skrócone*)
Celem niniejszej książki jest zebranie i przedstawienie z ogólnego i uniwersalnego punktu widzenia wyników i metod, odnoszących się do całkowalnych układów mechaniki klasycznej. Pod takimi układami rozumiemy układy hamiltonowskie o skończonej liczbie stopni swobody, posiadające wystarczająco dużą liczbę wielkości zachowanych ( całek ruchu), tak , że w zasadzie całkowanie równań ruchu tych układów może być sprowadzone do kwadratur – obliczenia całek znanych funkcji.
Analiza takich układów stanowiła ważny kierunek badań w XIX wieku. Należy zauważyć, że w szczególności z takiego kierunku wyrosła teoria grup Liego. Jednakże na początku XX wieku, dzięki pracom Poincarego stało się jasne, że globalne całki ruchu układów hamiltonowskich istnieją tylko w wyjątkowych przypadkach, z tego powodu zainteresowanie tym tematem systematycznie malało.
Do niedawnych czasów znana była tylko niewielka liczba takich układów o dwóch lub więcej liczbie stopni swobody.
W ostatnich latach w omawianym temacie osiągnięto jednakże znaczny postęp. Postęp ten związany był głownie z odkrytą przez Gardnera, Greene’a, Kruskala i Miura’e ( GGKM ) nową metodą całkowania nieliniowych równań ewolucyjnych – metodę odwrotnego zagadnienia rozpraszania lub inaczej metoda deformacji izospektralnej
Zastosowanie tej metody do układów MK dało możliwość ustanowienia pełnej całkowalności całego zbioru układów klasycznych. Należy zauważyć, ze wszystkie znane układy takiego typu związane są z algebrami Liego, chociaż w wielu przypadkach związek ten nie jest tak bezpośredni, jak np. zależność wynikająca z twierdzenia E. Noether.
Niniejsza monografia stanowi próbę systematycznego wyłożenia otrzymanych w w/w kierunkach badań wyników.
Powstała ona na bazie wykładów wygłoszonych przez autora dla studentów i aspirantów Uniwersytetu Moskiewskiego.
Niestety ograniczona objętość publikacji nie pozwoliła na zaprezentowanie analizy szeregu układów całkowalnych MK, znanych obecnie. Do nich zaliczyć można :
1) Układy o ograniczeniach (więzach ) typu ruchu punktu materialnego po elipsoidzie lub sferze pod działaniem siły liniowej.
2) Ruch bryły sztywnej wokół nieruchomego punktu w polu siły ciążenia 3) Ruch bryły sztywnej w cieczy idealnej.
4) Ruch w polu periodycznym potencjałów o skończonym zasięgu, oraz innych zagadnień ruchu periodycznego.
************************************************************************************************
Wprowadzenie
Jak już powiedziano niniejsza książka poświęcona jest szybko rozwijającemu się rozdziałowi współczesnej fizyki matematycznej - w pełni całkowalnych układów mechaniki klasycznej. Pod takimi układami rozumiemy układy hamiltonowskie o skończonej liczbie stopni swobody, posiadające wystarczająco dużą liczbę wielkości zachowanych ( całek ruchu), tak, że w zasadzie całkowanie równań ruchu tych układów może być sprowadzone do kwadratur – obliczenia całek znanych funkcji ( ścisła definicja podana jest w podrozdziale 1.8 )
Do niedawnych czasów znane było tylko kilka przykładów takich układów o dwóch lub więcej liczbie stopni swobody.
Wymieńmy niektóre z nich :
1) Ruch w polu potencjału centralnego (ruch newtonowski – Newton ) : U(q) = U( | q | )
2) Ruch w polu coulombowskim ( lub newtonowskim ) o dwóch ustalonych centrach (Euler ) : U(q ) = α1 | q – a1 |–1 + α2 | q – a2 |–1
3) Ruch swobodny cząstki na powierzchni elipsoidy trójosiowej (Jakobi ) 4) Ruch cząstki na sferze pod wpływem liniowej siły ( K. Neumann )
5) Jednowymiarowy ruch trzech cząstek z oddziaływaniem binarnym o postaci ( Jakobi ) : 3
U(q )= Σ gij ( qi – qj )–2 i<j
6) Ruch ciała stałego wokół nieruchomego punktu w polu siły ciążenia dla szeregu przypadków szczególnych ( Euler, Lagrange, Kowalewska )
7) Ruch ciała stałego w cieczy idealnej dla szeregu przypadków szczególnych ( Kirchoff, Clebsh, Steklow ) Dalszy postęp w tym kierunku został osiągnięty niedawno. W 1967 roku Gardner, Greene, Kruskal i Miura [177]
(* GGKM *) odkryli nową metodę całkowania nieliniowych równań ewolucyjnych – metodę odwrotnego zagadnienia rozpraszania lub inaczej metoda deformacji izospektralnej. Metoda ta została przekształcona do postaci algebraicznej w pracy Laxa [233] i zastosowana pierwotnie do nieliniowych równań ewolucyjnych o pochodnych cząstkowych : równania Kortewega- de Vries’a, nieliniowego równania Schrödingera i równania sinusa-Gordona :
ut = uxxx + uux ut = uxx + | u |2 u utt – uxx = sin(u)
Należy jeszcze zauważyć prace W.E. Zacharowa i L. D. Faddeewa [77], w której ustanowiono hamiltonowskosć równania Korteweg- de Vries’a.
Zastosowanie tej metody do układów MK, zapoczątkowane w pracach [168, 88, 251], dało możliwość ustanowienia pełnej całkowalności całego zbioru układów klasycznych.
Istota metody deformacji izospektralnej polega na tym, że całki ruchu rozpatrywanego układu dynamicznego są
wartościami własnymi pewnej macierzy L, zależnej od zmiennych dynamicznych tego układu. Zależność ta jest jednakże taka, że spektrum tej macierzy dla dowolnego rozwiązania równania ruchu nie jest zależne od czasu. W ten sposób w procesie ewolucji układu dynamicznego macierz taka podlega deformacji izospektralnej. Wartości własne macierzy rozpatrywane jako funkcjonały zależne od zmiennych dynamicznych układu, reprezentują całki ruchu.
Zauważmy, że wszystkie znane układy takiego typu związane są z algebrami Liego i we wszystkich znanych przypadkach ich całkowalność związana jest z obecnością pewnej (ukrytej) symetrii. W przypadkach szczególnych takie układy opisują jednowymiarowe zagadnienie n ciał, z oddziaływaniem binarnym, które zostało przeanalizowane niedawno przez wielu autorów.
Jawne całkowanie równań ruchu układu w pełni całkowalnego jest zagadnieniem bardzo złożonym. Tym niemniej szereg układów w pełni całkowalnych udało się scałkować w sposób jawny z pomocą tzw. metody rzutowania [94, 95].
Istota tej metody polega na rozpatrzeniu nowego układu dynamicznego z liczbą stopni swobody większą niż dla układu wejściowego. W wyniku tego dynamika nowego układu znacznie się upraszcza i równania ruchu takiego układu mogą być scałkowane jawnie. Przy tym wejściowy układ stanowi projekcje większego układu. Jeśli rzutowanie może być opisane wzorami jawnymi, to otrzymujemy w ten sposób jawne rozwiązanie równań ruchu wejściowego układu.
W przedstawionej monografii w związku z jej ograniczoną objętością rozpatrzono tylko część układów całkowalnych MK.
Pozostała część, do której wchodzą układy z więzami i bryła sztywna, będzie przeanalizowana w osobnej publikacji.
Rozpatrzymy jednakże szereg zagadnień odnoszących się do tzw. zagadnienia periodycznego. Podejście teorio-grupowe dla tego przypadku jest obecnie jeszcze słabo opracowane i wymagane jest tutaj wykorzystanie złożonego aparatu matematycznego – techniki geometrii algebraicznej, krzywych algebraicznych, rozmaitości abelowych i Jakobiego, całek Abela i θ-funkcji.
