jest w pełni całkowany, a odpowiadające mu równania ruchu dopuszczają reprezentacje Laxa o wartościach w ℘ : L• = [ L, M ]
Gdzie
Jest jasne, że dowolna liniowa reprezentacja algebry ℘ przekształca parę Laxa (4.5.5) – (4.5.6) w parę Laxa o wartościach macierzowych.
Standardowo inwarianty elementu L, takie jak Tr (π(L)k ) dla dowolnej liniowej reprezentacji π algebry ℘, są całkami ruchu dla równania Laxa. W szczególności :
H = ½ (L, L ) (4.5.7)
Dalej pokażemy, że takie inwarianty znajdują się w inwolucji.
Hamiltonian (4.5.5) jest bezpośrednim uogólnieniem hamiltonianu (4.1.1). wykorzystując zmienne ak ,bj analogiczne do zmiennych (4.1.23), można go również interpretować jako uogólnienie (4.1.25).
W istocie – niech β1 , ... , βł – będzie bazą dualną do bazy α1 , ... , αł : (βj , αk ) = δjk . Zdefiniujmy nowe zmienne :
ak = exp(αk , q ) , bj = (βj , p ) (4.5.8)
Nawiasy Poissona tych zmiennych zadane są wzorem :
{ bj , ak } = δjk ak (4.5.9)
a hamiltonian (4.5.5) przyjmuje postać :
Przyjmując :
Hj = 2αj / ( αj , αj ) (4.5.11) Tak, że [ Hj , E±k ] = ± cjk E±k , gdzie ( cjk ) jest macierzą Cartana , możemy zapisać reprezentacje Laxa w formie, analogicznej do (4.1.14) :
Podamy teraz spis hamiltonianów uogólnionych łańcuchów Tody, odpowiadających prostym algebrom Liego.
Przy tym przyjęliśmy gk = 1 :
Uwagi.
1. Hamiltoniany typu An–1, G2 ,E6 , E7 podane powyżej, zawierają większą liczbę stopni swobody, niż rząd odpowiedniego układu pierwiastków, ponieważ takie układy pierwiastkowe dogodniej jest opisywać w rozszerzonej przestrzeni Euklidesa [7]. Takie układy pierwiastkowe możemy wyróżnić poprzez następujące liniowe warunki : dla An–1 i G2 , q7 + qs = 0
Σ qj = 0 dla E7 , q6 = q7 = –qs dla E6
2. Hamiltonian typu D4 można przepisać w równoważnej, ale bardziej symetrycznej postaci :
3. Układy Tody typu Bn i Cn można rozpatrywać jako podukłady standardowego łańcucha Tody typu, odpowiednio An i A2n–1 , gdzie położenia cząstek są symetryczne względem początku współrzędnych.
Podamy również pary Laxa dla łańcuchów Tody typu An–1, Bn , Cn , Dn , G2. Oznaczmy aj = exp( qj – qj+1 ) :
2. Orbitalna interpretacja uogólnionych łańcuchów Tody.
Mówiliśmy już wcześniej, że istnieje ogólna Lie-algebraliczna konstrukcja, wiążąca standardowy łańcuch Tody z grupą SL(n, R) ( zobacz twierdzenie 4.2.1 i 1.12.2 ). Ta sama konstrukcja pracuje również i dla uogólnionych łańcuchów Tody, związanych z rzeczywistymi prostymi rozczepianymi grupami Liego.
Niech, tak jak i wcześniej ℘ - będzie rzeczywista prostą, rozczepianą algebra Liego, θ - automorfizm Cartana algebry ℘ oraz :
℘ = K + P (4.5.13)
- rozkład Cartana algebry ℘.
Przyjmijmy cartanowska algebrę A w P i wybierzmy wektory pierwiastkowe Eα , α ∈R w taki sposób, że θEα = –E–α
Wtedy zwarta podalgebra K w ℘ będzie napięta na elementach Eα – E–α , a „symetryczna” podprzestrzeń P będzie
Gdzie A – podgrupa cartanowska , B – podgrupa borelowska w G.
Zastosujemy teraz twierdzenie 1.12.2 do rozkładu ℘ = K + B . Tak jak zwykle przestrzeń ℘* można utożsamić z ℘ z pomocą formy Killinga, tak że b* utożsamiamy z P :
P* ≅ K⊥ = P (4.5.16)
Przypominamy, że nawias Liego-Poissona na P* ma postać :
{ xj , xk } =
Σ
Cijł xł (4.5.17)ł
dla liniowych funkcji współrzędnościowych xj , Cijł – stałe strukturalne algebry P Twierdzenie 1.12.2 przechodzi teraz w :
Twierdzenie 4.5.2
a) Inwariantne funkcje na ℘, ograniczone na P ≅ B*, znajdują się w inwolucji ze względu na NP na B*.
b) Jeśli F – jest inwariantną funkcją, to odpowiednie równania Hamiltona na P można przepisać w postaci Laxa :
L• = [ L, MK ] = [ L, MB ] (4.5.18)
Gdzie MK ∈ K , MB ∈ B określone są wzorami :
∇F(L) = MK – MB (4.5.19)
Aby otrzymać uogólniony łańcuch Tody z twierdzenia 4.5.2, powinniśmy ustalić orbitę grupy B w B*.
