Układy typu II, III

Teraz weźmiemy w charakterze przestrzeni fazowej rozwłóknienie kostyczne T*X– do przestrzeni jednorodnej :

X– = SL(n, C) /SU(n) (3.7.35)

hermitowskich, dodatnio określonych macierzy z wyznacznikiem równym 1

T*X– = { (x, y) : x ∈ X– , y ∈ Tx*X– } (3.7.36)

Przestrzeń styczna TxX– i dualna przestrzeń kostyczna Tx*X– w punkcie x można utożsamić z macierzami hermitowskimi y, spełniającymi warunek Tr( yx–1 ) = 0, który jest następstwem warunku det x = 1. Parowanie pomiędzy wektorami stycznymi i kostycznymi określone jest z użyciem metryki inwariantnej :

ds2 = Tr( dx • x–1 dx • x–1 ) (3.7.37)

Na przestrzeni T*X– działa grupa G = SL(n, C) zgodnie z wzorem :

x → gxg† , y → gyg† (3.7.38)

Zdefiniujmy formę kanoniczną v I formę symplektyczną ω na przestrzeni T*X– zgodnie z wzorami :

θ = – Tr( yd(x–1)) = Tr( yx–1 dx • x–1 ) (3.7.39)

ω = dθ = – Tr( dy ∧ d(x–1 )) = Tr( x–1dy ∧ x–1dx ) (3.7.40) i rozpatrzymy układ dynamiczny z hamiltonianem T*X– :

H = ½ Tr( yx–1 )2 (3.7.41)

Równania ruchu :

x^• = y , y^• = yx–1y (3.7.42)

są równoważne równaniom geodezyjnych na X– :

x^•• = x^•x–1x^• (3.7.43)

Ich rozwiązania mają postać :

x(t) = b exp(2at)b† (3.7.44)

gdzie a† = a. Układ hamiltonowski, określony wzorem (3.7.41) jest inwariantny względem dokładnego działania

symplektycznego (3.7.38) grupy G. Dla dowolnego elementu ξ algebry Liego ℘ grypy G podgrupa eksponencjalną exp(ξt) generuje hamiltonowskie pole wektorowe :

Odpowiedni hamiltonian ma postać :

Hξ (x, y) = Tr( x–1y ξ† + yx–1ξ ) (3.7.46)

a zatem, stowarzyszone odwzorowanie momentu Φ : T*X– → ℘* zadane jest wzorem :

Φ(x, y) = 2yx–1 (3.7.47)

Rozpatrzmy teraz hamiltonowską redukcje potoku geodezyjnego na X– ze względu na działanie maksymalnie zwartej podgrupy K = SU(n). Działanie K na T*X– jest hamiltonowskie, a odpowiednie odwzorowanie momentu

ϕ : T*X– → K* z T*X– w przestrzeń K* dualną do algebrze Liego grupy K, może być łatwo wyprowadzone z (3.7.46) z pomocą warunku ξ† = –ξ lub z (3.7.47) na drodze przejścia do podgrupy k :

ϕ(x, y) = i[ x–1, y] (3.7.48)

Doszliśmy do wcześniejszego odwzorowania momentu ( zobacz wzór (3.7.10), w którym x zamieniono na x–1 )

Teraz przypominamy, że geodezyjne, które są rzutowane w trajektorie układu typu II, posiadają „moment pędu” o bardzo szczególnej postaci :

Dlatego rozpatrzymy redukcje właśnie dla odwzorowania momentu o takiej postaci. Przestrzeń zredukowana ϕ–1(µ)/Kµ ( tj. rozwiązania równania i[ x–1, y] = µ z dokładnością do działania grupy Kµ ) już opisaliśmy poprzez wzory (3.7.17), (3.7.18) :

x–1 = diag( q1 , ... , qn ) (3.7.50)

yjk = pjδjk + i4a2( 1 – δjk )( qj – qk )–1

Po przekształceniu kanonicznym :

qj → exp(2aqj ) , pj → (1/2a)pj exp(–2aqj ) (3.7.51) równanie (3.7.50) przyjmuje postać :

Zredukowany hamiltonian H = ½ Tr( yx–1)2 teraz przyjmuje postać :

i w ten sposób, opisuje układy typu II.

