Model panelowy – wybór typu modelu i estymatora

Heterogeniczność populacji ze względu na charakterystyki obserwowanych wartości S_c,t i zróżnicowanie siły zależności pomiędzy S_c,t a potencjalnymi zmien-nymi objaśniającymi wskazuje na to, że zasadne jest dokonanie odrębnych osza-cowań parametrów przy zmiennych objaśniających dla każdej z grup. Wybrano najprostsze rozwiązanie, polegające na estymacji 4 odrębnych modeli panelowych o wyjściowej postaci

α τ β

= + + +

yi t i t i tTx u

i t i t

, , , , , (22)

gdzie: i=1,2,...,n − numer kraju, t=1,2,...,T − identyfikator roku, u_i,t − skład-nik losowy, E(u_i,t) = 0. Model (22) można zredukować do (23), jeżeli parametry są homogeniczne w obrębie próby:

α β

= + +

yi t Tx u

i t i t

, , , . (23)

Podczas estymowania równania regresji liniowej dla danych panelowych zakłada się występowanie różnic pomiędzy wartościami stałej α_i (efekty

indy-widualne²⁸), τ_t (efekty czasowe) bądź różnymi wartościami parametru β _(różne tempo zmian y_{i t,} dla poszczególnych grup i panelu – bądź momentów obserwacji t).

W celu dokonania wyboru odpowiedniej postaci modelu dla każdej z grup T.i.j.

przeprowadzono procedury weryfikacyjne.

Pierwszą z hipotez jest brak występowania zróżnicowania α_, τ _i β ze względu na i oraz t (model bez efektów indywidualnych i czasowych (pooled))²⁹:

α α τ β β

∀ = = = = =

H₀: ( 1, ... , ;i n t 1, ... , )T _i , _t 0, _{i t,} (24) przy hipotezie alternatywnej modelu z efektami indywidualnymi i zmiennymi współczynnikami (variable coefficients model with individual fixed effects):

τ β β α α β β

( ) ( )

( ) ^{( )}

∀ = = = = ∧ ≠ ≠

H₁: t 1, ... , ; 1, ... ,T i n _t 0, _{i t, i} i _i , _{i . (25)} Drugą z hipotez jest występowanie efektów indywidualnych α_i i brak wystę-powania zróżnicowania τ ze względu na t (brak efektów czasowych) oraz β _ze względu na i oraz t (model z efektami stałymi (fixed effects, FE / LSDV)):

α α τ β β

∀ = = ≠ = =

H₀: ( 1, ... , ;i n t 1, ... , )T _i , _t 0, _{i t, (26)} przy hipotezie alternatywnej (25).

Do weryfikacji hipotez (24 i 26) został wykorzystany test Chowa³⁰ dla mode-lów bez efektów (pooled) i modemode-lów z efektami indywidualnymi (model within z efektami dla państw), wyniki zestawiono w tabeli 4.5. Pierwszą z hipotez (tj. 24) należy odrzucić dla poziomu istotności 0,05 w przypadku grup T.1.1 i T.2.1. Dla drugiej z hipotez (tj. 26) brak podstaw do odrzucenia na poziomie istotności 0,1 dla wszystkich grup. Oznacza to, że w przypadku grup T.1.2. i T.2.2. należało dodatkowo zweryfikować postać modelu (pooled czy LSDV). Wykorzystano test F na istot-ność efektów stałych w modelu LSDV³¹, wynik testu zawiera wiersz 3 w tab. 4.5.

28 Termin individual effects jest tłumaczony w niektórych polskich opracowaniach jako „efekty gru-powe”, w anglojęzycznej literaturze termin individual effects bywa używany zamiennie z określeniem group effects.

29 α + τ redukuje się w zapisie modelu do α’ ≡ α.

30 Zastosowana została implementująca test Chowa funkcja pooltest z biblioteki PLM pakietu R. Por.:

op. cit. (Croissant, Millo, 2008), s. 20.

