Uwaga 1 [3] Jeśli algebra A całek ruchu jest nieprzemienna, to zamknięte inwariantne poziomice całkowe są dyfeomorficzne jednospójnej grupie algebry A, sfaktoryzowanej względem pewnej jej dyskretnej podgrupy
C. Algebraiczna całkowalność zupełna
1.12 Konstrukcja układów hamiltonowskich z większą ilością całek ruchu
W niniejszym podrozdziale podamy opis kilku konstrukcji układów hamiltonowskich na dualnej przestrzeni algebry Liego, dopuszczających wystarczająco dużo całek ruchu w inwolucji. Jak wiadomo, dowolny z takich układów można ograniczyć na orbitę reprezentacji kodołączonej. W wielu interesujących przypadkach otrzymujemy przy tym układy hamiltonowskie, które są w pełni całkowalne. Należy zauważyć, ze wszystkie takie konstrukcje można rozpatrywać jako przypadki
szczególne ogólnej metody – tzw. metody klasycznej r-macierzy [104]. Jednakże metody opisane w niniejszym podrozdziale posiadają szereg specyficznych własności, ważnych dla zastosowań, dlatego też zasługują one na osobną analizę. Przejdziemy teraz do ich opisu.
1) Niech ℘ - będzie algebrą Liego, ℘* - przestrzenią do niej dualną, wyposażona w standardowy nawias Liego-Poissona Przez I(℘*) – oznaczymy przestrzeń funkcji na ℘*, inwariantnych względem reprezentacji kodołączonej grupy G.
Ponieważ takie funkcje komutują poissonowsko, z dowolną funkcją na ℘*, to prowadza one do trywialnych równań Hamiltona. Tym niemniej – jest to główny temat niniejszego podrozdziału – inwariantne funkcje można wykorzystać dla otrzymania nietrywialnych równań ruchu, posiadających dodatkowe całki w inwolucji.
Twierdzenie 1.12.1 [90] Niech f(x), h(x) ∈I(℘*) , a ∈℘*, λ , η ∈ R. Wprowadzimy oznaczenia : fλ,a(x) = f(x+ λa ), hµ,a(x) = h(x + µa )
Wtedy :
{ fλ,a(x) , hµ,a(x) } = 0 (1.12.1)
Dowód. Przedstawimy x w postaci kombinacji liniowej : ( x + λa) i ( x + µa) :
x = α( x + λa) + β(x + µa) , gdzie α = µ( µ – λ )–1 , β = λ( λ – µ )–1 Wtedy :
Ale pierwsza składowa zeruje się na mocy inwariantności funkcji f(x), a druga – na mocy inwariantności funkcji h(x).
Zatem, { fλ,a(x) , hµ,a(x) } = 0
Zauważmy, ze taka konstrukcja daje nam całkowity zbiór inwolutywnych funkcji na wystarczająco szerokiej klasy algebr Liego, zawierające półproste algebry Liego ( zobacz dalej ).
W charakterze hamiltonianu można tutaj wziąć dowolna funkcje należącą do tego zbioru. Jeśli chodzi o dalsze uogólnienia powyższej konstrukcji – zobacz [34].
2) Idea drugiego sposobu polega na tym, aby przeanalizować szerszą algebrę ℘~, w której algebra ℘ jest włożona w charakterze podalgebry i wykorzystać inwarianty reprezentacji kodołączonej, algebry ℘ w celu zbudowania
nietrywialnych równań ruchu na ℘*.
Twierdzenia 1.12.2 [222,292] Załóżmy, że algebra ℘~ jest sumą liniową dwóch podalgebr :
℘~ =℘ + Ŧ
i odpowiednio dal przestrzeni dualnych mamy :
℘~* =℘* + Ŧ* , ℘* ≅ Ŧ⊥ , Ŧ* ≅ ℘⊥
Wtedy :
a) funkcje inwariantne na ℘~* ograniczone na ℘* znajdują się w inwolucji względem nawiasu Liego-Poissona na ℘.