W szczególności, wynika stąd główny wynik podrozdziału (3.5) : geodezyjne z „momentem pędu” µ (3.7.49) są rzutowane w trajektorie układu typu II.

Innymi słowy, eksponenty exp(qj(t)) są wartościami własnymi macierzy :

x(t) = exp(aQ(0)) exp(2at) exp(aQ(0)) (3.7.54)

przy warunku, że „moment pędu” :

tj. jeśli a zadane jest wzorem (3.5.18). W ogólności można pokazać, że metoda rzutowania, omówiona w podrozdziałach 3.3 i 3.5 jest jawną realizacją hamiltonowskiej redukcji potoku geodezyjnego na przestrzeni symetrycznej ze względu na grupę symetrii tej przestrzeni. Zauważmy, że macierz L = x– ½yx–½, sprzężona do yx–1 pokrywa się z macierzą L (3.1.6) dla układu typu II. Funkcje :

na T*X– są K-inwariantne ( w rzeczywistości G-inwariantne) i znajdują się w inwolucji. W istocie :

Ik(x, y ) = (1/k) Tr( Φ(x, y))k – jest to inwariantny wielomian (1/k) Tr Ak, obliczony z pomocą odwzorowania momentu.

Ponieważ inwariantne wielomiany komutują poissonowsko na ℘*, a odwzorowanie Φ jest poissonowskie, to mamy { Ik , Ił } = 0

Zatem wielkości Ik reprezentują całki ruchu znajdujące się w inwolucji dla zredukowanego układu z hamiltonianem H = I2

Na zakończenie tego podrozdziału zauważmy, że podstawienie a → ia przeprowadza układy typu II w układy typu III ( geometrycznie jest to równoważne przejściu od przestrzeni Xn– do przestrzeni symetrycznej Xn† o dodatniej krzywiźnie Xn† = SU(n))

Taka konstrukcja, zastosowana do przestrzeni Xn1, n2 ( zobacz podrozdział 3.6) prowadzi do układów z dwoma typami cząstek.

3.8 Uogólnienie układów wielocząstkowych typu I – III na przypadek układów pierwiastków dowolnej półprostej algebry Liego.

Wyniki z poprzednich podrozdziałów można rozciągnąć na szerszą klasę układów hamiltonowskich [255], co obecnie opiszemy.

Będziemy potrzebowali pewne fakty z teorii grup Liego, które można znaleźć w książkach [7, 15] lub w dodatku do [60].

Niech p = ( p1 , ... , pn ) , q = ( q1 , ... , qn ) – są wektorami pędu i współrzędnych w n-wymiarowej przestrzeni

Tak samo jak w poprzednich rozdziałach rozpatrzymy układ dynamiczny z hamiltonianem :

Potencjał U(q) budujemy zgodnie z określonym układem wektorów, związanych z algebrą Liego – tzw. układem pierwiastków ( dokładną definicje i omówienie własności takich układów można znaleźć np. w [7, 60] )

Układ ten oznaczymy przez R = {α } i posiada on tę własność, ze wraz z wektorem α zawiera on obowiązkowo wektor –α, przy czym wektor zerowy nie należy do układu R. Dlatego też układ R można przedstawić jako sumę podukładu R+

( pierwiastków dodatnich ) i podukładu R– ( pierwiastków ujemnych ). Przy tym istnieje hiperpłaszczyzna w R, rozdzielająca oba takie podukłady.

Wprowadzimy oznaczenie qα = (α, q) i niech gα2 – będą stałymi, jednakowymi dla równoważnych pierwiastków tj. dla pierwiastków, które związane są ze sobą z pomocą przekształcenia grupy Weyla W.

Postępując za [255], określimy energię potencjalną wzorem :

gdzie funkcje v(qα ) określone są wzorem (3.1.14) dla przypadków I – IV i wzorem :

v(qα ) = qα–2 + ω2qα2 (3.8.3)

dla przypadku V.