Czytelnik zainteresowany takimi problemami, może znaleźć szczegóły takich technik np. w [12, 13, 14, 58, 110, 111].
Przyjmujemy również, że czytelnik jest zaznajomiony z podstawami MK. Wszystkie ważne aspekty tego działu fizyki z różnych punktów widzenia można znaleźć w klasycznych monografiach [35, 23, 1, 40].
************************************************************************************************
Rozdział 1 Wiadomości wstępne.
Niniejszy rozdział ma charakter wprowadzający. Zebrano w nim podstawowe wiadomości dotyczące mechaniki hamiltonowskiej, konieczne dla dalszego wykładu. Wiadomości bardziej specjalistyczne zostaną podane w bieżącym tekście w miarę jak to będzie konieczne. Większą część przedstawionych, wstępnych wiadomości wraz z ich dokładnym omówieniem, można znaleźć w monografiach [1, 2, 3, 9, 40, 66].
Jeśli chodzi o szczegóły natury historycznej to odsyłamy do fundamentalnej pracy Whittakera [35] jak również [44, 45, 61]. Zakładamy, że czytelnik zaznajomiony jest już z podstawowymi pojęciami teorii rozmaitości, rozwłoknień, algebry zewnętrznych form różniczkowych i pól wektorowych, teorii grup Liego i przestrzeni symetrycznych.
Wiadomości takie można znaleźć w wymienionych powyżej monografiach, jak również w [10,11, 17, 19,20, 36]
Czytelnik, który już zaznajomiony jest z mechanika hamiltonowską, może przejść od razu do lektury podstawowego tekstu, powracając do rozdziału 1 w miarę potrzeb.
1.1 Najprostszy przykład – ruch w polu potencjalnym.
Aby umotywować wprowadzenie podstawowych pojęć teorii hamiltonowskich układów dynamicznych, rozpoczniemy od analizy najprostszego przykładu.
Niech punkt materialny (cząstka) o masie m znajduje się w polu potencjalnym U(q) , q = ( q1 , ... , qn ) – wektor w n- wymiarowej przestrzeni. Ruch takiej cząstki opisywany jest przez równania Newtona :
m q•• j = – ∂U/∂qj (1.1.1)
( q• ≡ dq/dt )
Wprowadzimy wektor pędu : p = ( p1 , ... , pn ) , pj ≡ m q• j
oraz energię – funkcje Hamiltona (hamiltonian ) :
H = (1/2m) p2 + U(q) , p2 = pj pj ≡ Σ pj pj (1.1.2)
j=1
Wtedy równania Newtona (1.1.1) można przepisać w postaci równań Hamiltona :
q• j = ∂H/∂pj , p•j = – ∂H/∂qj (1.1.3)
przy czym równania te opisują ruch układu w przypadku dowolnej zależności funkcji Hamiltona H(p, q) od p i q.
Równania (1.1.3) można zapisać w postaci jednego równania. W tym celu połączymy wektory p i q w jeden 2n-wymiarowy wektor x = (p, q ), wielkości ( ∂H/∂pj , ∂H/∂qk ) w 2n-wymiarowy wektor ∇H a dalej wprowadzimy macierz J ( rzędu 2n ) :
J = ( 0 I ) (1.1.4)
( I 0 )
gdzie I – macierz jednostkowa rzędu n.
Wtedy równania Hamiltona (1.1.3) możemy zapisać następująco :
x• = J •∇H(x) lub J • x• = – ∇H(x) (1.1.5)
Taka forma zapisu równań Hamiltona , jak się wydaje po raz pierwszy została wykorzystana przez Lagrange’a w 1808 roku [230, 231] dla opisania wariacji elementów planety, zaburzanych przez działanie innych planet.
Wektor x = ( x1 , ... , x2n ) określa stan układu. Zbiór takich wektorów tworzy przestrzeń fazową układu M = {x }, która w danym przypadku jest 2n-wymiarową przestrzenia Euklidesa ze standardowym iloczynem skalarnym :
2n ( x, y ) = Σ xj yj
(1.1.6) j=1
Z pomocą macierzy J możemy zdefiniować nawiasy Poissona (* NP *)[269] w przestrzeni Ŧ(M) funkcji gładkich na M : n
{ F(x), G(x) } = ( ∇F, J∇G ) = Jik ∂jF ∂kG ≡ Σ [ (∂F/∂pj ) (∂G/qj ) – (∂F/qj ) (∂F/∂pj )] (1.1.7) j=1
Łatwo zauważyć, ze nawias Poissona spełnia następujące zależności :
{ F(x), G(x) } = – { G(x), F(x) } (1.1.8)
{ F(x), { G(x), H(x)}} + { G(x), { H(x), F(x)}} + { H(x), {F(x), G(x)}} = 0 (1.1.9) a zatem określa on na Ŧ(M) strukturę algebry Liego ( nieskończenie wymiarowej ). Zauważmy również, że NP (1.1.7) spełnia również zasady Leibniza :
{ F, GH } = { F, G }H + {F, H }G (1.1.10)
i dlatego jest określona w sposób pełny poprzez zadanie nawiasów Poissona dla wielkości bazowych :
{ xj , xk } = Jjk (1.1.11)
Równania ruchu (1.15) możemy teraz przepisać w postaci :
x•j = { H, xj } , x• = { H, x } = XH (1.1.12)
który jest kanoniczną postacią zapisu równań ruchu układu hamiltonowskiego. W ten sposób układ hamiltonowski charakteryzowany jest przez trójkę obiektów { M, NP, H(x) } : przestrzeń fazową M, strukturę Poissona NP i hamiltonian H(x). Pole wektorowe { H, x } = XH nazywa się hamiltonowskim polem wektorowym, odpowiadającym
hamiltonianowi H.
W rozpatrywanym przypadku macierz J jest niezdegenerowana, tak, więc istnieje macierz odwrotna :
J–1 = –J (1.1.13)
Definiująca niezdegenerowana skośnie symetryczną formę biliniową na przestrzeni fazowej :
ω(x, y) = ( x, J–1y ) (1.1.14)
Niezdegenerowana zamknięta 2-forma nazywa się formą symplektyczną, a rozmaitość wyposażona w taką formę – rozmaitością symplektyczną. W ten sposób, w naszym przypadku przestrzeń fazowa jest rozmaitością symplektyczną.
Załóżmy teraz, że dokonujemy zamiany współrzędnych yj = fj(xk ), gdzie fj(xk ) – funkcje gładkie. Jeśli wektor x(t) spełnia równanie Hamiltona (1.1.5), to wektor y(t) = f(x(t)) spełnia równania :
y• = Ax• = AJ •∇x H(x) = AJA’ ∇y H(x(y)) (1.1.15)
gdzie A – jest macierzą postaci :
Aji = ∂yi /∂xj , A’ – jest macierzą transponowaną do macierzy A.
Łatwo zauważyć, że równania dla y(t) będą hamiltonowskie w tym i tylko w tym przypadku, kiedy :
AJA’ = J (1.1.16)
Przy czym nowy hamiltonian H~(y) = H(x(y)).
Przekształcenie spełniające warunek (1.1.16), nazywa się przekształceniem kanonicznym. W najprostszym przypadku, kiedy macierz A nie zależy od x, zbiór takich macierz tworzy grupę Liego, nazywaną rzeczywistą grupą symplektyczną Sp(2n, R)
( Grupa ta została po raz pierwszy rozpatrywana przez Abela. W XIX wieku nazywano ją liniową grupą zespoloną, ponieważ pozostawia ona inwariantną określoną rodzinę ( kompleks zespolony) prostych. Pojęcie „grupa symplektyczna”
wprowadził H. Weyl [8]. Zobacz również [306] )
Geometria przestrzeni fazowej, ruchami, której są przekształcenia grupy Sp( 2n, R), nazywa się geometrią symplektyczną.