b) niech f – będzie inwariantną funkcją na ℘~*, rozpatrywaną jako hamiltonian na ℘*. Wtedy odpowiednie równania Hamiltona na ℘* można zapisać w postaci uogólnionej reprezentacji :
x• = ad~*M • x , x ∈℘* (1.12.2)
gdzie ad~* - oznacza reprezentacje kodołączoną ℘~
M = ΠŦ ∇f(x) ; ∇f(x) – gradient funkcji f(x) w punkcie x. ℘* ≅ Ŧ⊥ , Ŧ* ≅ ℘⊥
ΠŦ : ℘~ → Ŧ - operator rzutowania dla rozkładu ℘~ =℘ + Ŧ
Dowód. Zgodnie z definicją nawias Liego-Poissona dla dwóch funkcji f i h na ℘* zadany jest wzorem :
{ f(x), h(x) }℘* = < x, [ ∇f(x) , ∇h(x)] > (1.12.3)
Dla funkcji f(x) na ℘~* przyjmiemy :
∇f(x) = ∇1f(x) + ∇2f(x) (1.12.4)
gdzie ∇1f(x) ∈℘ , ∇2f(x) ∈Ŧ , tak, że ∇1f(x) – jest to różniczka funkcji f, ograniczona na ℘*
Jeśli f(x) jest Ad~* -inwariantną funkcją, to dla dowolnego ξ ∈℘~ :
< x, [∇f(x) , ξ ] > = 0 (1.12.5)
Jeśli h – jest drugą Ad~* -inwariantną funkcją, to z (1.12.3) oraz (1.12.5) wynika :
{ f(x), h(x) }℘* = < x, [ ∇1f(x) ,∇1h(x)] > = – < x, [ ∇2f(x) ,∇1h(x)] > = < x, [ ∇2f(x) ,∇2h(x)] > = 0 ponieważ x ∈℘* = Ŧ⊥ ,a [ ∇2f(x) ,∇2h(x)] ∈ Ŧ.
Zatem, pierwsza cześć twierdzenia została dowiedziona.
W charakterze hamiltonianu na ℘* weźmiemy funkcje f, inwariantną na ℘*. Wtedy dla funkcji liniowej ξ ∈℘ na ℘*
otrzymujemy równanie :
< x• , ξ > = { f(x), ξ(x) }℘* = < x, [ ∇1f(x) , ξ ] > = – < x, [ ∇2f(x) ,ξ ] > = < ad~*∇1f(x)• x | ξ >
Zatem :
x• = ad~*∇1f(x)• x czego chcieliśmy dowieść.
Zauważmy, że jeśli na algebrze ℘~ istnieje niezdegenerowany ad~* - inwariantny iloczyn skalarny, który pozwala utożsamić ℘~* z ℘* i ad~* z ad~ to równanie (1.12.2) można przepisać jako reprezentacja Laxa ( L = x ) : L• = [ L, M ]
Przykład.
W charakterze ilustracji twierdzenia 1.12.2 omówimy łańcuch Tody [109, 222, 292] Niech ℘~ = sl(n , R) , ℘ - podalgebra macierzy dolno trójkątnych , Ŧ = so(n) – podalgebra macierzy antysymerycznych.
Inwariantny iloczyn skalarny zadany jest wzorem : ( A, B ) = Tr ( A • B )
i pozwala on utożsamić ℘* z przestrzenią Ŧ⊥ - przestrzenią macierzy symetrycznych :
℘* ≅ Symm(n)
W charakterze hamiltonianu weźmiemy : H = ½ Tr(L2 )
Wtedy równanie Laxa na ℘* przyjmie postać :
L• = [ L, M ] , M = Πso(n)L (1.12.6)
( jeśli przez L+ i L- – oznaczymy odpowiednio dolne i górne części L, to M = L+ i L- )
Jak pokazaliśmy wcześniej, wszystkie hamiltoniany ukłądu na ℘* można ograniczyć na orbity reprezentacji kodołączonej.
Rozpatrzmy w szczególności orbitę, przechodzącą przez element L0 :
Wtedy łatwo dowieść, że taka orbita składa się z macierzy o postaci :
Ograniczenie nawiasu Liego-Poissona na tą orbitę zadane jest wzorem :
Zauważmy, że zamiana zmiennych : bi = pi , ai = exp(qi+1 – qi )
sprowadza ten nawias do postaci kanonicznej. Przy tym hamiltonian H = ½ Tr(L2 ) przyjmuje postać :
a macierz M = L+ i L- wchodząca do równania Laxa, ma postać:
Funkcja inwariantne :
I k = (1/k) Tr( L2 ) , k = 1, ... , n
tworzą zbiór zupełny całek ruchu w inwolucji
( zauważmy, że równania ruchu generowane przez te funkcje, mają postać Laxa z M = ( Lk–1 )+ – ( Lk–1 )- Fakt ten został po raz pierwszy zauważony przez A. van. Moerbecka’ [109] )
3) Druga użyteczną rodziną funkcji w inwolucji zadaje następujące twierdzenie :
Twierdzenie 1.12.3 [30] Niech ℘ - będzie algebrą Liego, σ - inwolucja na ℘, ℘ = K + P – rozkład na podprzestrzenie własne operatora σ :
σ = id na K i σ = – id na P
Niech ℘σ = K ⊕ P – suma półprosta podalgebry K i przestrzeni wektorowej P Przyjmijmy pewien element a ∈P* i zdefiniujmy rodzinę funkcji na ℘*σ = K* ⊕ P* poprzez wzór :
fa, λ(L) = f( λ–1a + x + λs ) , L = x + s (1.12.12)
gdzie f ∈ I(℘* ) , x ∈ K* , s ∈ P* - zmienne ciągłe, λ - parametr rzeczywisty.