31 Zastosowana została funkcja pFtest z biblioteki PLM pakietu R, por.: Croissant, Millo, 2008, s. 21.

Tabela 4.5. Zestawienie wyników testowania hipotez (24) i (26) testem Chowa oraz hipotez dotyczących efektów czasowych i dwukierunkowych testem F³²

Hipoteza Test Gr. F df1 df2 p-value

1. H₀:(i, t){α_i + τ_t = α ∧ β_i,t=β}

(model bez efektów stałych 

– indywidualnych i czasowych (pooled) 

(23))  F Chowa

T.1.1. 1,70680 40 48 0,03846 T.1.2. 1,37140 108 91 0,06064 T.2.1. 1,54790 90 77 0,02502 T.2.2. 1,06300 90 77 0,39310 2. H₀:(i, t){α_i ≠ α ∧ τ_t = 0 ∧ β_i,t = β}

(model z efektami stałymi  indywidualnymi (individual fixed

effects/LSDV))  F Chowa

T.1.1. 1,33450 35 48 0,17510 T.1.2. 1,17780 96 91 0,21590 T.2.1. 1,33460 80 77 0,10210 T.2.2. 1,09330 80 77 0,34740 3. H₀:(i, t){α_i + τ_t = α ∧ β_i,t = β}

H₁:∀(i, t){τ_t = 0 ∧ β_i,t = β} ∧ ∃(i){α_i ≠ α}  F na istotność  efekt. stałych (α_i) 

T.1.2. 2,6754 12 187 0,002425 T.2.2. 0,7829 10 157 0,6452 4. H₀:(i, t){α_i + τ_t = α ∧ β_i,t = β}

H₁:∀(i, t){α_i = 0 ∧ β_i,t = β} ∧ ∃(t){τ_t ≠ τ}  F na istotność  efektów  czasowych (τ_t) 

T.1.1. 0,67620 15 73 0,79920 T.1.2. 1,95780 15 184 0,02041 T.2.1. 2,23650 15 152 0,00735 T.2.2. 0,95660 15 152 0,50380 5. H₀:(i, t){α_i + τ_t = α ∧ β_i,t = β}

T.1.1. 1,72560 20 68 0,05023 T.1.2. 2,16890 27 172 0,00156 T.2.1. 2,42820 25 142 0,00058 T.2.2. 0,91880 25 142 0,57950 Źródło: Opracowanie własne.

Wynik testu dla grupy T.1.2 wskazuje na konieczność odrzucenia H₀ (p-value 0,0024 => model FE), zaś T.2.2 nie daje podstaw do odrzucenia H₀ o niewystę-powaniu efektów indywidualnych, co oznacza, że odpowiedni jest model pooled (wynik może zaskakiwać w kontekście obserwacji heterogeniczności grupy T.2.2 na rys. 4.14, jednak parametry modelu pooled są istotnie lepsze niż modelu fixed effects). Zbadano również występowanie efektów czasowych (tab. 4.5, wiersz 4).

Wynik wykazał, że w przypadku grup T.1.2 i T.2.1 występują efekty czasowe. Jest to niekorzystne, bo oznacza, że pewna część zmienności zmiennej objaśnianej S_c nie została uchwycona w wybranym zestawie zmiennych objaśnianych. Ostatni wiersz tab. 4.5 zawiera wyniki testów dla hipotezy o łącznym występowaniu efektów wewnętrznych czasowych i indywidualnych, jego wynik nie może być analizowany

32 Zastosowana została implementująca test funkcja pFtest z biblioteki PLM pakietu R. Por.: Crois-sant, Millo, 2008, s. 22.

w oderwaniu od pozostałych testów (odrębnie weryfikujących występowanie efek-tów czasowych i indywidualnych).

Tabela 4.6. Preferowana na podstawie testów postać modelu

Grupa Model

T.1.1. z efektami stałymi indywidualnymi (individual fixed effects/LSDV)  T.1.2. z efektami stałymi dwukierunkowymi (two-way fixed effects)  T.2.1. z efektami stałymi dwukierunkowymi (two-way fixed effects)  T.2.2. bez efektów stałych – indywidualnych i czasowych (pooled)  Źródło: Opracowanie własne.