Odgrywa ona ważną rolę przy analizie układów hamiltonowskich [1, 3, 9, 40, 62, 66, 279]
Zauważmy, że warunek (1.1.16)z użyciem formy symplektycznej ω zazwyczaj zapisujemy tak :
f*ω = ω (1.1.17)
i oznacza, że przekształcenie f nie zmienia ω.
W przykładzie rozpatrzonym w niniejszym podrozdziale przestrzeń fazowa była przestrzenią Euklidesa : M = R2n Jednakże tak nie musi być zawsze. W szeregu zagadnień pojawia się konieczność analizowania przestrzeni fazowych, będących rozmaitościami. Takie przestrzenie pojawiają się np. kiedy ruch układu jest ograniczony przez pewne więzy.
I tak, przestrzenią fazowym dla ciała stałego, obracającej się wokół nieruchomego punktu, jest rozwłóknienie kostyczne grupy SO(3) – grupy macierzy ortogonalnych trzeciego rzędu o wyznaczniku równym 1.
W szeregu przypadków pojawiają się również rozmaitości, nie będącymi rozwłóknieniami kostycznymi. Analiza takich układów jest konieczna również dla jasnego rozumienia ogólnej struktury mechaniki hamiltonowskiej.
1.2 Struktura poissonowska i układy hamiltonowskie.
Już z pierwszego przykładu widać było, że NP odgrywają ważną rolę w mechanice hamiltonowskiej. Obecnie rozpatrzymy pojęcie struktury poissonowskiej dla układów ogólnego typu ( jeśli chodzi o wykorzystanie niestandardowych struktur poissonowskich dla opisu konkretnych układów fizycznych, zobacz [14, 26] )
Niech M – będzie rozmaitością, Ŧ(M) – przestrzenią gładkich funkcji na M. Będziemy mówili, że na M zadana jest struktura poissonowska, jeśli zadana jest operacja przyporządkowująca parze funkcji F(x), G(x)∈ Ŧ(M) nową funkcje : { F(x), G(x) }∈ Ŧ(M), która jest liniowa po F i G i spełnia następujące warunki :
a) skośna symetria
{ F(x), G(x) } = – { G(x), F(x) } (1.2.1)
b) tożsamość Jakobiego
{ F(x), { G(x), H(x)}} + { G(x), { H(x), F(x)}} + { H(x), {F(x), G(x)}} = 0 (1.2.2) c) zasada Leibniza
{ F(x), G(x)H(x) } = { F(x), G(x) }H(x) + {F(x), H(x) }G(x) (1.2.3)
Jednakże równości (1.2.1) i (1.2.2) – to nic innego jak warunki które powinny spełniać elementy algebry Liego.
W ten sposób, przestrzeń Ŧ(M) wyposażona w NP { . }, przekształca się w algebrę Liego ( nieskończenie wymiarową ) Niech xj – będą lokalnymi współrzędnymi na M, H(x) – funkcją gładką na M. Wtedy na M określony jest układ dynamiczny :
x•j = { H, xj } = XjH (1.2.4)
Taki układ nazywa się hamiltonowskim, a pole wektorowe XH = { Xj
H } nazywa się hamiltonowskim polem wektorowym, odpowiadającym hamiltonianowi H.
Dla takiego układu słuszna jest następująca zależność :
F• = { H, F } (1.2.5)
gdzie F(x) – dowolna funkcja gładka na M.
Widać stąd, że wielkości spełniające warunek :
{ H, F } = 0 (1.2.6)
są wielkościami zachowanymi – całkami ruchu.
Zauważmy, że z tożsamości Jakobiego (1.2.2) wynika, że NP dwóch całek ruchu również jest całką ruchu, tak że całki ruchu tworzą również algebrę Liego. Z zależności (1.2.3) wynika również to, że iloczyn dwóch całek ruchu również jest całką ruchu.
Algebra całek ruchu jest ważną charakterystyką układu hamiltonowskiego i jest ona ściśle związana z obecnością dla rozpatrywanego układu pewnej grupy symetrii. Jeśli układ posiada wystarczająco dużą liczbę całek ruchu, to jest on w pełni całkowalny, tak że rozwiązanie równań ruchu takiego układu może być w zasadzie, sprowadzone do obliczenia całek – kwadraturom. Właśnie takie układu stanowią dla nas przedmiot zainteresowania.
Powracając do struktury poissonowskiej, rozpatrzymy NP postaci :
{ F(x), G(x) } = ωjk(x) ∂jF ∂kG , ∂j = ∂/∂xj (1.2.7)
Wtedy zasada Leibniza (1.2.3) jest spełniona automatycznie, a warunek (1.2.1) będzie równoważny warunkowi :
ωjk(x) = – ωkj(x) (1.2.8)
a warunek (1.2.2) przyjmie postać :
ωjk ∂kωsm + ωsk ∂kωmj + ωmk ∂kωjs = 0 (1.2.9) Równania ruchu (1.2.4) przyjmują postać :
x•j = XHj = ωjk(x) ∂kH , ∂k = ∂/∂xk (1.2.10) Komutator dwóch hamiltonowskich pól wektorowych XF , XH zadany jest wzorem :
[ XF , XH ] = X{F, H} (1.2.11)
( Należy podkreślić, że nie wymagamy, aby tensor ωjk(x) wchodzący do definicji NP (1.2.7) był niezdegenerowany. W szczególności, przestrzeń M może być nieparzystowymiarowa )
Rozpatrzmy teraz podstawowe typy NP.
1) Najprostszym jest przypadek, kiedy tensor ωjk(x) nie zależy od współrzędnych x. Przypadek ten z pomocą liniowej zamiany zmiennych sprowadza się do przypadku, rozpatrzonego w poprzednim podrozdziale.
2) Kolejnym co do złożoności, przypadkiem (i najważniejszym ) jest przypadek liniowej zależności ωjk(x) od x.
( zakładamy tutaj, że przestrzeń M jest liniowa ) :
ωjk(x) = Csjk xs (1.2.12)
Łatwo zauważyć, ze w takim przypadku warunki (1.2.8) i (1.2.9) pokrywają się z warunkiem skośnej symetrii i
tożsamością Jakobiego dla stałych strukturalnych Csjk algebry Liego, tak ze wielkości te powinny pokrywać się ze stałymi strukturalnymi pewnej algebry Liego. Nawias Poissona przyjmuje teraz postać:
{ F(x), G(x) } = Csjk xs ∂jF ∂kG (1.2.13)
i nazywa się nawiasem Liego-Poissona.
Rozpatrzmy taki przypadek nieco dokładniej. Niech ℘ - będzie algebrą Liego, ℘* - przestrzenią dualną, do niej tj.
przestrzenią funkcjonałów liniowych zadanych na ℘. Wtedy przestrzeń Ŧ(℘* ) - przestrzeń funkcji gładkich na ℘*
posiada naturalną strukturę poissonowską. Opiszmy ją .
Niech ej – będzie baza na ℘, fk – bazą do niej dualną w przestrzeni ℘* :
< fk , ej > = δjk
< x, ξ > - jest wartością funkcjonału x ∈℘* na elemencie ξ ∈℘.