Wtedy funkcje (1.12.12) znajdują się w inwolucji względem nawiasu Liego-Poissona dla sumy półprostej
℘σ = K ⊕ P
Dowód. Przez { , } oznaczmy nawias Liego-Poissona na ℘*, przez { , }σ – nawias Liego-Poissona na ℘*σ ( względem struktury sumy półprostej )
Wtedy przekształcenie liniowe Tλ na ℘* określone wzorem : Tλ( x + s ) = λ–1a + x + λs
( λ jest ustalone ), przeprowadza nawias { , } w nawias { , }λ = λ–2 { , } + ( 1 – λ–2 ) { , }σ + λ–2 { , }a gdzie nawias { , }a jest określony wzorem : { ξ , η }a = < a [ ξ, η ] >
dla ξ, η ∈℘
Załóżmy teraz, że f jest funkcją inwariantną na ℘*. Ponieważ : fa, λ(L) = f( Tλ L )
i f jest funkcją centralną dla { , } tj. { f, ψ} = 0 dla dowolnej funkcji ψ, mamy { fa, λ , ψ }λ = 0 dla dowolnej funkcji ψ.
Zatem, jeśli h – jest inną funkcją inwariantną, to : {fa, λ , ha, µ }λ = 0 = { fa, λ , ha, µ }µ
Zatem fa, λ i ha, µ komutują poissonowsko również ze względu na dowolną kombinacje liniową nawiasów { , }λ i { , }µ W szczególności :
λ2 { , }λ – µ2 { , }µ = ( λ–2 – µ2 ) { , }σ
tak, że {fa, λ , ha, µ }λ = 0, czego chcieliśmy dowieść.
Zauważmy, ze w istocie dowiedliśmy silniejszego stwierdzenia : funkcje fa, λ (1.12.12) znajdują się w inwolucji ze względu na liniowa rodzinę NP :
α { , }σ + β( { , } + { , }a )
Zastosowanie twierdzenia 1.12.3 do riemannowskich par symetrycznych ( ℘, σ) daje wielokrotne całkowalne układy hamiltonowskie, posiadające jednoznaczną interpretacje mechaniczną np. jako obrót wielowymiarowej bryły sztywnej w określonych polach potencjalnych.
4) Wszystkie rozpatrzone powyżej konstrukcje układów hamiltonowskich z dużą liczbą całek ruchu w inwolucji okazują się być szczególnymi przypadkami tzw. metody klasycznej r-macierzy, która obecnie jak się wydaje stanowi najogólniejszą metodę budowania całkowalnych układów hamiltonowskich. Metoda ta została pierwotnie przedstawiona w pracy [105], a następnie została rozwinięta w schemat teoriomnogościowym w pracy [104]. Dalej jedynie naszkicujemy podstawowe dla tej metody twierdzenie, po detale odsyłając do pracy [104].
Rozpoczniemy od definicji. Niech ℘ - będzie algebrą Liego, R – operatorem liniowym na ℘. Na ℘ zdefiniujemy operacje biliniową [ , ]R zgodnie ze wzorem :
[ ξ , η ]R = [ Rξ, η] + [ ξ , Rη ] ; ξ, η ∈℘ (1.12.13)
Oczywiście, że taka operacja jest antysymetryczna. Operator R nazywa się klasyczną r-macierzą, jeśli [ , ]R spełnia tożsamość Jakobiego. Jeśli R – jest klasyczną r-macierzą, to nawias (1.12.13) określa drugą strukturę algebry Liego ℘, a parę (℘, R ) nazwiemy dualna algebrą Liego. Takim dwóm nawiasom Liego odpowiadają dwa nawiasy Liego-Poissona na
℘* :
{ f(x), h(x) } = < x, [ ∇f(x) , ∇h(x)] > (1.12.14)
{ f(x), h(x) }R = < x, [ ∇f(x) , ∇h(x)]R > (1.12.14)
Teraz z (1.12.14) otrzymujemy :
( ad*R )ξ• x = ad*Rξ• x + R* ( ad*ξ• x ) (1.12.15)
Przypominam, że Ad*-inwariantne funkcje na ℘* są funkcjami centralnymi dla nawiasu Liego-Poissona { , }.