W najprostszym przypadku, oznaczonym jako An–1 i związanym z algebrą Liego su(n), podukład pierwiastków dodatnich ma postać :

R+ = { ei – ej , i < j ; i, j = 1, ... , n } (3.8.4)

Gdzie {ej } – standardowa ortounormowana baza w przestrzeni En

Łatwo zauważyć, że przy tym otrzymujemy układy rozpatrzone w poprzednich podrozdziałach.

Dla bardziej jasnego opisania tych układów wprowadzimy oznaczenia :

funkcje v(qα ) będziemy przyjmowali jako funkcje typu I – V.

Podamy teraz podsumowanie wyników dla różnych typów układów pierwiastków :

W powyższych wzorach sumowanie po indeksie νj powinno spełniać następujące warunki : - dla układów IE6 – VE6 :

5

νj = 0, 1 ; suma Σ νj jest parzysta j=1

- dla układów IE7 – VE7 :

Zauważmy, że dla układów An–1 , E6 , E7 , G2 mamy dodatkowe ograniczenie nakładane na współrzędne : n

Σ qj = 0 dla An–1 i G2 , q7 = –q8 j=1 dla E7 i q6 = q7 = –q8 dla E6

Z podanych powyżej wzorów (3.8.6) widać, ze układ typu BCn jest najogólniejszym z pośród układów klasycznych Bn , Cn i Dn. Dla tego układu :

Układy Bn , Cn i Dn są zdegenerowanymi przypadkami tego układu :

Bn → g2 = 0 ; Cn → g1 = 0 ; Dn → g1 = g2 = 0 (3.8.8)

Zauważmy, ze układ hamiltonowski typu BCn można rozpatrywać również, jak układ (2n + 1) cząstek na prostej A2n przy warunku, że współrzędne i pędy spełniają dodatkowy warunek symetrii :

q–k = –qk , p–k = –pk , p0 = q0 = 0 ; k = –n, ... , 0, ... , n (3.8.8) Zauważmy jeszcze, że przestrzeniom konfiguracyjną dla układów typu I, II i V jest :

Λ= { q ∈ En : qα > 0 , α ∈ R+ } (3.8.9) a dla układów typu III i IV :

Λa = { q ∈ En : qα > 0 , α ∈ R+ , qδ < d/a } (3.8.10) przy czym d = π dla układów typu III i zależy od rzeczywistego okresu funkcji P(q, ω1, ω2 ) dla układów typu IV , δ - tzw.

pierwiastek rzeczywisty ( zobacz [7] ).

3.9 Pełna całkowalność układów z podrozdziału 3.8

W poprzednim podrozdziale określiliśmy klasę układów związanych z układami pierwiastków półprostych algebr Liego.

W niniejszym podrozdziale, postępując za pracą [255], pokażemy, że szereg wyników, otrzymanych wcześniej dla najprostszych układów typu An–1 może być przeniesiony również na przypadek ogólny.

Oprócz tego, zbudujemy reprezentacje Laxa dla układów typu BCn która pozwoli nam dowieść ich pełnej całkowalności.

Pokażemy również, że układy typu BCn przedstawiają sobą redukcje potoku geodezyjnego na symetrycznych przestrzeniach typu AIII i podamy jawne rozwiązania dla potencjałów typu I, II, III i V.

Co zaś tyczy układów typu Bn ,Cn i Dn to przedstawiają one szczególne przypadki układu BCn dla odpowiednich wartości stałych sprzężenia.

Układy typu Ei , i = 6, 7, 8 ; F4 i G2 są również w pełni całkowalne, jednakże wymaga to oddzielnego dowodu, ponieważ nie znamy dla nich reprezentacji Laxa.

Jeden ze sposobów dowiedzenia pełnej całkowalności układu hamiltonowskiego z potencjałem (3.8.2), związanym z układem pierwiastków R, jest następujący.

Rozpatrzmy niezwartą przestrzeń symetryczną X– z ograniczonym układem pierwiastków R ( taka przestrzeń istnieje zawsze, ale mówiąc ogólnie, nie jest jednoznaczna – zobacz np. [36] )

Analizując rodzinę operatorów Laplace’a na X–, można pokazać [96], że odpowiedni układ kwantowy, a zatem również układ klasyczny, jest w pełni całkowalny. Jest to jednakże słuszne tylko dla odpowiednich wartości stałej gα2 podanych w pracy [96].