Niech Csjk – będą stałymi strukturalnymi algebry Liego ℘ w bazie ej : [ ej , ek ] = Cjks es
x = xjfj – niech będzie elementem należącym do ℘
Wtedy przestrzeń Ŧ(℘* ) będzie przestrzenią funkcji zmiennych xj : F ∈ Ŧ(℘* ) , F = F(xj )
Dla wielkości xj NP zadane są przez wzór :
{ xj , xk } = Cjks es (1.2.14)
i oprócz tego, wymagamy spełnienia zasad Leibniza (1.2.3)
Wtedy dochodzimy do wyrażenia dla nawiasu Liego-Poissona dwóch funkcji F, G :
{ F(x), G(x) } = Cjki xi ∂jF ∂kG (1.2.15)
Łatwo sprawdzić, ze tożsamość Jakobiego (1.2.2) jest przy tym następstwem tożsamości Jakobiego w algebrze Liego ℘ :
[ ξ , [ η, ζ]] + [ η, [ ζ, ξ ]] + [ ζ , [ ξ, η ]] = 0 (1.2.16)
ξ, ζ, η ∈℘
Zauważmy, że funkcje liniowe na ℘* ( które można rozpatrywać jako elementy algebry ℘ ) tworzą podalgebrę względem NP , która pokrywa się z wejściową algebrą Liego ℘.
Zauważmy również, że NP dwóch funkcji wielomianowych na ℘ ponownie jest funkcją wielomianową tak, że przestrzeń ℜ(℘* ) wszystkich wielomianów na ℘* tworzy podalgebrę Liego.
Niech teraz w przestrzeni ℘* zadany będzie układ dynamiczny o hamiltonianie H(x) , a M – niech będzie podrozmaitością w ℘* taka, że wektor XH we wszystkich punktach takiej podrozmaitości jest styczny do M.
Taką podrozmaitość nazywa się rozmaitością inwariantną rozpatrywanego układu dynamicznego.
Standardowo w przestrzeni Ŧ(℘* ) istnieją takie funkcje Fα(x), że :
{ xk , Fα(x) } ≡ 0 (1.2.17)
Wybierając z nich funkcje funkcjonalnie niezależne i przyrównując je do stałych :
Fα(x) = cα (1.2.18)
otrzymujemy podrozmaitość w ℘*, która jak łatwo zauważyć jest podrozmaitością inwariantną dla dowolnego
hamiltonianu H(x). W przestrzeni ℘* w sposób naturalny działa grupa G ( z pomocą reprezentacji kodołączonej tej grupy ) i łatwo zauważyć, że rozpatrywana podrozmaitość jest inwariantna względem tego działania tj. jest orbitą reprezentacji kodołączonej lub sumą takich orbit. W szczególności dowolna orbita jest rozmaitością inwariantną i posiada
niezdegenerowaną strukturę poissonowską.
Przykłady.
1) Niech M = R2n , M = { x : x = ( p, q ) , p = p1, ... , pn ) , q = ( q1, ... , qn )}
Wtedy wzór : n
{ F(x), G(x) } = Σ [ (∂F/∂pj ) (∂G/qj ) – (∂F/qj ) (∂F/∂pj )] (1.2.19) j=1
zadaje na Ŧ(M) ogólną strukturę poissonowską.
2) M = ℘* - przestrzeń dualna do algebry Heisenberga-Weyla
℘ = Wn : M{ x : x = ( p, q , r ) , p = p1, ... , pn ) , q = ( q1, ... , qn )}
Wtedy wzory :
{pj , pk } = { qj , qk } = 0 ; {pj , qk } = δjk r , { pj , r } = { qk, r } = 0 (1.2.20) z uwzględnieniem zasady Leibniza zadają na M strukturę poissonowską. Taka struktura jest zdegenerowana i na orbitach reprezentacji kodołączonej
Oc = { x : x = ( p, q , r ), r = c ≠ 0 }
Różni się od struktury (1.2.19) tylko o stały mnożnik c.
3) NP dla cząstki w „zewnętrznym polu magnetycznym” Fij(x) określona jest przez zależność [14] : { qi , qj } = 0 , {qi , pj } = δi
j , { pi , pj } = Fij(q ) ; i, j = 1, ... , n (1.2.21)
gdzie 2-forma :
F = Fij(q ) dqi ∧ dqj (1.2.22)
Jest zamknięta dF = 0.
Odpowiadająca takiemu NP forma symplektyczna ω ma postać :
ω = Σ dpj ∧ dqj + Σ Fij(q ) dqi ∧ dqj (1.2.23) j i,j
Równania ruchu w rozpatrywanym przypadku mają postać:
pj• = – ∂H/∂qj + Fjk ∂H/∂pk ; q•j = ∂H/∂pj (1.2.24)
i przy n = 2 lub n = 3 opisują one naładowaną cząstkę poruszająca się w „zewnętrznym polu magnetycznym Fij”
Zauważmy, że w obszarze, gdzie F = dA ( A = Aj dqj – 1-forma ) nawias (1.2.21) może być sprowadzony do standardowej postaci z Fij(x) ≡ 0.
Do postaci (1.2.21) standardowo globalnie prowadza NP dla rozwłoknień kostycznych M = T*N, spełniające dodatkowy warunek – dowolne funkcje F, G zależne tylko od współrzędnych bazy N, posiadają zerowy NP { F, G } = 0.
4) M = ℘* - przestrzeń dualna do algebry Liego grupy SO(3) M = { x : x = ( x1, x2 , x3 ) }
Struktura poissonowska zadana jest przez wzór :
{xj , xk } = εjks xs , j, k, s = 1, 2, 3 (1.2.25)
gdzie εjks – tensorem całkowicie antysymetryczny, ε123 = 1.
Stąd łatwo otrzymujemy wzór :
{ F(x), G(x) } = ( x, [ ∂F/∂x , ∂G/x ] ) (1.2.26)
[ x , y ] – iloczyn wektorowy wektorów x i y.
Struktura poissonowska jest zdegenerowana i na orbitach reprezentacji kodołączonej Oc = { x : | x |2 = x12 + x22 + x32 = r2 )
Przechodzi w strukturę :
{ F(θ, ϕ) , G(θ, ϕ) } = [1/ r sin(θ)] ( ∂F/∂θ ∂G/∂ϕ – ∂F/∂ϕ ∂G/∂θ ) (1.2.27)
x1 = r sin(θ) , x2 = r sin(θ)sin(ϕ) , x3 = r cos(θ) Dynamika w M zadana jest przez równanie :
x• = [ x , ∂H/∂x ] (1.2.28)
Zauważmy, że dla przypadku hamiltonianu kwadratowego : H = ½ Σ aj xj2
(1.2.29)
równania (1.2.28) przechodzą w równania Eulera, opisujące ruch swobodnej bryły sztywnej wokół nieruchomego punktu.
5) M = ℘* - przestrzeń dualna do algebry Liego grupy E(3) – grupy obrotów trój wymiarowej przestrzeni Euklidesa.
M = { (x , y ) : x = ( x1, x2 , x3 ) , y = ( y1, y2 , y3 ) } Struktura poissonowska zadana jest przez wzór :
{xj , xk } = εjks xs , {xj , yk } = εjks ys , {yj , yk } = 0 (1.2.30)
lub w postaci jawnej :
{ F(x, y ), G(x ,y) } = ( x, [ ∂F/∂x , ∂G/x ] ) + ( y, [ ∂F/∂x , ∂G/y ] ) + ( y, [ ∂F/∂y , ∂G/x ] ) (1.2.31) Struktura poissonowska jest zdegenerowana i na orbitach reprezentacji kodołączonej
Oa,b = { (x, y) : | y |2 = a2 , ( x, y ) = ab } , a > b (1.2.32)
Równania ruchu w rozpatrywanym przypadku mają postać:
x• = [ x, ∂H/∂x ] + [ y ,∂H/∂y ] , y• = [ y , ∂H/∂x ] (1.2.33)
Zauważmy, że dla przypadku hamiltonianu kwadratowego :
H = ½ Σ ( aj xj2 + 2bj xj yj + cj yj2 ) (1.2.34)
równania (1.2.33) przechodzą w równania Kirchoffa, opisujące ruch bryły sztywnej w idealnej cieczy.