Twierdzenie 1.12.4 [104] Niech (℘, R ) – będzie dualną algebrą Liego. Wtedy :
1) Ad*-inwariantne funkcje na ℘* znajdują się w inwolucji ze względu na R-nawias { , }R
2) równania ruchu na ℘* indukowane przez inwariantny hamiltonian H względem R-nawiasu na { , }R tj. równania : x• = (ad*R )∇H(x) • x
można zapisać w “uogólnionej postaci Laxa” :
x• = ad*M • x , gdzie M = R • ∇H(x) (1.12.16)
Dowód. R-nawias (1.12.13) można zapisać w postaci jawnej :
{ f(x), h(x) }R = < x, [ R∇f(x) , ∇h(x)] > + < x, [ ∇f(x) , R∇h(x)] > (1.12.17) Jeśli H – jest funkcją inwariantną, to < x, [ ∇H(x), ξ ] > = 0
Teraz jak wynika z (1.12.15), równania ruchu indukowane przez H mają postać : x• = (ad*R )∇H(x) • x = ad*R•∇H(x) • x + R* ( ad*∇H(x) • x )
Na mocy inwariantności funkcji H(x) : ad*∇H(x) • x = 0
i dochodzimy do równania (1.12.16).
Ważna klasa r-macierzy pojawia się przy analizie rozkładu algebry ℘ na sumę liniową dwóch podalgebr :
℘ = ℘+ + ℘-
( porównaj z twierdzeniem 1.12.2)
Niech P± - będą operatorami rzutowania na ℘± równolegle do ℘–/+. Wtedy operator :
R = ½ ( P+ – P- ) (1.12.18)
jest r-macierzą, a odpowiedni R-nawias jest różnicą prostą nawiasów Liego w algebrach ℘+ i ℘- :
[ ξ+ + ξ- , η+ + η- ]R = [ ξ+ , η+ ] – [ ξ- , ξ- ] (1.12.19) ξ± , η±∈℘±
Dla r-macierzy o takiej postaci, twierdzenie 1.12.4 stanowią bezpośrednie uogólnienie twierdzenia 1.12.2 ( w takiej postaci po raz pierwszy pojawia się w pracy [30] )
Twierdzenie 1.12.5 Niech ℘ = ℘+ + ℘- - rozczepienie algebry Liego w sumę liniową dwóch podalgebr. Wtedy : 1) Ad*-inwariantne funkcje na ℘* = ℘*+ + ℘*- znajdują się w inwolucji ze względu na „różnicę prostą” nawiasów Liego-Poissona na ℘+ i ℘- (1.12.19).
2) równania ruchu na ℘* = ℘*+ + ℘*- indukowane przez inwariantny hamiltonian H ze względu na R-nawias (1.12.19), można zapisać w uogólnionym postaci Laxa :
x• = ad*M± • x (1.12.20)
gdzie :
M± = ± P± ( ∇H(x))
Jeszcze raz przypomnimy, że jeśli inwariantny niezdegenerowany iloczyn skalarny na ℘, który pozwala utożsamić ℘* i
℘, oraz ad* i ad, to równanie (1.12.20) przyjmuje standardową postać Laxa ( L = x ) :
L• = [ L, M± ] (1.12.21)
Twierdzenie 1.12.2 jest oczywistym następstwem twierdzenia 1.12.5 ( dla przypadku ℘~ = ℘, ℘ = ℘+ , Ŧ =℘- ), ponieważ ℘*+ jest podprzestrzenią inwariantną w ℘* względem R-nawiasu.
Przechodząc do analizy przypadku ogólniejszego, założymy, że a ∈℘*- - jest charakterem algebry ℘- tj.