Kolejnym elementem procesu wyboru postaci modelu jest weryfikacja, czy model efektów losowych (random effects, RE) nie będzie miał lepszych właści-wości dla badanego zestawu danych. Modele z efektami stałymi są preferowane, gdy próba (prawie) wyczerpuje populację (w niniejszym badaniu ma to miejsce), są jednak wrażliwe na autokorelację i heteroskedastyczność. Test mnożników Lagrange’a wykazał, że dla wszystkich grup brak jest podstaw do odrzucenia hipo-tezy o braku indywidualnych efektów losowych (tab. 4.7). Dla grup T.1.2 i T.2.1 hipotezę o niewystępowaniu czasowych efektów losowych należało odrzucić.

W przypadku grupy T.2.1 test dodatkowo wykazał brak podstaw do odrzucenia hipotezy o występowaniu łącznie efektów indywidualnych i czasowych (wynik niespójny z testem dla efektów indywidualnych).

Tabela 4.7. Istotność składników losowych: test Breuscha-Pagana³³ mnożników Lagrange’a

Modele Pooled czy random z efektami indywidualnymi

Grupa chisq df p-value chisq df p-value chisq df p-value

T.1.1. 0,02240 1 0,88110 0,89270 1 0,34470 0,91500 2 0,63280

T.1.2. 0,36580 1 0,54530 4,48020 1 0,03429 4,84600 2 0,08866

T.2.1. 2,55860 1 0,10970 5,91960 1 0,01497 8,47830 2 0,01442

T.2.2. 3,29810 1 0,06936 0,02540 1 0,87330 3,32360 2 0,18980

Źródło: Opracowanie własne.

33 Test zaimplementowany w bibliotece plm pakietu R funkcją plmtest. Por.: Croissant, Millo, 2008, s. 21; autorzy nie zaznaczają, że test jest przeznaczony do badania występowania efektów losowych względem modelu pooled.

Wyniki testów występowania składników losowych (tab. 4.7) należy dodat-kowo zweryfikować (z pominięciem grupy T.2.2, dla której odrzucono hipotezę występowania efektów losowych) testem Hausmana (1978), weryfikującym wystę-powanie korelacji między błędami i zmiennymi objaśniającymi (H₀: brak korelacji

=> estymatory random i fixed są równe, nieobciążone i zgodne, ale random jest efektywny i w związku z tym preferowany).

Tabela 4.8. Test Hausmana – weryfikacja preferencji wyboru estymatora random względem fixed

Grupa Model Estymator³⁴ chisq df p-value

T.1.1. individual swar ‑ ‑ ‑

walhus 20,5722 7 0,0045

amemiya 3,9725 7 0,7829

nerlove 2,6386 7 0,9163

T.1.2. two‑way swar 10,352 8 0,2412

walhus 13,876 8 0,0851

amemiya 3,818 8 0,8732

nerlove ‑ ‑ ‑

T.2.1. two‑way swar 64,3497 8 6,488e‑11

walhus 8,8025 8 0,3592

amemiya 3,5826 8 0,8927

nerlove ‑ ‑ ‑

Źródło: Opracowanie własne.

W trakcie weryfikacji modelu random z efektami indywidualnymi i (lub) czasowymi okazało się, że nie dla każdej z grup T.i.j. jest możliwe uzyskanie każ-dego z estymatorów random (błędy dla estymatora Swamy-Arora (swar) i Nerlove (nerlove)). Wyniki testów wskazują na to, że powinny zostać wykorzystane modele z efektami losowymi (wyjątki: model z efektami stałymi jest preferowany względem estymatora Wallace’a-Husseina (walhus) dla modelu T.1.1 i estymatora Swamy-Arora (swar) dla modelu T.2.1). Dla każdej z grup w tab. 4.8 model z efektami losowymi wykorzystujący estymator Amemyia okazał się lepszy od modelu z efektami stałymi.