Na zakończenie niniejszego podrozdziału podamy krótki komentarz historyczny. Ogólna teoria NP ( jak również szereg innych ważnych pojęć mechaniki hamiltonowskiej ) zostało rozwinięte w postaci lokalnej przez Sophusa Liego [ 54 – 57, 307]. W jego pracach możemy m.in. znaleźć przypadek liniowej zależności ωjk(x) od x )
Wyrażenie dla liniowego NP (1.2.22) zostało preodkryte przez Berezina w 1967 roku [69]. W innym języku – języku rozmaitości symplektycznych, spotykane ono było również w pracach Kirillowa i Kostanta, w kontekście kwantowania geometrycznego. [17, 19]. NP z bardziej złożoną zależnością ωjk(x) od x w obecnym czasie dopiero co zaczynają być
badane. Jak się wydaje pierwszy przykład takich nawiasów z kwadratową zależnością od x został znaleziony w pracy [105]. Szczegółową analizę teorii NP znaleźć można w pracy [76].
1.3 Rozmaitości symplektyczne.
W niniejszym podrozdziale rozpatrzymy ważną klasę przestrzeni, dla których tensor ωjk(x) nie jest zdegenerowany. Takie rozmaitości posiadają szereg ważnych specyficznych własności i nazywają się rozmaitościami symplektycznymi.
Definicja. Rozmaitością symplektyczną (M, ω) nazywamy rozmaitość gładką M, na której zadana jest zamknięta niezdegenerowana 2-forma różniczkowa ω. We współrzędnych lokalnych xj :
ω = ωjk (x) dxj ∧ dxk (1.3.1)
Warunek niezdegenerowania oznacza, że det( ωjk(x)) ≠ 0 we wszystkich punktach rozmaitości M, a zatem istnieje macierz odwrotna do ωjk(x) (skośniesymetryczna) ωjk(x). Dlatego też rozmaitość M powinna być parzystowymiarowa.
Warunek zamkniętości formy dω = 0we współrzędnych lokalnych ma postać :
∂kωij + ∂iωjk + ∂jωki = 0 , ∂j = ∂/∂j (1.3.2)
Jest ono równoważne warunkowi (1.2.9) dla tensora ωjk tak, że możemy określić strukturę poissonowską z użyciem wzoru (1.2.7) lub tak :
{ F, G } = ω( XF , XG ) (1.3.3)
Zauważmy, że wszystkie rozmaitości symplektyczne są lokalnie zbudowane jednakowo. Ścisłe sformułowanie tego faktu daje następujące twierdzenie :
Twierdzenie Darboux [155, 1]. Niech x – będzie dowolnym punktem rozmaitości symplektycznej (M, ω). Wtedy w pewnym otoczeniu x, można wybrać taki układ współrzędnych lokalnych ( p1 , ... , pn , q1 , ... , qn ), ze forma ω przyjmuje standardową postać :
n
ω = Σ dpj ∧ dqj (1.3.4)
j=1
Z pomocą tego twierdzenie można rozciągnąć na wszystkie rozmaitości symplektyczne dowolne stwierdzenie o
charakterze lokalnym, inwariantne względem przekształceń symplektycznych i dowiedzione dla standardowej przestrzeni fazowej ( M = R2n , ω = Σ dpj ∧ dqj )
W szczególności stąd od razu wynika, że dowolne dwie rozmaitości symplektyczne o jednakowym wymiarze są lokalnie symplektycznie izomorficzne wzajemnie. Jeśli chodzi o geometrię przestrzeni symplektycznych do odsyłamy do [1,3, 9, 40, 66] Zauważmy również, że ogólna rozmaitość poissonowska ze zdegenerowaną strukturą poissonowską ωjk rozwłóknia się na podrozmaitości symplektyczne, na każdej z których tensor ωjk nie jest już zdegenerowany [79, 307].
Przestrzenie symplektyczne posiadają specyficzne własności topologiczne. Omówimy jedną z nich.
Niech ( M, ω) – będzie zwartą rozmaitością symplektyczną o wymiarze 2n. Wtedy n-ta potęga formy zewnętrznej ω ωn jest formą objętości tej rozmaitości, tak że klasa kohomologii de Rhama [ωn ] w H2n(M, R) do której należy forma ωn jest różna od zera. Zauważmy również, że przy tym wszystkie potęgi formy ω aż do ωn powinny być różne od zera, a zatem wszystkie grupy kohomologii H2j(M, R), j = 1, ..., n powinny być nietrywialne.
Wymieńmy trzy duże klasy rozmaitości symplektycznych.
1) Jeśli N – jest dowolną rozmaitością, to rozwłóknienie kostyczne T*N rozpatrywane jako rozmaitość niesie na sobie kanoniczną strukturę symplektyczną ω, będącą uogólnieniem struktury na przestrzeni R2n ≈ T*Rn [1, 40].
2) Dowolna gładka zespolona rozmaitość algebraiczna M, tj. rozmaitość zadana przez równania wielomianowe w zespolonej przestrzeni rzutowej CPN , jest symplektyczna, a oprócz tego posiada ona naturalną strukturę symplektyczną [1].
W istocie – jak dobrze wiadomo N-wymiarowa rozmaitość zespolona CPN jest rozmaitością symplektyczną z 2-formą Ω. Niech i : M → CPN – będzie włożeniem rozmaitości zespolonej M w CPN Takie odwzorowanie indukuje odwzorowanie i* w przestrzeni form :
i* : H*(CPN ) → H*(M)
możemy zatem zbudować 2-formę ω na M:
ω = i*Ω (1.3.4’)
Można pokazać, że forma ta jest zamknięta i niezdegenerowana, a zatem zadaje ona strukturę symplektyczną na M [1]
Wiadomo również [37], że dowolna gładka zespolona rozmaitość algebraiczna jest rozmaitością Kählera.
To oznacza, że rozmaitość M dopuszcza metrykę Kählera tj. metrykę hermitowską :
ds2 = hµν- dzµ dz-ν , h-µν- = hνµ- (1.3.5)
część urojona której :
ω = (1/2i) hµν- dzµ ∧ dz-ν (1.3.6)
jest 2-formą zamkniętą. Formę ta można wybrać w charakterze formy symplektycznej na M.
W ten sposób nie tylko rozmaitość algebraiczna, ale i dowolna rozmaitość Kählera jest symplektyczna. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. W. Thurston znalazł przykład 4-wymiarowej zwartej symplektycznej niejednospójnej rozmaitości, nie będącej rozmaitością Kählera [296, 66, dodatek A ]
Istnieją również przykłady jednospójnych symplektycznych rozmaitości nie kahlerowskich [244, dodatek A ] 3) Jeszcze jedną ważną klasą rozmaitości symplektycznych są orbity reprezentacji kodołączonej grupy Liego [17].
Niech G – będzie grupą Liego, ℘ - jej algebrą Liego, ℘* - przestrzenią dualną do ℘, tj. przestrzenią funkcjonałów liniowych na ℘. Grupa G działa naturalnie na algebrze Liego ℘, a działanie to nazywa się dołączoną reprezentacja Ad grupy G. Odpowiednio w przestrzeni ℘* działa reprezentacja kodołączona ad* grupy G. Działając na dowolny punkt f przestrzeni ℘* operatorami Ad*(g) dla wszystkich g, otrzymamy orbitę Of reprezentacji kodołączonej, przechodzącą przez punkt f. Dowolna taka orbita jest rozmaitością symplektyczną i forma ωf na niej zadana jest przez warunek :
ωf( Xξ , Xη ) = < f, [ ξ, η ] > (1.3.7) gdzie ξ, η ∈℘ , Xξ , Xη - odpowiadające im pola wektorowe na orbicie, wzięte w punkcie x, < f, ξ > - jest wartością funkcjonału f na elemencie ξ∈℘
Dokładniej tą klasę rozmaitości symplektycznych będziemy rozpatrywali w podrozdziale 1.4. Teraz zauważymy jedynie, że dowolna orbita reprezentacji kodołączonej zwartej grupy Liego jest rozmaitością kahlerowską [126].