< a, [℘- , ℘- ] > = 0
Wtedy „przesunięta” przestrzeń (℘*+ + a ) jest podprzestrzenią inwariantną w ℘*, tak że stosując twierdzenie 1.12.5 do takiej podprzestrzeni, otrzymujemy następujące twierdzenie :
Twierdzenie 1.12.6 [222]. Załóżmy, że algebra Liego ℘~ jest sumą liniową dwóch podalgebr :
℘~ = ℘ + Ŧ
Niech a ∈ Ŧ* ≅℘⊥ - będzie charakterem Ŧ ,tj. :
< a, [ Ŧ , Ŧ ] > = 0 Wtedy :
a) funkcja na ℘* ≅ Ŧ⊥ postaci :
Fa(x) = f(x + a ), gdzie f(x) przebiega zbiór funkcji inwariantnych na ℘*~ znajduje się w inwolucji ze względu na nawias Liego-Poissona na ℘*.
b) Niech f ∈ I(℘*~). Wtedy równania ruchu na ℘*, indukowane przez hamiltonian fa , można przepisać w uogólnionej postaci Laxa :
x• = ad*M± • L gdzie
L = x + a, M± = ± P± ( ∇f(L))
Zilustrujmy to twierdzenie na przykładzie łańcucha Tody.
Niech ℘ = sl(n R) , ℘- - podalgebra macierzy dolnotrójkątnych , ℘+ - podalgebra macierzy górnotrójkątnych z zerami na diagonalnej. Iloczyn skalarny w ℘ tak jak wcześniej wybieramy w postaci Tr(AB). Wtedy ℘*- można identyfikować z przestrzenią macierzy górnotrójkątnych. Rozpatrzmy dwa elementy e+ i e- w algebrach – odpowiednio ℘+ i ℘- :
e+ - jest to charakter ℘- ,lub co równoważne, orbita jednopunktowa. Orbita O+ algebry ℘- przechodząca przez e+ składa się z macierzy o postaci :
Wybierając w charakterze H najprostszą funkcje inwariantną H(L) = ½ Tr(L2 )
i stosując twierdzenie 1.12.6 do orbity O+ znajdujemy druga reprezentacje Laxa dla łańcucha Tody : L• = [ L, M± ] , L = L0 + e- , M± = ± P± L
Zauważmy jeszcze, że twierdzenia 1.12.1 i 1.12.3 można wyprowadzić z twierdzenia 1.12.5. Jednakże w tym celu należy wprowadzić nieskończenie wymiarowe algebry Liego, składające się z wielomianów Lorana o współczynnikach w danej algebrze Liego [102, 30]. Dalej zauważmy, że r-macierz R = ½ ( P+ – P- ) (1.12.18) związana z rozkładem
℘ = ℘+ +℘-
jest macierzą wyróżnioną – odpowiedni schemat algebraiczny, opisany w twierdzeniu 1.12.5 jest ściśle związany z zagadnieniem faktoryzacji w odpowiedniej grupie G [272, 273, 30].
Twierdzenie 1.12.7 Niech G± - będą podgrupami G odpowiadającymi podalgebrom ℘±. Niech H ∈I(℘* ) , ξ = ∇H(x).
Niech g±(t) – będą gładkimi krzywymi w odpowiednich podgrupach G± będącymi rozwiązaniem zagadnienia faktoryzacji :
exp(tξ ) = g+(t )–1 g-(t) , g±(0) = c (1.12.25)
( wielkości g±(t) istnieją w skrajnym przypadku dla dostatecznie małych t ) Wtedy rozwiązanie równania x• = ad*M± • L (1.12.20) zadane jest wzorem :
x• = Ad*g± (t)• x (1.12.26)
Dowód. W pierwszej kolejności zauważmy, że ad*ξ• x = 0 tak, że Ad*( exp(ξt))x = x, a zatem : Ad*(g+ ) • x = Ad*(g- ) • x
Różniczkując (1.12.26) ze względu na t otrzymujemy : x•(t) = ad*g•+(t) g+–1(t)• x(t) = ad*g•–(t) g-–1(t)• x(t) Powinniśmy zatem pokazać, że :
g•±(t) g±–1(t) = M±(t) , gdzie M±(t) = –/+P± • ξ(t) , ξ(t) = ∇H( ξ(t)) Ponieważ H – jest funkcją inwariantną, otrzymujemy :
ξ(t) = Adg±(t) • ξ(t)
Przepiszmy teraz (1.12.25) w postaci g+(t) exp(tξ) = g-(t) i zlogarytmujmy ją po t. Otrzymamy wtedy : g•+(t) g+–1(t) + Adg-(t)• ξ(t) = g•-(t) g-–1(t)
Poniewaz :
g•±(t) g±–1(t) ∈℘±
to stąd wynika, że : g•±(t) g±–1(t) = –/+P ξ(t)
czego właśnie chcieliśmy dowieść.