Przypominamy iż E±j = E±αj , a Hj określone są wzorem (4.5.11)
Twierdzenie 4.5.3. Elementy :
L =
Σ
bj Hj +Σ
aj ( Ej + E–j ) (4.5.20)Gdzie –∞ < bj < ∞ ; 0 < aj < ∞ , j = 1, ..., ł , ( ł = dim A ) określają orbitę O grupy B w B* ≅ P. Nawias Liego-Poissona na O zadany jest przy tym wzorem :
{ bj , ak } = δjk ak , { aj , ak } = 0 , { bj , bk } = 0 (4.5.21)
Przechodząc od zmiennych bj ,ak do zmiennych pj , qk zgodnie ze wzorem (4.5.8) możemy utożsamić przestrzeń fazową uogólnionego łańcucha Tody z orbitą kodołączonej reprezentacji grupy B, przechodzącą przez punkt µ =
Σ
( Ej + E–j ) Dalej z (4.5.7) i (4.5.10) widzimy, że hamiltonian łańcucha Tody H = ½ (L, L) i inwarianty L są całkami ruchuznajdującymi się w inwolucji. Łatwo się przekonać, że pośród tych całek mamy ł = dim O funkcjonalnie niezależnych na orbicie. Inwarianty algebry ℘, ograniczone na podalgebrę Cartana A, dają ł funkcjonalnie niezależnych wielomianów na A Takie ł wielomianów pozostaje niezależne na podzbiorze A +
Σ
aj ( Ej + E–j ) dla przypadku wystarczająco małych dodatnich aj, a zatem są one niezależne na O. To pokazuje, że uogólnione łańcuchy Tody są układami w pełni całkowalnymi.3. Uogólnione łańcuchy Tody jako układy zredukowane.
W pełnej analogii do podrozdziałów 4.3 i 4.4 można pokazać, że łańcuch Tody związany z prostą algebrą Liego ℘, otrzymujemy na drodze redukcji potoku geodezyjnego na symetrycznej przestrzeni X = G/K ze względu na działanie grupy nilpotentnej Z. Przypominam, że przestrzeń dualna B* może być utożsamiona z P z użyciem (4.5.16) oraz, że ma miejsce naturalna projekcja B* →£*.
Możemy utożsamić £* z dopełnieniami ortogonalnymi do A w P, napiętymi na ( Eα + E–α ) , α ∈R+.
Twierdzenie 4.5.4
a) Zredukowana przestrzeń T*X ze względu na działanie Z dla momentu µ o postaci : ł
µ =
Σ
( Eα + E–α ) (4.5.22)j=1
jest symplektycznie dyfeomorficzna orbicie Oµ grupy B w B*.
b) Redukcja przeprowadza potok geodezyjny na T*X w potok hamiltonowski dla łańcucha Tody na Oµ.
W szczególności, metryka riemannowska na X przechodzi w hamiltonian łańcucha Tody.
Opiszemy teraz schemat takiej redukcji dokładniej ( jest ona nieco odmienna od tej, którą rozpatrzyliśmy w podrozdziale 4.4 ). Na początku powinniśmy zdefiniować odwzorowanie momentu dla działania Z na T*X. Wprowadzimy skrócone oznaczenie :
gT = θ(g–1 ) (4.5.23)
gdzie θ - inwolucja Cartana w G.
Przestrzeń symetryczna X może być włożona w G jako w pełni geodezyjna podrozmaitość X = exp(P ), składająca się z elementów o postaci x = ggT
Przypominając rozkład Iwasawy G = BK, możemy zapisać :
x = bbT , b ∈ B (4.5.24)
odwzorowanie to jest dyffeomorfizmem pomiędzy B i X. Działanie grupy G na X zadane jest wzorem :
x → gxgT (4.5.25)
tak, ze działanie B na X przy utożsamieniu (4.5.25) staje się naturalnym działaniem grupy B na samą siebie z pomocą translacji lewostronnych.
Wykorzystując (4.5.24) możemy identyfikować przestrzeń kostyczną Tx*X z B*, wtedy jak łatwo zauważyć odwzorowanie momentu Φ : T*X → ℘ dla działania (4.5.25) dane jest wzorem :
Φ(a, bbT ) = Adba , a∈ P (4.5.26)
Zatem, odwzorowanie momentu dla działania Z ma postać :
ϕ(a, bbT ) = ( Adba )– (4.5.27)
gdzie indeks górny – oznacza rzutowanie z ℘* na £*.
Aby opisać przestrzeń zredukowaną, powinniśmy rozwiązać równanie :
( Adba )– = µ (4.5.28)
Przyjmując b = zeQ , gdzie z∈Z, Q ∈A i zauważając, że µ jest punktem ustalonym dla kodołączonego działania Z, tak że Zµ = Z możemy zapisać (4.5.28) w postaci :
Łatwo teraz pokazać, że wielkości aj , bj są kanonicznie sprzężone. To pokazuje, ze przestrzeń zredukowana ϕ–1(µ)/Z pokrywa się z orbitą Oµ opisaną w twierdzeniu 4.5.3.
Potok geodezyjny na T*X określony jest G-inwariantnym hamiltonianem H(a, x) = ½ (a, a), który redukuje się do hamiltonianu uogólnionego łańcucha Tody. Geodezyjne w X zadane są prostym wzorem :
x(t) = b eat bT (4.5.31)
Dla b = zeQ i a określonego wzorem (4.5.30) taka geodezyjna ( ściślej – jej podniesienie na T*X ) leży w ϕ–1(µ).
Teraz redukcja sprowadza się do znalezienia współrzędnej orisferycznej Q(t)∈ A i rozkład :
x(t) = b(t) bT(t) = z(t)eQ(t) zT(t) , z(t)∈Z (4.5.32)
Zatem możemy wnioskować, ze trajektoria Q(t) uogólnionego łańcucha Tody jest orisferyczną projekcją geodezyjnej eQ(t) eat eQ(0) , gdzie a zadane jest wzorem (4.5.30)
Na zakończenie zauważymy, że twierdzenie 1.12.7 daje następującą receptę dla rozwiązania równań Laxa (4.5.18).