Zasygnalizujemy jeszcze następujący sposób budowania nowych rozmaitości symplektycznych. Niech na rozmaitości symplektycznej M działa dyskretna podgrupa przekształceń symplektycznych Γ = {γ }, przy czym takie działanie jest efektywne ( tj. tylko jeden element e, grupy Γ działa jak przekształcenie tożsamościowe ) i nie posiada punktów stałych ( tj. przy γ ≠ e dla wszystkich x∈M , γx ≠ x ). Wtedy przestrzeń ilorazowa M~ = M/Γ jest gładką rozmaitością
symplektyczną. Zauważmy, że jeśli rozmaitość M jest jednospójna, to grupa fundamentalna π1 rozmaitości M~ jest izomorficzna grupie
Γ : π1(M~ ) = Γ
a pierwsza grupa kohomologii H1(M~ , Z ) ≈Γ / [ Γ, Γ ] , gdzie [ Γ, Γ ] – komutant grupy Γ Przykłady.
1) Niech M = R2n – przestrzeń Euklidesa o wymiarze 2n : M = { x : x = ( p, q ) , p = p1, ... , pn ) , q = ( q1, ... , qn )}
Przestrzeń M staje się symplektyczna po tym jak zadana zostanie na niej standardowa 2-forma :
ω = dpj ∧ dqj (1.3.8)
2) M = R1 × S1 – dwuwymiarowy cylinder o współrzędnych p∈ R1, q ∈ S1; 0 ≤ q < 2π ( S1- okrąg ) Teraz :
ω = dp ∧ dq (1.3.9)
Rozmaitość M otrzymujemy na drodze faktoryzacji dwuwymiarowej płaszczyzny { (p, q) } względem dyskretnej podgrupy przesunięć Γ = { γn } , gdzie γn = (p, q ) → ( p, q + 2πn )
3) M = T2 = S1 × S1 – dwuwymiarowy torus o współrzędnych 0 ≤ q < 2π, 0 ≤ p < 2π. Forma ω ma postać (1.3.9).
Jest to najprostszy przykład zwartej rozmaitości symplektycznej. Przestrzeń ta może być również otrzymana z dwuwymiarowej płaszczyzny na drodze faktoryzacji po podgrupie przesunięć
Γ = { γmn } , gdzie γmn = (p, q ) → ( p + 2πm, q + 2πn )
4) M = S2 – dwuwymiarowa sfera o standardowych współrzędnych θ, ϕ : 0 ≤ θ < π, 0 ≤ ϕ < 2π i elementem długości :
ds2 = dθ2 + sin2 (θ) dϕ2 (1.3.10)
Forma ω określa element powierzchni na sferze :
ω = sin(θ) dθ ∧ dϕ (1.3.11)
Jeśli z pomocą rzutowania stereograficznego odwzorujemy sferę S2 na płaszczyznę Riemanna zmiennej zespolonej z :
z = x + iy = ctg( ½ θ) exp(iϕ) (1.3.12)
to forma zewnętrzna przyjmie postać :
ω = – 2i( 1 + | z |2 )–2 dz ∧ dz- (1.3.13)
Zauważmy, ze rozmaitość M jest niepłaską (nieliniową ) zwartą rozmaitością symplektyczną.
5) Rozmaitości w przykładach 3 i 4 są przypadkami szczególnymi ogólniejszej klasy rozmaitości symplektycznych. Każda 2-wymiarowa rozmaitość z 2-formą ω, nigdzie nie zerującą się na niej, jest symplektyczna.
6) M = £2 - płaszczyzna Łobaczewskiego, którą można zrealizować np. w postaci koła jednostkowego D = { z : | z | < 1 } na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z. Forma ω ma postać :
ω = – 2i( 1 – | z |2 )–2 dz ∧ dz- (1.3.14)
Zauważmy, że obszar D można rozpatrywać jako rzut stereograficzny górnej połowy dwuosiowej hiperboloidy, włożonej w trójwymiarową przestrzeń pseudoeuklidesową.
7) Niech M – będzie orbitą reprezentacji kodołączonej E(3) – grupy ruchów trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa. Jak już mówiliśmy, orbita M wyróżniona jest w 6-wymiarowej przestrzeni o współrzędnych xj , yk ; j, k = 1, 2, 3, przez równania :
y2 = a2 , xy = ab (1.3.15)
NP ma postać (1.2.30) I na rozmaitości M jest niezdegenerowany. Zamiana :
zj = xj – (b/a)yj (1.3.16)
ustanawia izomorfizm M z rozwłóknieniem kostycznym T*S2 do 2-wymiarowej sfery S2 { y, z : y2 = a2 , zy = 0 }
Okazuje się, że NP na T*S2 indukowany przez nawias (1.2.30), można globalnie sprowadzić do postaci (1.2.21).
Odpowiadająca temu faktowi zamiana [93, 14] ma postać :
y1 = a cos(θ) cos(ψ) , y2 = a cos(θ) sin(ψ) , y3 = a sin (θ) (1.3.17) z1 = yψ tg(θ) cos(ψ) – yθ sin(ψ) , z2 = yψ tg(θ) sin(ψ) + yθ cos(ψ) , z3 = – yψ (13.17) gdzie :
– ½ π ≤ θ < ½ π ; 0 ≤ ψ < 2π Ze wzoru (1.317) wynika, że :
{ θ, ψ } = { yθ , ψ } = { yψ , θ } = 0 ; { θ , yθ } = { ψ , yψ } = 1 , { yθ , yψ } = b cos(θ) (1.3.18) a odpowiednia 2-forma ω ma teraz postać :
ω = dθ ∧ dyθ + dψ ∧ dyψ + b cos(θ) dθ ∧ dψ = dηj ∧ dξj + F (1.3.19) gdzie :
η1 = θ , η2 = ψ , ξ1 = yθ , ξ2 = yψ , F = b cos(θ) dθ∧ dψ (1.3.20) Całka od formy F ( lub ω ) po cyklu bazowym [ S2 ] ∈ H2( T*S2 ) = Z, ma postać :
∫∫ F = ∫∫ ω = 4πb (1.3.21)
S2 S2
W ten sposób, otrzymujemy standardowy NP na T* S2 dodatkowo zaburzony przez pole magnetyczne F. Przy b ≠ 0 efektywne pole magnetyczne jest różne od zera i reprezentuje sobą „monopol Diraca” ( nie skwantowany ).
Jak już zauważyliśmy wcześniej, rozmaitości symplektyczne są naturalnymi przestrzeniami fazowymi dla układów hamiltonowskich. Dalej rozpatrzymy najprostsze własności takich układów [1, 2, 40].
Niech rozmaitość M – będzie symplektyczna o formie ω = ωjk(x)dxj ∧ dxk
Obecność tensorów ωjk i ωjk pozwala ustanowić odpowiedniość pomiędzy 1-formami θ = aj(x)dxj i polami wektorowymi X = {Xj } zadanymi na M. Zauważmy, że pole wektorowe X można rozpatrywać jako operator różniczkowy pierwszego rzędu na M :
X = Xj ∂j , ∂j = ∂/∂xj (1.3.22)
Przy tym polu wektorowemu X = Xj ∂j odpowiada 1-forma θ = ω(X) = ωjk Xj dxk
Definicja 1. Pole wektorowe X na rozmaitości symplektycznej (M, ω) nazywa się hamiltonowskim, jeśli odpowiadająca mu 1-forma θ = ω(X) = aj dxj jest zamknięta.
We współrzędnych lokalnych xj warunek hamiltonowskości pola X = Xj ∂j ma postać :
∂kaj – ∂jak = 0 , aj = ωjk Xk (1.3.23)
Łatwo zauważyć, że dowolne wektorowe pole hamiltonowskie X zachowuje formę ω :
LXω = 0 (1.3.24)
Gdzie LX – jest pochodną w kierunku pola X Zauważmy, że stwierdzenie odwrotne również jest prawdziwe.
Przy pewnych dodatkowych założeniach hamiltonowskie pole wektorowe X generuje jednoparametrową grupę {gt } przekształceń symplektycznych rozmaitości M – potok fazowy. Taki potok pozostawia inwariantną formę ω, tj. g*tω = ω.
Definicja 2. Pole wektorowe X nazywa się ściśle hamiltonowskim, jeśli odpowiadająca mu forma θ = ω(X ) jest ścisła tj.
ω(X ) = dH, gdzie H – funkcja na rozmaitości symplektycznej M ( funkcja Hamiltona – hamiltonian ) I odwrotnie – jeśli H – jest funkcją na M, to pole wektorowe
XH = ω–1 dH
odpowiadające 1-formie, jest ściśle hamiltonowskim.
Podamy teraz prosty przykład, hamiltonowskiego pola wektorowego, ale nie będącego ściśle hamiltonowskim.
Niech M = S1 × S1 – dwuwymiarowy torus : ω = dp ∧ dq ; 0 ≤ p < 2π ; 0 ≤ q < 2π Pole
X = a ∂/∂q + b ∂/∂p ( a, b – stałe )
jest hamiltonowskim, ale nie ściśle hamiltonowskim.
Łatwo zauważyć, że jest to związane z własnościami topologicznymi rozmaitości M, a dokładnie z tym, że pierwsza grupa kohomologii H1(M, R ) jest nietrywialna :
Hj( M, R ) ≠ 0
My będziemy głównie rozpatrywali przypadek, kiedy pole X jest ściśle hamiltonowskie, dynamika na M zadana jest przez funkcje Hamiltona H(x),a równia ruchu we współrzędnych lokalnych mają postać:
ωjk x•k = ∂jH lub x•k = ωks ∂sH (1.3.25)
Jeszcze raz zauważymy, że taka forma zapisu równań po raz pierwszy była wykorzystana ( w przypadku szczególnym) przez Lagrange’a w 1808 roku [230, 231].
Przykład.
Niech M = R2n , ω = dpj ∧ dqj , H = H(p, q). Wtedy równania dynamiki mają postać standardowych równań Hamiltona :
p•j = – ∂H/∂qj , q•k = ∂H/∂pk (1.3.26)
Niech XH – będzie ściśle hamiltonowskim polem wektorowym, generowanym przez funkcje Hamiltona H. Wtedy łatwo zauważyć, że potok generowany przez XH pozostawia funkcje H inwariantną :
XH • H = ω( XH, XH ) = 0 (1.3.27)
Innymi słowy, funkcja H ( energia układu) jeśli nie zależy od czasu – jest całką ruchu równań dynamiki.
Ponieważ pola wektorowe można rozpatrywać jako operatory różniczkowe 1-go rzędu na M, to dla nich określona jest operacja komutacji, względem której tworzą one algebrę Liego. Taka algebra Liego jest nieskończenie wymiarowa.
Zauważmy również, że komutator dwóch hamiltonowskich pól wektorowych jest polem wektorowym ściśle hamiltonowskim. Zatem, ściśle hamiltonowskie pola wektorowe tworzą inwariantną podalgebrę tej algebry.
Algebra ilorazowa jednej algebry względem drugiej jest algebrą jednowymiarowych kohomologii H1(M, R) przestrzeni M.
Dalej zauważymy, że w rozpatrywanym przez nas przypadku dla dowolnych dwóch funkcji F, H określonych na M ma miejsce tożsamość :
X{F, H} = [ XF, XH ] (1.3.28)
1.4 Jednorodne rozmaitości symplektyczne.
Dalej będą nas interesowały układy hamiltonowskie, posiadające wystarczająco dużą liczbę całek ruchu. Istnienie takich całek we wszystkich znanych przypadkach jest następstwem określonych symetrii rozpatrywanego układu dynamicznego, chociaż niekiedy taki związek nie jest tak prosty, jak np. związek opisywany przez twierdzenie E. Noether.
Dlatego też w pierwszej kolejności będą nas interesowały rozmaitości symplektyczne posiadające symetrię.
Definicja. Rozmaitość symplektyczną (M, w) nazywamy jednorodną, jeśli dopuszcza ona tranzytywne działanie pewnej grupy Liego G, działającej jako grupa przekształceń symplektycznych. Innymi słowy, działanie grupy G
Φg : M → M
jest symplektyczne ( pozostawia inwariantną formę ω : Φ*gω = ω )
Przy tym jednoparametrowej podgrupie grupy G odpowiada potok fazowy na M, a elementowi ξ algebry Liego ℘ odpowiada pole hamiltonowskie Xξ na M. Jeśli wszystkie pola Xξ ,ξ∈℘ są ściśle hamiltonowskie i odpowiadające im funkcje Hξ można wybrać tak, aby :
H[ξ, η] = {Hξ, Hη } , Hξ+η = Hξ + Hη (1.4.1)
( tj. tak aby odpowiedniość ξ → Hξ była homomorfizmem algebry Liego ℘ i algebry Liego funkcji na )
to M nazwiemy ściśle jednorodną rozmaitością symplektyczną [17], a działanie grupy Liego G na M – działaniem hamiltonowskim. Zauważmy, że dla symplektycznego działania grupy Liego G na M w przypadku ogólnym w miejsce (1.4.1) mamy następujący wzór :
H[ξ, η] = {Hξ, Hη } + c(ξ , η ) (1.4.2)
Istnienie nieredukowalnej wielkości c(ξ, η) związane jest z nietrywialnością drugiej grupy kohomologii algebry Liego ℘.
Okazuje się, że klasa jednorodnych rozmaitości symplektycznych w istocie pokrywa się z klasą orbit reprezentacji kodołączonej grupy Liego.
Twierdzenie 1.4.1 [17] Dowolna jednorodna przestrzeń symplektyczna, której grupą ruchów jest spójna grupa Liego G, jest lokalnie izomorficzna orbicie reprezentacji kodołączonej samej grupy G lub jej rozszerzenia centralnego z pomocą R.
Przy tym dowolna orbita grupy G jest ściśle jednorodną rozmaitością symplektyczną.
W charakterze ilustracji tego twierdzenia rozparzymy dwuwymiarowy torus M = T2. Jest on jednorodną rozmaitością symplektyczną, na której tranzytywnie działa dwuwymiarowa grupa translacji G. Jednakże M nie jest orbitą reprezentacji kodołączonej grupy G – taka grupa jest abelowa i wszystkie jej orbity reprezentacji kodołączonej są zerowymiarowe.
Niech G~ – będzie rozszerzeniem centralnym grupy G – tzw. grupą Heisenberga-Weyla ( jej algebra Liego jest generowana przez trzy elementy :
e1 , e2 , e3 : [ e1, e2 ] = e3 , [ e1, e3 ] = [ e2 , e3 ] = 0 )
Grupa G~ posiada orbity reprezentacji kodołączonej typu M~ = R2 ; torus T2 otrzymujemy z M~ poprzez faktoryzacje względem dyskretnej podgrupy Γ, grupy G i jest on tylko lokalnie izomorficzny orbicie M~.
Orbity reprezentacji kodołączonej grup Liego. Niech G – będzie grupą Liego, ℘ - jej algebrą Liego, ℘* - przestrzeń dualna do ℘ tj. przestrzeń funkcjonałów liniowych na ℘. Jeśli algebra Liego ℘ jest realizowana w postaci algebry lewoinwariantnych pól wektorowych na G, to ℘* będzie naturalnie zrealizować w postaci przestrzeni lewoinwariantnych form różniczkowych na G. Reprezentacja kodołączona Ad*(g) grupy G działa przy tym w przestrzeni 1-form z pomocą przesunięć prawostronnych.
Zauważmy, że w przypadku grupy prostej możemy identyfikować ℘ i ℘* z pomocą tensora metrycznego Killinga- Cartana :
gij = – Ciks Cjsk
a w przypadku grupy macierzowej możemy przedstawić funkcjonał liniowy s na ℘ jako s(X) = Tr( AX) dla pewnego A∈℘
Rozpatrzmy teraz grupę G jako przestrzeń jednorodną, na której działa właśnie ta grupa :
Φg : h → ghg–1 (1.4.2)
Takie działanie przeprowadza element jednostkowy e grupy G w siebie Φg : e → e
Dlatego linearyzacja działania w punkcie h = e określa działanie grupy G na jej algebrze Liego. To jest właśnie dołączona reprezentacja grupy G
Ad(g) : ℘→ ℘
Reprezentacja taka indukuje działanie Ad*(g) grupy G w przestrzeni ℘*. To jest właśnie reprezentacja kodołączona grupy G.
Niech f – będzie punktem przestrzeni ℘*, działając na nią przekształceniami ad*(g), gdzie g przebiega całą grupę, otrzymujemy orbitę Of przechodzącą przez punkt f. Jaj już mówiliśmy, dowolna orbita jest przestrzenią jednorodną, a oprócz tego jest jednorodną rozmaitością symplektyczną.
Niech punkty ξ, η ∈℘, Xξ i Xη - generowane przez te punkty pola wektorowe w przestrzeni ℘. Wtedy forma symplektyczna ωf na orbicie Of określana jest przez warunek :
ωf (Xξ , Xη ) = < f, [ ξ, η ] > (1.4.3) gdzie < ξ, η > - wartość funkcjonału f na elemencie ξ ∈℘
Jak już mówiliśmy w poprzednim podrozdziale, struktura poissonowska w przestrzeni Ŧ(℘* ) i w szczególności w przestrzeni Ŧ(O ) zadana jest przez nawias Liego-Poissona [54 – 57] :
{ F(x), G(x) } = Cjks xs ∂jF ∂kG (1.4.4)
gdzie Cjks – stałe strukturalne algebry Liego ℘, ∂j = ∂/∂xj , xj – współrzędne punktu x w przestrzeni ℘*
Zauważmy, że mamy teraz naturalne włożenie orbity w przestrzeń ℘* z której w przypadku półprostej grupy Liego jest ona wyróżniana za pomocą zbioru równań wielomianowych. ( Należy mieć na uwadze to, że jeśli grupa G nie jest zwarta, to takimi warunkami można wyróżnić tylko orbity regularne, tj. orbity przechodzące przez regularne półproste elementy w
℘* )
Pnj(x) = cj , x ∈℘* , j = 1, ... , s (1.4.5)
Gdzie { Pnj(x) } – zbiór generatorów algebry inwariantnych wielomianów, przy czym rząd wielomianu Pnj jest równy nj, a liczby całkowite ( nj – 1 ) nazywają się eksponentami algebry ℘. Przy tym w przypadku półprostej algebry Liego ℘ istnieje niezdegenerowany G-inwariantny iloczyn w ℘, z pomocą którego można utożsamić przestrzenie ℘ i ℘*.
Przykłady.
1) G = SO(3) ≈ SU(2) – grupa obrotów trójwymiarowej przestrzeni, ℘* ≈ ℘ = { x : x = (x1, x2 , x3 ) } Orbitami są tutaj dwuwymiarowe sfery S2 = { x : x2 = r2 }. Początek współrzędnych również jest orbitą.
2) G – najprostsza niezwarta prosta grupa Liego – grupa SU(1, 1) ≈ SO(2, 1) ≈ SL(2, R) ≈ Sp(2, R) ; SO(2,1 ) – trójwymiarowa grupa Lorentza :
℘* ≅ ℘ = { x : x = (x1, x2 , x3 ) }
{x0 , x1 } = x2 , {x0 , x2 } = –x1 , {x1 , x2 } = –x0 Orbity grupy G wyróżniane są przez równanie : x2 = x02 – x12 – x22 = const.
Przedstawiają one jednogałęziowe hiperboloidy, dwugałęziowe hiperboloidy dwa stożki i początek współrzędnych.
3) G = E(2) – grupa ruchów płaszczyzny euklidesowej :
℘* = { x : x = (x0, x1 , x2 ) }
{x0 , x1 } = x2 , {x0 , x2 } = –x1 , {x1 , x2 } = 0
Orbity reprezentacji kodołączonej są to – cylindry o osi x0 Każdy punkt osi x0 jest zerowymiarową orbitą.
4) G = W1 – grupa Heisenberga –Weyla
℘* = { x : x = (x0, x1 , x2 ) }
{x1 , x2 } = x0 , {x0 , x1 } = {x0 , x2 } = 0
Orbitami reprezentacji kodołączonej są tutaj płaszczyzny x0 = c, c ≠ 0 Każdy punkt płaszczyzny x0 = 0jest zerowymiarową orbitą.
5) G = {g } = SU(3) , g – macierz unitarna trzeciego rzędu o wyznaczniku równym jedności : gg* = I , det g = 1
℘* ≅ ℘ = {x } – algebra (ośmiowymiarowa ) macierzy antyhermitowskich ( x† = – x ) trzeciego rzędu o zerowym śladzie.
Działanie reprezentacji kodołączonej ma postać : x → gxg–1 = gxg†
W tym przypadku mamy trzy typy orbit :
a) orbity sześciowymiarowe O = SU(3)/ U(1) × U(1) odpowiadające przypadkowi, kiedy wszystkie wartości własne macierzy x są ustalone i różne.
b) orbity czterowymiarowe O = SU(3)/ SU(2) × U(1) odpowiadające przypadkowi, kiedy wartości własne macierzy x mają dwie różne wartości. Takie orbity są izomorficzne dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni rzutowej.
c) Orbita odpowiadająca początkowi współrzędnych : 6) G = SU(n) , ℘* ≅ ℘ = { x : x† = –x, Tr x = 0 }
Niech ( n– 1 ) wartości własnych macierzy x pokrywa się. W tym przypadku : O = SU(n)/ SU(n–1) × U(1)
i orbita O jest izomorficzna przestrzeni CPn–1
Zauważmy, że jest to orbita o minimalnym niezerowym wymiarze w ℘*. Zauważmy również, że dla prostych grup Liego wszystkie orbity o minimalnym niezerowym wymiarze są przeliczone i przeanalizowane w pracy [315] ( tabela 1)
Tabela 1
7) G = SU( m + n ) , ℘* ≅ ℘ = {x } , x† = x , Tr x = 0
Niech wartości własne macierzy x rozdzielają się na dwa zbiory po m i n liczb, przy czym wartości własne w każdym z takich zbiorów niech będą równe. W tym przypadku :
O = SU(m+n)/ SU(m) × SU(n) × U(1)
i orbita jest izomorficzna tzw. zespolonej rozmaitości Grassmanna Gmn.
8) Niech G – grupa rzeczywistych górnych macierzy trójkątnych o wyznaczniku równym 1. Wtedy algebra Liego ℘ składa się z rzeczywistych górnych macierzy trójkątnych o zerowym śladzie, a przestrzeń ℘* = { x } z pomocą iloczynu
skalarnego :
( A, B ) = Tr ( A • B )
w algebrze sl(n, R ) można utożsamić z przestrzenią rzeczywistych dolnych macierzy trójkątnych z Tr x = 0.
Przy tym działanie grupy G na ℘* zadane jest wzorem :
Ad*(g) : x → ( gxg–1 )– (1.4.6)
Gdzie znak minus oznacza, ze elementy rozpatrywanej macierzy, stojące powyżej głównej diagonalnej, zamieniamy na zera. Przykładowo, orbita grupy G w przestrzeni ℘* przechodząca przez element :
składa się z elementów x o postaci :
